數(shù)學(xué)運(yùn)算重在算理

PAGEPAGE4數(shù)學(xué)運(yùn)算重在算理524500廣東省吳川市第一中學(xué)柯厚寶高考數(shù)學(xué)中,對運(yùn)算能力的要求從刻意控制運(yùn)算量的處境逐漸轉(zhuǎn)化為承認(rèn)運(yùn)算、直面運(yùn)算的局面.這是由數(shù)學(xué)的學(xué)科性決定的,因?yàn)橹灰獯饠?shù)學(xué)試題、研究數(shù)學(xué)問題,就無法避免數(shù)學(xué)運(yùn)算.前幾年,每年在考試說明中都強(qiáng)調(diào)控制運(yùn)算量,但每年高考后,學(xué)生與老師們都有“運(yùn)算量偏大”的體會(huì),于是近年來,在考試說明中,干脆將運(yùn)算求解能力列為高考必考的五大能力之一.無法避免的事實(shí)讓它名正言順的存在,更合情合理.在很多人的觀念中,數(shù)學(xué)運(yùn)算僅指加、減、乘、除等狹義上的數(shù)字運(yùn)算.事實(shí)上,數(shù)學(xué)運(yùn)算應(yīng)包含更廣泛的式子運(yùn)算與符號(hào)運(yùn)算.樹立更廣泛的數(shù)學(xué)運(yùn)算理念,才能從根本上培養(yǎng)與提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.那么,在運(yùn)算過程中要樹立哪些算理,才能有效的提高運(yùn)算能力?本文作一點(diǎn)粗淺的探討,不當(dāng)之處,敬請指正.算理1以簡為先文[1]中,單壿先生提到一句話:化簡,不要“化繁”.其實(shí),它就是我們要堅(jiān)持的一種運(yùn)算理念.在運(yùn)算過程中,我們要樹立一種以簡為先的理念,從繁雜的運(yùn)算中演算出簡潔的結(jié)果,從而體現(xiàn)運(yùn)算的價(jià)值.例1過點(diǎn)作直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OAB的面積的最大值,并求此時(shí)直線的方程.解(1)當(dāng)直線軸時(shí),直線的方程為,代入橢圓方程解得,這時(shí)△0AB的面積:.(2)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線的方程為,,且,.由,得,∴=,令,有,得△0AB的面積,當(dāng),即時(shí)取等號(hào),這時(shí)直線的方程為.綜(1)(2)所述,△OAB的面積的最大值為,此時(shí)直線的方程為.評注以上解法體現(xiàn)了以簡為先的算理,順利的解決了問題.考慮到,為了回避絕對值麻煩,我們設(shè)定了,,為了直接的計(jì)算,我們將直線的方程設(shè)為,消去,從而得到的表達(dá)式(否則,若消去,由,將會(huì)帶更多的回路運(yùn)算,也給后面的運(yùn)算帶來更大的麻煩).所以,對待運(yùn)算,我們首先要考慮的是簡潔,盡量避免多余的無效回路運(yùn)算,提高運(yùn)算的速度與準(zhǔn)確性.算理2明確目標(biāo)ABCDAABCDA1B1C1D1P例2如圖,已知正方體的棱長為1,點(diǎn)P在棱上運(yùn)動(dòng)(不含兩點(diǎn)),設(shè).求的取值范圍.解設(shè),則,由余弦定理得,令.則=.當(dāng)時(shí),,而.令得.于是,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.∴當(dāng)時(shí),,即,∴.所以,的取值范圍是.評注結(jié)合圖形,我們估計(jì)是的一個(gè)極值,則是的一個(gè)實(shí)根,在這一目標(biāo)下,我們對頑強(qiáng)的求導(dǎo),再對明確的分解與配方,才能得到的單調(diào)性,進(jìn)而解決問題.所以,在展開運(yùn)算前,最好明確運(yùn)算的思路與目標(biāo),否則極易半途而廢.算理3整體而算對一道試題的運(yùn)算,應(yīng)視為一個(gè)整體.因?yàn)閷⑺鞑糠值倪\(yùn)算時(shí),它們內(nèi)部之間總會(huì)存在某種聯(lián)系.因此,提高運(yùn)算的全局觀,是提高運(yùn)算效率的有效途徑.例3中,,將繞BC、AC、AB邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的體積分別為、、,若.求的值.解可得,,繞AB邊旋轉(zhuǎn)得到兩個(gè)有共同底面的圓錐的組合幾何體,底面的半徑為,設(shè)它們的高分別為,則.∴.由得.∴,故.評注由無法求得、、的具體值,只能整體的代入消去.在解答問題的過程中,出現(xiàn)整體代換的情況是很常見的,當(dāng)遇上時(shí),若稍不注意,則極易陷入運(yùn)算的僵局.算理4偷梁換柱在數(shù)學(xué)運(yùn)算中,相同或類似的運(yùn)算是經(jīng)常存在的.這時(shí),若能善用“同理”進(jìn)行偷梁換柱,則可減少重復(fù)的運(yùn)算,降低運(yùn)算量,提高運(yùn)算效率.例3設(shè)函數(shù)(),其中,.(1)設(shè),證明:;(2)設(shè)···,···,···是1,2,···,n的任一排列,求證:++···+++···+++···+.證明(1)可得.由,,,得,,∴0=1\*GB3①.當(dāng)時(shí),=1\*GB3①取等號(hào);當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減.∴=1,得,又,于是.易得,當(dāng)或時(shí),等號(hào)成立.(2)記++···+,將該式從左到右作如下調(diào)整:若,交換與的位置,否則,不作交換.設(shè)經(jīng)第一次調(diào)整后得,由(1)知,對作同樣的調(diào)整得,依此下去···,經(jīng)過有限次調(diào)整可得=++···+,有···,注意到以上調(diào)整等號(hào)成立的條件是···=或···=,于是++···+++···+.對于++···+,再從左到右作如下調(diào)整:若,交換與的位置,否則,不作交換.同理得++···+++···+.當(dāng)···=或···=時(shí),等號(hào)成立.綜上所述,原不等式得證.評注在證明(2)中,先明前一不等式,再“同理”得到了后一不等式.避免了不少重復(fù)的運(yùn)算,提高了運(yùn)算效率.其實(shí),在很多論證與推算的過程中,用“同理”作偷梁換柱,是很奏效的.在培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力過程中,若能常常注意