數(shù)學(xué)中考專題訓(xùn)練-相似三角形與圓的綜合

中考專題訓(xùn)練相似三角形與圓的綜合.如圖，A8是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，。是AC的中點(diǎn)，E為。。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ZCAE=2ZC,AC與8。交于點(diǎn)H,與OE交于點(diǎn)F.(1)求證：(1)求證：AE是。。的切線;(2)E(2)E若。。的半徑10,tanC=—1求線段。，的長(zhǎng).4.如圖，AD是0。的弦，PO交。0于點(diǎn)B,ZABP=ZABD,且AB2=PB-BD,連接PA.(1)求證：現(xiàn)是。。的切線;(2)若朋(2)若朋=2P8=4,求的長(zhǎng)..如圖，在。。中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)H,點(diǎn)E是弧CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE〃CD,交射線DO于點(diǎn)E,DE與O0交于點(diǎn)F,8尸與CD交于點(diǎn)G.CD,(1)求證：(1)求證：AE是。。的切線.(2)ED(2)ED已知AO=5,AE=2&,求BG的長(zhǎng).3AGAG3.如圖，48是。。的直徑，C、。是。。上兩點(diǎn)，且而=而，過(guò)點(diǎn)。的直線。ELAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,連接A。、0E交于點(diǎn)G.(1)求證：OE是。。的切線；(2)若地=2,。。的半徑為2,求陰影部分的面積..某數(shù)學(xué)小組在研究三角形的內(nèi)切圓時(shí)，遇到了如下問(wèn)題：如圖①，已知等腰AABC的底邊A8為12,底邊上的高CO為8,如何在這個(gè)等腰三角形中畫(huà)出其內(nèi)切圓？小紅同學(xué)經(jīng)過(guò)計(jì)算，在高CO上截取00=3,以點(diǎn)。為圓心，以3為半徑作的圓即為所求.(1)小紅的方法是否正確？如果正確，給出理由：如果不正確，請(qǐng)給出你的方法.(2)如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上，以AB為邊作一個(gè)正方形4BE/，連接fC并延長(zhǎng)與BE交于點(diǎn)G,則BG：GE的值為..如圖，A8是。。的直徑，CQ是一條弦.過(guò)點(diǎn)4作OC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)E.連接AC,AD.(1)證明：/XABDsXkCE.(2)若AB=57I^，BD=5,CO=9.①求EC的長(zhǎng).②延長(zhǎng)8,48交于點(diǎn)凡點(diǎn)G是弦CO上一點(diǎn)，且/CAG=NF,求CG的長(zhǎng)..如圖，△ABC內(nèi)接于。0,8c是直徑，AO平分NBAC交于點(diǎn)。，E尸切OO于D,BF±AB交EF于F.

(1)求證：四邊形8CEF為平行四邊形.(2)若BF=§,AB=4,求AE的長(zhǎng)..如圖，AB為。。的直徑，四邊形A8CO內(nèi)接于。。.點(diǎn)。為余的中點(diǎn)，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,。。的切線AF交80的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,切點(diǎn)為A.(1)求證：AE=AFx(2)若4B=4,BF=5,求sin/80c的值..如圖，在矩形ABC。中，以4B的中點(diǎn)O為圓心，以。A為半徑作半圓，連接0。交半圓于點(diǎn)￡,在最上取點(diǎn)凡使前=金，連接8凡DF.(1)求證：與半圓相切：(2)如果A8=10,BF=6,求矩形ABCC的面積..如圖，。。是△4BC的外接圓，AB是直徑，。是AC中點(diǎn)，直線。。與。。相交于E,尸兩點(diǎn)，P在0E延長(zhǎng)線上，且滿足NPCA=NABC,連接力，PC,AF.(1)求證：PC是。。的切線；(2)證明：PE'OD=DE'OE.

.如圖，在RtZ\A8C中，NACB=90°,以AB為直徑作。。，過(guò)點(diǎn)8的切線交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，點(diǎn)E為金上一點(diǎn)，且BC=EC,連接BE交AC于點(diǎn)?(1)求證：BC平分NOBE；,,求EF的長(zhǎng)..如圖，在△4BC中，ZACB=90",點(diǎn)。是48邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AC邊上，。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E,ZMC=AzB￡)C.2(1)求證：4尸是。。的切線；.如圖，在△4BC中，AB=AC,以AB為直徑作。。與AC交于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)4作。。的切線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D(1)求證：ND=NEBC；(2)若CD=2BC,AE=3,求。。的半徑.

A.如圖，ZVIBC內(nèi)接于。0,A8是。。的直徑，NBAC的角平分線AF交BC于點(diǎn)O,交A0。于點(diǎn)E,連接BE和BF,ZF=NABE.(1)求證：是。0的切線；(2)若AC=5,AB=13,求CO的長(zhǎng).A.如圖，在△ABC中，AO平分NBAC交BC于點(diǎn)。，以4D為直徑作。。交AC于點(diǎn)尸,點(diǎn)B恰好落在。。上，過(guò)力點(diǎn)作。。的切線OE交AC于點(diǎn)E,連接。尺(1)求證：NFDE=NCDE；(2)若4B=12,tan/C=S,求線段OE的長(zhǎng)..如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作。O,交BC于點(diǎn)、D,交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D為BE的中點(diǎn).(1)試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若直線/切00于點(diǎn)。，與AC及48的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)F、點(diǎn)G.ZBAC=45°,求12的值.DG

.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,N8AC的平分線AO交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上,以AE為直徑的。O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.求證：(DBC是。。的切線：(2)CD^^CE'CA..如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，且弧8=弧8,過(guò)點(diǎn)C作CE〃BD,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC交8。于F.(1)求證：CE是OO的切線；(2)過(guò)點(diǎn)C作CH_LAE于〃點(diǎn)，CH交BD于M,若CA=CE=6,求C”和BF的長(zhǎng)..如圖，OO上有A,B,C三點(diǎn),AC是直徑，點(diǎn)O是忘的中點(diǎn)，連接CO交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)F在AB延長(zhǎng)線上且FC=FE.(1)若NA=40°,求NOCB的度數(shù)；(2)求證：CF是。。的切線；(3)若sin/F=邑，BE=6,求。。的半徑長(zhǎng)?5

.已知：如圖，AB、AC是。。的兩條弦，AB=AC,點(diǎn)、M、N分別在弦AB、AC上，且AM=CN,AM<AN,聯(lián)結(jié)OM、ON.(1)求證：OM=ON；(2)當(dāng)NBAC為銳角時(shí)，如果aJmAMRC,求證：四邊形4MoN為等腰梯形..如圖，在△ABC中，NACB=90°,。是AB邊上一點(diǎn)，以8。為直徑的。。與AC相切于點(diǎn)E,連接。E并延長(zhǎng)交8C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求證：BF=BD；(2)若CF=I,tan/EDB=2,求。。的直徑..如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊三角形A8C內(nèi)接于。0,點(diǎn)。為AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)A、C除外),8。的延長(zhǎng)線交。。于點(diǎn)E,連接CE.(1)求證：△CE￡>s/\ba。；(2)當(dāng)OC=2AO時(shí)，求CE的長(zhǎng).1.如圖，已知△ABC內(nèi)接于。0,48是。。的直徑，NC4B的平分線交BC于點(diǎn)O,交。。于點(diǎn)E,連接EB,作/BEF=NCAE,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸.(1)求證：EF是。。的切線;(2)若AE=12遙，史」，求OO的半徑和￡尸的長(zhǎng).EF2參考答案與試題解析1.如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn)，。是血的中點(diǎn)，E為。。延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且NCAE=2NC,AC與80交于點(diǎn)4,與0E交于點(diǎn)F.(1)求證：4E是。。的切線;(2)若。O的半徑1。，tanC=—1求線段的長(zhǎng).【分析】(1)由垂徑定理得出。OJ_AC,進(jìn)而得出NE4O+/4OF=90°,由圓周角定理結(jié)合已知條件得出NA。尸=/C4E,得出N/=AO+NCAE=90°,即NOAE=90°,即可證明4E是。。的切線；(2)連接40,利用解直角三角形得出tanB=迫=3,設(shè)AO=3x,則BO=4x,AB=BD45x,由。O的半徑10,得出AB=5x=20,求出x=4,求出AO=12,BD=16,繼而證明△ADHsXBDA,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出。〃的長(zhǎng).【解答】(1)證明：如圖1,￡k\\^——圖1???。是金的中點(diǎn)，???ODLAC,：.ZAFO=90°,??N必O+NAO尸=90°,ZAOF=2ZC,ZCAE=2ZC,:.ZAOF=ZCAE,：.ZFAO+ZCAE=90°,即NOAE=90°,?,0A是半徑，

；.4￡是00的切線；(2)解：如圖2,連接A。,???NC=NB,tancf，42tanfi=tanC=T,4'：AB是直徑，/.ZADB=90°,設(shè)AD—3x,則BD=4x,AB=5x,;。。的半徑10,：.AB=5x=20,?x^4,?"O=3X4=12,80=4X4=16,??。是金的中點(diǎn)，：.AD=CD=}2,：.ZDAC=ZC,：4B=/C,:?/DAC=/B,:ZADH=ZBDA：.XADHs赳BDA,.ADBDpn1216DHADDH12：.DH=9.2.如圖，AD是。。的弦，P0交。。于點(diǎn)B,NABP=NA8D,且A^^PB-BD,連接PA.(1)求證：力是。。的切線;(2)若公=2PB=4,求8。的長(zhǎng).【分析】(1)延長(zhǎng)BO交。。于點(diǎn)E,連接AE,先證明△PBAs/xab。，得出NB4B=/ADB,由圓周角定理得出/附8=/￡由等腰三角形的性質(zhì)得出NOAE=NE,進(jìn)而得出N%B=NOAE,由圓周角定理得出/BAE=NBAO+NO4E=90°,進(jìn)而得出/BAO+ZPAB=ZPAO=90°,即可證明以是。。的切線：(2)延長(zhǎng)BO交。0于點(diǎn)￡,連接AE,DE,利用勾股定理列方程求出。0的半徑為3,進(jìn)而得出OA=3,OP=5,BE=6,再證明△以0s利用相似三角形的性質(zhì)即可求出80的長(zhǎng)度.【解答】(1)證明：如圖1，延長(zhǎng)BO交。O于點(diǎn)E,連接4E,"：AB2=PB'BD,.PBAB?? ~,ABBD:NABP=NABD,：.ZPAB=ZADB,:zadb=ze9：.ZPAB=ZEf：OA=OE,：.ZOAE=ZE9：.ZPAB=ZOAE,〈BE為直徑，/.ZBAE=ZBAO-^ZOAE=90°,/.ZBAO+ZPAB=ZPAO=90°,9：OA是半徑，??以是。。的切線；(2)解：如圖2,延長(zhǎng)80交OO于點(diǎn)E,連接AE,DE,D圖2\'PA=2PB=4,：.PB=2f設(shè)OA=OB=jg則OP=x+2,VZMO=90°,.\PA2+AO2=OP21即42+/=(x+2)2,解得：x=3,??OA=3,OP=2+3=5,8E=3+3=6,.?△P84s/\ab。，??/「=NBA。，:NBAD=/BED,；.NP=NBED,?,8E為直徑，ZBDE=90°,：.ZPAO=ZEDB=90°,:.XPAOsREDB、?AOOPan_35BDBEBD6：.BD=—.53.如圖，在。。中，直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)，，點(diǎn)8是弧CO的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE〃CD,交射線。。于點(diǎn)E,DE與。。交于點(diǎn)F,BF與CD交于點(diǎn)G.(1)求證：AE是。。的切線.(2)已知A0=5,AE=ZZ,求BG的長(zhǎng).3【分析】(1)利用垂徑定理的推論得到AB_LCQ,利用平行線的性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；(2)過(guò)點(diǎn)F作在于點(diǎn)M,利用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)求出線段OE,OM,M尸的長(zhǎng)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求得線段的長(zhǎng)，利用勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)得出比例式即可求得結(jié)論.【解答】(1)證明：???點(diǎn)B是弧8的中點(diǎn)，A8為。。的直徑，：.AB±CD,'."AE//CD,：.AE±OA.,：OA為。。的半徑，是00的切線：A(2)解：過(guò)點(diǎn)F作尸于點(diǎn)如圖，EA：A0=5,AE=—,AE±0A,3,*?0￡=Voa2+ae2=學(xué)?'：AE±AB,FMA.AB,：.FM//AE,:.MOMFsXoae、.OMMFOF??==?OAAEOE.OMMF5???5型空VV：?OM=3,MF=4.：.BM=OB+OM=5+3=8,?*-bf=VbM2+MF2=4煙■在△OFM和△ODH中，fZFMO=ZDHO=90°<ZFOM=ZDOH，OF=OD:.叢OFMm叢ODH(A4S),：.OM=OH=3,：.BH=OB-OH=2.,：FM1AB,AB1CD,J.CD//FM,:./XBGHs叢BFM,.BGBH??~,BFBM.BG2?? ,——>4V58:.BG=y/s-4.如圖，A8是。。的直徑，C、。是。。上兩點(diǎn)，且而=而，過(guò)點(diǎn)。的直線。ELAC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡連接AO、OE交于點(diǎn)G.(1)求證：OE是0O的切線；(2)若理■上,。。的半徑為2,求陰影部分的面積.AG3【分析】(1)連接0。，證明OE是。。的切線，關(guān)鍵是證明0。_1_力民(2)連接BC,根據(jù)(1)中。O〃AE得△OGOs/xaeG,從而求出AE的長(zhǎng)，再根據(jù)△AEQs/xaob求出AO的長(zhǎng)，再利用三角函數(shù)求出。尸的長(zhǎng)，Smti=S^DOF-SMiDOB求出陰影部分的面積.【解答】（1）證明：如圖所示，連接OC,,?,BD=CD.：.ZCAD=ZDAB,：OA=OD,：?/DAB=NODA,???NCAD=/ODA,：.OD//AE,9：DE.LAC,：.OD上DE,??o。是OO的半徑，JOE是OO的切線；(2)解：如圖所示，連接3。,.*OD//AE,：?/\0GDsAEGA,?DG0D??,AGAE...匹=2,。。的半徑為2,AG3.22??,3AE：.AE=3.是0O的直徑，DELAE,

???NAED=NADB=90°,*：ZCAD=ZDABf：.AAED^AADB,AD-ABAD4AD-ABAD4AE一AD3AD???AD=2E，在RtAADB中，cos/DAB=4^AB2：.ZDAB=30°,??NE4尸=60°,N0O8=6O°,/.ZF=30°,：OD=2,??DF^缸唬=3，r. 1r-60KX22 r-2兀?S陰影=SAD0F-S扇形dob=2-X2X2V3--嬴一=2V3—?5.某數(shù)學(xué)小組在研究三角形的內(nèi)切圓時(shí)，遇到了如下問(wèn)題：如圖①，已知等腰△4BC的底邊A8為12,底邊上的高CO為8,如何在這個(gè)等腰三角形中畫(huà)出其內(nèi)切圓？小紅同學(xué)經(jīng)過(guò)計(jì)算，在高CO上截取00=3,以點(diǎn)。為圓心，以3為半徑作的圓即為所求.（1）小紅的方法是否正確？如果正確，給出理由；如果不正確，請(qǐng)給出你的方法.（2）如圖②，在圖①的基礎(chǔ)上，以4B為邊作一個(gè)正方形4BEF,連接FC并延長(zhǎng)與BE交于點(diǎn)G,則BG：GE的值為A.~2~①②【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作OH，AC于點(diǎn)4,由等腰三角形的性質(zhì)得出AO=BO=6,OC=5,由勾股定理得出AC=10,證明△CHOs^CDA,型圖，由相似三角形的性質(zhì)得出ADACOH=3,繼而得出AC是。。的切線，同理，BC是。。的切線，A8是。。的切線，即可得出。。是等腰△ABC的內(nèi)切圓；（2）延長(zhǎng)。（7交尸￡于點(diǎn)〃，由正方形的性質(zhì)得出BE=4B=12,EF//AB,由C4=CB,CDLAB,得出AO=8O=6,DMA.EF,繼而得出FM=ME=6,DM=BE=12,由三角形中位線的性質(zhì)得出GE=8,進(jìn)而得出BG=4,即可求出8G：GE的值.【解答】解：（1）小紅的方法正確，理由如下：如圖①，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)從CADB①.,等腰△ABC的底邊AB為12,底邊上的高CC為8,00=3,：.AD=BD=6,OC=CD-OD=S-3=5,-'-ac=VaD2-H：D2=V62+82=,0,:NCHO=NCDA=90°,NHC0=NDCA,：./^CHO^/^CDA,.OHOCnnOH5? = ,即 = ,ADAC610...OH=3,,:OHLAC,；.AC是OO的切線，同理，BC是。。的切線，'：OD±AB,00=3,.?.AB是。。的切線，；?QO是等腰△A8C的內(nèi)切圓；(2)如圖②，延長(zhǎng)QC交FE于點(diǎn)M,②.?四邊形ABEF是正方形，48=12,：.BE=AB=12,EF//AB,VCA=CB,CDLAB,:.AD=BD=6,DM1EF,：.FM=ME=6,DM=BE=12,???MC是△￡：//；的中位線，MC=DM-CD=12-8=4,/.GE=2CM=2X4=8,：?BG=BE-GE=12-8=4,.BG41??~,GE82故答案為：—.26.如圖，AB是。。的直徑，CO是一條弦.過(guò)點(diǎn)A作OC延長(zhǎng)線的垂線，垂足為點(diǎn)E.連接AC,AD.(1)證明：XABDsXncE.(2)若研=5向,80=5,CD=9.①求EC的長(zhǎng).②延長(zhǎng)C￡),AB交于點(diǎn)F,點(diǎn)G是弦CC上一點(diǎn)，且NC4G=NF,求CG的長(zhǎng).【分析】(1)利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得/ACD+/A8￡)=180°,推出NABO=/4CE,即可證明；(2)①由△ABQs/Xace,推出4E=3CE,在RtZXAOE中，利用勾股定理求解即可；②證明△￡4Gs△￡D4,利用三角形的性質(zhì)求解即可.【解答】(1)證明：：4b是。。的直徑，AELCE,：.ZAEC=ZADB=90°,'：四邊形ABDC是圓內(nèi)接四邊形，Z.ZACD+ZABD=\SO°,又NACE+NACO=180°,ZABD=NACE,AABDs/\ACE：(2)解：①在RtZXBOA中，AB=5y[10,BD=5,A。=VaB2-BD2=15，,/AABD^AACE,.BDCEpn5CEADAE15AE：.AE=3CE,在RtZkAOE中，AD1=AE1+DE1,?\152=(3CE)2+(9+CE)2,解得：CE=-A(舍去)或CE=3：24...EC的長(zhǎng)為3；②；AABD^AACE,：.ZBAD=ZCAE,'：ZCAG=ZF,NEAG=NCAE+NCAG,ZEDA=ZBAD+ZF,；.NEAG=NEDA,:.△EAGs^EDA,.AEDE"de"ae'/.AE2=GE?ED,即A￡：2=(EC+CG)'ED,"：CE=3,：.AE=3CE=9,A92=(3+CG)X12,7.如圖，△ABC內(nèi)接于。0,8c是直徑，AO平分NBAC交于點(diǎn)O,EF切。O于D,BF_L4B交E尸于E(1)求證：四邊形BCE尸為平行四邊形.(2)若BF=旦,48=4,求4￡的長(zhǎng).2【分析】(1)連接OC,證明8尸〃AE,BC//EF,可得結(jié)論；(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CE=8/如圖，連接OO,過(guò)點(diǎn)C作CGLE尸于G,證明四邊形COCG是正方形，△ABCs/XGCE,列比例式可得AE的長(zhǎng).【解答】（1）證明：連接0￡>,\'BF±AB,；.448尸=90°,；8(?是。0的直徑，AZBAC=90°,.*.N8AC+NA8/=180°,J.BF//AE,「A。平分N8AC,：.ZBAD=ZCAD,???BD=CD>:.BCLOD,切0O于O,：.EF±OD,：.BC//EF,：.四邊形BCEF為平行四邊形；(2)解：由(1)知：四邊形8CEF為平行四邊形,：.CE=BF=^-,2如圖，連接OO,過(guò)點(diǎn)C作CGLEF于G,,三:.NCOD=NODG=NCGD=90°,OC=OD,：.四邊形CODG是正方形，:,CG=OC,NBCG=90°,/.ZACB+ZECG=90°,VZACB+ZABC=90°,：.ZECG=ZABC,；NCGE=NBAC=90°,.,.AASC^AGCE,?AB=BC"CGCE"設(shè)。。的半徑是r,則BC=2r,.4_2r2/.r=V5(負(fù)值舍)，:.BC=2近,?'?ac=VbC2-AB2=7(2V5)2-42=2>rg，4E=AC+CE=2+2=W.228.如圖，AB為。。的直徑，四邊形ABC。內(nèi)接于。0.點(diǎn)。為萩的中點(diǎn)，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,。。的切線A尸交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,切點(diǎn)為A.(1)求證：AE=AF；C【分析】(1)由點(diǎn)。為京的中點(diǎn)，可得NCBD=NABD,根據(jù)A8為。。的直徑，有NAEF=NBEC=9Q°-ZCBD,又4尸是。。的切線，A8為。。的直徑，有NF=90°-NABD,即得/AEF=N凡AE=AF；(2)證明△AOF絲ZVIOE,得AE=AF,DE=DF,由勾股定理求得AF,由三角形面積公式求得AO,進(jìn)而求得3E,BE,再證明△8ECs△△￡：￡),得BC,進(jìn)而求得sinNBAC便可.【解答】(1)證明：???點(diǎn)。為去的中點(diǎn)，.??CD=AD?：.ZCBD=ZABD,為。。的直徑，???NAC8=90°,AZAEF=ZBEC=90°?NCBD,〈A/是OO的切線，A3為。0的直徑，工NBA尸=90°,ZF=90°-NABD,：.NAEF=NF,：.AE=AF；(2);A尸是。。的切線,：.ZFAB=90°,〈AB是O。的直徑，:.ZACB=ZADB=NAO尸=90°,ZABD-^ZBAD=ZBAD+ZFAD=^°,，NABD=NFAD,■:NABD=NCAD,：.ZFAD=ZEAD,u：AD=ADf：./XADF^/^ADE(ASA),：.AF=AE,DF=DE,在RtZkAOE中，AB=4,BF=5,AF=VbF2-AB2=3，：.AE=AF=3fTOC\o"1-5"\h\zvSaabf=—ab-af=Abfmd,2 2?4八_AB?AF_4X3_12??~?\o"CurrentDocument"BF5 5?'-D￡=Vae2-ad2=J3J =晟'：.BE=BF-2OE=工，5VZA￡D=Z.BEC,NADE=NBCE=9Q°,.?.△BECsAAED,.BE=BC"AEAD'.n^BE?AD_28AE25-''sinZfi4C=f=i"：ZBDC=ZBAC,在RtZ\AC8中，ZACB=90°：.sinZBDC=-^~.259.如圖，在矩形48C。中，以AB的中點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A為半徑作半圓，連接0。交半圓于點(diǎn)￡,在標(biāo)上取點(diǎn)F,使前=窟，連接BF,DF.(1)求證：。尸與半圓相切；(2)如果48=10,BF=6,求矩形ABCC的面積.【分析】(1)連接OF,證明△OAO烏△。尸O(SAS),可得NOAO=90°=NDFO,即可得OF與半圓O相切；(2)連接4F,證明△AOOs/\fb4,可得。。=空,在Rt/XAOO中，AD=610 3Vd02-A02=—)即可得矩形A8CO的面積是迎.3 3【解答】(1)證明：連接。凡如圖：???AE=EF，:?NDOA=NFOD,U：OA=OF,OD=OD,：.^DAO^ADFO(SAS),

：.ZDAO=ZDFO,???四邊形A8CD是矩形，/.ZDAO=90°=4DF0,：.OF.LDF,又。尸是半圓。的半徑,，。尸與半圓0相切；(2)解：連接A凡如圖:,:AO=FO,4D0A=4D0F,：.DO±AF,〈AB為半圓直徑，/.ZAFB=90°,：.BFlAFf:.DO〃BF,：.ZAOD=ZABF,VZOAD=ZAFB=90°,:.△AO""%,?AO=DO即5=DO??麗一記''HF??.OO=絲3在RtZ\AOO中,在RtZ\AOO中,AD=VD02-A02=-J(-y-)2-52=-y矩形ABC。的面積為 義10=222.,3 3答：矩形48CC的面積是型2.310.如圖，。。是AABC的外接圓，AB是直徑，。是AC中點(diǎn)，直線。。與。。相交于E,F兩點(diǎn)，P在OE延長(zhǎng)線上，且滿足NPC4=NABC,連接雨，PC,AF.(1)求證：PC是。。的切線；(2)證明：PE?OD=DE?OE.【分析】（l）連接。C,根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及圓周角定理可得NPCO=90°,然后由切線的判定定理可得結(jié)論；（2）連接EC,FC,OC,證明RtZ\ECDsRtZ\CFD,得出 ?。凡繼而得出C。2=DE-OD+DE-OE,同理得出CD1=OD-DE+OD-PE,進(jìn)而得出DE-OD+DE-OE=OD-DE+OD-PE,即可證明PE?OD=DE,OE.【解答】證明：（1）如圖1,連接OC,'：OB=OC,:.NOBC=NOCB,"：ZPCA=ZABC,：.ZPCA=ZOCB,,：AB是直徑，/.ZACB=90°,?\ZACO+ZOCB=90°,，NACO+NPCA=90°,即NPCO=90°,,roc是圓。的半徑，...pc是圓。的切線；(2)如圖2,連接EC,FC,OC,AB圖AB圖2???EF是直徑，,NECr=90°,：?NCEF+NCFE=90°,「。是AC的中點(diǎn)，七廠是直徑，：.ACLEF,；?NCEF+NECD=90°,NEDC=NCDF=90°,:?NECD=NCFD,.,.RtAECD^RtACFD,?DECD??,CDDF:.C?=DE?DF,：.Cb^=DE(OD+OF)=DE(OD+OE)=DE?OD+DE?OE,同理RtAPCD^RtACOD,.PDCDCD0D：.3=OD?PD=OD(PE+DE)=od-de+od-pe,：.DE-OD+DE-OE=OD-DE+OD-PE,：.PE-OD=DE*OE.11.如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,以AB為直徑作。。，過(guò)點(diǎn)B的切線交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，點(diǎn)E為京上一點(diǎn)，且BC=EC,連接BE交AC于點(diǎn)E(1)求證：BC平分NQBE；(2)若AB=2遙，tanE=2，求EF的長(zhǎng).【分析】（1）因?yàn)?。是。。的切線，所以NNC8O=NA,因?yàn)锽C=EC,所以NE=NEBC,由同弧所對(duì)的圓周角相等可得，NA=NE,所以NEBC=NC8￡>,即BC平分NDBE.（2）由（1）可知，tanE=tanA=tanNEBC=」，因?yàn)锳B為。。的直徑，所以NACB=290°,所以tanA=K=l,即4C=2BC,由48=2代結(jié)合勾股定理可得，BC2+AC2=AC2AB2,即BC2+dBC^nA屏,解得8c=2,AC=4,又因?yàn)閠an/EBC=C^=l,所以C尸BC2=1,AF=3,BF=y/5>易證△AB/s/XECF,所以AF：EF=BF：CF,即3：EF=煙:1,解之即可.【解答】（1）證明：：80是。。的切線，工NNCBD=NA,?；BC=EC,:.NE=NEBC,ZA=ZE,/.ZEBC=NCBD,即BC平分/DBE.(2)解：由(1)知，NA=ZE=ZEBC,tan￡=tanA=tanNEBC=—,2'：AB為。。的直徑，/.ZACB=90°,.,.tarL4=—,即AC=2BC,AC2,:AB=2后,：.BC2+AC1=AB2,即：.BC=2,AC=4,；tanNEBC=^=工，BC2/.CF=1,AF=3,BF=Q

VZA=ZE,NABF=NECF,：.△ABFs^ECF,：.AF：EF=BF：CF,即3：EF=81,解得￡f=12.如圖，在△ABC中，NACB=90°,點(diǎn)。是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在AC邊上，。。經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且與AB邊相切于點(diǎn)E,ZFAC=^ZBDC.2(1)求證：A尸是。。的切線；(2)若BC=6,sinB=&,求。。的半徑及0。的長(zhǎng).5【分析】(1)作?！保?垂足為〃，連接。E,利用直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得AO=CD,再通過(guò)導(dǎo)角得出4c是的平分線，再利用角平分線的性質(zhì)可得OH=OE,從而證明結(jié)論；(2)根據(jù)8C=6,sinB=A,可得AC=8,AB=\0,設(shè)0。的半徑為r,則。C=0E=r,5利用RtZ\A0EsRtZ\A8C,可得r的值，再利用勾股定理求出。。的長(zhǎng).【解答】(1)證明：如圖，作.布，垂足為“，連接?！闑D B,：ZACB=90">,。是AB的中點(diǎn),：?CD=AD=-^j^9：.ZCAD=ZACD,??/BDC=ZCAD-^ZACD=2ZCAD,又???N演C=//BDC，???NFAC=NCAB,即AC是/以8的平分線，??點(diǎn)。在AC上，。0與A8相切于點(diǎn)E,??OE_LAB,且OE是OO的半徑，：,OH=OE,。〃是。0的半徑，???A/是OO的切線；(2)解：如圖，在△ABC中，NAC8=90°,BC=6,sinfi=A,5工可設(shè)AC=4x,AB=5x,:.(5x)2-(4x)2=62,?"?x=2)則AC=8,AB=10,設(shè)。。的半徑為r,則OC=OE=r,VRtAAOE^RtAABC,.OEBC?? ,AOAB即」一=A,8-r10r=3,：.AE=4f又?.?AD=5,：.DE=19在RtZXOOE中，由勾股定理得：OO=Wi.13.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。。與AC交于點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)A作0。的切線交8c的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D(1)求證：ND=NEBC；(2)若CO=2BC,AE=3,求。。的半徑.

【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)可得ND4O=90°,從而可得NO+NA3O=90°,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得NBEC=90°,從而可得乙4C8+NE8C=90°,然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得NAC3=N4BC,從而利用等角的余角相等即可解答；（2）根據(jù)已知可得80=38。，然后利用（1）的結(jié)論可得△OABs/iBEC,從而利用相似三角形的性質(zhì)可得A8=3EC,然后根據(jù)A3=AC,進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】（1）證明：:AO與OO相切于點(diǎn)A,AZDAO=90°,???N￡>+NA3O=90°,〈AB是。0的直徑，ZAEB=90°,.\ZBEC=180°-ZAEB=90°,；?NACB+NEBC=90°,VAB=ACfJZACB=ZABC,:./D=NEBC；（2）解：VCD=2BC,:?BD=3BC,VZDAB=ZCEB=90°,ND=NEBC,:ADABs^BEC,.BDAB_7BCEC：.AB=3EC,*：AB=AC9AE=3,：.AE+EC=AB,A3+EC=3EC,/.EC=1.5,???A8=3EC=4.5,???。0的半徑為2.25.14.如圖，△ABC內(nèi)接于QO,A8是。O的直徑，N84C的角平分線A尸交8c于點(diǎn)。，交。。于點(diǎn)￡連接BE和BF,NF=NABE.

(1)求證：BF是。。的切線；(2)若AC=5,AB=13,求CO的長(zhǎng).【分析】(1)由圓周角定理得出/4CB=NAEB=90°,進(jìn)而得出NF+NFBE=90°,由ZF=ZABE,得出NA8E+N尸BE=90°,即NABF=90°,即可證明BF是OO的切線；(2)連接OE交8c于點(diǎn)G,由NAC8=NAE8=90°,AC=5,AB=\3,得出BC=12,0B=0A=0E=y-'由圓周角定理得出諦=標(biāo)，進(jìn)而得出OE垂直平分BC,即可求出BG=±BC=6,OG是△ABC的中位線，得出og卷AC=1-求出EG=4,由NC4E=NCBE,得出tanNC4O=tanN￡BG,得出型即可求出,口=^2ACBG 3【解答】(1)證明：如圖1,圖1是直徑，.../ACB=N4EB=90°,.,.ZF+ZFBE=90",NF=NABE,NABE+N尸8E=90°,即/AB尸=90°,：.AB±BF,「AB是。。的直徑，二8尸是。。的切線；(2)解：如圖2,連接OE交BC于點(diǎn)G,4cB=NAEB=90°,AC=5,AB=13,:-BC=VaB2-AC2=V132-52=12,OB=OA=OE=^-'尸平分NBAC,:.NCAE=NBAE,ACT=BE.垂直平分BC,；?BG=yBC=6，0G是的中位線，i5???OG或AC-1，13R：.EG=OE-OG=3~-?=4,2 2■:/CAE=/CBE,tanNCAD=tanZEBG,...出出，即里工ACBG56???CD岑o15.如圖，在△ABC中，4。平分NBAC交BC于點(diǎn)O,以AO為直徑作。。交AC于點(diǎn)尸,點(diǎn)B恰好落在。。上，過(guò)。點(diǎn)作。。的切線交AC于點(diǎn)E,連接。尺(1)求證：NFDE=NCDE；(2)若AB=12,tan/C=S,求線段OE的長(zhǎng).4【分析】（1）由切線的性質(zhì)及圓周角定理得出NAOF+NFOE=90°,ZADB+ZCDE=90°,證明△用。絲△BAO,得出NAO尸=NA￡>8,即可證明NFCE=NCDE；（2）由解直角三角形得出BC=16,由勾股定理得出AC=20,由全等三角形的性質(zhì)得出AF=AB=\2,進(jìn)而得出CF=8,由解直角三角形得出DF=6,進(jìn)而得出BD=DF=6,由勾股定理得出AO=6遙，證明由相似三角形的性質(zhì)得出4E=15,再利用勾股定理即可求出DE=3遍.【解答】（1）證明：是。。的切線，4。為直徑，：.AD±DE,：.NADF+NFDE=90°,NADB+NCDE=9Q°,'.'AD是直徑，：.ZAFD=ZABD=90°平分NBAC,NFAD=NBA。，在△熱。和△BAO中，"ZAFD=ZABD-NFAD=/BAD，,AD=AD：./\FAD^ABAD(AAS),:.ZADF=NADB,:.NFDE=NCDE；(2)解：在RtZXABC中，AB=\2,lan/C=S,4：.BC=—=孕=16,tan/C34"-AC=zyj^2+￡>C2=yJ122+162=20,'：AFAD^ABAD,：.AF=AB=12,：.CF=AC-AF=20-12=8,在RtZkCQF中，DF=CF*tanZC=8X2-=6,4：.BD=DF=6,?'</'d=VaB2+BD2=V122+62=6炳,：N4B￡)=NA￡)E=90°,NEAD=NDAB,:.△EADs^DAB,.AE^AD叩A(chǔ)E二嶇*'AD=AB'6^/5=12'；.AE=15,D￡=VaE2-AD2=V152-(6V5)2=3^5-16.如圖，以△ABC的一邊AB為直徑作。。，交BC于點(diǎn)。，交AC于點(diǎn)E,點(diǎn)D為BE的中占(1)試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若直線/切OO于點(diǎn)。，與4c及4B的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)尸、點(diǎn)G.NB4C=45°,求見(jiàn)的值.DG【分析】（1）連接AO,由AB為。0的直徑可得出AO_L8C,由點(diǎn)。為弧BE的中點(diǎn)利用圓周角定理可得出/BAO=ND4C,利用等角的余角相等可得出N4BD=/ACQ,進(jìn)而可證出△ABC為等腰三角形；（2）連接0Z）,則OO_LGF,由。4=00可得出/OD4=NBAO=ND4C,利用''內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出ODHAC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得出毀=&&、ZGODDF0A=/84C=45°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出GO=?DO=?BO,進(jìn)而可得ipGD_G0_A0—''DF-A0-AO" ?【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下:連接A。，如圖1所示.為。。的直徑，：.AD±BC..?點(diǎn)。為弧的中點(diǎn)，二俞=征，：.ZBAD=ZDAC,：.NABD=ZACD,...△ABC為等腰三角形.(2)連接OD,如圖2所示..?直線/是。。的切線，點(diǎn)。是切點(diǎn),：.OD±GF.,：OA=OD,：.ZODA=ZBAD=ZDAC,：.OD//AC,.00=00,NGOO=NBAC=45°,DF0A...△GOO為等腰直角三角形，:.GO=?DO=?BO,GD_GO_A0V2_"WAOAO'.DF_V2?? ?DG217.如圖，在RtZXABC中，ZB=90°,NBAC的平分線AO交BC于點(diǎn)。，點(diǎn)E在AC上,以AE為直徑的0O經(jīng)過(guò)點(diǎn)D.求證：(1)BC是。。的切線：(2)CD^^CE'CA.【分析】(1)連接0。，ffiDO//AB,得出NOZ)B=90°即可得出結(jié)論;(2)連接OE,證△CCEs/XCAO,根據(jù)線段比例關(guān)系即可得出結(jié)論.【解答】證明：(1)連接OD,?.NO是NB4c的平分線,：.ZDAB=ZDAO,?：OD=OA,；.NDAO=NODA,：.ZDAO=ZADO,J.DO//AB,而NB=90°,：.ZODB=90°,：O。是。。的半徑，；.BC是。。的切線；(2)連接OE,Y8C是OO的切線，；.NCDE=NDAC,ZC=ZC,:.ACDEsACAD,.CDCECACD:.cN=ce*ca.18.如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)C,。在。。上，且弧。。=弧(:8,過(guò)點(diǎn)C作CE〃8L>,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC交8。于F.(1)求證：CE是。。的切線；(2)過(guò)點(diǎn)C作CH_LAE于〃點(diǎn)，CH交BD于M,若CA=CE=6,求C”和BF的長(zhǎng).【分析】(1)連接OC,由垂徑定理的推論得出OCLBD,由CE〃BD,得出OC_LCE,即可證明CE是。。的切線：(2)連接OC,BC,由等腰三角形的性質(zhì)得出NCAB=N￡,由圓周角定理得出NBOC=2NE,由。CJ_CE,得出NBOC+NE=90°,求出NE=30°,進(jìn)而求出CH=3,EH=3/§,由等腰三角形的性質(zhì)得出NCAB=30°,4￡=673，由圓周角定理得出NACB=90°,由解直角三角形求出A8=4百，由CE//BD,得出更望?，代入計(jì)算即可求CEAE出8尸=4,得出答案.【解答】(1)證明：如圖1,連接OC,圖1?弧C￡)=弧C8,OC是半徑,:.OCA.BD,

：.OCA-CE,,：oc是半徑，，CE是。0的切線；(2)解：如圖2,連接OC,BC,：CA=CE=6,?.NC4B=NE,：ZBOC=2ZBAC,,.NBOC=2NE,：：CA=CE=6,?.NC4B=NE,：ZBOC=2ZBAC,,.NBOC=2NE,：OC1CE,ZBOC+ZE=90°,,.2ZE+ZE=90o,?.ZE=30°,：CHLAE,?.CH=1CE=2X6=3,

?.CH=1CE=2X6=3,

2 2EH=VcE2-CH2=V62-32=3百,：CA=CE=6,CHLAE,,?ZCAB=ZE=30°,AE=2EH=6?,：AB為直徑，.ZACB=90",.cosNG4B=螞，AB'.AB=—與—=——L_j_=-^-=4百cosZCABcos304~2~：CE//BD,.巫M,即BF二4停'CE"AE'6~65/3\BF=4,.CH的長(zhǎng)為3,M的長(zhǎng)為4.19.如圖，。。上有A,B,C三點(diǎn)，AC是直徑，點(diǎn)O是金的中點(diǎn)，連接CO交AB于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在A8延長(zhǎng)線上且FC=FE.(1)若乙4=40°,求NOC8的度數(shù)；(2)求證：CF是。。的切線；【分析】(1)由圓周角定理得出NABC=90°,由N4=40°,得出/4CB=50°,由點(diǎn)。是窟的中點(diǎn)，即可求出NOCB=1nACB=25°；2(2)由圓周角定理得出NBCZ)+/CEF=90°,由點(diǎn)D是定的中點(diǎn)，得出NOCB=/DCA,由等腰三角形的性質(zhì)得出NFCE=NFEC,進(jìn)而得出/AC尸=90°,即可證明C尸是。。的切線；(3)由解直角三角形得出現(xiàn)=g，設(shè)BC=4x,則C尸=5x,BF=5x-6,由勾股定理得CF5出方程(4x)2+(5x-6)2=(5x)2,解方程求出x=3,得出BC=12,CF=\5,BF=9,再證明△CFBsZ\afc,利用相似三角形的性質(zhì)求出AC=2Q,即可求出。0的半徑長(zhǎng)為10.【解答】(1)解：???AC是直徑，：.ZABC=90°,VZA=40°,?\ZACB=90°-ZA=90°-40°=50°,,點(diǎn)。是窟的中點(diǎn)，ZDCfi=ZDCA=—ZACB=—X50°=25°；2 2(2)證明：：AC是直徑，；.NABC=90°,.,.ZBCD+ZCEF=90°,???點(diǎn)。是窟的中點(diǎn)，:.NDCB=NDCA,,:FC=FE,:?/FCE=/FEC,：?NDCA+NFCE=90Q,即NACF=90°,AAC1CF,?.AC是直徑，??。/是。0的切線；(3)解：在RtZ\C8F中，sinNF=四，CF,sinNF=￡，BE=6,bBC一4??"—,CF5.?.設(shè)BC=4x,則C尸=5x,BF=5x-6,VBC2+BF2=CF2,(4x)2+(5x-6)2=(5x)2,解得：x=3或旦(不符合題意，舍去)，4：.BC=129CF=15,BF=9,VZCBF=ZACF=90°,NCFB=NAFC,.?.△CFB^AAFC,?BCBFnn129ACCFAC15；.AC=20,/.OA=Aac=—X20=10,2 2的半徑長(zhǎng)為10.20.已知：如圖，AB、AC是。。的兩條弦，AB=AC,點(diǎn)M、N分別在弦A8、AC上，且AM=CN,AM<AN,聯(lián)結(jié)OM、ON.(1)求證：OM=ON；(2)當(dāng)N84c為銳角時(shí)，如果求證：四邊形AMON為等腰梯形.X【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作0EL4B于點(diǎn)E,OELAC于點(diǎn)尸，利用圓心角，弦，弧，弦心距之間的關(guān)系定理可得OE=OF,AE=CF=^-AB,利用等式的性質(zhì)可得EM=FN,再2利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）連接08,利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到NAOM=NB,利用同圓的半徑線段，等腰三角形的性質(zhì)和角平分線性質(zhì)定理的逆定理得到N4OM=NOAC,則得0M〃0N,利用等腰梯形的定義即可得出結(jié)論.【解答】證明：（1）過(guò)點(diǎn)。作OEL4B于點(diǎn)E,。尸，4c于點(diǎn)凡如圖，,:AM=CN,：.AE-AM=FC-CN,即：EM=FN.在△OEM和△OFN中，'EM=FN<ZME0=ZNF0=90°?OE=OF：./\OEMmAOFN(SAS).：.OM=ON；(2)連接OB,如圖，'."AO^^AM-AC,AC=AB,：.AO2=AM /C~F /C~F【分析】（1）連接OE,利用圓的切線的性質(zhì)定理，平行線的判定與性質(zhì)，同圓的半徑相等和等腰三角形的判定定理解答即可；（2）連接BE,利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，直角三角形的邊角關(guān)系定理和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可.?OAAB'OA,:.NAOM=NB.?：OA=OB,：?NOAB=NB,：.ZOAB=ZAOM,：.OM=A