數(shù)值分析-期末1.課件第4章

證明參考復(fù)旦《數(shù)值逼近》五、最佳一致逼近/*BestUniformApproximation*/

設(shè)給定函數(shù) ，則對，存在一多項式，使得對所有一致成立。Bernstein給出了一種構(gòu)造性證明.Bernstein多項式：注：

Bernstein多項式具有良好的一致逼近性質(zhì)；如果要求精度很高，Bernstein多項式次數(shù)會很高，即它的收斂速度很慢；Chebyshev方法：在所有次數(shù)不超過固定次數(shù)n的多項式中尋找一個最精確地逼近函數(shù)的多項式。故稱之為最佳一致逼近（最佳一致逼近的定義）和的偏差設(shè)函數(shù) ，集合如果存在，滿足其中則稱為的n次最佳一致逼近多項式，簡稱n次最佳逼近多項式。稱為的n次最佳逼近或最小偏差幾何意義（Chebyshev交錯點組/*Groupof

AlternatingPoints*/）假設(shè)，若存在n個點：滿足

且則稱為在上的Chebyshev

交錯點組。（Chebyshev定理）

設(shè)函數(shù)，則是的最佳一致逼近多項式的充要條件是：在區(qū)間上存在一個至少有n+2個點組成的交錯點組。Chebyshev定理給出了最佳一致逼近多項式滿足的性質(zhì)僅證充分性，必要性見文獻(xiàn)[3]證明：設(shè)在區(qū)間上存在交錯點組：則如果不是最佳一致逼近多項式，則存在不妨假設(shè)由零點定理同理可知：在點上交錯變號在區(qū)間上至少存在n+1個根而（存在唯一性）

設(shè)函數(shù)，則在中，有唯一的最佳一致逼近多項式。證明：僅證唯一性，存在性見文獻(xiàn)[7]設(shè)在中存在兩個不同的最佳一致逼近多項式：和令也是的一個最佳一致逼近多項式由Chebyshev定理在區(qū)間上存在交錯點組：不妨假設(shè)同理可證因此，不超過n次的多項式有n+2個根時類似可證唯一性成立（最佳一致逼近多項式的一種求法）設(shè)在上有n+2階導(dǎo)數(shù)，在上不變號，是的最佳一致逼近多項式，則：的端點屬于的交錯點組。證明：設(shè)或不屬于的交錯點組反證法則在內(nèi)至少有n+1個交錯點組：滿足反復(fù)利用Rolle定理:矛盾！例1：求函數(shù)在上的一次最佳一致逼近多項式。解：設(shè)所求的一次最佳一致逼近多項式為：由Th3.10知，和設(shè)的交錯點組為：由交錯點組的性質(zhì)得到相應(yīng)的方程組為解之得一次最佳一致逼近多項式為：最佳一致逼近多項式求解過程總結(jié)設(shè)在中所求的最佳一致逼近多項式為：的n+2個交錯點組為：則有n+2個方程，2n+4個未知數(shù)當(dāng)交錯點在區(qū)間內(nèi)部時滿足求最佳一致逼近多項式最終歸結(jié)為求解非線性方程組性質(zhì)4（最佳逼近性質(zhì)）在區(qū)間[-1,1]上，n次首1的Chebyshev多項式是零函數(shù)的最佳一致逼近證明：反證法如果存在滿足：則函數(shù)在點集上的函數(shù)值符號交錯多項式至少有n個零點矛盾！證明見性質(zhì)4六、Chebyshev近似最佳逼近求法以Chebyshev多項式的零點為節(jié)點構(gòu)造L—插值：引例：取n+1次Chebyshev多項式的n+1個零點為插值節(jié)點，則其中由引例知：以Chebyshev零點為節(jié)點構(gòu)造的Lagrange插值余項具有下列性質(zhì)：性質(zhì)說明了以Chebyshev零點為節(jié)點構(gòu)造的Lagrange插值多項式可以作為最佳一致逼近多項式的近似插值余項具有最小上界例2：求函數(shù)在上的三次近似最佳一致逼近多項式。解：首先作區(qū)間轉(zhuǎn)換本題中n=3，按照上述公式計算出相應(yīng)節(jié)點計算節(jié)點值：三次近似最佳一致逼近多項式為：利用Chebyshev多項式縮短冪級數(shù)方法（不再詳述）構(gòu)造Lagrange插值殘量七、離散的最佳逼近問題問題的提法：已知在的函數(shù)表是區(qū)間上的一個線性無關(guān)函數(shù)系尋求函數(shù)使得在一定意義下達(dá)到最小。m=n且時即為插值問題習(xí)題三（6）