等差數(shù)列及其前n項和 講義-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列》第1節(jié)、等差數(shù)列及其前n項和一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1、等差數(shù)列定義：一般地，如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母表示。用遞推公式表示為或。2、等差數(shù)列的通項公式：；說明：等差數(shù)列（通常可稱為數(shù)列）的單調(diào)性：為遞增數(shù)列，為常數(shù)列，為遞減數(shù)列。3、等差中項的概念：，，成等差數(shù)列。4、等差數(shù)列的前和的求和公式：。5、要注意概念中的“從第2項起”．如果一個數(shù)列不是從第2項起，而是從第3項或第4項起，每一項與它前一項的差是同一個常數(shù)，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列。6、注意區(qū)分等差數(shù)列定義中同一個常數(shù)與常數(shù)的區(qū)別。二、等差數(shù)列的前n項和：等差數(shù)列的前和的求和公式：。三、等差數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)1、等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）在等差數(shù)列中，從第2項起，每一項是它相鄰二項的等差中項；（2）在等差數(shù)列中，相隔等距離的項組成的數(shù)列是等差數(shù)列，如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差數(shù)列中，對任意，，，；（4）在等差數(shù)列中，若，，，且，則,特殊地，SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的等差中項。（5）等差數(shù)列被均勻分段求和后，得到的數(shù)列仍是等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列。（6）兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列。（7）若數(shù)列是等差數(shù)列,則仍為等差數(shù)列。2、設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為，（1）若項數(shù)為偶數(shù)，設(shè)共有項，則：①；②；（2）若項數(shù)為奇數(shù)，設(shè)共有項，則：①(中間項)；②。3、,則,。4、如果兩個等差數(shù)列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是兩個原等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)。5、若與為等差數(shù)列，且前項和分別為與，則。6、等差數(shù)列的增減性：時為遞增數(shù)列，且當(dāng)時前n項和有最小值；時為遞減數(shù)列，且當(dāng)時前n項和有最大值。考點1、等差數(shù)列的定義、通項公式、基本運算1、等差數(shù)列的四種判斷方法（1）定義法：對于數(shù)列，若(常數(shù))，則數(shù)列是等差數(shù)列；（2）等差中項：對于數(shù)列，若，則數(shù)列是等差數(shù)列；（3）通項公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列；（4）前項和公式：(為常數(shù),)?是等差數(shù)列；（5）是等差數(shù)列?是等差數(shù)列。2、活用方程思想和化歸思想：在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程（組）獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準(zhǔn)它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算。3、特殊設(shè)法:三個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為；四個數(shù)成等差數(shù)列，一般設(shè)為.這對已知和,求數(shù)列各項,運算很方便。4、若判斷一個數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列，只需用驗證即可。5、等差數(shù)列的前n項和公式：若已知首項和末項，則，或等差數(shù)列{an}的首項是，公差是，則其前項和公式為。【例1-1】數(shù)列是等差數(shù)列，，，則?！纠?-2】記為等差數(shù)列的前項和．若，，則的公差為。【例1-3】設(shè)an是公差不為0的等差數(shù)列,滿足a42+a52=a【例1-4】朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升”。其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升”，在該問題中第3天共分發(fā)了升大米？【例1-5】已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且，，則?！揪?-1】設(shè)是等差數(shù)列，且a1=3，a2+a5=36，則的通項公式為?！揪?-2】下表中的數(shù)表為“森德拉姆篩”（森德拉姆，東印度學(xué)者），其特點是每行每列都成等差數(shù)列。234567…35791113…4710131619…5913172125…61116212631…Com]71319253137……在上表中，2017出現(xiàn)的次數(shù)為。:ZXXK]【練1-3】正項數(shù)列{}中，a1＝1，an＋1－eq\r(an＋1)＝an＋eq\r(an)。則=?！揪?-4】已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且滿足an＋1＝an＋2eq\r(an)＋1，a1＝2，則=?！揪?-5】若數(shù)列是正項數(shù)列，且，則等于?？键c2、等差數(shù)列的性質(zhì)1、等差數(shù)列的性質(zhì)是等差數(shù)列的定義、通項公式以及前n項和公式等基礎(chǔ)知識的推廣與變形，熟練掌握和靈活應(yīng)用這些性質(zhì)可以有效、方便、快捷地解決許多等差數(shù)列問題．2、等差數(shù)列的性質(zhì)多與其下標(biāo)有關(guān)，解題需多注意觀察，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系，加以應(yīng)用,故應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)解答問題的關(guān)鍵是尋找項的序號之間的關(guān)系。3、應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)要注意結(jié)合其通項公式、前n項和公式。4、解綜合題的成敗在于審清題目，弄懂來龍去脈，透過給定信息的表象，抓住問題的本質(zhì)，揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件，明確解題方向、形成解題策略?！纠?-1】數(shù)列滿足，且，，則?！纠?-2】我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤,中間三尺重幾何．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，問中間三尺共重斤?！薄纠?-3】在數(shù)列中，，，且（），則的值是?！纠?-4】已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列．公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋…＋a97＝50，求a3＋a6＋a9＋…＋a99=?！纠?-5】在等差數(shù)列中，若，且，則的最小值為?！揪?-1】已知是等差數(shù)列的前項和，且，給出下列五個命題：其中正確命題的為。①；②；③；④數(shù)列中的最大項為；⑤，【練2-2】在等差數(shù)列{an}中，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，則3a9－a13的值為。【練2-3】等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＝30，a5＋a6＋a7＋a8＝80，則a9＋a10＋a11＋a12的值為?！揪?-4】我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤，問次一尺各重幾何？”意思是：“現(xiàn)有一根金杖，長5尺，一頭粗，一頭細(xì)，在粗的一端截下1尺，重4斤；在細(xì)的一端截下1尺，重2斤；問依次每一尺各重多少斤？”設(shè)該金杖由粗到細(xì)是均勻變化的，其重量為，現(xiàn)將該金杖截成長度相等的10段，記第段的重量為，且，若，則。【練2-5】已知函數(shù)f(x)＝2x，等差數(shù)列{an}的公差為2.若f(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝4，則log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·…·f(a10)]＝.【練2-6】已知f(x)是定義在正整數(shù)集N*上的函數(shù)，當(dāng)x為奇數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝1；當(dāng)x為偶數(shù)時，f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5。（1）求證：f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)(n∈N*)成等差數(shù)列；（2）求f(n)的解析表達(dá)式?？键c3、等差數(shù)列的前n項和公式的綜合應(yīng)用1、求等差數(shù)列前項和的最值，常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值．當(dāng)，時，有最大值；，時，有最小值；若已知，則最值時的值（）則當(dāng)，，滿足的項數(shù)使得取最大值，(2)當(dāng)，時，滿足的項數(shù)使得取最小值。（2）利用等差數(shù)列的前n項和：(為常數(shù),)為二次函數(shù)，通過配方或借助圖像，二次函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值的方法求解；有時利用數(shù)列的單調(diào)性（,遞增；，遞減）；3、利用數(shù)列中最大項和最小項的求法：求最大項的方法：設(shè)為最大項，則有；求最小項的方法：設(shè)為最小項，則有.只需將等差數(shù)列的前n項和依次看成數(shù)列，利用數(shù)列中最大項和最小項的求法即可。4、在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用?！纠?-1】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝n2－4n＋1，求其通項公式?！纠?-2】在等差數(shù)列{an}中，已知a15＋a12＋a9＋a6＝20，則S20＝?！纠?-3】在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2010，其前n項的和為Sn。若eq\f(S2009,2009)－eq\f(S2007,2007)＝2，則S2010＝?！纠?-4】設(shè)等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別為Sn、Tn，若有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(2n－3,4n－3)，則eq\f(a9,b5＋b7)＋eq\f(a3,b8＋b4)的值為?！纠?-5】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,1＋x2)，那么f(1)＋f(2)＋…＋f(2006)＋f(eq\f(1,2))＋f(eq\f(1,3))＋…＋f(eq\f(1,2006))＝?！纠?-6】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn，a4=4,S5=15，若數(shù)列1【例3-7】在等差數(shù)列中，已知a1＝20，前n項和為，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時，有最大值，并求出它的最大值?！纠?-8】已知等差數(shù)列中，是數(shù)列的前項和，且（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求。【練3-1】已知正項數(shù)列的首項，前n項和為，若以為坐標(biāo)的點在曲線上，則數(shù)列的通項公式為?！揪?-2】已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d>0”是“S4+S6>2S5”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【練3-3】設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，已知S6＝36，Sn＝324，若Sn－6＝144(n>6)，則項數(shù)n=?！揪?-4】已知兩個等差數(shù)列｛an｝、｛bn｝的前n項和分別為Sn、Tn，且＝(n∈N+),則=?！揪?-5】設(shè)函數(shù)f(x)對任意x∈R都有f(x)＋f(1－x)＝eq\f(1,2)。（1）求f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(n－1,n))的值；（2）求f(0)＋f(eq\f(1,n))＋f(eq\f(2,n))＋…＋f(eq\f(n－2,n))＋f(eq\f(n－1,n))＋f(1)的值。【練3-6】已知數(shù)列是一個等差數(shù)列，且，。（1）求的通項；（2）求前n項和的最大值。【練3-7】已知遞增的等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，是和的等差中項，且。（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和?！緦W(xué)生練習(xí)題1】1、已知等差數(shù)列的前項和為，且，則。2、已知數(shù)列為等差數(shù)列，為的前項和，，若，，則，。3、等差數(shù)列滿足，函數(shù)，，則數(shù)列的前項和