彈性力學(xué)第二章平面問題的基本理論課件

平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題：設(shè)有很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力或約束，同時體力也平行于板面且不沿厚度變化。xyzh平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題：設(shè)有很薄的等厚度板，只在平面應(yīng)變

問題平面應(yīng)變問題：設(shè)有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力或約束，同時體力也平行于橫截面且不沿長度變化。xyz平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題：設(shè)有很長的柱形體，它的橫物理方程這里，E為彈性模量，G為剪切模量，μ泊松系數(shù)，且有如下關(guān)系：物理方程這里，E為彈性模量，G為剪切模量，μ泊松系數(shù)，平面應(yīng)力問題的物理方程注：平面應(yīng)力狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應(yīng)變不為零。平面應(yīng)力問題的物理方程注：平面應(yīng)力狀態(tài)中，垂直于平面方向上的平面應(yīng)變問題的物理方程注：平面應(yīng)變狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應(yīng)力不為零。平面應(yīng)變問題的物理方程注：平面應(yīng)變狀態(tài)中，垂直于平面方向上的平衡微分方程(1)oxyc平衡微分方程(1)oxyc平衡微分方程(2)X方向力平衡：c平衡微分方程(2)X方向力平衡：c再證剪應(yīng)力互等對c點力矩平衡：c再證剪應(yīng)力互等對c點力矩平衡：c幾何方程PABP’A’B’oxy幾何方程PABP’A’B’oxy剛體位移Poxy剛體位移Poxy平面問題小結(jié)平面問題的基本方程：三個物理方程三個幾何方程兩個平衡方程平面問題中的未知函數(shù)：三個應(yīng)力分量三個應(yīng)變分量兩個位移分量平面問題小結(jié)平面問題的基本方程：三個物理方程平面問平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)PABoxyx方向力平衡：y方向力平衡：求得：同理：平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)PABoxyx方向力平衡：y方向力平主應(yīng)力及其方向PABoxy在應(yīng)力主面上，全應(yīng)力等于主應(yīng)力，因此：主應(yīng)力及其方向PABoxy在應(yīng)力主面上，全應(yīng)力等最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力莫爾圓推導(dǎo)應(yīng)力狀態(tài)公式2ατσO.Mohr,德國人，1835-1918。莫爾圓推導(dǎo)應(yīng)力狀態(tài)公式2ατσO.Mohr,德國人，18邊界條件位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：混合條件：在位移約束面上：在應(yīng)力約束面上：位移約束與應(yīng)力約束的組合。設(shè)面法線與x軸正向夾角的余玄為l，與y軸正向夾角的余玄為m。邊界條件位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：混合條件：在位移約邊界條件舉例xyxyqp邊界條件舉例xyxyqp圣維南原理及其應(yīng)用圣維南（AdhémarJeanClaudeBarrédeSaint-Venant，1797～1886）原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，但是遠處所受的影響可以忽略不計。FFFFF/2FF/2F/AFF/AF/AF圣維南原理及其應(yīng)用圣維南（AdhémarJeanClau圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處發(fā)生顯著的應(yīng)力，而遠處可以不計。圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個圣維南原理應(yīng)用xyh/2h/2嚴格邊界條件運用圣維南原理的邊界條件ll圣維南原理應(yīng)用xyh/2h/2嚴格邊界條件運用圣用位移法與應(yīng)力法求解平面問題位移法：以位移為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和應(yīng)力分量。應(yīng)力法：以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和位移分量。注：課堂上只推導(dǎo)平面應(yīng)力問題的求解方法，至于平面應(yīng)變問題，只需要在推導(dǎo)結(jié)果上稍作改變，即將結(jié)果中：換為換為用位移法與應(yīng)力法求解平面問題位移法：以位移為基本未知函數(shù)，從按位移求解平面應(yīng)力問題(1)

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用應(yīng)變表達應(yīng)力（物理方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(1)

—用應(yīng)變表達應(yīng)力（物理方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(2)

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用位移表達應(yīng)變（幾何方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(2)

—用位移表達應(yīng)變（幾何方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(3)

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平衡方程按位移求解平面應(yīng)力問題(3)

—平衡方程按位移求解平面應(yīng)力問題(4)

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邊界條件按位移求解平面應(yīng)力問題(4)

—邊界條件按位移求解平面應(yīng)力問題(5)

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小結(jié)按位移求解平面問題需要：1.位移分量滿足微分方程：2.邊界條件：按位移求解平面應(yīng)力問題(5)

—小結(jié)按位移求解平面問題需要按位移求解平面問題(5)

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舉例y=hρgxy按位移求解平面問題(5)

—舉例y=hρgxy按位移求解平面問題(6)

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舉例y=hρgxy按位移求解平面問題(6)

—舉例y=hρgxy按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(1)

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用位移表達應(yīng)變（幾何方程）形變協(xié)調(diào)方程或相容方程連續(xù)體的形變分量不是相互獨立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證真實的位移分量存在。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(1)

—用位移表達應(yīng)變（幾何方程）按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(2)

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相容方程的運用設(shè)有應(yīng)變分量：顯然其不滿足協(xié)調(diào)方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(2)

—相容方程的運用設(shè)有應(yīng)變分量按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(3)

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用應(yīng)力表達應(yīng)變（物理方程）用應(yīng)力表達應(yīng)變并代入形變協(xié)調(diào)方程：得到：按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(3)

—用應(yīng)力表達應(yīng)變（物理方程）按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(4)

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平衡方程代入下式消去剪應(yīng)力：得到：按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(4)

—平衡方程代入下式消去剪應(yīng)力按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(5)

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小結(jié)按應(yīng)力求解平面問題需要：3.應(yīng)力分量滿足邊界條件和或位移單值條件：2.應(yīng)力分量滿足形變協(xié)調(diào)方程：1.應(yīng)力分量滿足平衡微分方程：按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(5)

—小結(jié)按應(yīng)力求解平面問題需要按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(6)

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例題y=hρgxy按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(6)

—例題y=hρgxy常體力情況下的簡化（1）

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應(yīng)力調(diào)和方程常體力拉普拉斯（Laplace，Pierre-Simon，1749～1827）方程，即調(diào)和方程。當(dāng)體力為常量時，在單連體的應(yīng)力邊界問題中，如果兩個彈性體的邊界形狀以及受力分布相同，那么它們平面內(nèi)的應(yīng)力分布相同。常體力情況下的簡化（1）

—應(yīng)力調(diào)和方程常體力拉普拉斯（L常體力情況下的簡化（2）

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求解平衡方程平衡方程應(yīng)力調(diào)和方程所求的應(yīng)力函數(shù)必須滿足以下方程：其中式的解為式的通解加上式的特解：常體力情況下的簡化（2）

—求解平衡方程平衡方程應(yīng)力調(diào)和方常體力情況下的簡化（3）

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平衡方程的特解特解一：特解二：特解三：常體力情況下的簡化（3）

—平衡方程的特解特解一：特解二：常體力情況下的簡化（4）

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平衡方程的通解因此，由中第一式：由中第二式：剪應(yīng)力相等：則有：最后得到：艾里GeorgeAiry(1801-1892)應(yīng)力函數(shù)常體力情況下的簡化（4）

—平衡方程的通解因此，由常體力情況下的簡化（5）

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平衡方程的解通解特解常體力情況下的簡化（5）

—平衡方程的解通解特解常體力情況下的簡化（6）

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艾里應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程應(yīng)力調(diào)和方程代入得到：簡寫為：常體力情況下的簡化（6）

—艾里應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程應(yīng)力平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題：設(shè)有很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面且不沿厚度變化的面力或約束，同時體力也平行于板面且不沿厚度變化。xyzh平面應(yīng)力問題平面應(yīng)力問題：設(shè)有很薄的等厚度板，只在平面應(yīng)變

問題平面應(yīng)變問題：設(shè)有很長的柱形體，它的橫截面不沿長度變化，在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力或約束，同時體力也平行于橫截面且不沿長度變化。xyz平面應(yīng)變問題平面應(yīng)變問題：設(shè)有很長的柱形體，它的橫物理方程這里，E為彈性模量，G為剪切模量，μ泊松系數(shù)，且有如下關(guān)系：物理方程這里，E為彈性模量，G為剪切模量，μ泊松系數(shù)，平面應(yīng)力問題的物理方程注：平面應(yīng)力狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應(yīng)變不為零。平面應(yīng)力問題的物理方程注：平面應(yīng)力狀態(tài)中，垂直于平面方向上的平面應(yīng)變問題的物理方程注：平面應(yīng)變狀態(tài)中，垂直于平面方向上的正應(yīng)力不為零。平面應(yīng)變問題的物理方程注：平面應(yīng)變狀態(tài)中，垂直于平面方向上的平衡微分方程(1)oxyc平衡微分方程(1)oxyc平衡微分方程(2)X方向力平衡：c平衡微分方程(2)X方向力平衡：c再證剪應(yīng)力互等對c點力矩平衡：c再證剪應(yīng)力互等對c點力矩平衡：c幾何方程PABP’A’B’oxy幾何方程PABP’A’B’oxy剛體位移Poxy剛體位移Poxy平面問題小結(jié)平面問題的基本方程：三個物理方程三個幾何方程兩個平衡方程平面問題中的未知函數(shù)：三個應(yīng)力分量三個應(yīng)變分量兩個位移分量平面問題小結(jié)平面問題的基本方程：三個物理方程平面問平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)PABoxyx方向力平衡：y方向力平衡：求得：同理：平面問題中一點的應(yīng)力狀態(tài)PABoxyx方向力平衡：y方向力平主應(yīng)力及其方向PABoxy在應(yīng)力主面上，全應(yīng)力等于主應(yīng)力，因此：主應(yīng)力及其方向PABoxy在應(yīng)力主面上，全應(yīng)力等最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力最大正應(yīng)力與最大剪應(yīng)力莫爾圓推導(dǎo)應(yīng)力狀態(tài)公式2ατσO.Mohr,德國人，1835-1918。莫爾圓推導(dǎo)應(yīng)力狀態(tài)公式2ατσO.Mohr,德國人，18邊界條件位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：混合條件：在位移約束面上：在應(yīng)力約束面上：位移約束與應(yīng)力約束的組合。設(shè)面法線與x軸正向夾角的余玄為l，與y軸正向夾角的余玄為m。邊界條件位移邊界條件：應(yīng)力邊界條件：混合條件：在位移約邊界條件舉例xyxyqp邊界條件舉例xyxyqp圣維南原理及其應(yīng)用圣維南（AdhémarJeanClaudeBarrédeSaint-Venant，1797～1886）原理：如果把物體的一小部分邊界上的面力，變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對于同一點的主矩也相同），那么近處的應(yīng)力分布將有顯著改變，但是遠處所受的影響可以忽略不計。FFFFF/2FF/2F/AFF/AF/AF圣維南原理及其應(yīng)用圣維南（AdhémarJeanClau圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個面力就只會使近處發(fā)生顯著的應(yīng)力，而遠處可以不計。圣維南原理推廣如果物體一小部分邊界上的面力是一個圣維南原理應(yīng)用xyh/2h/2嚴格邊界條件運用圣維南原理的邊界條件ll圣維南原理應(yīng)用xyh/2h/2嚴格邊界條件運用圣用位移法與應(yīng)力法求解平面問題位移法：以位移為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去應(yīng)力分量和形變分量，導(dǎo)出只含位移分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和應(yīng)力分量。應(yīng)力法：以應(yīng)力分量為基本未知函數(shù)，從方程和邊界條件中消去位移分量和形變分量，導(dǎo)出只含應(yīng)力分量的方程和相應(yīng)的邊界條件，并由此解出位移分量，然后再求出形變分量和位移分量。注：課堂上只推導(dǎo)平面應(yīng)力問題的求解方法，至于平面應(yīng)變問題，只需要在推導(dǎo)結(jié)果上稍作改變，即將結(jié)果中：換為換為用位移法與應(yīng)力法求解平面問題位移法：以位移為基本未知函數(shù)，從按位移求解平面應(yīng)力問題(1)

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用應(yīng)變表達應(yīng)力（物理方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(1)

—用應(yīng)變表達應(yīng)力（物理方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(2)

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用位移表達應(yīng)變（幾何方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(2)

—用位移表達應(yīng)變（幾何方程）按位移求解平面應(yīng)力問題(3)

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平衡方程按位移求解平面應(yīng)力問題(3)

—平衡方程按位移求解平面應(yīng)力問題(4)

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邊界條件按位移求解平面應(yīng)力問題(4)

—邊界條件按位移求解平面應(yīng)力問題(5)

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小結(jié)按位移求解平面問題需要：1.位移分量滿足微分方程：2.邊界條件：按位移求解平面應(yīng)力問題(5)

—小結(jié)按位移求解平面問題需要按位移求解平面問題(5)

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舉例y=hρgxy按位移求解平面問題(5)

—舉例y=hρgxy按位移求解平面問題(6)

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舉例y=hρgxy按位移求解平面問題(6)

—舉例y=hρgxy按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(1)

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用位移表達應(yīng)變（幾何方程）形變協(xié)調(diào)方程或相容方程連續(xù)體的形變分量不是相互獨立的，它們之間必須滿足相容方程，才能保證真實的位移分量存在。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(1)

—用位移表達應(yīng)變（幾何方程）按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(2)

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相容方程的運用設(shè)有應(yīng)變分量：顯然其不滿足協(xié)調(diào)方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(2)

—相容方程的運用設(shè)有應(yīng)變分量按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(3)

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用應(yīng)力表達應(yīng)變（物理方程）用應(yīng)力表達應(yīng)變并代入形變協(xié)調(diào)方程：得到：按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(3)

—用應(yīng)力表達應(yīng)變（物理方程）按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(4)

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平衡方程代入下式消去剪應(yīng)力：得到：按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(4)

—平衡方程代入下式消去剪應(yīng)力按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(5)

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小結(jié)按應(yīng)力求解平面問題需要：3.應(yīng)力分量滿足邊界條件和或位移單值條件：2.應(yīng)力分量滿足形變協(xié)調(diào)方程：1.應(yīng)力分量滿足平衡微分方程：按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題(5)

—小結(jié)按應(yīng)力求解平面問題