同濟(jì)大學(xué)-高數(shù)上冊知識點(diǎn)VIP

高等數(shù)學(xué)（上）期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)高等數(shù)學(xué)（上）期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)第第9頁共9頁高等數(shù)學(xué)上冊復(fù)習(xí)要點(diǎn)一、函數(shù)與極限（一）函數(shù)、；2、反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、函數(shù)的運(yùn)算；3、初等函數(shù)：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)；4、函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)；f(xx0連續(xù)

limx

f(x)

f(x0)第一類：左右極限均存在.間斷點(diǎn) 躍間斷點(diǎn)第二類：左右極限、至少有一個(gè)不存在.無窮間斷點(diǎn)、振蕩間斷點(diǎn)5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：有界性與最大值最小值定理、零點(diǎn)定理、介值定理及其推論.（二）極限1、 定數(shù)列極限nlimnn

a0,

N

nN

xna函數(shù)極限lim0x0

f(x)A0,

0,

x,當(dāng)0

x

時(shí)，f(x)A00

f(x)

lim0x0

f(x)

f(x)

lim0x0

f(x)limx

f(x)A存在

f(x)

f(x)002、 極限存在準(zhǔn)則001） 夾逼準(zhǔn)則：1）

xn

zn

(nn0)nlimynn

limz annn

limx annn2） 3、 無窮?。ù螅┝慷x：若lim0則稱為無窮小量；若lim無窮小的階：高階無窮小、同階無窮小、等價(jià)無窮小、k階無窮小Th1Th2

~;~,~,lim存在，則

limlim（無窮小代換）4、 求極限的方法單調(diào)有界準(zhǔn)則；夾逼準(zhǔn)則；

極限運(yùn)算準(zhǔn)則及函數(shù)連續(xù)性；兩個(gè)重要極限：sinx 1 1lim 1x 0 x

lim(1x)x0

lim(1 )xexx（x0）x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx1cosx

1x22ex1~x （ax1~xlna）x)~

log

(1x)~ xe)(1x)1~x

a lna）二、導(dǎo)數(shù)與微分（一）導(dǎo)數(shù)1、 定義

f(x0)

limxx

f(x)

f(x0)f(x

0)lim

xx0f(x)f(x0)0左導(dǎo)數(shù)： 0

xx

xx0f(x

)lim

f(x)f(x0)0右導(dǎo)數(shù)： 0

xx

xx0f(x

f(x0)

f(x0)2、 幾何意義

f(x0y

f(x)在點(diǎn)0

f(x0)處的切線的斜率.3、 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：4、 求導(dǎo)的方法；對數(shù)求導(dǎo)法.5、 高階導(dǎo)數(shù)d2yddy

dx2 dxdxLeibniz

uv(n)

nCu k (k)Cu nk0（二）微分y

f(x0x)

f(x0)

Axo(x)，其中A與x無關(guān).dy三、微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

f(x0)x

f(x0)dx（一）中值定理1Rolle

f(x)滿足：1）f(x)C[a,b]；

f(x)D(a,b)；

f(a)

f(b)；則a,b使f0.2Lagrange＊：若函數(shù)

f(x)滿足：1）f(x)C[a,b]； 2）f(x)D(a,b)；則ab使f(b

f(a)

f()(ba).3、Cauchy柯西 中值定理：若函

f(xF(x滿足：1f(x),F(x)C[a,b]；2f(x),F(x)D(a,b)3F(x),x(a,b)則ab使（二）洛必達(dá)法則（三）Taylor公式

f(b)f(a)F(b)F(a)

f（四）單調(diào)性及極值1、 單調(diào)性判別法

f(x)C[a,b]

f(xD(ab，則若

f(x)0，則f(x)單調(diào)增加；則若

f(x)0

f(x)單調(diào)減少.2、 極值及其判定定理：

f(x

f(x)的極值點(diǎn)，則f(x0)0.f(xf(x00xx0f(x)0xx0f(x0xx0f(x0xx0f(x)0的兩側(cè)f(x)不變號，則x0不是極值點(diǎn).f(xf(x00f(x00f(x00f(x00為極小值點(diǎn).3、 凹凸性及其判斷，拐點(diǎn)f(xx2

I

f(x1x2)2

f(x1)2

f(x2)，則稱f(x)在Ix2

I

f(x1x2)2

f(x1)2

f(x2)f(x在I上的圖形是凸的.f(x在[ab上連續(xù)，在(ab上有一階、二階導(dǎo)數(shù)，則若x(a,b),f(x)0f(x在[ab上的圖形是凹的；若x(a,b),f(x0f(x在[ab上的圖形是凸的.y

f(xf(xy

f(x)經(jīng)(x0

f(x0(x0,

f(x0))為曲線的拐點(diǎn).（五）不等式證明1、 利用微分中值定理；2、 利用函數(shù)單調(diào)性；3、 利用極值（最值）.（六）方程根的討論1、 連續(xù)函數(shù)的介值定理2、 Rolle定理；3、 函數(shù)的單調(diào)性；4、 極值、最值；5、 凹凸性.（七）漸近線1limxa2x

f(x)xa為一條鉛直漸近線；f(x)byb為一條水平漸近線；四、不定積分（一）概念和性質(zhì)1、 原函數(shù)：在區(qū)間上，若函數(shù)F(x)可導(dǎo)，且F(x)f(x)的一個(gè)原函數(shù).

f(xF(x稱為2、 不定積分：在區(qū)間上，函數(shù)

f(x)的帶有任意常數(shù)的原函數(shù)稱為

f(x)在區(qū)間I上的不定積分.3、 表P18，13；4、 性質(zhì)（線性性）.（二）換元積分法1、：

fx)dx

f(u)duux)2、第二類換元法（變量代換：三角代換、倒代換、根式代換等f(x)dx

f

t

(x)（三）分部積分法：udvuvvdu（反對冪指三，前U后V’）（四）12、變量代換（三角代換、倒代換、根式代換等）.五、定積分（一）概念與性質(zhì)：、 ：

f(x)dxlim

fi)ibn0bn

i1、 7）性質(zhì)7（積分中值定理） 函

f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則[a,b]，使baf(x)xb

bf()(ba)b

（

f)a

f(x)dxba ）（二）微積分基本公式（N—L公式）(x)

xf(t)dt

(x)

f(x)、 分設(shè) a 則d x)f(t)dt

f

f[(x)](x)bdx(x)b2、 N—L公式若F(x)

f(x)

f(x)dx

F(b)F(a)（三）換元法和分部積分ab、 ：ab

f(x)dx fbbb、 法：audvb（四）反常積分1、 無窮積分：

uvavduf(x)dxa

limttt

f(x)dxbb

f(x)dx

limb0tb0

f(x)dxf(x)dx

f(x)x

f(x)dx2、 瑕積分：bab

(x)dx

btb

f(x)dx

（a為瑕