2講數(shù)論問題能力進(jìn)階-數(shù)的整除進(jìn)階T

數(shù)論問題能力進(jìn)階——數(shù)的整除進(jìn)階數(shù)論問題能力進(jìn)階——數(shù)的整除進(jìn)階整除：①一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除；81258125整除；?3399③如果一個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差能被11整除，那么這個(gè)數(shù)能被11整除；④如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7，11或137，1113整除；⑤部分特殊數(shù)的分解：111＝3×37；1001＝7×11×13；11111＝41×271；10001＝73×137；10101＝3×7×13×37；經(jīng)典精講例11995＝3×5×7×19；1998＝2×3×3×3×37；2007＝3×3×223；2008＝2×2×2×251經(jīng)典精講例13ABABA6的倍數(shù)，這樣的六位數(shù)有多少個(gè)？解析：解析：這樣的六位數(shù)共20個(gè)，求解過程：若該六位數(shù)的倍數(shù)，1、該六位數(shù)是偶數(shù)該六位數(shù)可以3整除。該六位數(shù)是偶數(shù)，則A 只能為0,2,4,6,8中的數(shù)字。可以被3整除，則3+A+B+A+B+A=3+3A+2B，可以被3整除。由3+3A+2B可以被3整除可知，B必須能被3整除，則B只能為0,3,6,9。有排列組合可以，這樣的六位數(shù)有20個(gè)。或者1)當(dāng)A為0時(shí)，B可以取0,3,6,9；同理A還可以取2,4,6,8。則這樣的六位數(shù)有4*5=20個(gè)。拓展：六位數(shù)3ababa是15的倍數(shù),符合的六位數(shù)有幾個(gè)？15=315=3×51.a=0b是3的倍數(shù)，共有：4種2.a=51b是b是3的倍數(shù)，共4種所以共4+4=8種。2已知四位數(shù)abcd11bc為完全平方數(shù)，求此四位數(shù)。解析：四位數(shù)abcd的倍數(shù)解析：四位數(shù)abcd的倍數(shù)則a+c-(b+d)a+c-(b+d)=0或a+c-(b+d)=11,a+c-(b+d)=-11b+c=a，bc由于a是一位整數(shù)bc可能的情況bc=16,25,36,81.a由此d1,,1,2此四位數(shù)是7161,,9361,9812解析ABCDABCD是15的倍數(shù)，那么D只能是0、5中的一個(gè)。D=0時(shí)，A+D=A=B+C，A+B+C=2A是3的倍數(shù)，因此A的倍數(shù)。A=9、6、3，對(duì)應(yīng)B、C的組合有10、7、4，一共21種。D=541，對(duì)應(yīng)BC85、2種。因此一共有36個(gè)這樣的四位數(shù)。例例30，1，2，?，911解析：最大為9876524130,最大為9876524130,最小為1024375869.我們都知道，能被11整除的數(shù)的特征是：奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差是11的倍數(shù)。（包括0）設(shè)組成的數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和為x，偶數(shù)位上的數(shù)字之和為y。則，x+y=0+1+2+?+9=45x-y或y-x=0，11，22（最大絕對(duì)值不會(huì)超過22）由x+y=45是奇數(shù)，根據(jù)數(shù)的奇偶性可知x-y也是奇數(shù)，所以x-y=11或-11。解方程x+y=45或-11x=28或17，y=17或28。為排出最大的十位數(shù)，前幾位盡量選用9，8，7，6所以應(yīng)取x=28，y=17。這時(shí)，奇數(shù)位上另三位數(shù)字之和為：28-（9+7）=12偶數(shù)位上另三位數(shù)字之和為：17-（8+6）=39876524130。設(shè)所求最小數(shù)是102abcdefg根據(jù)被11整除的數(shù)的性質(zhì)，有：()-(1+2+b+d+f)×20∴39-(b+d+f)×20∵b、d、f只能從3、4、5、6、7、8、9中取值∴-9≤39-(b+d+f)×2≤15∴39-(b+d+f)×2=11或者0當(dāng)39-(b+d+f)×2=0時(shí)，無解。當(dāng)39-(b+d+f)×2=11時(shí)b+d+f=14可見，b、d、f的組合是3、4、7或者3、5、6①當(dāng)b、d、f的組合是3、4、7時(shí)，對(duì)應(yīng)的a、c、e、g的組合是5、6、8、9從此得出的最小數(shù)是1025364879②當(dāng)b、d、f的組合是3、5、6時(shí)，對(duì)應(yīng)的a、c、e、g的組合是4、7、8、9從此得出的最小數(shù)是1024375869③比較1024375869和10253648791024375869就是樓主要求的最小數(shù)。用1-9這九個(gè)數(shù)字能組成若干個(gè)被11整除的九位數(shù).在這些九位數(shù)中最大的和最小的兩個(gè)各是什么?111131.先求最大數(shù)寫下9876543211.先求最大數(shù)寫下987654321奇數(shù)位9，7，5，3，1；---和25---目標(biāo)28偶數(shù)位---8，6，4，。-----和20---目標(biāo)17因?yàn)?+2+...+9=45所以奇數(shù)位數(shù)字和≠偶數(shù)位數(shù)字和因此考慮它們的差是11的倍數(shù)在低位上調(diào)整，盡量保持高位9876不變奇數(shù)位9，7，5，3，4；---和28偶數(shù)---8，6，1，。 和17為什么1與4對(duì)換?奇數(shù)位上的數(shù)字和=9+7+5+4+3=28偶數(shù)位上的數(shù)字和=8+6+2+1=17所以能被11整除的最大數(shù)是9876524132.再求最小數(shù)寫下123456789奇數(shù)位上的數(shù)字和=1+3+5+7+9=25偶數(shù)位上的數(shù)字和=2+4+6+8=20在低位上調(diào)整，盡量保持高位1234不變奇數(shù)位上的數(shù)字和=1+3+7+8+9=28偶數(shù)位上的數(shù)字和=2+4+5+6=17所以能被11整除的最小數(shù)是123475869解析：1+3+4+5+7+8=28奇數(shù)位和偶數(shù)位的差是11的倍數(shù),可以是:13解析：1+3+4+5+7+8=28奇數(shù)位和偶數(shù)位的差是11的倍數(shù),可以是:414-14=019.5-8.5=11(14-14=019.5-8.5=11(不合題意要求)25-3=22(三個(gè)數(shù)字相加>=8,不可能是3)所以,只有奇數(shù)位和偶數(shù)位的差為0這一種情況:8+5+1-(7+4+3)=0最大的數(shù)是875413例例4能被11整除，且各位數(shù)字的和并小于1000的正整數(shù)( 個(gè)。解析：解析：9個(gè)。88、187、286、385、484、583、682、781、880因必是2位數(shù)到3位數(shù)。按照被被11整除的數(shù)字特征——奇數(shù)位的各數(shù)字之和與偶數(shù)位的各數(shù)字之和的差為11的0、1、2??倍。兩位數(shù)中，只能是0倍即奇數(shù)位=偶數(shù)位，奇數(shù)位+偶數(shù)位=16，有解88。9*2-0=18或。而數(shù)位差等于、和等于16是無解的，因數(shù)位差等于意味著奇數(shù)位和、偶數(shù)位和的性16矛盾。因此三位數(shù)，數(shù)位差為0，三個(gè)數(shù)字和為16，有187、286、385、484、583、682、781、880。拓展：拓展：在小于1000的自然數(shù)中，能被11整除，并且數(shù)字和為13的數(shù)有多少個(gè)可以整除11的數(shù)的特點(diǎn)是：奇數(shù)位的和與偶數(shù)位的和之差是11的倍數(shù)（包括0。所謂奇偶數(shù)位可以從數(shù)字的左邊或右邊數(shù)起題目要求數(shù)字和為題目要求數(shù)字和為13，是個(gè)奇數(shù)，那么差不可能是0。因?yàn)槿绻麨?數(shù)位和，不可能加出13。而題目又要求是1000一下的數(shù)字，故只能考慮三位數(shù)（兩位數(shù)11，22，...，99容易被排除）唯一的可能是，這些三位數(shù)的奇數(shù)位和減去偶數(shù)位和是11。但和是13。設(shè)百位和個(gè)位的和是x，十位是y，則x-y=11,x+y=13。算出百位和個(gè)位和是12，十位是1。容易知道只有唯一的可能是，這些三位數(shù)的奇數(shù)位和減去偶數(shù)位和是11。但和是13。設(shè)百位和個(gè)位的和是x，十位是y，則x-y=11,x+y=13。算出百位和個(gè)位和是12，十位是1。容易知道只有319,418,517,616，715,814,913這七個(gè)數(shù)滿足條件。答案：7答案：75例5例5在這2001個(gè)數(shù)中選出一些數(shù)使得取出的這些數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)的和都能26整除，這樣的數(shù)最多能選( )個(gè)。是26的倍數(shù)的一種情況，有76個(gè)數(shù)比26倍多13的是另一種情況，有77個(gè)數(shù)，所以填77個(gè)例例6七位數(shù)4 75xy中末兩位數(shù)是多少時(shí)它有兩個(gè)不同的七位數(shù)4 75xy能被99整除？測試題一個(gè)五位數(shù)2x3y6是72的倍數(shù)，且兩位數(shù)y6是9的倍數(shù)，則xy＝( A．46B．43C．50D．429y+69（99的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)就是9的倍數(shù)y只能等于。7298的倍數(shù)y692x392+x+39的倍數(shù)，可以x243368xy=43一個(gè)六位數(shù)568abc，能分別被3，4，5整除，這個(gè)六位數(shù)最小( )A．568020B．568000C．568060解析：解析：568020能被整除的尾數(shù)只能或5 能被4整除的尾數(shù)至少是偶數(shù)所以尾數(shù)0然后3568除3是余1所以就可以把他看成1ab0aa=0,b=1(不行）b=2(可以）用這七個(gè)正整數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字且能11整除的七位數(shù)則這樣的七位數(shù)中最大數(shù)最小數(shù)的差( 。6解析：最大7645231最小1235476A．7645231B．1235476C．解析：最大7645231最小1235476在小于5000的正整數(shù)中，能被11整除，且數(shù)字和為13的數(shù)，共( )個(gè)A．17B．18C．191=1×N(N為整數(shù)=12=1或奇數(shù)位數(shù)字和=1，偶數(shù)位數(shù)字和=12前種情況下，可能為3190，3091，4180，4081共4種可能，后種情況下，可能為1309，1408，1507，1606，1705，1804，1903；319，418，517，616，715，814，913共14種可能，所以共18個(gè)如果各位數(shù)字都是2的某個(gè)整數(shù)能被3333整除，那么這個(gè)整數(shù)至少( 位數(shù)A．6解析：被3整除需要有3的倍數(shù)個(gè)2，被解析：被3整除需要有3的倍數(shù)個(gè)2，被1111整除需要有4的倍數(shù)個(gè)23，4的最小公倍數(shù)12這個(gè)整數(shù)至少是12位數(shù)22222222222299樣的五位數(shù)是多少？A．12177B．48411C．12177D．12177或48411或52431前面三位數(shù)是個(gè)前面三位數(shù)是個(gè)完全平方數(shù)，那么設(shè)它為x^2，后面兩個(gè)都相同，設(shè)為10a+a=11a.這個(gè)數(shù)表示為A：A=100x^2+11a7此數(shù)可被99此數(shù)可被99整除，必然能被整除，11a已經(jīng)可被整除了，所以100x^2也能被也能被x^2=(11b)^2=121b^2A=100*121b^2+11a121b^2是個(gè)三位數(shù)，所以b只能是1和2。如果b=1,A=100*121+11a=1