高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類匯編拋物線方程新人教A版_第1頁
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)A. B. C.8 D.-8【答案】A【解析】由題意得:,解得:.故選:A2.(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))若動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)M的軌跡是(

)A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線【答案】D【解析】由題意,動(dòng)點(diǎn)滿足,即,即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離,又由點(diǎn)不在直線上,根據(jù)拋物線的定義,可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn),以的拋物線.故選:D.3.(2022·福建福州·高二期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1,則P的軌跡方程為(

)A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等,由拋物線的定義知,P的軌跡是以為焦點(diǎn),為準(zhǔn)線的拋物線,所以,軌跡方程為,故選:D類型二拋物線幾何性質(zhì)應(yīng)用4.(2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)(理))已知拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn),若,則(

)A. B.2 C. D.【答案】D【解析】,設(shè),,,則,得,由拋物線定義得故選:D5.(2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二階段練習(xí))已知拋物線的焦點(diǎn)為F,定點(diǎn),點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的最小值為(

).A.3 B.4 C.5 D.8【答案】C【解析】由題意可判斷在拋物線內(nèi)部,如圖示,作垂直于拋物線的準(zhǔn)線,垂足為E,則,故,過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,如圖中虛線位置,交拋物線于點(diǎn),則當(dāng)P點(diǎn)位于時(shí),即A,P,E三點(diǎn)共線時(shí),取得最小值,最小值為,故選:C.6.(2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí))我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點(diǎn)A,B處的兩條切線所圍成的三角形(P為兩切線的交點(diǎn))叫做“阿基米德三角形”.拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”,當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時(shí),具有以下性質(zhì):①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上;②;③.已知直線與拋物線交于A,B點(diǎn),若,則拋物線的“阿基米德三角形”頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),由題意,設(shè),,聯(lián)立,得,所以,,,解得,∴,當(dāng)時(shí),,所以直線PF方程為:,因?yàn)闉椤鞍⒒椎氯切巍保渣c(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上,所以點(diǎn),由拋物線對(duì)稱性可知,當(dāng)時(shí),,故選:B.類型三:齊次化解決定點(diǎn)定值問題1已知為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn),設(shè)分別為直線的斜率且.證明:直線的斜率為定值.解:設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn),設(shè)直線的方程為.由聯(lián)立得:即變形得:又,即即直線的斜率.2已知橢圓,四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.(1)求的方程;(2)設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為-1,證明:過定點(diǎn).解:(1)因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱,所以兩點(diǎn)在橢圓上.故又不在橢圓上,在橢圓上.解得故的方程為.(2)平移軸,建立以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系,如圖3所示在直角坐標(biāo)系下:已知,設(shè)設(shè)直線方程為易知橢圓的方程為變形得:由聯(lián)立得:化簡變形得:又,即.即.直線的方程為,直線過定點(diǎn)故在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn).類型四:拋物線的綜合應(yīng)用1.(2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二階段練習(xí)(理))已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為,過焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn),(1)求拋物線方程;(2)若,求的值;(3)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于四點(diǎn),且分別為線段的中點(diǎn),求的面積最小值.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)為,拋物線方程為:;(2)由題意知:,可設(shè)直線,,,,,即,由得:,,,即,解得:,;(3)由題意知:直線的斜率均存在,不妨設(shè),,,,,則;由得:,則,即;,,,;同理可得:,,(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)),面積的最小值為.2.(2022·全國·高二課時(shí)練習(xí))已知兩個(gè)定點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為和,動(dòng)點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(2)設(shè)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn),求點(diǎn)與軌跡上點(diǎn)之間距離的最小值;(3)過點(diǎn)的直線與軌跡在軸上方部分交于、兩點(diǎn),線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn),求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)設(shè),,,,,,因?yàn)?,則,所以,即.(2)設(shè)軌跡:上任一點(diǎn)為,所以,所以,令,對(duì)稱軸為:,當(dāng),即時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞增,所以時(shí),取得最小值,即,所以,當(dāng),即時(shí),在區(qū)間單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,所以時(shí),取得最小值,即,所以,所以(3)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),此時(shí):與軌跡不會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn),故不滿足題意;當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè):,、,代入,得,即,所以,,,因?yàn)橹本€與軌跡在軸上方部分交于、兩點(diǎn),所以,得,即;又、兩點(diǎn)在軸上方,所以,,即,所以,又,所以,所以中點(diǎn),即,所以垂直平分線為,令,得,因?yàn)?,所以,所以在時(shí)單調(diào)遞增,所以,即,所以點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為:.3.(2022·河南平頂山·高二期末(理))已知拋物線:()的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在上,點(diǎn)在的內(nèi)側(cè),且的最小值為.(1)求的方程;(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn),,直線,(為坐標(biāo)原點(diǎn))分別交直線于點(diǎn),記直線,,的斜率分別為,,,若,求的值.【答案】(1)(2)【解析】(1)的準(zhǔn)線為:,作于,則,所以,因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)側(cè),所以當(dāng)且僅當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值,所以,解得,所以的方程為.(2)由題意可知的斜率一定存在,且不為0,設(shè):(),聯(lián)立消去得,由,即,得,結(jié)合,知.記,,則直線的方程為.由得.易知,所以.同理可得.由,可得,即,化簡得,結(jié)合,解得.一、單選題1.(2022·湖北·高二階段練習(xí))在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線C:,點(diǎn)是的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)作的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則面積的最小值為(

)A. B. C.1 D.【答案】A【解析】如圖所示,,準(zhǔn)線的方程為,設(shè),,,由得,∴切線的方程為,而,即,又切線過點(diǎn),∴,即,同理切線的方程為,∴直線的方程為,則直線過定點(diǎn),當(dāng)AB平行于x軸時(shí),此時(shí)|AB|為拋物線的通徑,此時(shí),∴,當(dāng)且僅當(dāng)直線軸時(shí)取等號(hào),故選:A.2.(2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二開學(xué)考試)如圖,過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn),與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)(點(diǎn)位于之間)且于點(diǎn)且,則等于(

)A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)于點(diǎn),準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G,則,又,∴,又于點(diǎn)且,∴BE∥AD,∴,即,∴,∴等于.故選:B.3.(2022·江蘇常州·高二期末)已知拋物線的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,點(diǎn)P在拋物線上,直線PF交x軸于Q點(diǎn),且,則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為(

)A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】由題意得:,準(zhǔn)線方程為,因?yàn)?,所以,故點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為.故選:C4.(2022·安徽宣城·高二期末)已知拋物線的焦點(diǎn)為F,,點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí),=(

)A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】由題知,拋物線的準(zhǔn)線方程為,,過P作垂直于準(zhǔn)線于,連接,由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知,要使最小值,即最小,即最大,即直線斜率最大,即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為:,聯(lián)立拋物線方程:,整理得:則,解得即,解得,代入得或,再利用焦半徑公式得故選:B.二、多選題5.(2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高二期中)已知拋物線C:,圓F:(F為圓心),點(diǎn)P在拋物線C上,點(diǎn)Q在圓F上,點(diǎn)A,則下列結(jié)論中正確的是(

)A.的最小值是 B.的最小值是C.當(dāng)最大時(shí), D.當(dāng)最小時(shí),【答案】AC【解析】拋物線C:的焦點(diǎn),圓F:的圓心,半徑,對(duì)于A,的最小值是的最小值減去圓的半徑,又的最小值是1,的最小值是,A正確;對(duì)于B,設(shè),則,,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取“=”,所以的最小值是,B不正確;對(duì)于C,如圖所示,要使最大,當(dāng)且僅當(dāng)AQ與圓F相切,AP與拋物線C相切,且P,Q在x軸兩側(cè),所以當(dāng)最大時(shí),,C正確;對(duì)于D,因的最小值為,即P,A,Q共線,則當(dāng)最小時(shí),即,D不正確.故選:AC6.(2022·山東德州·高二期末)拋物線的焦點(diǎn)為F,若P是拋物線C上任意一點(diǎn),直線PF的傾斜角為,點(diǎn)M是線段PF的中點(diǎn),則下列說法正確的是(

).A.若,則 B.點(diǎn)M的軌跡方程為C.的最小值為 D.在y軸上存在點(diǎn)E,使得.【答案】BC【解析】拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線,對(duì)于A,直線的方程為:,由消去y并整理得,解得,,則或,A不正確;對(duì)于B,設(shè)點(diǎn),則點(diǎn),而P是拋物線C上任意一點(diǎn),于是得,即,所以點(diǎn)M的軌跡方程為,B正確;對(duì)于C,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”,即的最小值為,C正確;對(duì)于D,因點(diǎn)M的軌跡方程為,則設(shè),令,有,,于是得為銳角,D不正確.故選:BC7.(2022·重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試)已知拋物線,其焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,PQ是過焦點(diǎn)F的一條弦,點(diǎn),則下列說法正確的是(

)A.焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2B.焦點(diǎn),準(zhǔn)線方程C.的最小值是3D.以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切【答案】ACD【解析】:對(duì)B:由拋物線,可得,準(zhǔn)線

,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)A:由拋物線,可得,即,所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為,故選項(xiàng)A正確;對(duì)C:過點(diǎn)P作,垂足為,由拋物線的定義可得,所以(為點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離),當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,所以的最小值是3,故選項(xiàng)C正確;對(duì)D:過點(diǎn)P、Q分別作,,垂足分別為、,設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M,則弦PQ為直徑的圓的圓心為M,過點(diǎn)M作,垂足為,則為直角梯形的中位線,,又根據(jù)拋物線的定義有,,所以,所以以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切,故選項(xiàng)D正確;故選:ACD.8.(2022·河北·張家口市宣化第一中學(xué)高二期末)已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn),過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(

)A.點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1 B.若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的最小值為C.以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 D.【答案】BD【解析】如下圖:且準(zhǔn)線為,A:過的直線交拋物線于、,則該直線斜率存在時(shí)不為0,由拋物線性質(zhì)知:,即到焦點(diǎn)沒有最小距離,錯(cuò)誤;B:如上圖,拋物線準(zhǔn)線,要使的最小,則共線,即,正確;C:以為圓心,為半徑的圓或以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,而以為直徑的圓不與拋物線的準(zhǔn)線相切,錯(cuò)誤;D:令為,聯(lián)立拋物線可得:,則,,∴,.由,正確.故選:BD.三、解答題9.(2022·全國·高二單元測試)已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn),被y軸截得的弦長為4.(1)求圓心M的軌跡方程;(2)若的頂點(diǎn)在M的軌跡上,且點(diǎn)A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,直線BC經(jīng)過點(diǎn),求證:直線AB恒過定點(diǎn).【答案】(1);(2)證明見解析.【解析】(1)設(shè)動(dòng)圓圓心,由題意可得:,整理得:,所以動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程:.(2)依題意,直線BC經(jīng)過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸,設(shè),,直線BC的方程:,由消去x并整理得:,則有,,因點(diǎn)A、C關(guān)于x軸對(duì)稱,即直線AB不垂直于坐標(biāo)軸,設(shè)直線AB的方程:,由消去x并整理得:,顯然,而,于是得:,即,則因此直線AB的方程:,過定點(diǎn),所以直線AB恒過定點(diǎn).10.(2022·河南·華中師范大學(xué)附屬息縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí))已知拋物線C:(),過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和,交拋物線C于A,B兩點(diǎn),交拋物線C于D,E兩點(diǎn),拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3.(1)求拋物線C的方程;(2)若線段AB的中點(diǎn)為M,線段DE的中點(diǎn)為N,求證:直線MN過定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析(1)到焦點(diǎn)F的距離為3,則準(zhǔn)線為,,拋物線方程為.(2)由題意知和斜率均存在,,設(shè)直線方程為,則直線方程為,由聯(lián)立得,設(shè),則,故,同理得故直線MN方程為整理得,故直線MN過定點(diǎn)11.(2022·黑龍江·哈師大附中高二開學(xué)考試)已知點(diǎn),點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn),過作軸的垂線,垂足為,滿足.(1)曲線的方程(2)若為曲線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn),且滿足,延長分別交曲線于點(diǎn),求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)【解析】(1),點(diǎn)到直線的距離等于其到點(diǎn)的距離,點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線,曲線方程為:.(2)由題意知:直線斜率都存在,不妨設(shè)直線,,,由得:,則,;設(shè)直線,同理可得:,四邊形面積,又(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)),,即四邊形面積的最小值為.12.(2022·上?!?fù)旦附中高二期末)給出如下的定義和定理:定義:若直線l與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P,且l與的對(duì)稱軸不平行,則稱直線l與拋物線相切,公共點(diǎn)P稱為切點(diǎn).定理:過拋物線上一點(diǎn)處的切線方程為.完成下述問題:如圖所示,設(shè)E,F(xiàn)是拋物線上兩點(diǎn).過點(diǎn)E,F(xiàn)分別作拋物線的兩條切

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