數(shù)學奧林匹克初中訓練題

課外訓

數(shù)學初中訓練題選擇題(7,42分

(B)3

31.設ab是實數(shù)且1+ .則1+b等于 )b- 1+±(A)1± 1+±

1+

6.abc,a≠0,ax2+bx+cx軸交于AB,y軸交于點C,且拋物線的頂點在直線y=-上.若ABC三點構(gòu)成一個直角三角形,則Rt△ABC的面積的最大值是( ).23

(B) (D3 填空題(7,28分± 適合于(y-2)x2+yx+2=0的非負整數(shù)對(x,y)的個數(shù)是( ). 1凸五邊

x,y|x-1|+|-2|-|x-3|的最小值 ab,方程x2+ax+b= xx,x3+x3 x2.則有序的二元數(shù)組(a,b)共 個1OABCD是AE=ED,ECAD三等分.則此五邊形33的面積是 ) 圖33

= a+ 若b+ c+ a+b+2若 如圖3,△EFG內(nèi)接于正方形ABCD,EFG

ab

(D)

33 334.若關于x的不等式|x+a|≥|x- 若EB=2,則BC的解中包含“x≥a”,則實數(shù)a的取值范 圖是 )a≥-a≥-1a=-a≥1a=-a≥2a=-5.2ABCMAB的中,N是邊AC上的

點P,直線APBP、CP分別交對邊于Q1Q2Q3,∠PQ1C=∠PQ2=∠PQ3B.試問點,且AN=2,CM 點P是否必BN相交于點K.則△ABC的面積等于

△ABC?如,請證明;,請舉反例說明二、(25分pk是正整數(shù)求證:x2+px+kp-1=0至少有一個整數(shù)根的充分必要條件是k=1.三、(25分是否存在這樣的正整數(shù)n

aa≥1a=-3n27n-1n3+n2+n1?說明理由

(C)AK,S△AKC=AM=S△B 第一 于是,SAKC= S 1+a=x,1+b=y,b-a=y-x由題設易得y2-3xy+x2

又 =2 △B SABK2.2-3y+1=x

S△ABC=S△ABK+S△BKC+S△AKC=y=35,即1+b=35

(A)y=ax2+bx+cyC(0c)c≠0 (B)

1+

xA(x1,0)B(x20)且x1<0<x2.yx2+x)-2x2-1)0,(x+1)[yx-2(x-1)]=x≥0,故有yx=2x-1.顯然x≠0

c2=(-x1)x2=-x1x2(射影定理逆定理),x1+x2=-bx1x2=cx0y

2(x-x

=2-2x

c2=-a

,c=-1ax12,即只有兩組解x=1,y=0x=2,y=(D)

4ac-又41

=-14a4+b2,a≥15,EFGH⊥AD,FG,H在圓周上.記EF=h,0<h

SABC=2|c|·|x2-x1(x1(x1+x2)2-4x12a2+<1,則FH=a2+a由AF=FD及相 =2 = aAF=FD h(2-h)FG2-2h,S五邊形ABCDE=S矩形ABCD+S=(4-3 h(2-h)由題設知PQ=1AD=1BC.由PQ∥BC

a1b0c=-1時等號成立.,Rt△ABC的最大面積是1..-將|x-1|,|x-2|,|x-3|Rx123,R4,,x=1,y=|x-1|+|x-2|-|x-3|-EF=3

EF=2=53

FG,2h=2-2h.,h

2.x1+x2=-ax1x2=b再(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2 (C),原不等式等價于x+a2≥x-32,x(a+3)≥(a+3)3-a2a=-3,x取任意實數(shù),a=-3

=(x1+x2)2-2x1x2=x1+x2 -a(a2-3b)=a2-2b=-a0ba≠0a2-3b1a2-2b+a0.a≥1+b=-1(1+b2-3b-1=0bb-1a≥1求a>-3x3-a,

-

b0b≥ ≥≤a<-3x3-a,無解≤2

a=0或b=

a=-1或b=

a=-2b=1且與之相對應的兩根 ∠AQ1Bx1=0或x2=

x1=0或x2=

x1=1x2=

=αα=由等比定理 b+ c+

a+ b+2c+

k1x1=1,x2=p-a+c.所以,b=c,a b=a+b.從而 必要性a+b2 2bb+ a3 x2+px+kp-10x1 a 1+

x1+x2=-p,x1x2=kp- 即2+a-2=即b

x2也是整數(shù)根k1.(x1+1)(x2+211. =x

+(

+x)+1=(k-1)p 1 4.5397EK⊥FGKFGAK

pk-10p|x11),p|x21p|x11),x1+1=±m(xù)p x2+1 k-1 ±k-mKB.由∠EKG=∠k-m=

m,mk-EKGBEKF分別四點共圓.所以 圖

由③+④得x1+x2+2=±m(xù)p 故△ABK是等邊三角形KM⊥ABMAB中點.不妨設AB=6

k-m-p+2=±m(xù)p+ k-mEB=3

AB=2,MB=3,ME=1,MK=6sin

(m+1)p

k-m

=337ME2+EK7ME2+

EG sin

=4213

(m-1)p+2+k-1=m°EG2EG2-B

=1033

kBG=53

注:,也可從判別式是一個整數(shù)的AQ1C∠AQ2B∠BQ3C.下面證明α=90°,即點PABC的垂心.顯然PQCQ,PQAQ,PQBQ

用反證法n,使得(3n27n-1|n3+n2+n+1),(3n2+7n-1)|[(n3+n2+n+1)+(3n2+7n-1)1

=n(n2+4n+8)n3n27n-1,如圖8,Q1Q2.C