九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(含答案)

九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題講座---二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)一、內(nèi)容概述二次函數(shù)有豐富的內(nèi)容，下面從四個(gè)方面加以總結(jié)1．定義：yax2bxc(a0).2．圖像二次函數(shù)的圖像為拋物線，一般作二次函數(shù)圖像，取五個(gè)點(diǎn)，先確定頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再以它為中心向左、向右對(duì)稱取點(diǎn).性質(zhì)對(duì)yax2bxc(a0)的圖像來講，開口方向：當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向上；當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下。xb2a

,4acb2 2a 4a 拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況：若b24ac0，則拋物線與x軸沒有交點(diǎn)；若b24ac0，則拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；若b24ac0，則拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，分別為(b b24ac,0)，(b b24ac,0)；另外，拋物線與y軸的交點(diǎn)為

0,c.

2a 2ab 2abb 2ab 2aayx的增減關(guān)系：a0x

byxxbyx的增大而減?。?a 2aa0x

byxxbyx.最值：

2a 2a當(dāng)a0時(shí)，y有最小值，當(dāng)xb

＝4acb2；2a 最小值 4a當(dāng)a0時(shí)，y有最大值，當(dāng)xb

＝4acb22a 最大值 4a若拋物線與xxx（x1 2 1

x，則：2a0x1a0x1

xx2xx2

y0xx或xx1 y0xx或xx1

y0y0.求解析式拋物線的解析式常用的有三種形式：yax2bxc(a0)ya(xh)2k(a0)，其中(hk是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)。交點(diǎn)式：ya(xx1

)(xx2

)(a0)，交點(diǎn)式只在拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)才用到，式中x、x是1 2拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。解題時(shí)，視情況和需要，一般選用這三種形式中的一種或兩種就可以了。二、例題解析1yx2kxk1，根據(jù)下列各條件，求k的值。拋物線的頂點(diǎn)在x軸上；y軸上；（3）拋物線的頂點(diǎn)1,2；拋物線經(jīng)過原點(diǎn)；x1y有最小值；y的最小值為1.（）k2（2）k0（）k14）k1（5）k2）k0或k42ykxbyax2xx1 2

，且直線與x軸交點(diǎn)的橫

，求證：

111.3 x x x1 2 3xx1 2

為方程kxbax2的兩個(gè)根，即ax2kxb0，∴xx1

k，xxa 1

ba1 1 xx k∴ x x1 2

1 2xx b12

k 1 bxx3

∴ b x k3∴111x x x1 2 31例3 二次函數(shù)yax2bxc，當(dāng)x

25，而方程ax2bxc0的兩根，2滿足3319，求a、b、c。ya(xh)2k(a0)，x

1時(shí)，有最大值25，即：頂點(diǎn)為1,25 22 21 1∴ya(x)225ax2axa2512 41由已知得：ax2ax a250的兩根為、，滿足34∴)()219根據(jù)兩根之和與兩根之積的關(guān)系解得a4y4x24x24，即ab4c24.

19例4 證明：無論a取任何實(shí)數(shù)值時(shí)，拋物線yx2(a1)x1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1a 是通過一個(gè)定點(diǎn)，而且這些拋2 4yx2(a1)x1 1

a x2x a(x )(x )2a(x )2 4 4 2 2 2x

時(shí)，a(x )0,y2 2即無論a取任何實(shí)數(shù)時(shí)，已知拋物線總通過點(diǎn)M1,02 2 1 1 a12 1又yx2(a1)x a2 4

x

a242 4故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為a11a2xa1 2

2 4 1即y

，消去a得，y(x )2a2 2 4這條曲線是一條拋物線，即原拋物線的頂點(diǎn)都在一條確定的拋物線上.例5 已知拋物線yax2bxc(a0)過,2,2兩點(diǎn)，若拋物線在x軸上截得的線段最短時(shí)，求這時(shí)的拋物線解析式。解：∵拋物線過,2,2兩點(diǎn)，∴代入解析式得b2a3,c4所以yax2bxcax2(2a3)x4∴此拋物線在x軸上截得的線段長(zhǎng)可表示為

4492a2a3216aa

(a0) ∴當(dāng) ，即a 時(shí)，拋物線在x軸上截得的線段最短，將a 代入b 2a 3，得a 29 9 2 2b129∴拋物線的解析式是y x212x42 例6 如果二次函數(shù)yax2bxc的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且直線yx4依次與y軸和拋物線相交于PQR三點(diǎn)， 解：∵圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是2,4 ，所以可設(shè)ya(x2)24 （1）P點(diǎn)的坐標(biāo)是0,4，設(shè)Q、R點(diǎn)的坐標(biāo)為x,y

和x

x4，

x 41 1 2 2 1 1 2 2∴PQ

x(x0)2(x0)2(y4)21 1x2x21 12

，PR x(x0)2(x0)2(y 4)22 22∵PQ:QR=1:3且P在QR之處，∴PQ:PR=PQ:（PQ+QR）＝1:42即 x 21

x =1:4, ∴x22 2

=4x1

（2）x,

是拋物線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)1 2∴a(x2)24x4,ax24(4a1)x4a04a1∴a(x2

x4)0（3）（3）（4）xx 41 2由韋達(dá)定理，得 4a1xx 1 2 a由（）得，x,x同號(hào)，再由，得x 4x1 2 2 1∴x1,x1

4，從得a1或a19∴yx24x8或y1x24x329 9 9例7 已知：拋物線yx2pxq交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，又∠ACB=90°,tan∠CAO－tan∠CBO＝2.求拋物線的解析式。x軸的直線交拋物線于點(diǎn)MN，是否存在以MNx在，說明理由；如果存在，求出圓的半徑。1欲求拋物線的解析式，即求qq與方程x2pxq0的兩根有聯(lián)系，qOC的長(zhǎng)，而OC2

OAOB,OAOBx2pxq0的兩根的絕對(duì)值，這就使p與q能建立聯(lián)系，從中求出p、q；（2）上，且半徑是圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值。ABx

x

x2pxq0

0x，yCAOBxxx yCAOBx

q0

1 2 1 2 1 21 2 12∵在Rt△ABC中，OC為斜邊AB上的高，∴OC2OAOBxx qOC2q2

12∴q2q因?yàn)閽佄锞€不經(jīng)過原點(diǎn)，∴q0,故q1由三角函數(shù)的定義和xOCAOOCAO

0xOCBOOCBO

，易得：tan∠CAO＝

1x11 1

tan∠CBO＝ 1x2xx由題設(shè)，得

1 22x

2xxx x xx1 2 1

1 2 12∵xx p,xx q1 ∴p＝21 2 12yx22x1（2）設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為x3

,rx4

rxx3 4

是方程rx22x1，即x22xr10的兩個(gè)根?！鄕x3

2,xx34

r1∴MNx444(r1)2r

x 4

2∵圓與x軸相切（假設(shè)圓存在）(xx)24xx3 4 34122(xx)24xx3 4 34122rr1

1或r2

212.說明：本例是代數(shù)、三角、幾何的綜合題，涉及二次函數(shù)、方程、三角函數(shù)和Rt△等多方面的知識(shí).訓(xùn)練題班級(jí)姓名學(xué)號(hào)二次函數(shù)y(x2)(2x1)圖像拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱軸方，與x軸交點(diǎn)坐，與y軸交點(diǎn)坐；當(dāng)x＝ 時(shí)，y的最 值等，x 時(shí)，y隨x增大而減??；時(shí)，y0；時(shí)，y0。函數(shù)y(m2)x2m23m3是x的二次函數(shù)，且拋物線開口向下，則m 。yx2bxcx為 。 yy1(x2)2132個(gè)單位，就得2到拋物。已知二次函數(shù)yax2bxc的圖像如右圖，則下列6個(gè)代數(shù)式： O 1 xab,ac,abc,abc,2ab，2ab中，其值為正的式子的個(gè)數(shù)個(gè)。如下圖，函數(shù)y1xx2的圖像（實(shí)線部分）大致形狀是（ ）yxCyxCyxDyxxBAyyOxOxCD如下圖，已知函數(shù)yaxb和yax2bxc(ayyOxOxCDy yO Ox xA B8．已知：二次函數(shù)y(2m1)x2(5m3)x3m5m為何值時(shí)，此拋物線必與x軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)；m為何值時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)再原點(diǎn)的左右兩邊；my軸；m為何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)有最大值5.42已知二次函數(shù)y2x24mxm2的圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)AB頂點(diǎn)為C若ABC的面積為4 求m的值。2yax2bxc(a0)經(jīng)過點(diǎn)Ax3ykxm經(jīng)過ABykxmyax2bxc的解析式。yBAOCxyax2bxc(ayBAOCx判斷abcb24ac的符號(hào)；當(dāng)OB時(shí)，求a,b,c滿足的關(guān)系。yCPGAO-2BH1yCPGAO-2BH144.5xDA、By軸于點(diǎn)CABC三點(diǎn)Oy軸于另一點(diǎn)點(diǎn)O且垂直于AD的直線交AD于點(diǎn)BC于點(diǎn)G求拋物線的解析式和點(diǎn)G的坐標(biāo)；xm交拋物線于點(diǎn)OG于點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使GPE、Fm在，請(qǐng)說明理由。3 251．( , )，

參考答案 3，1,0和0，2，x

3

，x3，2 4 8 4 2

4 8 41 當(dāng)x或x ，當(dāng) x21 2 22．m1；13．yx22x3或yx26x5；14．y (x1)21；252個(gè)a