《數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念》試卷（）

《數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念》試卷復(fù)數(shù)的幾何意義一、選擇題1．如果復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點在第二象限，則()A．a(chǎn)>0，b<0B．a(chǎn)>0，b>0C．a(chǎn)<0，b<0D．a(chǎn)<0，b>0[答案]D[解析]復(fù)數(shù)z＝a＋bi在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點坐標為(a，b)，該點在第二象限，需a<0且b>0，故應(yīng)選D.2．(2022·北京文，2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)6＋5i，－2＋3i對應(yīng)的點分別為A，B.若C為線段AB的中點，則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．4＋8iB．8＋2iC．2＋4iD．4＋i[答案]C[解析]由題意知A(6,5)，B(－2,3)，AB中點C(x，y)，則x＝eq\f(6－2,2)＝2，y＝eq\f(5＋3,2)＝4，∴點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i，故選C.3．當eq\f(2,3)<m<1時，復(fù)數(shù)z＝(3m－2)＋(m－1)i在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限[答案]D[解析]∵eq\f(2,3)＜m＜1，∴3m－2>0，m－1＜0，∴點(3m－2，m4．復(fù)數(shù)z＝－2(sin100°－icos100°)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點Z位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限[答案]C[解析]z＝－2sin100°＋2icos100°.∵－2sin100°<0,2cos100°<0，∴Z點在第三象限．故應(yīng)選C.5．若a、b∈R，則復(fù)數(shù)(a2－6a＋10)＋(－b2＋4bA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限[答案]D[解析]a2－6a＋10＝(a－3)2＋1>0，－b2＋4b＝－(b－2)2－1<0.所以對應(yīng)點在第四象限，故應(yīng)選D.6．設(shè)z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，則以下結(jié)論中正確的是()A．z對應(yīng)的點在第一象限B．z一定不是純虛數(shù)C．z對應(yīng)的點在實軸上方D．z一定是實數(shù)[答案]C[解析]∵2t2＋5t－3＝(t＋3)(2t－1)的值可正、可負、可為0，t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1≥1，∴排除A、B、D，選C.7．下列命題中假命題是()A．復(fù)數(shù)的模是非負實數(shù)B．復(fù)數(shù)等于零的充要條件是它的模等于零C．兩個復(fù)數(shù)模相等是這兩個復(fù)數(shù)相等的必要條件D．復(fù)數(shù)z1>z2的充要條件是|z1|＞|z2|[答案]D[解析]①任意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)≥0總成立．∴A正確；②由復(fù)數(shù)相等的條件z＝0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0)).?|z|＝0，故B正確；③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)若z1＝z2，則有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，如z1＝1＋3i，z2＝1－3i時|z1|＝|z2|，故C正確；④不全為零的兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，但任意兩個復(fù)數(shù)的?？偰鼙容^大小，∴D錯．8．已知復(fù)數(shù)z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于eq\r(10)，則實數(shù)x的取值范圍是()A．－eq\f(4,5)<x<2B．x<2C．x>－eq\f(4,5)D．x＝－eq\f(4,5)或x＝2[答案]A[解析]由題意知(x－1)2＋(2x－1)2<10，解之得－eq\f(4,5)<x<2.故應(yīng)選A.9．已知復(fù)數(shù)z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝－1＋ai，若|z1|<|z2|，則實數(shù)b適合的條件是()A．b<－1或b>1B．－1<b<1C．b>1D．b>0[答案]B[解析]由|z1|<|z2|得eq\r(a2＋b2)<eq\r(a2＋1)，∴b2<1，則－1<b<1.10．復(fù)平面內(nèi)向量eq\o(OA,\s\up6(→))表示的復(fù)數(shù)為1＋i，將eq\o(OA,\s\up6(→))向右平移一個單位后得到向量eq\o(O′A′,\s\up6(→))，則向量eq\o(O′A′,\s\up6(→))與點A′對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為()A．1＋i,1＋iB．2＋i,2＋iC．1＋i,2＋iD．2＋i,1＋i[答案]C[解析]由題意eq\o(O′A′,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))，對應(yīng)復(fù)數(shù)為1＋i，點A′對應(yīng)復(fù)數(shù)為1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空題11．如果復(fù)數(shù)z＝(m2＋m－1)＋(4m2－8m＋3)i(m[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(－1－\r(5),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞))[解析]復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限需eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1>0,4m2－8m＋3>0))解得：m<eq\f(－1－\r(5),2)或m>eq\f(3,2).12．設(shè)復(fù)數(shù)z的模為17，虛部為－8，則復(fù)數(shù)z＝________.[答案]±15－8i[解析]設(shè)復(fù)數(shù)z＝a－8i，由eq\r(a2＋82)＝17，∴a2＝225，a＝±15，z＝±15－8i.13．已知z＝(1＋i)m2－(8＋i)m＋15－6i(m∈R)，若復(fù)數(shù)z對應(yīng)點位于復(fù)平面上的第二象限，則m的取值范圍是________．[答案]3<m<5[解析]將復(fù)數(shù)z變形為z＝(m2－8m＋15)＋(m2－m∵復(fù)數(shù)z對應(yīng)點位于復(fù)平面上的第二象限∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－8m＋15<0,m2－m－6>0))解得3<m<5.14．若t∈R，t≠－1，t≠0，復(fù)數(shù)z＝eq\f(t,1＋t)＋eq\f(1＋t,t)i的模的取值范圍是________．[答案][eq\r(2)，＋∞)[解析]|z|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,1＋t)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋t,t)))2≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(t,1＋t)))·eq\f(1＋t,t)＝2.∴|z|≥eq\r(2).三、解答題15．實數(shù)m取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝2m＋(4－m2(1)位于虛軸上；(2)位于一、三象限；(3)位于以原點為圓心，以4為半徑的圓上．[解析](1)若復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于虛軸上，則2m＝0，即m(2)若復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點位于一、三象限，則2m(4－m2)>0，解得m<－2或0<m(3)若對應(yīng)點位于以原點為圓心，4為半徑的圓上，則eq\r(4m2＋(4－m2)2)＝4即m4－4m2＝0，解得m＝0或16．已知z1＝x2＋eq\r(x2＋1)i，z2＝(x2＋a)i，對于任意的x∈R，均有|z1|>|z2|成立，試求實數(shù)a的取值范圍．[解析]|z1|＝eq\r(x4＋x2＋1)，|z2|＝|x2＋a|因為|z1|>|z2|，所以eq\r(x4＋x2＋1)>|x2＋a|?x4＋x2＋1>(x2＋a)2?(1－2a)x2＋(1－a2不等式等價于1－2a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－2a>0,Δ＝－4(1－2a)(1－a2)<0))解得－1<a≤eq\f(1,2)所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).17．已知z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝eq\r(3)sinθ＋icosθ，當θ為何值時(1)z1＝z2；(2)z1，z2對應(yīng)點關(guān)于x軸對稱；(3)|z2|<eq\r(2).[解析](1)z1＝z2?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\r(3)sinθ,sin2θ＝cosθ))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(tanθ＝\f(\r(3),3),2sinθcosθ＝cosθ))?θ＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．(2)z1與z2對應(yīng)點關(guān)于x軸對稱?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cosθ＝\r(3)sinθ,sin2θ＝－cosθ))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ＝kπ＋\f(π,6)(k∈Z),2sinθcosθ＝－cosθ))?θ＝2kπ＋eq\f(7,6)π(k∈Z)．(3)|z2|<eq\r(2)?eq\r((\r(3)sinθ)2＋cos2θ)<eq\r(2)?3sin2θ＋cos2θ<2?sin2θ<eq\f(1,2)?kπ－eq\f(π,4)<θ<kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)．18．已知復(fù)數(shù)z1＝eq\r(3)－i及z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i.(1)求|eq\x\to(z1)|及|eq\x\to(z2)|的值并比較大??；(2)設(shè)z∈C，滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的點Z的軌跡是什么圖形？[解析](1)|eq\x\to(z1)|＝|eq\r(3)＋i|＝eq\r((\r(3))2＋1