高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試分類匯編拋物線方程新人教A版

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）A． B． C．8 D．-8【答案】A【解析】由題意得：，解得：.故選：A2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)M的軌跡是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】D【解析】由題意，動(dòng)點(diǎn)滿足，即，即動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離，又由點(diǎn)不在直線上，根據(jù)拋物線的定義，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，以的拋物線.故選：D.3．（2022·福建福州·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)到直線的距離比它到定點(diǎn)的距離小1，則P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)到直線的距離與定點(diǎn)的距離相等，由拋物線的定義知，P的軌跡是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以，軌跡方程為，故選：D類型二拋物線幾何性質(zhì)應(yīng)用4．（2022·貴州·遵義航天高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若，則（

）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】，設(shè)，，，則，得，由拋物線定義得故選：D5．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，定點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）．A．3 B．4 C．5 D．8【答案】C【解析】由題意可判斷在拋物線內(nèi)部，如圖示，作垂直于拋物線的準(zhǔn)線，垂足為E，則,故,過A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，如圖中虛線位置，交拋物線于點(diǎn)，則當(dāng)P點(diǎn)位于時(shí)，即A,P,E三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，最小值為，故選:C.6．（2022·重慶·西南大學(xué)附中高二階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦AB與過弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線所圍成的三角形（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②；③．已知直線與拋物線交于A，B點(diǎn)，若，則拋物線的“阿基米德三角形”頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，由題意，設(shè)，，聯(lián)立，得，所以，，，解得，∴，當(dāng)時(shí)，，所以直線PF方程為：，因?yàn)闉椤鞍⒒椎氯切巍保渣c(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)，由拋物線對(duì)稱性可知，當(dāng)時(shí)，，故選：B．類型三：齊次化解決定點(diǎn)定值問題1已知為拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，設(shè)分別為直線的斜率且.證明：直線的斜率為定值.解：設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)，設(shè)直線的方程為.由聯(lián)立得：即變形得：又，即即直線的斜率.2已知橢圓，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為-1，證明：過定點(diǎn).解：（1）因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以兩點(diǎn)在橢圓上.故又不在橢圓上，在橢圓上.解得故的方程為.（2）平移軸，建立以為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系，如圖3所示在直角坐標(biāo)系下：已知，設(shè)設(shè)直線方程為易知橢圓的方程為變形得：由聯(lián)立得：化簡變形得：又，即.即.直線的方程為，直線過定點(diǎn)故在原坐標(biāo)系下直線過定點(diǎn).類型四：拋物線的綜合應(yīng)用1．（2022·四川·威遠(yuǎn)中學(xué)校高二階段練習(xí)（理））已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，過焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，(1)求拋物線方程；(2)若，求的值；(3)過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于四點(diǎn)，且分別為線段的中點(diǎn)，求的面積最小值．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，拋物線方程為：；(2)由題意知：，可設(shè)直線，，，，，即，由得：，，，即，解得：，；(3)由題意知：直線的斜率均存在，不妨設(shè)，，，，，則；由得：，則，即；，，，；同理可得：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），面積的最小值為.2．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知兩個(gè)定點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為和，動(dòng)點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)為軸上一定點(diǎn)，求點(diǎn)與軌跡上點(diǎn)之間距離的最小值；(3)過點(diǎn)的直線與軌跡在軸上方部分交于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【解析】(1)設(shè)，，，，，，因?yàn)?，則，所以，即．(2)設(shè)軌跡：上任一點(diǎn)為，所以，所以，令，對(duì)稱軸為：，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，即，所以，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以時(shí)，取得最小值，即，所以，所以(3)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)：與軌跡不會(huì)有兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)：，、，代入，得，即，所以，，，因?yàn)橹本€與軌跡在軸上方部分交于、兩點(diǎn)，所以，得，即；又、兩點(diǎn)在軸上方，所以，，即，所以，又，所以，所以中點(diǎn)，即，所以垂直平分線為，令，得，因?yàn)?，所以，所以在時(shí)單調(diào)遞增，所以，即，所以點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為：.3．（2022·河南平頂山·高二期末（理））已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，且的最小值為．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)的直線與拋物線交于不同的兩點(diǎn)，，直線，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）分別交直線于點(diǎn)，記直線，，的斜率分別為，，，若，求的值．【答案】(1)(2)【解析】(1)的準(zhǔn)線為：，作于，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在的內(nèi)側(cè)，所以當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，所以，解得，所以的方程為．(2)由題意可知的斜率一定存在，且不為0，設(shè)：（），聯(lián)立消去得，由，即，得，結(jié)合，知．記，，則直線的方程為．由得．易知，所以．同理可得．由，可得，即，化簡得，結(jié)合，解得．一、單選題1．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：，點(diǎn)是的準(zhǔn)線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則面積的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如圖所示，,準(zhǔn)線的方程為，設(shè)，，，由得，∴切線的方程為，而，即，又切線過點(diǎn)，∴，即，同理切線的方程為，∴直線的方程為,則直線過定點(diǎn)，當(dāng)AB平行于x軸時(shí),此時(shí)|AB|為拋物線的通徑，此時(shí)，∴，當(dāng)且僅當(dāng)直線軸時(shí)取等號(hào),故選：A．2．（2022·吉林·梅河口市第五中學(xué)高二開學(xué)考試）如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.3．（2022·江蘇常州·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF交x軸于Q點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，所以，故點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為.故選：C4．（2022·安徽宣城·高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，=（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】由題知，拋物線的準(zhǔn)線方程為，，過P作垂直于準(zhǔn)線于，連接，由拋物線定義知.由正弦函數(shù)知，要使最小值，即最小，即最大，即直線斜率最大，即直線與拋物線相切.設(shè)所在的直線方程為：，聯(lián)立拋物線方程：，整理得：則，解得即，解得，代入得或，再利用焦半徑公式得故選：B.二、多選題5．（2022·湖南·長沙市南雅中學(xué)高二期中）已知拋物線C：，圓F：（F為圓心），點(diǎn)P在拋物線C上，點(diǎn)Q在圓F上，點(diǎn)A，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．的最小值是 B．的最小值是C．當(dāng)最大時(shí)， D．當(dāng)最小時(shí)，【答案】AC【解析】拋物線C：的焦點(diǎn)，圓F：的圓心，半徑，對(duì)于A，的最小值是的最小值減去圓的半徑，又的最小值是1，的最小值是，A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值是，B不正確；對(duì)于C，如圖所示，要使最大，當(dāng)且僅當(dāng)AQ與圓F相切，AP與拋物線C相切，且P，Q在x軸兩側(cè)，所以當(dāng)最大時(shí)，，C正確；對(duì)于D，因的最小值為，即P，A，Q共線，則當(dāng)最小時(shí)，即，D不正確.故選：AC6．（2022·山東德州·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)為F，若P是拋物線C上任意一點(diǎn)，直線PF的傾斜角為，點(diǎn)M是線段PF的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）．A．若，則 B．點(diǎn)M的軌跡方程為C．的最小值為 D．在y軸上存在點(diǎn)E，使得．【答案】BC【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線，對(duì)于A，直線的方程為：，由消去y并整理得，解得，，則或，A不正確；對(duì)于B，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，而P是拋物線C上任意一點(diǎn)，于是得，即，所以點(diǎn)M的軌跡方程為，B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，即的最小值為，C正確；對(duì)于D，因點(diǎn)M的軌跡方程為，則設(shè)，令，有，，于是得為銳角，D不正確.故選：BC7．（2022·重慶市萬州第二高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試）已知拋物線，其焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，PQ是過焦點(diǎn)F的一條弦，點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為2B．焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程C．的最小值是3D．以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切【答案】ACD【解析】：對(duì)B：由拋物線，可得，準(zhǔn)線

，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)A：由拋物線，可得，即，所以焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為，故選項(xiàng)A正確；對(duì)C：過點(diǎn)P作，垂足為，由拋物線的定義可得，所以（為點(diǎn)到準(zhǔn)線l的距離），當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是3，故選項(xiàng)C正確；對(duì)D：過點(diǎn)P、Q分別作，，垂足分別為、，設(shè)弦PQ的中點(diǎn)為M，則弦PQ為直徑的圓的圓心為M，過點(diǎn)M作，垂足為，則為直角梯形的中位線，，又根據(jù)拋物線的定義有，，所以，所以以弦PQ為直徑的圓與準(zhǔn)線l相切，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.8．（2022·河北·張家口市宣化第一中學(xué)高二期末）已知點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)到焦點(diǎn)的最小距離為1 B．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值為C．以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切 D．【答案】BD【解析】如下圖：且準(zhǔn)線為，A：過的直線交拋物線于、，則該直線斜率存在時(shí)不為0，由拋物線性質(zhì)知：，即到焦點(diǎn)沒有最小距離，錯(cuò)誤；B：如上圖，拋物線準(zhǔn)線，要使的最小，則共線，即，正確；C：以為圓心，為半徑的圓或以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，而以為直徑的圓不與拋物線的準(zhǔn)線相切，錯(cuò)誤；D：令為，聯(lián)立拋物線可得：，則，，∴，.由，正確.故選：BD.三、解答題9．（2022·全國·高二單元測試）已知?jiǎng)訄AM過點(diǎn)，被y軸截得的弦長為4.(1)求圓心M的軌跡方程；(2)若的頂點(diǎn)在M的軌跡上，且點(diǎn)A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，直線BC經(jīng)過點(diǎn)，求證：直線AB恒過定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)設(shè)動(dòng)圓圓心，由題意可得：，整理得：，所以動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程：.(2)依題意，直線BC經(jīng)過點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)，，直線BC的方程：，由消去x并整理得：，則有，，因點(diǎn)A、C關(guān)于x軸對(duì)稱，即直線AB不垂直于坐標(biāo)軸，設(shè)直線AB的方程：，由消去x并整理得：，顯然，而，于是得：，即，則因此直線AB的方程：，過定點(diǎn)，所以直線AB恒過定點(diǎn).10．（2022·河南·華中師范大學(xué)附屬息縣高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線C：（），過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線和，交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，交拋物線C于D，E兩點(diǎn)，拋物線C上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離為3．(1)求拋物線C的方程；(2)若線段AB的中點(diǎn)為M，線段DE的中點(diǎn)為N，求證：直線MN過定點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析(1)到焦點(diǎn)F的距離為3，則準(zhǔn)線為，，拋物線方程為．(2)由題意知和斜率均存在，，設(shè)直線方程為，則直線方程為，由聯(lián)立得，設(shè)，則，故，同理得故直線MN方程為整理得，故直線MN過定點(diǎn)11．（2022·黑龍江·哈師大附中高二開學(xué)考試）已知點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過作軸的垂線，垂足為，滿足．(1)曲線的方程(2)若為曲線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且滿足，延長分別交曲線于點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．【答案】(1)(2)【解析】(1)，點(diǎn)到直線的距離等于其到點(diǎn)的距離，點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的拋物線，曲線方程為：.(2)由題意知：直線斜率都存在，不妨設(shè)直線，，，由得：，則，；設(shè)直線，同理可得：，四邊形面積，又（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），，即四邊形面積的最小值為.12．（2022·上?！?fù)旦附中高二期末）給出如下的定義和定理：定義：若直線l與拋物線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，且l與的對(duì)稱軸不平行，則稱直線l與拋物線相切，公共點(diǎn)P稱為切點(diǎn).定理：過拋物線上一點(diǎn)處的切線方程為.完成下述問題：如圖所示，設(shè)E，F(xiàn)是拋物線上兩點(diǎn).過點(diǎn)E，F(xiàn)分別作拋物線的兩條切