相似三角形常用輔助線課件

相似三角形中的輔助線淮北市開渠中學王毅.相似三角形中的輔助線淮北市開渠中學王1相似三角形中的輔助線在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關的計算找到等量關系。主要的輔助線有以下幾種：.相似三角形中的輔助線.2例題：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中點,連結BE并延長交AC于F,一、作平行線.例題：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，求：BE：EF的值.3DABCEFn2kk解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，P?yyny.DABCEFn2kk解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P4DABCEFn解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pn2kkyy4y?y∴BE：EF=5：1.則∴PE=EFBP=2PF=4EF，所以BE=5EF.DABCEFn解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pn5DABCEFnn2k解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，ykQ?y2y.DABCEFnn2k解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q6DABCEFnn解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Q2kk?y2y5yy∴BE：EF=5：1.∴.DABCEFnn解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Q7DABCEF2k解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnk?k.DABCEF2k解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，S8DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn?y5yy2kk.DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn9DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，T?k?k.DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T10DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Ty?y5y∵BD=2DC，∴∴BE：EF=5：1..DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T11練習：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，BD：DC=2：1，求AF：CF的值.DABCEFE是AD的中點,連結BE并延長交AC于F,.練習：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，求AF：CF的值.D12DABCEF解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pnn2x2x2kk3xAF：CF=2：3..DABCEF解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pnn13DABCEF解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Qnn2x2x2kkxAF：CF=2：3..DABCEF解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Qnn14DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnh2h4hy5y4yAF：CF=2：3..DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn15DABCEF解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Tnnhh4h5y6y4yAF：CF=2：3..DABCEF解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Tnn16作平行線例1.如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使AD＝AE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：

證明：過點C作CG//FD交AB于G小結：本題關鍵在于AD＝AE這個條件怎樣使用。由這道題還可以增加一種證明線段相等的方法：相似、成比例。.作平行線例1.如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使17例2.如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點F，證明：AB·DF=AC·EF。

分析：證明等積式問題常?；癁楸壤?，再通過相似三角形對應邊成比例來證明。不相似，因而要通過兩組三角形相似，運用中間比代換得到，為構造相似三角形，需添加平行線。

.例2.如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取18方法一：過E作EM//AB，交BC于點M，則△EMC∽△ABC（兩角對應相等，兩三角形相似）。.方法一：過E作EM//AB，交BC于點M，則△EMC∽△AB19

..20方法二：如圖，過D作DN//EC交BC于N.方法二：如圖，過D作DN//EC交BC于N.21

..221、在△ABC中，D為AC上的一點，E為CB延長線上的一點，BE=AD，DE交AB于F。求證：EF×BC=AC×DF.1、在△ABC中，D為AC上的一點，E為CB延長線上的一點，231、證明：過D作DG∥BC交AB于G，則△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴

①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴∴由①②得，∴EF×BC＝AC×DF①

②.1、證明：∵BE＝AD,∴①由DG∥BC可得△ADG和△A241、已知點D是BC的中點，過D點的直線交AC于E,交BA的延長線于F,求證：EFBCAD利用比例式夠造平行線，通過中間比得結論構造平行線利用中點”倍長中線”的思想平移線段EC,使得所得四條線段分別構成兩個三角形.1、已知點D是BC的中點，過D點的直線交ACEFBCAD利用25已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求證：BC2=2AC·CDABCD本題的重點在于如何解決“2”倍的問題；讓它歸屬一條線段，找到這一線段2倍是哪一線段。.已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求證：BC26已知：從直角三角形ABC的直角頂點A向斜邊BC引垂線，垂足為D，邊AC的中點為E,直線ED與邊AB的延長線交于F，求證：AB:AC=DF:AFFEABCD利用前兩題的思想方法，借助中點構造中位線，利用平行與2倍關系的結論，證明所得結論找到后以比例式所在三角形與哪個三角形相似.已知：從直角三角形ABC的直角頂點A向斜邊BC引垂線，垂足271、如圖，△ABC中，AD是BC邊上中線，E是AC上一點，連接ED且交AB的延長線于F點.求證：AE：EC=AF：BFACBFDE注意觀察圖形的特殊性，有些像全等中，旋轉的基本圖形，因此可以沒有相互關系的成比例的四條線段轉化為成比例的四條線段（通過全等找相等的線段）關鍵是要把成比例線段放在兩個三角形中練習.1、如圖，△ABC中，AD是BC邊上中線，E是AC上一點，連282、如圖，平行四邊形ABCD中，E為AB邊中點，點F在AD邊上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求的值.GEDABCF.2、如圖，平行四邊形ABCD中，E為AB邊中點，點F在AD邊29構造線段相等轉化比例式1、在?ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB,延長BP交AC于E，交CF于F,求證：BP2=PE·PFPEABCFD在同一直線上的三條線段成比例，可以通過中間比轉化，也可以通過線段相等，把共線的線段轉化為兩個三角形中的線段，通過相似證明。另外在證明等積式時要先轉化為比例式觀察相似關系，有利于證明.構造線段相等轉化比例式1、在?ABC中，AB=AC,AD是中301、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O點，BA、CD的延長線交于E點，連結EO并延長分別交AD、BC于N、M求證：BM=CMjADBCEMNO證線段相等的又一方法.1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O點，B311、如圖，AD是∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，求證：ED2=EB·ECFABCED練習.1、如圖，AD是∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，求322、如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC(AB>AE),求證：?AEF∽?ECFECDBAF.2、如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥EC交AB332、已知，在?ABC中，若AB=BC,∠B=90o,AD為BC邊的中線，過B作直線BP⊥AD于P交AC于E，求證：AE=2EC;∠AEB=∠CED.DABCE.2、已知，在?ABC中，若AB=BC,∠B=90o,AD為B34二、作垂線3.如圖從ABCD頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：.二、作垂線3.如圖從ABCD頂點C向AB和AD的延長35證明：過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥AC于N∴

∽∴∴（1）∽∴

∴

（2）

又

∴AN=CM

又（1）+（2）∴.證明：過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥AC于N∽∴362、中，，AC=BC，P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中點），MN過Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求證：.2、中，，AC=BC，P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中372、證明：過P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，則CEPF為矩形∴PFEC∵

∴∽∴

∵EC=PF∴

（1）在和中：CP⊥MN于Q∴

又∵∴∴∽∴即由（1）（2）得（2）.2、證明：EC∵∴∽∴∵EC=P38三、作延長線例5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。分析：因為問題涉及四邊形AHCD，所以可構造相似三角形。把問題轉化為相似三角形的面積比而加以解決。

.三、作延長線例5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠39解：延長BA、CD交于點P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC.解：延長BA、CD交于點P.40例6.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的中點，AE的延長線交BC于F，FGAB于G，求證：FG=CFBF.例6.如圖，RtABC中，CD為斜邊AB上的高，E為CD的41解析：欲證式即由“三點定形”，ΔBFG與ΔCFG會相似嗎？顯然不可能。（因為ΔBFG為RtΔ），但由E為CD的中點，∴可設法構造一個與ΔBFG相似的三角形來求解。不妨延長GF與AC的延長線交于H則又ED=EC∴FG=FH又易證RtΔCFH∽RtΔGFB

∴FG·FH=CF·BF

∵FG=FH∴FG2=CF·BF.解析：欲證式即由“三點定形”，42四、作中線例7如圖，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在AC邊上，若BD=DC=EC=1，求AC。.四、作中線例7如圖，中，AB⊥AC，AE⊥BC于E，D在A43解：取BC的中點M，連AM∵AB⊥AC∴AM=CM∴∠1=∠C又BD=DC

∴

∴∽

∴

又DC=1MC=BC∴（1）又∽

又∵EC=1∴

由（1）（2）得，∴

（2）∴小結：利用等腰三角形有公共底角，則這兩個三角形相似，取BC中點M，構造與相似是解題關鍵.解：取BC的中點M，連AM∴∴∽443、理由？（用三種解法）.3、理由？（用三種解法）.45方法一：如圖（1），設BC中點為E，連接AE。.方法一：如圖（1），設BC中點為E，連接AE。.46

方法二：如圖（2），在DA上截取DE=DC在△BED與△BCD中，.方法二：如圖（2），在DA上截取DE=DC在△BED與47

方法三：如圖（3），過B作BE⊥BC于B，交CA的延長線于E。

.方法三：如圖（3），過B作BE⊥BC于B，交CA的延長線于48回頭一看，我想說…我有哪些收獲呢？與大家共分享！.回頭一看，我想說…我有哪些收獲呢？.49再見.再見.50..51..52..53..54..55..56..57相似三角形中的輔助線淮北市開渠中學王毅.相似三角形中的輔助線淮北市開渠中學王58相似三角形中的輔助線在添加輔助線時，所添加的輔助線往往能夠構造出一組或多組相似三角形，或得到成比例的線段或得出等角，等邊，從而為證明三角形相似或進行相關的計算找到等量關系。主要的輔助線有以下幾種：.相似三角形中的輔助線.59例題：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，BD：DC=2：1，求：BE：EF的值.DABCEFE是AD的中點,連結BE并延長交AC于F,一、作平行線.例題：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，求：BE：EF的值.60DABCEFn2kk解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，P?yyny.DABCEFn2kk解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P61DABCEFn解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pn2kkyy4y?y∴BE：EF=5：1.則∴PE=EFBP=2PF=4EF，所以BE=5EF.DABCEFn解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pn62DABCEFnn2k解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，ykQ?y2y.DABCEFnn2k解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q63DABCEFnn解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Q2kk?y2y5yy∴BE：EF=5：1.∴.DABCEFnn解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Q64DABCEF2k解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnk?k.DABCEF2k解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，S65DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn?y5yy2kk.DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn66DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，T?k?k.DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T67DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Ty?y5y∵BD=2DC，∴∴BE：EF=5：1..DABCEFnn2k解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T68練習：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，BD：DC=2：1，求AF：CF的值.DABCEFE是AD的中點,連結BE并延長交AC于F,.練習：如圖，D是△ABC的BC邊上的點，求AF：CF的值.D69DABCEF解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pnn2x2x2kk3xAF：CF=2：3..DABCEF解法1：過點D作CA的平行線交BF于點P，Pnn70DABCEF解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Qnn2x2x2kkxAF：CF=2：3..DABCEF解法2：過點D作BF的平行線交AC于點Q，Qnn71DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snnh2h4hy5y4yAF：CF=2：3..DABCEF解法3：過點E作BC的平行線交AC于點S，Snn72DABCEF解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Tnnhh4h5y6y4yAF：CF=2：3..DABCEF解法4：過點E作AC的平行線交BC于點T，Tnn73作平行線例1.如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使AD＝AE，DE延長線與BC延長線相交于F，求證：

證明：過點C作CG//FD交AB于G小結：本題關鍵在于AD＝AE這個條件怎樣使用。由這道題還可以增加一種證明線段相等的方法：相似、成比例。.作平行線例1.如圖，的AB邊和AC邊上各取一點D和E，且使74例2.如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取BD=CE，DE，BC的延長線相交于點F，證明：AB·DF=AC·EF。

分析：證明等積式問題常常化為比例式，再通過相似三角形對應邊成比例來證明。不相似，因而要通過兩組三角形相似，運用中間比代換得到，為構造相似三角形，需添加平行線。

.例2.如圖，△ABC中，AB<AC，在AB、AC上分別截取75方法一：過E作EM//AB，交BC于點M，則△EMC∽△ABC（兩角對應相等，兩三角形相似）。.方法一：過E作EM//AB，交BC于點M，則△EMC∽△AB76

..77方法二：如圖，過D作DN//EC交BC于N.方法二：如圖，過D作DN//EC交BC于N.78

..791、在△ABC中，D為AC上的一點，E為CB延長線上的一點，BE=AD，DE交AB于F。求證：EF×BC=AC×DF.1、在△ABC中，D為AC上的一點，E為CB延長線上的一點，801、證明：過D作DG∥BC交AB于G，則△DFG和△EFB相似，∴∵BE＝AD,∴

①由DG∥BC可得△ADG和△ACB相似，∴∴由①②得，∴EF×BC＝AC×DF①

②.1、證明：∵BE＝AD,∴①由DG∥BC可得△ADG和△A811、已知點D是BC的中點，過D點的直線交AC于E,交BA的延長線于F,求證：EFBCAD利用比例式夠造平行線，通過中間比得結論構造平行線利用中點”倍長中線”的思想平移線段EC,使得所得四條線段分別構成兩個三角形.1、已知點D是BC的中點，過D點的直線交ACEFBCAD利用82已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求證：BC2=2AC·CDABCD本題的重點在于如何解決“2”倍的問題；讓它歸屬一條線段，找到這一線段2倍是哪一線段。.已知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，BD是高，求證：BC83已知：從直角三角形ABC的直角頂點A向斜邊BC引垂線，垂足為D，邊AC的中點為E,直線ED與邊AB的延長線交于F，求證：AB:AC=DF:AFFEABCD利用前兩題的思想方法，借助中點構造中位線，利用平行與2倍關系的結論，證明所得結論找到后以比例式所在三角形與哪個三角形相似.已知：從直角三角形ABC的直角頂點A向斜邊BC引垂線，垂足841、如圖，△ABC中，AD是BC邊上中線，E是AC上一點，連接ED且交AB的延長線于F點.求證：AE：EC=AF：BFACBFDE注意觀察圖形的特殊性，有些像全等中，旋轉的基本圖形，因此可以沒有相互關系的成比例的四條線段轉化為成比例的四條線段（通過全等找相等的線段）關鍵是要把成比例線段放在兩個三角形中練習.1、如圖，△ABC中，AD是BC邊上中線，E是AC上一點，連852、如圖，平行四邊形ABCD中，E為AB邊中點，點F在AD邊上，且AF：FD=1：2，EF交AC于G，求的值.GEDABCF.2、如圖，平行四邊形ABCD中，E為AB邊中點，點F在AD邊86構造線段相等轉化比例式1、在?ABC中，AB=AC,AD是中線，P是AD上一點，過C作CF∥AB,延長BP交AC于E，交CF于F,求證：BP2=PE·PFPEABCFD在同一直線上的三條線段成比例，可以通過中間比轉化，也可以通過線段相等，把共線的線段轉化為兩個三角形中的線段，通過相似證明。另外在證明等積式時要先轉化為比例式觀察相似關系，有利于證明.構造線段相等轉化比例式1、在?ABC中，AB=AC,AD是中871、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O點，BA、CD的延長線交于E點，連結EO并延長分別交AD、BC于N、M求證：BM=CMjADBCEMNO證線段相等的又一方法.1、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O點，B881、如圖，AD是∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，求證：ED2=EB·ECFABCED練習.1、如圖，AD是∠BAC的平分線，EF是AD的垂直平分線，求892、如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥EC交AB于F，連接FC(AB>AE),求證：?AEF∽?ECFECDBAF.2、如圖，在矩形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥EC交AB902、已知，在?ABC中，若AB=BC,∠B=90o,AD為BC邊的中線，過B作直線BP⊥AD于P交AC于E，求證：AE=2EC;∠AEB=∠CED.DABCE.2、已知，在?ABC中，若AB=BC,∠B=90o,AD為B91二、作垂線3.如圖從ABCD頂點C向AB和AD的延長線引垂線CE和CF，垂足分別為E、F，求證：.二、作垂線3.如圖從ABCD頂點C向AB和AD的延長92證明：過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥AC于N∴

∽∴∴（1）∽∴

∴

（2）

又

∴AN=CM

又（1）+（2）∴.證明：過B作BM⊥AC于M，過D作DN⊥AC于N∽∴932、中，，AC=BC，P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中點），MN過Q且MN⊥CP，交AC、BC于M、N，求證：.2、中，，AC=BC，P是AB上一點，Q是PC上一點（不是中942、證明：過P作PE⊥AC于E，PF⊥CB于F，則CEPF為矩形∴PFEC∵

∴∽∴

∵EC=PF∴

（1）在和中：CP⊥MN于Q∴

又∵∴∴∽∴即由（1）（2）得（2）.2、證明：EC∵∴∽∴∵EC=P95三、作延長線例5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，若∠BCD的平分線CH⊥AB于點H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。分析：因為問題涉及四邊形AHCD，所以可構造相似三角形。把問題轉化為相似三角形的面積比而加以解決。

.三、作延長線例5.如圖，在梯形ABCD中，A