河南省安陽市林州市林濾中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試試題含解析_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則()A.21 B.22 C.11 D.122.設(shè),則()A. B. C. D.3.已知,則p是q的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,是橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓交于,兩點(diǎn),且,則該橢圓的離心率是()A. B. C. D.5.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.6.記的最大值和最小值分別為和.若平面向量、、,滿足,則()A. B.C. D.7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺8.某幾何體的三視圖如圖所示,若側(cè)視圖和俯視圖均是邊長為的等邊三角形,則該幾何體的體積為A. B. C. D.9.若,,,點(diǎn)C在AB上,且,設(shè),則的值為()A. B. C. D.10.已知數(shù)列中,,(),則等于()A. B. C. D.211.在四面體中,為正三角形,邊長為6,,,,則四面體的體積為()A. B. C.24 D.12.如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),將△ABM沿著AM翻折成△AB'M,且點(diǎn)B'不在平面AMC內(nèi),點(diǎn)P是線段B'C上一點(diǎn).若二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,則直線AP經(jīng)過△AB'CA.重心 B.垂心 C.內(nèi)心 D.外心二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.曲線在處的切線方程是_________.14.函數(shù)的最小正周期為________;若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為________.15.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.16.甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí),每個(gè)企業(yè)兩人,則“甲、乙兩人恰好在同一企業(yè)”的概率為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,且.(1)解關(guān)于的不等式;(2)如果對,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種.方案一:每滿100元減20元;方案二:滿100元可抽獎一次.具體規(guī)則是從裝有2個(gè)紅球、2個(gè)白球的箱子隨機(jī)取出3個(gè)球(逐個(gè)有放回地抽取),所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如下表:(注:所有小球僅顏色有區(qū)別)紅球個(gè)數(shù)3210實(shí)際付款7折8折9折原價(jià)(1)該商場某顧客購物金額超過100元,若該顧客選擇方案二,求該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率;(2)若某顧客購物金額為180元,選擇哪種方案更劃算?19.(12分)已知橢圓的焦距是,點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)(與不同),若直線的斜率之積為.(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)是拋物線上兩點(diǎn),且處的切線相互垂直,直線與橢圓相交于兩點(diǎn),求的面積的最大值.20.(12分)已知橢圓的離心率為是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn),直線的斜率為1.(1)求橢圓的方程;(1)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為,是否存在直線使得?若存在,求出的方程;若不存在,請說明理由.21.(12分)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知成等差數(shù)列.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為,求.22.(10分)在中,角,,的對邊分別為,,,已知.(1)若,,成等差數(shù)列,求的值;(2)是否存在滿足為直角?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

由題意知成等差數(shù)列,結(jié)合等差中項(xiàng),列出方程,即可求出的值.【詳解】解:由為等差數(shù)列,可知也成等差數(shù)列,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì),考查了等差中項(xiàng).對于等差數(shù)列,一般用首項(xiàng)和公差將已知量表示出來,繼而求出首項(xiàng)和公差.但是這種基本量法計(jì)算量相對比較大,如果能結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì),可使得計(jì)算量大大減少.2、D【解析】

結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可判斷出,,,即可選出答案.【詳解】由,即,又,即,,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了幾個(gè)數(shù)的大小比較,考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡再分析即可.【詳解】因?yàn)?所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分條件.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查充分與必要條件的判定以及誘導(dǎo)公式的運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

聯(lián)立直線方程與橢圓方程,解得和的坐標(biāo),然后利用向量垂直的坐標(biāo)表示可得,由離心率定義可得結(jié)果.【詳解】由,得,所以,.由題意知,所以,.因?yàn)?所以,所以.所以,所以,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的交點(diǎn),考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,考查了橢圓的離心率公式,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識,是一道容易題.6、A【解析】

設(shè)為、的夾角,根據(jù)題意求得,然后建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程,將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離,利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得,則,,,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),,,由,可得,即,化簡得點(diǎn)的軌跡方程為,則,則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,,,轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離,,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解,將向量坐標(biāo)化,將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中等題.7、A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐,將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點(diǎn),設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.8、C【解析】

由三視圖可知,該幾何體是三棱錐,底面是邊長為的等邊三角形,三棱錐的高為,所以該幾何體的體積,故選C.9、B【解析】

利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可算出.【詳解】解:,,又在上,故選:【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的基本運(yùn)算的應(yīng)用,向量的基本定理的應(yīng)用及向量共線定理等知識的綜合應(yīng)用.10、A【解析】

分別代值計(jì)算可得,觀察可得數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,問題得以解決.【詳解】解:∵,(),

,

,

…,

∴數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列,

,

故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的周期性和運(yùn)用:求數(shù)列中的項(xiàng),考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】

推導(dǎo)出,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,推導(dǎo)出,從而,進(jìn)而四面體的體積為,由此能求出結(jié)果.【詳解】解:在四面體中,為等邊三角形,邊長為6,,,,,,分別取的中點(diǎn),連結(jié),則,且,,,,平面,平面,,四面體的體積為:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查四面體體積的求法,考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力.12、A【解析】

根據(jù)題意P到兩個(gè)平面的距離相等,根據(jù)等體積法得到SΔPB'M【詳解】二面角P-AM-B'與二面角P-AM-C的平面角相等,故P到兩個(gè)平面的距離相等.故VP-AB'M=VP-ACM,即故B'P=CP,故P為CB'中點(diǎn).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了二面角,等體積法,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得,所以,所以切線方程為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

直接計(jì)算得到答案,根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,故,當(dāng)時(shí),,故,解得.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的周期和單調(diào)性,意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.15、【解析】

求出在上的對稱軸,依據(jù)對稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因?yàn)椋躁P(guān)于對稱.則.由,則由可知,,又因?yàn)?,所以,則,即故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點(diǎn)在于沒有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對稱軸時(shí),常用整體代入法,即令進(jìn)行求解.16、【解析】

求出所有可能,找出符合可能的情況,代入概率計(jì)算公式.【詳解】解:甲、乙、丙、丁4名大學(xué)生參加兩個(gè)企業(yè)的實(shí)習(xí),每個(gè)企業(yè)兩人,共有種,甲乙在同一個(gè)公司有兩種可能,故概率為,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】試題分析:(1)由函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱可得的表達(dá)式,再去掉絕對值即可解不等式;(2)對,不等式成立等價(jià)于,去絕對值得不等式組,即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析:(1)∵函數(shù)和的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,∴,∴原不等式可化為,即或,解得不等式的解集為;(2)不等式可化為:,即,即,則只需,解得,的取值范圍是.18、(1)(2)選擇方案二更為劃算【解析】

(1)計(jì)算顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,獲得8折優(yōu)惠的概率,相加得到答案.(2)選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,計(jì)算概率得到數(shù)學(xué)期望,比較大小得到答案.【詳解】(1)該顧客獲得7折優(yōu)惠的概率,該顧客獲得8折優(yōu)惠的概率,故該顧客獲得7折或8折優(yōu)惠的概率.(2)若選擇方案一,則付款金額為.若選擇方案二,記付款金額為元,則可取的值為126,144,162,180.,,則.因?yàn)椋赃x擇方案二更為劃算.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo),表達(dá)出直線的斜率之積,再根據(jù)三點(diǎn)均在橢圓上,根據(jù)橢圓的方程代入斜率之積的表達(dá)式列式求解即可.(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,根據(jù)直線的斜率之積為可得,再聯(lián)立直線與橢圓的方程,表達(dá)出面積公式,再換元利用基本不等式求解即可.【詳解】(Ⅰ)設(shè),,則,又,,故,即,故,又,故.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(Ⅱ)設(shè)直線的方程為,,由,故,又,故,因?yàn)樘幍那芯€相互垂直故.故直線的方程為.聯(lián)立故.故,代入韋達(dá)定理有設(shè),則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系式求解橢圓基本量求方程的方法,同時(shí)也考查了拋物線的切線問題以及橢圓中面積的最值問題,需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線斜率,再換元利用基本不等式求解.屬于難題.20、(1)(1)不存在,理由見解析【解析】

(1)利用離心率和過點(diǎn),列出等式,即得解(1)設(shè)的方程為,與橢圓聯(lián)立,利用韋達(dá)定理表示中點(diǎn)N的坐標(biāo),用點(diǎn)坐標(biāo)表示,利用韋達(dá)關(guān)系代入,得到關(guān)于k的等式,即可得解.【詳解】(1)由題意,可得解得則,故橢圓的方程為.(1)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),,不符合題意.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí),設(shè)的方程為,聯(lián)立得,設(shè),則,,,即.設(shè),則,,,則,即,整理得,此方程無解,故的方程不存在.綜上所述,不存在直線使得.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了弦長和中點(diǎn)問題,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.21、(1)證明見解析,;(2)【解析】

(1)由成等差數(shù)列,可得到,再結(jié)合公式,消去,得到,再給等式兩邊同時(shí)加

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