【班海精品課件】北師大版（新）九年級(jí)下-3.4圓周角和圓心角的關(guān)系 第一課時(shí)

4圓周角和圓心角的關(guān)系第1課時(shí)一鍵發(fā)布配套作業(yè)&AI智能精細(xì)批改（任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇章節(jié)）目錄課前導(dǎo)入新課精講學(xué)以致用課堂小結(jié)課前導(dǎo)入情景導(dǎo)入回顧舊知什么是圓心角？它具有哪些性質(zhì)？班?！蠋熤腔劢虒W(xué)好幫手班海，老師們都在免費(fèi)用的數(shù)學(xué)作業(yè)精細(xì)批改微信小程序！感謝您下載使用【班?！拷虒W(xué)資源！為什么他們都在用班海？一鍵發(fā)布作業(yè)，系統(tǒng)自動(dòng)精細(xì)批改（錯(cuò)在哪？為何錯(cuò)？怎么改？），從此告別批改作業(yè)難幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，培養(yǎng)規(guī)范答題好習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)解題能力快速查看作業(yè)批改詳情，全班學(xué)習(xí)情況盡在掌握多個(gè)班級(jí)可自由切換管理，學(xué)生再多也能輕松當(dāng)老師無(wú)需下載，不占內(nèi)存，操作便捷，永久免費(fèi)！掃碼一鍵發(fā)布數(shù)學(xué)作業(yè)AI智能精細(xì)批改(任務(wù)-發(fā)布任務(wù)-選擇題目)新課精講探索新知1知識(shí)點(diǎn)圓周角的定義圖中∠ACB的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)？AOBC頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．如：∠ACB．探索新知圓周角的特征：①角的頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都與圓相交，這兩個(gè)特征是判定圓周角不可缺少的條件．探索新知如圖，下列各角是圓周角的是(

)A．∠AOD

B．∠AOC

C．∠BAD

D．∠BOD可根據(jù)圓周角的定義進(jìn)行判斷，顯然∠AOD，∠AOC，∠BOD均是圓心角，只有∠BAD符合圓周角的兩個(gè)特征．導(dǎo)引：

例1C探索新知總

結(jié)判斷一個(gè)角是否為圓周角，關(guān)鍵是看這個(gè)角是否具備圓周角的兩個(gè)特征：(1)角的頂點(diǎn)在圓上；(2)角的兩邊都與圓相交，二者缺一不可．典題精講下列四個(gè)圖中，∠x(chóng)為圓周角的是(

)1C典題精講如圖，圖中的圓周角共有______個(gè)，其中

所對(duì)的圓周角是______________，

所對(duì)的圓周角是______________．24∠C與∠D∠A與∠B探索新知2知識(shí)點(diǎn)圓周角和圓心角的關(guān)系如圖，∠AOB=80°.(1)請(qǐng)你畫(huà)出幾個(gè)

所對(duì)的圓周角，這幾

個(gè)圓周角有什么關(guān)系？與同伴進(jìn)行交流.(2)這些圓周角與圓心角∠AOB的大小有什么關(guān)系？你是

怎樣發(fā)現(xiàn)的？與同伴進(jìn)行交流.

在圖中，改變∠AOB的度數(shù)，你得到的結(jié)論還成立嗎？做一做OAB探索新知?dú)w納圓周角定理：圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半.探索新知1.圓周角定理的證明：

已知：如圖，∠C是

所對(duì)的圓周角，∠AOB是

所對(duì)的圓心角.

求證：∠C=

∠AOB

分析：根據(jù)圓周角和圓心的位置關(guān)系，分三種情況討論：探索新知(1)圓心O在∠C的一條邊上，如圖(1).

∵∠AOB是△AOC的外角，∴∠AOB=∠

A+∠C.∵

OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，

即∠C=

∠AOB.

請(qǐng)你完成圖(2)和圖(3)兩種情況的證明.證明：(1)圓心O在∠C的一條邊上，如圖(1)；(2)圓心O在∠C的內(nèi)部，如圖(2)；(3)圓心O在∠C的外部，如圖(3).

在三種位置關(guān)系中，我們選擇(1)給出證明，其他情況可以

轉(zhuǎn)化為(1)的情況進(jìn)行證明.探索新知如圖，A，B，C，D是同一圓上的點(diǎn)，∠1＝68°，∠A＝40°，則∠D＝________．例2由圓周角定理的推論1可知∠C＝∠A＝40°，由三角形的外角性質(zhì)得∠D＝∠1－∠C＝68°－40°＝28°.導(dǎo)引：28°探索新知總

結(jié)

本題應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”將已知角轉(zhuǎn)化為與要求的角在同一個(gè)三角形中的角，然后利用三角形的外角性質(zhì)求解．探索新知如圖，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC的度數(shù)，并判斷∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之間的度數(shù)關(guān)系．例3解題的關(guān)鍵是分清同弧所對(duì)的圓心角和圓周角，如

所對(duì)的圓心角是∠AOC，所對(duì)的圓周角是∠ABC，

所對(duì)的圓心角是大于平角的∠α，所對(duì)的圓周角是∠ADC.導(dǎo)引：探索新知∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝

∠AOC＝75°.∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，∴∠ADC＝

∠α＝105°.∵∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC與∠ADC相等．又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∴∠ABC和∠ADC互補(bǔ)．解：典題精講如圖，在⊙O中，∠O

=50°，求∠A的度數(shù).1解：∵∠BAC與∠BOC

所對(duì)的弧都是

，∴∠BAC＝∠BOC＝

×50°

＝25°.O

ABC典題精講將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使頂點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為100°，150°，則∠ACB＝________．225°典題精講如圖，點(diǎn)A，B，C都在⊙O上，且點(diǎn)C在弦AB所對(duì)的優(yōu)弧上，如果∠AOB＝64°，那么∠ACB的度數(shù)是(

)A．26°B．30°C．32°D．64°3C典題精講如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO，AD，∠BAD＝20°，則下列說(shuō)法中正確的是(

)A．AD＝2OB

B．CE＝EOC．∠OCE＝40°D．∠BOC＝2∠BAD4D典題精講如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，∠CDB＝30°，⊙O的半徑為5cm，則圓心O到弦CD的距離為(

)A.cmB．3cmC．3cmD．6cm5A探索新知3知識(shí)點(diǎn)同弧或等弧所對(duì)的圓周角想一想

在如圖的射門(mén)游戲中，當(dāng)球員在B

，D，E處射門(mén)時(shí)，所形成的三個(gè)張角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么關(guān)系？你能用圓周角定理證明你的結(jié)論嗎？探索新知?dú)w納推論

同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.探索新知如圖，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°，AC＝2cm.(1)求∠BAC的度數(shù)；(2)求⊙O的周長(zhǎng)．例4(1)觀察圖形發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠BDC為同弧所對(duì)的圓周角，故∠BAC＝∠BDC＝60°；(2)要求圓的周長(zhǎng)，需先求出半徑，可利用垂徑定理，即連接OA，作OE⊥AC于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形求出半徑．導(dǎo)引：探索新知解：(1)在⊙O中，∠BDC與∠BAC均為

所對(duì)的圓周角，∴∠BAC＝∠BDC＝60°.(2)∵∠ACB＝60°，又由(1)知∠BAC＝60°，∴△ABC為等邊三角形．連接OA，作OE⊥AC于點(diǎn)E，

如圖所示．∵OE⊥AC，AC＝2cm，∴AE＝

cm.

在Rt△AOE中，∠AOE＝∠ABC＝60°，∴∠OAE＝30°.∴OE＝

OA.

又∵OE2＋AE2＝OA2，∴OA＝2cm.∴⊙O的周長(zhǎng)為2π×2＝4π(cm)．探索新知總

結(jié)

同一條弧所對(duì)的圓周角有無(wú)數(shù)個(gè)，它們都相等，這里特別要注意不要誤認(rèn)為“同弦所對(duì)的圓周角”相等

,因?yàn)橐粭l弦(非直徑)所對(duì)的圓周角的大小有兩種．典題精講如圖，哪個(gè)角與∠BAC相等？你還能找到哪些相等的角？1解：∠BDC＝∠BAC，如圖，

相等的角還有∠ADB＝∠ACB，

∠ACD＝∠ABD，

∠CAD＝∠CBD，

∠1＝∠2，∠3＝∠4.ABCD典題精講如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，∠CAB＝36°，則∠BCD的大小是(

)A．18°B．36°C．54°D．72°2B典題精講如圖，在⊙O中，AB＝BC，點(diǎn)D在⊙O上，∠CDB＝25°，則∠AOB＝(

)A．45°B．50°C．55°D．60°3︵︵B典題精講如圖，在⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝70°，則∠ADC的度數(shù)為(

)A．30°B．35°C．45°D．70°4B易錯(cuò)提醒如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的長(zhǎng)為(

)A．2B．4C．4D．8易錯(cuò)點(diǎn)：忽視勾股定理的應(yīng)用而致錯(cuò)C學(xué)以致用小試牛刀如圖，B，C是⊙A上的兩點(diǎn)，AB的垂直平分線與⊙A交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與線段AC交于點(diǎn)D.若∠BFC＝20°，則∠DBC＝(

)A．30°B．29°C．28°D．20°1A小試牛刀如圖，A，B，C是⊙O上的三點(diǎn)，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交⊙O于點(diǎn)F，則∠BAF等于(

)A．12.5°B．15°C．20°D．22.5°2B小試牛刀3如圖，在⊙O中，弦AB，CD垂直相交于點(diǎn)E.求證：∠BOC＋∠AOD＝180°.小試牛刀連接AC，因?yàn)閳A周角∠BAC與圓心角∠BOC同是BC所對(duì)的角，所以∠BOC＝2∠BAC.因?yàn)閳A周角∠ACD與圓心角∠AOD同是AD所對(duì)的角，所以∠AOD＝2∠ACD.在Rt△ACE中，∠BAC＋∠ACD＝90°，所以∠BOC＋∠AOD＝2∠BAC＋2∠ACD＝2(∠BAC＋∠ACD)＝2×90°＝180°.證明：小試牛刀4如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，CD⊥AB于點(diǎn)D，交AE于點(diǎn)F，連接AC，求證：AF＝CF.小試牛刀方法一：連接BC，如圖①.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，即∠ACF＋∠BCD＝90°.∵CD⊥AB，∴∠B＋∠BCD＝90°.∴∠B＝∠ACF.又∵點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，∴AC＝CE.∴∠B＝∠CAE.∴∠ACF＝∠CAE.∴AF＝CF.方法二：如圖②，延長(zhǎng)CD交⊙O于點(diǎn)H.∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，∴AC＝AH.又∵點(diǎn)C是AE的中點(diǎn)，∴AC＝CE.∴AH＝CE.∴∠ACF＝∠CAF.∴AF＝CF.證明：小試牛刀方法三：連接OC，如圖③.∵AC＝CE，OC過(guò)圓心，∴CO⊥AE.∴∠COD＋∠OAE＝90°.∵CD⊥OA，∴∠DOC＋∠DCO＝90°.∴∠DCO＝∠DAE.∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC.∴∠FCA＝∠CAF.∴AF＝CF.小試牛刀5如圖，AB為⊙O的一條弦，點(diǎn)C是劣弧AB的中點(diǎn)，E是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，且BE＝EF，線段CE交弦AB于點(diǎn)D.(1)求證：CE∥BF；(2)若線段BD的長(zhǎng)為2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶，求△BCD的面積(注：根據(jù)圓的對(duì)稱性可知OC⊥AB)．小試牛刀∵AC＝CB，∴∠AEC＝∠CEB.∵BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB.∵∠AEB為△BEF的外角，∴∠AEB＝∠EBF＋∠EFB，即2∠CEB＝2∠EBF.∴∠CEB＝∠EBF，∴CE∥BF.(1)證明：小試牛刀如圖，設(shè)AB交OC于點(diǎn)G.∵CE∥BF，∴

∵EA∶EB＝3∶1，BE＝EF，∴∵DB＝2，∴AD＝6.∵∠AEC＝∠CEB，∠A＝∠BCE，∴△ADE∽△CBE，∴∴CB＝2(2)解：小試牛刀∵CO⊥AB，∴BG＝(6＋2)÷2＝4.∴CG＝

∴S△BCD＝

BD?CG＝

×2×2＝2.小試牛刀6如圖，⊙O的半徑為1，A，P，B，C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC＝∠CPB＝60°.(1)判斷△ABC的形狀：______________.(2)試探究線段PA，PB，PC之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)P位于AB的什么位置時(shí)，四邊形APBC的面積最大？求出最大面積．等邊三角形小試