人教版導(dǎo)與練總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)一輪教師用書：第十章第5節(jié)　條件概率與全概率公式

第5節(jié)條件概率與全概率公式課程標準要求L了解條件概率的含義，了解條件概率與獨立性的關(guān)系.?田徼材夯實四基2.?田徼材夯實四基必備知識?課前回顧給知識梳理1.條件概率(1)條件概率的概念一般地,設(shè)A,B為兩個隨機事件,且P(A)>0,我們稱P(B|A)鎧1為在事件A發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的條件概率,簡稱條件概率.(2)條件概率的公式①P(B|A)上^;n⑷②P(B|A)=翳,P(AB)表示事件A與B積事件的概率.(3)條件概率的性質(zhì)設(shè)P(A)>0,則①0WP(B|A)W1,P(Q|A)=1;②如果B和C是兩個互斥事件,則P(BUC|A)=P(B果)+P(C|A);③設(shè)萬和B互為對立事件,則P(萬|A)=1-P(B|A);④概率的乘法公式:對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).2.全概率公式一般地，設(shè)Al,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件,AlUAzU…!JAn=Q,且nP(Ai)>0,i=l,2,…,n,則對任意的事件BGQ,有P(B)=￡P(guān)(A)P(B|Aj.i=l我們稱其為全概率公式.■釋疑全概率公式是按照某種標準，將一個復(fù)雜事件表示為幾個互斥事件的并事件,再由概率的加法公式和乘法公式求得這個復(fù)雜事件的概率.工重要結(jié)論當A,B相互獨立時,P(B|A)=P(B).一二對點自測三一.袋中裝有標號為1,2,3的三個小球,從中任取一個，記下它的號碼，放回袋中，這樣連續(xù)做三次.若抽到各球的機會均等,事件A為“三次抽到的號碼之和為6”,事件B為“三次抽到的號碼都是2"，則P(B|A)等于(A)TOC\o"1-5"\h\z12 17A.-B.-C.-D.—7 7 6 27解析:因為P(A)=警,P(AB)q,所以P(B|A)4黑4故選A.30 3° r\A) 7.(選擇性必修第三冊P50例5(1)改編)甲、乙、丙三個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別是總量的25%,35%,40%,次品率分別為5%,4%,2%.從這批產(chǎn)品之中任取一件，則它是次品的概率為(C)A.0.0123B.0.0234C.0.0345D.0.0456解析:本題為簡單的全概率公式的應(yīng)用，從這批產(chǎn)品之中任取一件,則它是次品的概率為0.25X0.05+0.35X0.04+0.4X0.02=0.0345.故選C..100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取兩次,每次抽1件，已知第一次抽到的是次品，則第二次抽到正品的概率為(B)A.-B.-C.-D.-99 99 75 75解析:設(shè)“第一次抽到次品”為事件A,“第二次抽到正品”為事件B,則P(A)=—,P(AB)=三義三，所以P(B|A) 故選B.100 100 99 P(A)99.兩臺機床加工同樣的零件,它們出現(xiàn)廢品的概率分別為0.03和0.02,加工出的零件放在一起.設(shè)第一臺機床加工的零件比第二臺的多一倍,則任取一個零件是合格品的概率為.解析:第一臺機床加工的零件比第二臺的多一倍,那么第一臺機床加工的零件所占的比例是|,第二臺機床加工的零件占右則任取一件為不合格品的概率為|XO.O3+|XO.02嗅故為合格品的概率為273I—7575答案卷5.投擲紅、藍兩枚質(zhì)地均勻的骰子,設(shè)事件A為“藍色骰子的點數(shù)為5或6”，事件B為“兩骰子的點數(shù)之和大于8”，則已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的概率P(A|B)=.解析:設(shè)x為擲紅骰子得的點數(shù),y為擲藍骰子得的點數(shù),則所有可能的事件與(X,y)建立一一對應(yīng)的關(guān)系，則共有36種基本事件,事件A“藍色骰子的點數(shù)為5或6”，有以下基本事件：(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5),(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6),共12個；

事件B“兩骰子的點數(shù)之和大于8”，有以下基本事件:(3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共10個,36故P(A)=音,P(B)嘿P(AB)囁所以P0B)呼垓得36答案舄悟考點一簡單的條件概率關(guān)鍵能力?關(guān)鍵能力?課堂突破美學(xué)、涔支怎實四翼.甲、乙、丙、丁4名同學(xué)報名參加假期社區(qū)服務(wù)活動，社區(qū)服務(wù)活動共有關(guān)懷老人、環(huán)境監(jiān)測、教育咨詢、交通宣傳四個項目，每人限報其中一項,記事件A為“4名同學(xué)所報項目各不相同”，事件B為“只有甲同學(xué)一人報關(guān)懷老人項目”，則P(A|B)等于(C)A.-B.-C.-D.-4 4 9 9解析：由已知有P(B)去急,P(AB)=半溪,所以P(AIB)=需三.故選C..已知一批產(chǎn)品共有10件,其中有3件次品,現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件,則在第一次抽到次品的情況下,第二次抽到次品的概率為.解析:法一設(shè)“第一次抽到次品”為事件A,“第二次抽到次品”為事件B,貝P(A)=,P(AB)=與=工,所以P(B|A) X^=-.10 A?n15 P(A)15 39法二(基本事件法)抽取2件,第一次抽到次品的基本事件數(shù)為n(A)=CKJ=27,第一次抽到次品,第二次也抽到次品的基本事件數(shù)為n(AB)=CK；=6,故所求概率P(B|A)=鬻寸-1.法三(縮樣法)第一次抽到次品后,還剩9件產(chǎn)品，其中還有2件次品,由古典概型的概率公式得,第二次抽到次品的概率為P(B|A)=|.答案3.某廠的產(chǎn)品中有4%的廢品，在100件合格品中有75件一等品，則在該廠的產(chǎn)品中，任取一件是一等品的概率為.解析:設(shè)事件A為“任取一件是合格品”，事件B為“任取一件是一等品”，則P(A)=l-PU)=0.96.P(B|A)=0.75,所以P(B)=P(AB)=P(A)?P(B|A)=0.96X0.75=0.72.答案：0.72入題后悟通

條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=今黑,求P(B|A)基本事借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=陪n(A)件法縮樣法縮小樣本空間的方法,就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況,用古典概型求解,它能化繁為簡感考點二利用條件概率的性質(zhì)求概率CUD在某次考試中，從20道題中隨機抽取6道題，若考生至少能答對其中的4道題即可通過；若至少能答對其中5道題就獲得優(yōu)秀.已知某考生能答對其中10道題,并且知道該考生在這次考試中已經(jīng)通過,求該考生獲得優(yōu)秀的概率.解:設(shè)事件A為“該考生6道題全答對”，事件B為“該考生答對了其中5道題，另1道答錯”，事件C為“該考生答對了其中4道題，另2道答錯”，事件D為“該考生在這次考試中通過”，事件E為“該考生在這次考試中獲得優(yōu)秀”，則A,B,C兩兩互斥,且D=AUBUC,由古典概型的概率公式及加法公式可知P(D)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)=單+￡1^1邛吁。一二產(chǎn)。20 。20 C20 。2()因為P(AD)=P(AGD)=P(A),P(BD)=P(BGD)=P(B),所以P(E|D)=P((AUB)|D)=P(A|D)+P(B|D)TOC\o"1-5"\h\z6 0501JoJoJo_P(A),P(B)_ct0,eg。_13/-O f'OL20 L20所以該考生獲得優(yōu)秀的概率是推58解題策略利用條件概率的性質(zhì)求概率的解題策略(1)分析條件,選擇公式:首先看事件B,C是否互斥,若互斥,則選擇公式P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A).(2)分解計算,代入求值:為了求比較復(fù)雜事件的概率,一般先把它分解成兩個(或若干個)互斥的較簡單的事件之和,求出這些簡單事件的概率,再利用加法公式即得所求的復(fù)雜事件的概率.［針對訓(xùn)練］某考生在一次考試中,共有10道題可供選擇，已知該考生能答對其中6道題,隨機從中抽取5道題供該考生回答,至少答對3道題則及格，求該考生在第一題答錯的情況下及格的概率.解:設(shè)事件A為“從10道題中依次抽取5道題，第一題答錯”，事件B為“從10道題中依次抽取5道題,至少有3道題答對”.n(A)=C洌,n(AB)=Cj(&*+C怨),［Hllp/Rln(4B)C；g+C雞)25幾⑷ 戲髭42，所以該考生在第一題答錯的情況下及格的概率為42啜考點三全概率公式的應(yīng)用CM)現(xiàn)有編號為I,H,III的三個口袋,其中I號袋內(nèi)裝有兩個1號球,一個2號球與一個3號球；II號袋內(nèi)裝有兩個1號球與一個3號球;m號袋內(nèi)裝有三個1號球與兩個2號球.現(xiàn)在先從I號袋內(nèi)隨機地取

一個球,放入編號與球上號數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球,計算第二次取到幾號球的概率最大,為什么？解:記事件A”Bi分別表示第一次、第二次取到i號球,i=l,2,3,依題意Ai,A2,A3兩兩互斥,其和為Q,并且P(Ai) P(A2)=P(A3)TOC\o"1-5"\h\z4 4p(b1|a1)4p(Bi|a2)4p(Bi|a3)44 4 6P(B2IAi)P(Bl?IA2)=P(B2IA3)44 4 6P(B3IAi)=->P(B3IA2)七,P(B3IA3)4 4 6應(yīng)用全概率公式，有類似可以求出P(a)類似可以求出P(a)琮,P(B3)埸.故第二次取到1號球的概率最大.［典例遷移］(變結(jié)論)在本例中，若第二次取到1號球，問它取自哪一個口袋的概率最大？解:依題設(shè)知,第二次的球取自口袋的編號與第一次取的球上的號數(shù)相同，則P（Ai）P（BilA[）_2P（Ai）P（BilA[）_2P（B1） 42 1X[X2《P（AHX?2三,P（A31B,）=P（A3）P（BilA3）_lP（B1） 43 1X-X2=-.6 4故在第二次取到1號球的條件下，它取自編號為I的口袋的概率最大.解題策略全概率公式的意義事件A的發(fā)生有各種可能的原因Bi(i=l,…,n).如果A是由原因B,引起,則A發(fā)生的概率為P(ABi)=P(BjP(A|Bi),每一個原因都可能導(dǎo)致A發(fā)生,故A發(fā)生的概率是全部原因引起A發(fā)生的概率的總和，即為全概率公式.一備選例題CWD銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機上取錢時,忘記了密碼的最后1位數(shù)字.求：(1)任意按最后1位數(shù)字,不超過2次就按對的概率；(2)如果記得密碼的最后1位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率.解：(1)設(shè)事件Ai為“第i次按對密碼"(i=l,2),則事件A“不超過2次就按對密碼”可表示為人=川04A%事件A與事件彳位2互斥，由互斥事件的概率加法公式和乘法公式，得P(A)=P(A.)+P04*)=P(A,)+P⑷)P(A214)**P汽因此，任意按最后1位數(shù)字,不超過2次就按對的概率為:(2)設(shè)事件B為“密碼的最后1位是偶數(shù)”，則由條件概率的性質(zhì)可得P(A|B)=P(A.|B)+P(4A?|B)鑰X昔.因此,如果記得密碼的最后1位是偶數(shù),不超過2次就按對的概率為|.CW31號箱中有2個白球和4個紅球,2號箱中有5個白球和3個紅球,現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一個球放入2號箱,然后從2號箱隨機取出一個球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？

解:記事件A=“最后從2號箱中取出的是紅球”，事件8=“從1號箱中取出的是紅球”.貝P(B)=土=|,P⑧=1-P(B)(1)P(A|B)就胃.⑵因為P(A國)《廣：,所以8+13P(A)=P(AB)+P(AF)=P(A|B)P(B)+P(A|B)P(B)=-X-+-X”.TOC\o"1-5"\h\z9 33 327;里口葉偉山, 靈活》居由數(shù)提偏回選題明細表知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練條件概率1,3,610,12全概率公式的應(yīng)用2,4,5,7,89,11,1314A級基礎(chǔ)鞏固練TOC\o"1-5"\h\z.從1,2,3,4,5,6中任取2個不同的數(shù)字,事件A="取到的兩個數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件8="取到的兩個數(shù)字均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于112 1A.- B.- C.- D.-3 4 5 2解析:p(A)=等4,P(AB)=券；,由條件概率,得P(BIA)=翳4+汽.故選D..播種用的一等小麥種子中混有2%的二等種子，L5%的三等種子，1%的四等種子.用一、二、三、四等種子長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,則這批種子所結(jié)的穗含50顆以上麥粒的概率為(D)A.0.8A.0.8B.0.8325C.0.5325D.0.4825解析:設(shè)從這批種子中任選一顆是一、二、三、四等種子的事件分別是AbA2,A3,A.b則它們構(gòu)成樣本空間的一個劃分.設(shè)事件B="從這批種子中任選一顆,所結(jié)的穗含50顆以上麥?！?，則4P(B)=ZP(Ai)P(B|&)=95.5%X0.5+2%X0.15+1.5%X0.1+1%X0.05=i=l0.4825.故選D.3.一盒中裝有5個產(chǎn)品,其中有3個一等品,2個二等品，從中不放回地取出產(chǎn)品，每次1個,取兩次，已知第二次取得一等品的條件下,第一次取得的是二等品的概率是(A)TOC\o"1-5"\h\zA.-B.- C.- D.-2 3 4 3解析:法一設(shè)事件A="第一次取得二等品"，事件B="第二次取得一等品"，則AB=”第一次取得二等品且第二次取得一等品”，所以2X3P(A|B)專黑，房故選A.r\d) Z5X4法二設(shè)一等品為a,b,c,二等品為A,B,事件BB第二次取得一等品”所含基本事件有(a,b),(a,c),(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),共12個，其中第一次取得二等品的基本事件共有6個,所以所求概率為P=^4.故選A..設(shè)有一批同規(guī)格的產(chǎn)品，由甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn),其中甲廠生產(chǎn)i乙、丙兩廠各生產(chǎn);而且各廠的次品率依次為2%,2%,4%,現(xiàn)從中任取一件，則取到次品的概率為(A)0.0250.0250.080.070.125解析:設(shè)事件A1,A2,A3分別表示“取到甲、乙、丙工廠的產(chǎn)品”，事件B表示“取到次品”，貝ijP(A)=0.5,P(A2)=P(A3)=0.25,P(B|A()=0.02,P(B|A2)=0.02,P(B|A3)=0.04,所以P(B)=P(A)P(B|A)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(B|A3)=0.5X0.02+0.25X0.02+0.25X0.04=0.025.故選A..甲小組有2個男生和4個女生，乙小組有5個男生和3個女生,現(xiàn)隨機從甲小組中抽出1人加入乙小組，然后從乙小組中隨機抽出1人,則從乙小組中抽出女生的概率是.解析:根據(jù)題意,記事件A尸“從甲小組中抽出的1人為男生”，事件Az=”從甲小組中抽出的1人為女生“，事件8="從乙小組中抽出的1人為女生”，則P(Ai)],P(A2)=|,所以P(B)=P(A,)P(B|A,)+P(A2)p(b|a2)=1X|+|X言答案噌.盒子中裝有形狀、大小完全相同的五張卡片,分別標有數(shù)字1,2,3,4,5.現(xiàn)每次從中任意抽取一張,取出后不再放回，若抽取三次,則在前兩張卡片所標數(shù)字之和為偶數(shù)的條件下，第三張為奇數(shù)的概率為一.解析:設(shè)“前兩張卡片所標數(shù)字之和為偶數(shù)”為事件A,“第三張為奇數(shù)”為事件B,則所求概率為P(B|A)上黑?警喘=；.n(A)A§A：+AgA：2答案w.某地有甲、乙兩家超市，在某一周內(nèi)某人去超市購物兩次，第1次購物時隨機地選擇一家超市購物.若第1次去甲超市,則第2次去甲超市的概率為0.4;若第1次去乙超市，則第2次去甲超市的概率為0.6,則此人第2次去甲超市購物的概率為.解析:設(shè)事件A尸“第1次去甲超市購物”，事件&="第1次去乙超市購物”，事件Az="第2次去甲超市購物”，則Q=AiUBi,且Ai與Bi互斥，得P(A1)=P(BJ=O.5,P(A21Ai)=0.4,P(A2|B1)=0.6,由全概率公式得P應(yīng))=P(A,)P(A2|A.)+P(BOP(A2|Bi)=0.5X0.4+0.5X0.6=0.5,所以此人第2次去甲超市購物的概率為0.5.答案：0.5.若某工廠有兩個車間生產(chǎn)同型號家用電器，第一車間的次品率為0.15,第二車間的次品率為0.12,兩個車間的成品都混合堆放在一個倉庫，假設(shè)第一車間、第二車間生產(chǎn)的成品比例為2：3,今有一客戶從成品倉庫中隨機提出一臺成品，求該產(chǎn)品合格的概率.解:設(shè)事件B=｛從倉庫中隨機提出的一臺成品是合格品｝，事件Al｛提出的一臺成品是第i車間生產(chǎn)的｝,1=1,2,則有B=A,BUA2B,由題意知P(A,)=0.4,P(A2)=0.6,P(B|A,)=0.85,P(B|A2)=0.88,由全概率公式得P(B)=P(A.)P(B|A)+P(A2)P(BIA2)=0.4X0.85+0.6X0.88=0.868,所以該產(chǎn)品合格的概率為0.868.B級綜合運用練9.設(shè)某醫(yī)院倉庫中有10盒同樣規(guī)格的X光片，已知其中有5盒,3盒,2盒依次是甲廠，乙廠，丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙三廠生產(chǎn)該種X光片的次品率依次為亮白,白現(xiàn)從這10盒中任取一1盒,再從這盒中任101520取一張X光片，則取得的X光片是次品的概率為(A)A.0.08B.0.1C.0.15D.0.2解析：以事件"A%A3分別表示“取得的這盒X光片是由甲廠、乙廠、丙廠生產(chǎn)的”，事件B表示“取得的X光片為次品”，P(Ai)=V，P(AJ=V，P(AD*P(B|A)三,P(B|A2)=^~,P(B|A3)=^~,10 15 ZU則由全概率公式，得所求概率為P(B)=P(A1)P(B|A)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(B|A3)磊X—X—X—=0.08.故選A.101015102010.(2021?廣東廣州模擬)甲、乙二人爭奪一場圍棋比賽的冠軍,若比賽為“三局兩勝”制(無平局)，甲在每局比賽中獲勝的概率均為|,且每局比賽結(jié)果相互獨立，則在甲獲得冠軍的條件下，比賽進行了三局的概率為(B)解析:設(shè)事件A表示“甲獲得冠軍”，事件B表示“冠軍產(chǎn)生時恰好進行了三局比賽”，則A包括“第一局甲獲勝、第二局甲獲勝”“第一局甲獲勝、第二局乙獲勝、第三局甲獲勝”“第一局乙獲勝、第二局甲獲勝、第三局甲獲勝"，則P(A)=|X捐xgx'+gx'x號，事件AB包括“第一局甲獲勝、第二局乙獲勝、第三局甲獲勝”“第一局乙獲勝、第二局甲獲勝、第三局甲獲勝"，則P(AB)qx[x|+qx-X^=—,3 327P(BIA)-軟選-|.故選B.27IL(2021?河北衡水月考)世界衛(wèi)生組織就新型冠狀病毒感染的肺炎疫情稱新型冠狀病毒可能造成“持續(xù)人傳人”.通俗點說就是A傳B,B傳C,C又傳D等,這就是，持續(xù)人傳人”,而A,B,C分別被稱為第一代、第二代、第三代傳播者.假設(shè)一個身體健康的人被第一代、第二代、第三代傳播者感染的概率分別為0.95,0.9,0.85,某人身體健康,參加了一次多人宴會,事后知道，參加宴會的人有5名第一代傳播者,3名第二代傳播者,2名第三代傳播者,若此人參加宴會,僅和感染的10人中的一人接觸,則被感染的概率為.解析:設(shè)事件A,B,C分別表示“此人和第一代、第二代、第三代傳播者接觸”，事件D表示“此人被感染”，則由題意得P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(C)=0.2,P(D|A)=0.95,P(D|B)=0.9,P(D|C)=0.85,則P(D)=P(D|A)P(A)+P(D|B)P(B)+P(D|C)P(C)=0.95X0.5+0.9X0.3+0.85X0.2=0.915.答案:0.915.現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽,其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目,如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，求:(