2017年高考第二輪復(fù)習(xí)：(理數(shù))專題十七-隨機(jī)變量及其分布列

PAGEPAGE542017年高考第二輪復(fù)習(xí)（理數(shù)）專題十七隨機(jī)變量及其分布列1．(2014·課標(biāo)Ⅱ，5，易)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6.已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A．0.8B．0.75C．0.6D．0.451．A設(shè)“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”為事件A，“連續(xù)兩天為優(yōu)良”為事件AB，則已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為P(B|A)．由條件概率可知，P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(0.6,0.75)＝eq\f(4,5)＝0.8，故選A.2．(2015·湖南，18，12分，中)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎．每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個球．在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎．(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機(jī)會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X.求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．2．解：(1)記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個球是紅球}，A2＝{從乙箱中摸出的1個球是紅球}，B1＝{顧客抽獎1次獲一等獎}，B2＝{顧客抽獎1次獲二等獎}，C＝{顧客抽獎1次能獲獎}．由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A1eq\o(A,\s\up6(－))2與eq\o(A,\s\up6(－))1A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A1eq\o(A,\s\up6(－))2＋eq\o(A,\s\up6(－))1A2，C＝B1＋B2.因?yàn)镻(A1)＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)，P(A2)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2)，所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，P(B2)＝P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2＋eq\o(A,\s\up6(－))1A2)＝P(A1eq\o(A,\s\up6(－))2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1A2)＝P(A1)P(eq\o(A,\s\up6(－))2)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)P(A2)＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).故所求概率為P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝eq\f(1,5)＋eq\f(1,2)＝eq\f(7,10).(2)顧客抽獎3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為eq\f(1,5)，所以X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,5))).于是P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(3)＝eq\f(64,125)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)＝eq\f(48,125)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(1)＝eq\f(12,125)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,125).故X的分布列為X0123Peq\f(64,125)eq\f(48,125)eq\f(12,125)eq\f(1,125)X的數(shù)學(xué)期望為E(X)＝3×eq\f(1,5)＝eq\f(3,5).3．(2014·山東，18，12分，中)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分．如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊(duì)員接到落點(diǎn)在甲上的來球后向乙回球．規(guī)定：回球一次，落點(diǎn)在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分．對落點(diǎn)在A上的來球，隊(duì)員小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為eq\f(1,2)，在D上的概率為eq\f(1,3)；對落點(diǎn)在B上的來球，小明回球的落點(diǎn)在C上的概率為eq\f(1,5)，在D上的概率為eq\f(3,5).假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響．求：(1)小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有一次的落點(diǎn)在乙上的概率；(2)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．3．解：記Ai為事件“小明對落點(diǎn)在A上的來球回球的得分為i分”(i＝0，1，3)，則P(A3)＝eq\f(1,2)，P(A1)＝eq\f(1,3)，P(A0)＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)；記Bi為事件“小明對落點(diǎn)在B上的來球回球的得分為i分”(i＝0，1，3)，則P(B3)＝eq\f(1,5)，P(B1)＝eq\f(3,5)，P(B0)＝1－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)＝eq\f(1,5).(1)記D為事件“小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上”．由題意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(D)＝P(A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A1B0)＋P(A0B1)＋P(A0B3)＝P(A3)P(B0)＋P(A1)P(B0)＋P(A0)·P(B1)＋P(A0)P(B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(3,10)，所以小明兩次回球的落點(diǎn)中恰有1次的落點(diǎn)在乙上的概率為eq\f(3,10).(2)由題意，隨機(jī)變量ξ可能的取值為0，1，2，3，4，6，由事件的獨(dú)立性和互斥性，得P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,30)，P(ξ＝1)＝P(A1B0＋A0B1)＝P(A1B0)＋P(A0B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝2)＝P(A1B1)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(ξ＝3)＝P(A3B0＋A0B3)＝P(A3B0)＋P(A0B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)×eq\f(1,6)＝eq\f(2,15)，P(ξ＝4)＝P(A3B1＋A1B3)＝P(A3B1)＋P(A1B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,5)＝eq\f(11,30)，P(ξ＝6)＝P(A3B3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,10).可得隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012346Peq\f(1,30)eq\f(1,6)eq\f(1,5)eq\f(2,15)eq\f(11,30)eq\f(1,10)所以數(shù)學(xué)期望Eξ＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(2,15)＋4×eq\f(11,30)＋6×eq\f(1,10)＝eq\f(91,30).4．(2013·課標(biāo)Ⅰ，19，12分，中)一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；如果n＝4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為eq\f(1,2)，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．4．解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過檢驗(yàn)為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq\f(4,16)×eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)X可能的取值為400，500，800，并且P(X＝400)＝1－eq\f(4,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)E(X)＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝506.25.相互獨(dú)立事件的概率是高考的?？伎键c(diǎn)，是解決復(fù)雜問題的基礎(chǔ)，一般情況下，一些較為復(fù)雜的事件可以拆分為一些相對簡單事件的和或積，這樣就可以利用概率公式轉(zhuǎn)化為互斥事件和獨(dú)立事件的組合，通常以解答題出現(xiàn)，與數(shù)學(xué)期望等知識結(jié)合，難度中等．1(2015·北京，16，13分)A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間(單位：天)記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16；B組：12，13，15，16，17，14，a.假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨(dú)立，從A，B兩組隨機(jī)各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙．(1)求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；(3)當(dāng)a為何值時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等？(結(jié)論不要求證明)(1)eq\x(甲的康復(fù)時間不少于14天)→eq\x(甲是A組的第5人或第6人或第7人)→eq\x(每人康復(fù)時間互斥)→eq\x(互斥事件概率加法公式)(2)eq\x(甲康復(fù)時間比乙長)→eq\x(相互獨(dú)立事件同時發(fā)生)→eq\x(列舉每種情況)→eq\x(互斥事件加法求解)【解析】設(shè)事件Ai為“甲是A組的第i個人”，事件Bj為“乙是B組的第j個人”，i，j＝1，2，…，7.由題意可知P(Ai)＝P(Bj)＝eq\f(1,7)，i，j＝1，2，…，7.(1)由題意知，事件“甲的康復(fù)時間不少于14天”等價于“甲是A組的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康復(fù)時間不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝eq\f(3,7).(2)設(shè)事件C為“甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長”．由題意知，C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6.因?yàn)镻(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝eq\f(10,49).(3)a＝11或a＝18.(2014·大綱全國，20，12分)設(shè)每個工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別為0.6，0.5，0.5，0.4，各人是否需使用設(shè)備相互獨(dú)立．(1)求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；(2)X表示同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望．解：設(shè)Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i＝0，1，2，B表示事件：甲需使用設(shè)備，C表示事件：丁需使用設(shè)備，D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備．(1)D＝A1BC＋A2B＋A2eq\o(B,\s\up6(－))C，P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(Ai)＝Ceq\o\al(i,2)×0.52，i＝0，1，2，所以P(D)＝P(A1BC＋A2B＋A2eq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A1BC)＋P(A2B)＋P(A2eq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A1)P(B)P(C)＋P(A2)P(B)＋P(A2)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝0.31.(2)X的可能取值為0，1，2，3，4，則有P(X＝0)＝P(eq\o(B,\s\up6(－))A0eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(A0)P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝(1－0.6)×0.52×(1－0.4)＝0.06，P(X＝1)＝P(BA0eq\o(C,\s\up6(－))＋eq\o(B,\s\up6(－))A0C＋eq\o(B,\s\up6(－))A1eq\o(C,\s\up6(－)))＝P(B)P(A0)P(eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(A0)P(C)＋P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(A1)P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25，P(X＝4)＝P(A2BC)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，X的分布列為X01234P0.060.250.380.250.06數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2.相互獨(dú)立事件概率的求法(1)首先要搞清事件間的關(guān)系(是否彼此互斥、是否相互獨(dú)立、是否對立)，正確區(qū)分“互斥事件”與“對立事件”．當(dāng)且僅當(dāng)事件A和事件B相互獨(dú)立時，才有P(AB)＝P(A)·P(B)．(2)A，B中至少有一個發(fā)生：A∪B.①若A，B互斥：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否則不成立．②若A，B相互獨(dú)立(不互斥)，則概率的求法：方法一：P(A∪B)＝P(AB)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))B)；方法二：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))．(3)某些事件若含有較多的互斥事件，可考慮其對立事件的概率，這樣可減少運(yùn)算量，提高準(zhǔn)確率．要注意“至多”“至少”等題型的轉(zhuǎn)化．條件概率在高考中經(jīng)常作為解答題的一小問，或以選擇題、填空題出現(xiàn)，難度較小，一般以直接考查公式的應(yīng)用為主，分值約為5分．2(2015·湖北荊門模擬，20，12分)某工廠生產(chǎn)了一批產(chǎn)品共有20件，其中5件是次品，其余都是合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件．求：(1)第一次抽到次品的概率；(2)第一次和第二次都抽到次品的概率；(3)在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率．【解析】設(shè)“第一次抽到次品”為事件A，“第二次抽到次品”為事件B，事件A和事件B相互獨(dú)立．依題意得：(1)第一次抽到次品的概率為P(A)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4).(2)第一次和第二次都抽到次品的概率為P(AB)＝eq\f(5,20)×eq\f(4,19)＝eq\f(1,19).(3)方法一：在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率為P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(1,19)÷eq\f(1,4)＝eq\f(4,19).方法二：第一次抽到次品后，還剩余產(chǎn)品19件，其中次品4件，故第二次抽到次品的概率為P(B)＝eq\f(4,19).(2015·湖北荊州質(zhì)檢，13)把一枚硬幣任意拋擲三次，事件A＝“至少一次出現(xiàn)反面”，事件B＝“恰有一次出現(xiàn)正面”，則P(B|A)＝________．【解析】由題意知，P(AB)＝eq\f(3,23)＝eq\f(3,8)，P(A)＝1－eq\f(1,23)＝eq\f(7,8)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(3,8),\f(7,8))＝eq\f(3,7).【答案】eq\f(3,7),條件概率的求法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）).注意：事件A與事件B有時是相互獨(dú)立事件，有時不是相互獨(dú)立事件，要弄清P(AB)的求法．(2)當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）).1．(2016·湖北荊門一模，6)把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)1．A由古典概型知P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,4)，則由條件概率知P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).2．(2016·河北石家莊質(zhì)檢，9)小明準(zhǔn)備參加電工資格考試，先后進(jìn)行理論考試和操作考試兩個環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)各有兩次考試機(jī)會，在理論考試環(huán)節(jié)，若第一次考試通過，則直接進(jìn)入操作考試；若第一次未通過，則進(jìn)行第二次考試，若第二次考試通過則進(jìn)入操作考試環(huán)節(jié)，第二次未通過則直接被淘汰．在操作考試環(huán)節(jié)，若第一次考試通過，則直接獲得證書；若第一次未通過，則進(jìn)行第二次考試，若第二次考試通過則獲得證書，第二次未通過則被淘汰．若小明每次理論考試通過的概率為eq\f(3,4)，每次操作考試通過的概率為eq\f(2,3)，并且每次考試相互獨(dú)立，則小明本次電工考試中共參加3次考試的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(3,8)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)2．B設(shè)小明本次電工考試中共參加3次考試為事件A，小明本次電工考試中第一次理論考試沒通過，第二次理論考試通過，第一次操作考試通過為事件B，小明本次電工考試中第一次理論考試通過，第一次操作考試沒通過為事件C，則P(A)＝P(B∪C)＝P(B)＋P(C)，又P(B)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,8)，P(C)＝eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(1,4)，所以P(A)＝eq\f(1,8)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,8).3．(2015·河南鄭州一模，10)1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機(jī)取出一球，則從2號箱取出紅球的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(11,24)C.eq\f(16,27)D.eq\f(9,24)3．A方法一：記事件A：從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球，則根據(jù)古典概型和對立事件的概率和為1，可知：P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；由條件概率公式知P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(3,9).從而P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－)))＝P(A|B)·P(B)＋P(A|eq\o(B,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(11,27)，選A.方法二：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①從1號箱中取出白球，其概率為eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，此時2號箱中有6個白球和3個紅球，從2號箱中取出紅球的概率為eq\f(1,3)，則這種情況下的概率為eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).②從1號箱中取出紅球，其概率為eq\f(2,3).此時2號箱中有5個白球和4個紅球，從2號箱中取出紅球的概率為eq\f(4,9)，則這種情況下的概率為eq\f(2,3)×eq\f(4,9)＝eq\f(8,27).則從2號箱中取出紅球的概率是eq\f(1,9)＋eq\f(8,27)＝eq\f(11,27).4．(2016·江蘇揚(yáng)州一模，4)在三張獎券中有一、二等獎各一張，另一張無獎，甲乙兩人各抽取一張(不放回)，兩人都中獎的概率為________．4．【解析】方法一：不妨設(shè)甲先抽獎，設(shè)甲中獎記為事件A，乙中獎記為事件B，兩人都中獎的概率為P，則P＝P(AB)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).方法二：甲乙從三張獎券中抽兩張的方法有Aeq\o\al(2,3)＝6種，兩人都中獎的可能有2種，設(shè)兩人都中獎的概率為P，則P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)5．(2016·江蘇鹽城二模，10)如圖所示的電路有a，b，c三個開關(guān)，每個開關(guān)開或關(guān)的概率都是eq\f(1,2)，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為________．5．【解析】燈泡甲亮滿足的條件是a，c兩個開關(guān)都開，b開關(guān)必須斷開，否則短路．設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應(yīng)為事件Aeq\o(B,\s\up6(－))C，且A，B，C之間彼此獨(dú)立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，由獨(dú)立事件概率公式知P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＝P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8).【答案】eq\f(1,8)6．(2016·湖南常德一模，18，12分)某旅游景點(diǎn)，為方便游客游玩，設(shè)置自行車騎游出租點(diǎn)，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：租車時間不超過2小時收費(fèi)10元，超過2小時的部分按每小時10元收取(不足一小時按一小時計(jì)算)．現(xiàn)甲、乙兩人獨(dú)立來該租車點(diǎn)租車騎游，各租車一次．設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為eq\f(1,3)，eq\f(1,2)；2小時以上且不超過3小時還車的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，且兩人租車的時間都不超過4小時．(1)求甲、乙兩人所付租車費(fèi)用相等的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望．6．解：(1)甲、乙所付費(fèi)用可以為10元、20元、30元，甲、乙兩人所付費(fèi)用都是10元的概率為P1＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,6).甲、乙兩人所付費(fèi)用都是20元的概率為P2＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).甲、乙兩人所付費(fèi)用都是30元的概率為P3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,3)))＝eq\f(1,36).故甲、乙兩人所付費(fèi)用相等的概率為P＝P1＋P2＋P3＝eq\f(13,36).(2)隨機(jī)變量ξ的取值可以為20，30，40，50，60.P(ξ＝20)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).P(ξ＝30)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(13,36).P(ξ＝40)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,3)))×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(11,36).P(ξ＝50)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－\f(1,2)))×eq\f(1,3)＝eq\f(5,36).P(ξ＝60)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)－\f(1,3)))＝eq\f(1,36).故ξ的分布列為ξ2030405060Peq\f(1,6)eq\f(13,36)eq\f(11,36)eq\f(5,36)eq\f(1,36)∴ξ的數(shù)學(xué)期望是Eξ＝20×eq\f(1,6)＋30×eq\f(13,36)＋40×eq\f(11,36)＋50×eq\f(5,36)＋60×eq\f(1,36)＝35.7．(2016·山東德州一模，18，12分)某科技公司組織技術(shù)人員進(jìn)行新項(xiàng)目研發(fā)，技術(shù)人員將獨(dú)立地進(jìn)行項(xiàng)目中不同類型的實(shí)驗(yàn)A，B，C，若A，B，C實(shí)驗(yàn)成功的概率分別為eq\f(4,5)，eq\f(3,4)，eq\f(2,3).(1)對A，B，C實(shí)驗(yàn)各進(jìn)行一次，求至少有一次實(shí)驗(yàn)成功的概率；(2)該項(xiàng)目要求實(shí)驗(yàn)A，B各做兩次，實(shí)驗(yàn)C做三次，如果A實(shí)驗(yàn)兩次都成功則進(jìn)行實(shí)驗(yàn)B并獲獎勵10000元，兩次B實(shí)驗(yàn)都成功則進(jìn)行實(shí)驗(yàn)C并獲獎勵30000元，三次實(shí)驗(yàn)C只要有兩次成功，則項(xiàng)目研發(fā)成功并獲獎勵60000元(不重復(fù)得獎)．且每次實(shí)驗(yàn)相互獨(dú)立，用X表示技術(shù)人員所獲獎勵的數(shù)值，寫出X的分布列及數(shù)學(xué)期望．7．解：(1)設(shè)A，B，C實(shí)驗(yàn)成功分別記為事件A，B，C且相互獨(dú)立，A，B，C至少有一次實(shí)驗(yàn)成功為事件D.則P(D)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,5)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(59,60).(2)X的取值為0，10000，30000，60000.則P(X＝0)＝eq\f(1,5)＋eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(9,25).P(X＝10000)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(3,4)×\f(1,4)))＝eq\f(7,25).P(X＝30000)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)－Ceq\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(2)×\f(1,3)))＝eq\f(7,75).或P(X＝30000)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(3)＋\f(2,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2)＋\f(1,3)×\f(2,3)×\f(1,3)))＝eq\f(7,75).P(X＝60000)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)＋Ceq\o\al(2,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×\f(1,3)))＝eq\f(4,15).∴X的分布列為X0100003000060000Peq\f(9,25)eq\f(7,25)eq\f(7,75)eq\f(4,15)∴X的數(shù)學(xué)期望是E(X)＝0×eq\f(9,25)＋10000×eq\f(7,25)＋30000×eq\f(7,75)＋60000×eq\f(4,15)＝21600(元)．1．(2015·湖北，4，易)設(shè)X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示．下列結(jié)論中正確的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數(shù)t，P(X≤t)≥P(Y≤t)D．對任意正數(shù)t，P(X≥t)≥P(Y≥t)1．C由正態(tài)分布密度曲線可得，μ1＜μ2，σ1＜σ2.結(jié)合正態(tài)曲線的概率的幾何意義，對于A，∵μ1＜μ2，∴P(Y≥μ2)＜P(Y≥μ1)；對于B，∵σ1＜σ2，∴P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)；對于C，D，結(jié)合圖象可知，C正確．2．(2015·課標(biāo)Ⅰ，4，中)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.3122．A記Ai＝{投中i次}，其中i＝1，2，3，B表示該同學(xué)通過測試，故P(B)＝P(A2∪A3)＝P(A2)＋P(A3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×0.4＋Ceq\o\al(3,3)×0.63＝0.648.3．(2015·湖南，7，中)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線)的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值為()附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544.A．2386B．2718C．3413D．47723．C由于曲線C為正態(tài)分布N(0，1)的密度曲線，則陰影部分面積為S＝eq\f(0.6826,2)＝0.3413，∴落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)為10000×eq\f(0.3413,1)＝3413.故選C.4．(2016·四川，12，易)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________．4．【解析】由題可知：在一次試驗(yàn)中成功的概率P＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，而該試驗(yàn)是一個2次的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，成功次數(shù)X服從二項(xiàng)分布X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,4)))，∴E(X)＝2×eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).【答案】eq\f(3,2)5．(2015·廣東，13，中)已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n，p)，若E(X)＝30，D(X)＝20，則p＝________.5．【解析】由E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(np＝30，,np（1－p）＝20，))解得p＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)6．(2012·課標(biāo)全國，15，中)某一部件由三個電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作．設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1000，502)，且各個元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時的概率為________．6．【解析】由題意知每個電子元件使用壽命超過1000小時的概率均為eq\f(1,2)，元件1或元件2正常工作的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，所以該部件的使用壽命超過1000小時的概率為eq\f(1,2)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)7．(2013·山東，19，12分，中)甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(2,3).假設(shè)每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分，對方得1分，求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．7．解：(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以，甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率為eq\f(8,27)，以3∶2勝利的概率為eq\f(4,27).(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(4,27).由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2，3，根據(jù)事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27)，P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27)，P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(1,9)，故乙隊(duì)得分X的分布列為X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(1,9)數(shù)學(xué)期望E(X)＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4,27)＋2×eq\f(4,27)＋3×eq\f(1,9)＝eq\f(7,9).二項(xiàng)分布是一種重要的概率模型，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，選擇題、填空題、解答題都可能出現(xiàn)，解答題出現(xiàn)頻率更高，一般會綜合相互獨(dú)立、互斥或?qū)α⑹录戎R進(jìn)行考查，難度中等．1(2014·遼寧，18，12分)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖．如圖所示．將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立．(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．【解析】(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能的取值為0，1，2，3，相應(yīng)的概率為P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·0.63＝0.216，所以X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因?yàn)閄～B(3，0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.(1)eq\x(讀圖)→eq\x(計(jì)算小矩形面積，得相應(yīng)概率)→eq\x(利用獨(dú)立事件的概率公式求解)(2)eq\x(確定X的所有可能值)→eq\x(運(yùn)用n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)計(jì)算公式，得相應(yīng)概率)→eq\x(列出分布列)→eq\x(利用二項(xiàng)分布求出期望和方差)(2012·天津，16，13分)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇．為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點(diǎn)數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點(diǎn)數(shù)大于2的人去參加乙游戲．(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記ξ＝|X－Y|，求隨機(jī)變量ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)．解：依題意知，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為eq\f(1,3)，去參加乙游戲的概率為eq\f(2,3).設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i＝0，1，2，3，4)，則P(Ai)＝Ceq\o\al(i,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(i)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4－i).(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為P(A2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27).(2)設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則B＝A3∪A4，由于A3與A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(1)＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,9).所以這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為eq\f(1,9).(3)ξ的所有可能的取值為0，2，4，由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝eq\f(40,81)，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝eq\f(17,81).所以ξ的分布列為ξ024Peq\f(8,27)eq\f(40,81)eq\f(17,81)故E(ξ)＝0×eq\f(8,27)＋2×eq\f(40,81)＋4×eq\f(17,81)＝eq\f(148,81).n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次可看作是Ceq\o\al(k,n)個互斥事件的和，其中每一個事件都可看作是k個A事件與n－k個eq\o(A,\s\up6(－))事件同時發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率為Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k.判斷某隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布的方法(1)在每一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的．(3)在每一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生．正態(tài)分布及其應(yīng)用在近幾年新課標(biāo)高考中時常出現(xiàn)，主要考查正態(tài)曲線的性質(zhì)(特別是對稱性)，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較??；有時也會與概率與統(tǒng)計(jì)結(jié)合，在解答題中考查．2(1)(2015·遼寧十校聯(lián)考，7)設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1，σeq\o\al(2,1))(σ1>0)和N(μ2，σeq\o\al(2,2))(σ2>0)的密度函數(shù)圖象如圖所示，則()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2(2)(2015·山東，8)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3，6)內(nèi)的概率為()(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%【解析】(1)由正態(tài)分布N(μ，σ2)的性質(zhì)知，x＝μ為正態(tài)分布密度函數(shù)圖象的對稱軸，故μ1<μ2；又σ越小，圖象越高瘦，故σ1<σ2.(2)由正態(tài)分布的概率公式知P(－3<ξ<3)＝68.26%，P(－6＜ξ＜6)＝95.44%，故P(3<ξ<6)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(P（－6<ξ<6）－P（－3<ξ<3）))＝eq\f(1,2)(95.44%－68.26%)＝13.59%.【答案】(1)A(2)B1.(2015·廣東佛山一模，7)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6826，則P(X>4)＝()A．0.1588B．0.1587C．0.1586D．0.15851．B由正態(tài)曲線性質(zhì)知，其圖象關(guān)于直線x＝3對稱，∴P(X>4)＝eq\f(1－P（2≤X≤4）,2)＝0.5－eq\f(1,2)×0.6826＝0.1587，故選B.2．(2016·江西八校聯(lián)考，6)在某次數(shù)學(xué)測試中，學(xué)生成績ξ服從正態(tài)分布N(100，σ2)(σ>0)，若ξ在(80，120)內(nèi)的概率為0.8，則ξ在(0，80)內(nèi)的概率為()A．0.05B．0.1C．0.15D．0.22．B由題意得，P(80<ξ<100)＝P(100<ξ<120)＝0.4，P(0<ξ<100)＝0.5，∴P(0<ξ<80)＝0.1.,利用正態(tài)曲線的對稱性求概率的方法(1)解題的關(guān)鍵是利用對稱軸x＝μ確定所求概率對應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間與已知概率對應(yīng)的隨機(jī)變量的區(qū)間的關(guān)系，必要時，可借助圖形判斷．(2)對于正態(tài)分布N(μ，σ2)，由x＝μ是正態(tài)曲線的對稱軸知：①對任意的a，有P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；②P(X<x0)＝1－P(X≥x0)；③P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a)．(3)對于特殊區(qū)間求概率一定要掌握服從N(μ，σ2)的隨機(jī)變量X在三個特殊區(qū)間的取值概率，將所求問題向P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)轉(zhuǎn)化，然后利用特定值求出相應(yīng)概率．同時，要充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1這些特殊性質(zhì)．1．(2016·貴州八校聯(lián)考，3)設(shè)隨機(jī)變量ξ～N(2，4)，若P(ξ>a＋2)＝P(ξ<2a－3)，則實(shí)數(shù)a的值為()A．1B.eq\f(5,3)C．5D．91．B因?yàn)镻(ξ>a＋2)＝P(ξ<2a－3)，所以由正態(tài)分布的對稱性知，eq\f(（a＋2）＋（2a－3）,2)＝2，解得a＝eq\f(5,3).2．(2015·河南鄭州二模，9)小王通過英語聽力測試的概率是eq\f(1,3)，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是()A.eq\f(4,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,29)D.eq\f(2,27)2．A由獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，知所求概率P＝Ceq\o\al(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(3－1)＝eq\f(4,9).3．(2015·福建福州模擬，5)已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477B．0.628C．0.954D．0.9773．C∵μ＝0，正態(tài)曲線關(guān)于μ＝0對稱，∴P(ξ＞2)＝P(ξ＜－2)＝0.023，∴P(－2≤ξ≤2)＝1－2×0.023＝0.954，故選C.4．(2015·豫北六校聯(lián)考，10)設(shè)ξ是服從二項(xiàng)分布B(n，p)的隨機(jī)變量，又E(ξ)＝15，D(ξ)＝eq\f(45,4)，則n與p的值分別為()A．60，eq\f(3,4)B．60，eq\f(1,4)C．50，eq\f(3,4)D．50，eq\f(1,4)4．B由ξ～B(n，p)，得E(ξ)＝np＝15，D(ξ)＝np(1－p)＝eq\f(45,4)，則p＝eq\f(1,4)，n＝60.5．(2016·山西四校聯(lián)考，14)設(shè)隨機(jī)變量X～N(3，σ2)，若P(X>m)＝0.3，則P(X>6－m)＝________.5．【解析】因?yàn)镻(X>m)＝0.3，X～N(3，σ2)，所以m>3，P(X<6－m)＝P(X<3－(m－3))＝P(X>m)＝0.3，所以P(X>6－m)＝1－P(X<6－m)＝0.7.【答案】0.76．(2016·河北唐山一模，18，12分)小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機(jī)發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個．(1)若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率；(2)若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個，記乙所得紅包的總錢數(shù)為X(單位：元)，求X的分布列和期望．6．解：(1)設(shè)“甲恰得1個紅包”為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,9).(2)X的所有可能取值為0，5，10，15，20.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,27)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(8,27)，P(X＝10)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9).P(X＝15)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(2,3)＝eq\f(4,27)，P(X＝20)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,27).所以X的分布列為X05101520Peq\f(8,27)eq\f(8,27)eq\f(2,9)eq\f(4,27)eq\f(1,27)E(X)＝0×eq\f(8,27)＋5×eq\f(8,27)＋10×eq\f(2,9)＋15×eq\f(4,27)＋20×eq\f(1,27)＝eq\f(20,3)(元)．7．(2016·江西南昌一模，18，12分)某市教育局為了了解高三學(xué)生體育達(dá)標(biāo)情況，對全市高三學(xué)生進(jìn)行了體能測試，經(jīng)分析，全市學(xué)生體能測試成績X服從正態(tài)分布N(80，σ2)(滿分為100分)，已知P(X<75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三位同學(xué)．(1)求抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間[80，85)，[85，95)，[95，100]各有一位同學(xué)的概率；(2)記抽到的三位同學(xué)該次體能測試成績在區(qū)間[75，85]的人數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望Eξ.7．解：(1)P(80≤X<85)＝P(75<X≤80)＝0.5－P(X≤75)＝0.2，P(85≤X<95)＝0.5－0.2－0.1＝0.2，所以所求概率P＝Aeq\o\al(3,3)×0.2×0.2×0.1＝0.024.(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X<75)＝0.4，所以ξ服從二項(xiàng)分布B(3，0.4)，P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×0.4×0.62＝0.432，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.42×0.6＝0.288，P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，所以隨機(jī)變量ξ的分布列是ξ0123P0.2160.4320.2880.064E(ξ)＝3×0.4＝1.2(人)．1．(2013·廣東，4，易)已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123Peq\f(3,5)eq\f(3,10)eq\f(1,10)則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝()A.eq\f(3,2)B．2C.eq\f(5,2)D．31．A由數(shù)學(xué)期望公式得E(X)＝1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,10)＝eq\f(3,2).2．(2014·浙江，9，難)已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有m個紅球和n個藍(lán)球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i＝1，2)個球放入甲盒中．(1)放入i個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為ξi(i＝1，2)；(2)放入i個球后，從甲盒中取1個球是紅球的概率記為pi(i＝1，2)．則()A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)2．A隨機(jī)變量ξ1，ξ2的分布列如下：ξ112peq\f(n,m＋n)eq\f(m,m＋n)ξ2123peq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))eq\f(Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m＋n))eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))所以E(ξ1)＝eq\f(n,m＋n)＋eq\f(2m,m＋n)＝eq\f(2m＋n,m＋n)，E(ξ2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))＋eq\f(2Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m＋n))＋eq\f(3Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))＝eq\f(3m＋n,m＋n)，所以E(ξ1)<E(ξ2)．因?yàn)閜1＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)·eq\f(1,2)＝eq\f(2m＋n,2（m＋n）)，p2＝eq\f(Ceq\o\al(2,m),Ceq\o\al(2,m＋n))＋eq\f(Ceq\o\al(1,m)Ceq\o\al(1,n),Ceq\o\al(2,m＋n))·eq\f(2,3)＋eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,m＋n))·eq\f(1,3)＝eq\f(3m＋n,3（m＋n）)，p1－p2＝eq\f(n,6（m＋n）)>0，所以p1>p2.思路點(diǎn)撥：列出隨機(jī)變量ξ1，ξ2的分布列，計(jì)算期望值并比較大?。焕梅植接?jì)數(shù)原理計(jì)算p1，p2并比較大?。?．(2014·浙江，12，易)隨機(jī)變量ξ的取值為0，1，2，若P(ξ＝0)＝eq\f(1,5)，E(ξ)＝1，則D(ξ)＝________.3．【解析】設(shè)ξ＝1時的概率為p，則E(ξ)＝0×eq\f(1,5)＋1×p＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p－\f(1,5)))＝1，解得p＝eq\f(3,5)，故D(ξ)＝(0－1)2×eq\f(1,5)＋(1－1)2×eq\f(3,5)＋(2－1)2×eq\f(1,5)＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)4．(2016·課標(biāo)Ⅰ，19，12分，中)某公司計(jì)劃購買2臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺機(jī)器三年內(nèi)共需要更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺機(jī)器的同時購買的易損零件數(shù)．(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；(3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪個？4．解：由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8，9，10，11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2.從而P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19.(3)記Y表示2臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)．當(dāng)n＝19時，EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040.當(dāng)n＝20時，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知當(dāng)n＝19時所需費(fèi)用的期望值小于n＝20時所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19.5．(2016·天津，16，13分，中)某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會．(1)設(shè)A為事件“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．5．解：(1)由已知，得P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以，隨機(jī)變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×eq\f(4,15)＋1×eq\f(7,15)＋2×eq\f(4,15)＝1.6．(2016·山東，19，12分，中)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語．在一輪活動中，如果兩人都猜對，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一人猜對，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒猜對，則“星隊(duì)”得0分．已知甲每輪猜對的概率是eq\f(3,4)，乙每輪猜對的概率是eq\f(2,3)；每輪活動中甲、乙猜對與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響．假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動，求：(1)“星隊(duì)”至少猜對3個成語的概率；(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.6．解：(1)記事件A：“甲第一輪猜對”，記事件B：“乙第一輪猜對”，記事件C：“甲第二輪猜對”，記事件D：“乙第二輪猜對”，記事件E：“‘星隊(duì)’至少猜對3個成語”．由題意，E＝ABCD＋eq\o(A,\s\up6(－))BCD＋Aeq\o(B,\s\up6(－))CD＋ABeq\o(C,\s\up6(－))D＋ABCeq\o(D,\s\up6(－)).由事件的獨(dú)立性與互斥性，得P(E)＝P(ABCD)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BCD)＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))CD)＋P(ABeq\o(C,\s\up6(－))D)＋P(ABCeq\o(D,\s\up6(－)))＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))P(B)·P(C)P(D)＋P(A)P(eq\o(B,\s\up6(－)))P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(eq\o(C,\s\up6(－)))P(D)＋P(A)P(B)P(C)·P(eq\o(D,\s\up6(－)))＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋2×eq\b\lc\((\a\vs4\al\co1(\f(1,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(2,3)＋\f(3,4)×\f(1,3)×))eq\f(3,4)×eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))＝eq\f(2,3).所以“星隊(duì)”至少猜對3個成語的概率為eq\f(2,3).(2)由題意，隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2，3，4，6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得P(X＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,144)，P(X＝1)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(1,3)×\f(1,4)×\f(1,3)＋\f(1,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(1,3)))＝eq\f(10,144)＝eq\f(5,72)，P(X＝2)＝eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(3,4)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(25,144)，P(X＝3)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(12,144)＝eq\f(1,12)，P(X＝4)＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)×\f(2,3)×\f(3,4)×\f(1,3)＋\f(3,4)×\f(2,3)×\f(1,4)×\f(2,3)))＝eq\f(60,144)＝eq\f(5,12)，P(X＝6)＝eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(36,144)＝eq\f(1,4).可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346Peq\f(1,144)eq\f(5,72)eq\f(25,144)eq\f(1,12)eq\f(5,12)eq\f(1,4)所以數(shù)學(xué)期望EX＝0×eq\f(1,144)＋1×eq\f(5,72)＋2×eq\f(25,144)＋3×eq\f(1,12)＋4×eq\f(5,12)＋6×eq\f(1,4)＝eq\f(23,6).7．(2015·山東，19，12分，中)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137，359，567等)．在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只能抽取一次．得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)”；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列