彈性波波動方程及其解公開課一等獎省優(yōu)質(zhì)課大賽獲獎?wù)n件

第六章彈性波波動方程及其解§6.1線性彈性動力學(xué)基本方程基本方程運(yùn)動微分方程幾何方程本構(gòu)方程分析已知方程數(shù)——15個；未知數(shù)——15個；邊界條件和初始條件邊界條件

給定了彈性體在其邊界面上所滿足條件。邊界條件分類位移邊界條件：當(dāng)S=SU時應(yīng)力邊界條件：當(dāng)S=St時混合邊界條件：當(dāng)S=SU+St時在St上在SU上初始條件初始條件給定了彈性體在時刻t=0時位移和速度，稱為初始條件。在V+S彈性體上有：定解條件邊界條件+初始條件彈性波動力學(xué)求解路線彈性波動力學(xué)問題表述：彈性體形狀、大小以及其物理性質(zhì)(即密度和彈性系數(shù))；彈性體所受外來作用體力及表面力；彈性體所受約束性；彈性體各點(diǎn)初始位移及初始速度，求:彈性體內(nèi)位移場、應(yīng)變場及應(yīng)力場。按應(yīng)力爭解按位移求解2三維三分量波動方程各向同性介質(zhì)三維三分量波動方程納維方程是線性彈性假設(shè)條件下得到各向同性彈性體中彈性波最基本方程。指標(biāo)表示納維方程向量表示納維方程線性彈性體整個理論就是在定解條件下解納維方程。三維三分量含義位移場ui是空間坐標(biāo)x1、x2、x3函數(shù)，所以，是三維立體空間；位移場ui有u1

、u2

、u3三個分量，所以，是三分量；體力為零時納維方程

通常在研究地震波傳輸時，認(rèn)為地殼所受體力為零，即：f=0。此時，納維方程可表示為：3.彈性流體介質(zhì)中波動方程彈性流體介質(zhì)中基本方程幾何方程運(yùn)動微分方程(不計體力)本構(gòu)方程？彈性流體中本構(gòu)方程黏滯力：在實際流體中兩層流體間相互滑動時，流體間有相互作用阻力，稱其為黏滯力或內(nèi)摩擦力。理想流體介質(zhì)：能夠?qū)雎粤黧w稱為理想流體。在理想流體中只存在脹縮力，而不存在剪切力。

右圖為理想彈性體內(nèi)某個體元，其只受外法線方向相反正應(yīng)力，而無剪應(yīng)力。即：上式中P為壓力，當(dāng)體元為單位體元時，P可視為壓強(qiáng)。PP彈性流體中波動方程將上式代入運(yùn)動微分方程，得上式兩邊取散度將壓力與應(yīng)變關(guān)系代入上式§6.2無旋波和無散波斯托克斯-亥姆霍茲矢量定理

任何一個足夠平滑矢量場都能夠分解成無旋部分和無散部分，這稱為斯托克斯-亥姆霍茲矢量定理。結(jié)論無旋位移場散度對應(yīng)彈性休脹縮應(yīng)變場；無散位移場旋度對應(yīng)彈性體切應(yīng)變情形；在非穩(wěn)定條件下，這兩種場分別以波形式運(yùn)動著，故分別叫做無旋波和無散波，也稱之為脹縮波與等體積波。無旋位移場波動方程試證對于任意一階張量都成立！

結(jié)論：在均勻各向同性彈性體內(nèi)，膨脹擾動以速度VP向外傳輸。這種膨脹波稱為縱波或P波。其傳輸速度為VP

。假如只研究縱波傳輸問題，能夠不考慮振源影響，此時設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：無散位移場波動方程

結(jié)論：在均勻各向同性彈性體內(nèi)，切變擾動以速度VS向外傳輸。這種切變波稱為橫波或S波。其傳輸速度為VS

。假如只研究橫波傳輸問題，能夠不考慮振源影響，此時設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：體應(yīng)變表示縱波方程此時只有脹縮波，波有旋轉(zhuǎn)波！為何？假如只研究縱波傳輸問題，能夠不考慮振源影響，此時設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：上式表示波場是以速度VP向外傳輸無旋場。

轉(zhuǎn)動矢量表示橫波方程

彈性體發(fā)生剪切形變時，因為轉(zhuǎn)動很小，由矢量分析可知，定義轉(zhuǎn)動矢量：假如只研究橫波傳輸問題，能夠不考慮振源影響，此時設(shè)外力為”0”，則方程可簡化為：§6.3標(biāo)量勢與矢量勢

拉梅勢(Lame＇)依據(jù)斯托克斯—亥姆霍茲矢量分解定理，位移矢量場能夠分解成無旋場與無散場兩個部分。假如位移矢量表示納維方程二次可微，則存在一個標(biāo)量勢函數(shù)f和一個矢量勢函數(shù)y，此時位移場可表示為：同理，對于體力也存在一個標(biāo)量勢函數(shù)F和一個矢量勢函數(shù)A，此時體力可表示為：表示無旋場？表示無散場？以勢函數(shù)表示波動方程將勢函數(shù)代入上式，則：因為在空間區(qū)域V及任意時間區(qū)域中有上式成立，則有：假如對標(biāo)量勢表示波動方程兩邊取梯度假如對矢量勢表示波動方程兩邊取旋度假如F=A=0，則所以，用標(biāo)量勢函數(shù)和矢量勢函數(shù)表示縱波和橫波傳輸是合理！彈性波波動方程普通表示式

由以上討論可知，位移矢量u、位移勢函數(shù)f和y、體積應(yīng)變q及轉(zhuǎn)動角矢量W都含有相同方程形式，為了方便起見，能夠用統(tǒng)一方程表示。

當(dāng)有體力時，可表示為達(dá)朗貝爾方程當(dāng)只考慮波傳輸，不考慮體力時此時縱波波動方程為橫波波動方程§6.4三維三分量波動方程退化處理

以上講到波動方程都是三維三分量，與當(dāng)前地震勘探實際情況有此差異。因為條件限制，當(dāng)前在進(jìn)行地震勘探時全部檢波器都放在地面上，而且也主要是接收垂直地面垂向分量地震波。所以，在處理很多問題時我們將三維三分量波動方程進(jìn)行退化處理。所謂退化處理就是人為地降低波動方程維數(shù)或分量。二維單垂向分量波動方程(2D1VC)

二維單垂向分量是當(dāng)前常規(guī)二維地震勘探數(shù)據(jù)采集觀察方式，即在地表直測線上采集地震數(shù)據(jù)觀察方式。OX3X1上式就是所要求二維單垂向分量波動方程。i必須等于3結(jié)論接收點(diǎn)統(tǒng)計地震波場中，即有縱波成份又含有橫波成份。所得到統(tǒng)計是縱波與SV型橫波復(fù)合型地震波場。但因為地震波激發(fā)方式和接收方式等原因選擇設(shè)計，會使此復(fù)合型波場中縱波成份占主導(dǎo)地位。所以，通慣用以下式所表示聲波方程代替當(dāng)接收是ox1軸分量時情況又怎樣？i必須等于1當(dāng)接收是ox2軸分量時情況又怎樣？此時接收波場中只有橫波分量，沒有縱波分量！i必須等于2三維單垂向分量波動方程(3D1VC)三維單垂向分量是當(dāng)前常規(guī)三維地震勘探數(shù)據(jù)采集觀察方式；即在地表平面上采集地震數(shù)據(jù)觀察方式；取地表平面為ox1x2x3平面，所接收分量為u3，平行ox3軸垂直向下。此時，有：X1X2X3O

上式即為三維單垂向波動方程。分析上式可知，接收點(diǎn)響應(yīng)地震波場中即有縱波成份，同時也包含橫波成份。一維三分量波動方程一維三分量是當(dāng)前VSP測井中常規(guī)數(shù)據(jù)采集方式；即在一維線上激發(fā)與接收，所接收分量u=(u1,u2,u3)X1X2X3O平面波僅沿ox3軸傳輸平面波沿ox2軸傳輸平面波沿ox1軸傳輸沿過原點(diǎn)任意射線傳輸時當(dāng)平面波傳輸方向與ox1x2x3坐標(biāo)系任意一個坐標(biāo)軸都不重合時，此時平面波方程比較復(fù)雜。首先，以波傳輸方向為ox3軸建立一個新坐標(biāo)系；其次，就新坐標(biāo)系內(nèi)將平面波方程表示出來；最終，經(jīng)過坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)關(guān)系求出在舊坐標(biāo)系內(nèi)表示式?！?.5波動方程普通解平面波假設(shè)

平面波只是一個理想化模型。波前面離開波源足夠遠(yuǎn)時，能夠把波前面近似地看作平面，叫做平面波。平面波分類依據(jù)波函數(shù)對時間依賴關(guān)系：脈沖型、簡諧型；依據(jù)振幅隨場點(diǎn)坐標(biāo)改變：均勻平面波、非均均平面波；一維波動方程解因為平面被波前面是一系列相互平行平面，所以，同一波前面上各點(diǎn)振動情況完全相同，所以對于沿某一方向傳輸平面波，我們能夠選擇一個坐標(biāo)系，使得波就象在其中某一個坐標(biāo)軸方向上傳輸一樣。

行波法解令波傳輸方向沿ox1軸，則ui=ui(x1,t)；則此時波動方程為：由達(dá)朗貝爾方程，得一維波動方法為：上式即為一維波動方程通解，f1,f2為任意函數(shù)。上式意義f1(x-vt)表示由波源出發(fā)，以速度v，沿ox軸方向傳輸行波；?f2(x+vt)表示由無窮遠(yuǎn)處出發(fā)，以速度v，沿ox軸負(fù)方向傳輸行波；?坐標(biāo)軸上某點(diǎn)處波是由上述兩種行波干涉波疊加結(jié)果；上述行波法只考慮了波傳輸，沒有考慮波初始擾動和邊界情況等原因；所以，所得解沒有太多實用價值。地震波傳輸邊界條件和初始條件邊界條件給定了彈性體在其邊界面上所滿足條件，即稱之為邊界條件。位移邊界條件：在彈性體全部邊界面上都給定了位移Su。這類問題稱為第一類邊值問題。應(yīng)力邊界條件：在彈性體全部邊界面上都給定了表面力St。這類問題稱為第二類邊值問題?；旌线吔鐥l件：彈性體邊界面能夠分成兩部分，一部分給定了位移Su，另一部分給定了表面力St。這類問題稱為第三類邊值問題。初始條件

給定了彈性體在時刻t時位移和速度，稱為初始條件。如：定解條件

將所給彈性體邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件。由波動方程通解和定解條件，就能夠確定特定地震波傳輸。例題設(shè)理想彈性體組成彈性半空間，如圖所表示，假如彈性體材料拉梅系數(shù)和密度已知，所受體力f=ge3(g為常數(shù))，其邊界面上x3=0為自由界面，x3=h時u3=0。試求彈性體在均勻體力作用下位移和應(yīng)力分布。解因為彈性體處于靜力平衡狀態(tài)，而且，其在ox1、ox2方向上不受力，僅在ox3方向受力。所以，有：x1x3因為彈性體處于靜力平衡狀態(tài)，所以其速度和加速度為0。因為x3=0處界面為自由界面，所以其法向受力為0。從而由幾何方程和本構(gòu)方程即可求出對應(yīng)應(yīng)變張量和應(yīng)力張量！例2.設(shè)理想彈性體組成彈性半空間，如圖所表示，假如彈性體材料拉梅系數(shù)和密度已知。在t=0時，處于靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)t>0時，受均勻壓力P(t)，不計體力。試求：t>0時該彈性體位移場和應(yīng)力場。x1x3P(t)定解條件下一維平面波解沿任意方向傳輸平面波

普通情況下平面波不一定沿坐標(biāo)軸方向傳輸，這時波函是坐標(biāo)變量xi函數(shù)。在直角坐標(biāo)系下其方程為：

設(shè)平面波在ox'1方向上傳輸，n是波前面法向量，顯然n與ox'1軸正方向一致。

則平面波通解為：X1’波陣面上任意一點(diǎn)P都滿足上式，則P點(diǎn)在x'1軸上坐標(biāo)為:

平面波等相位面為：平面波傳輸條件

在均勻無限彈性空間中，平面波位移為ui，波傳輸方向為n，因為只有從振源出發(fā)平面波才有實際意義，則位移可寫為：

將以上四式代入納維方程，并令體力為零，于是得：選波沿ox3軸傳輸，則n1=n2=0,n3=1

上式是關(guān)于振幅a1,a2,a3三個齊方程，它有不為零解條件是它們行列式為“0”。這一結(jié)果表明，平面波在均勻無限彈性體內(nèi)，只能以速度vP或速度vS傳輸。波質(zhì)點(diǎn)位移與波傳輸方向間關(guān)系縱波情況位移標(biāo)量場標(biāo)量勢f滿足波動方程當(dāng)初研究沿n之正方向傳輸波時，有：

物理意義：在無旋波場中，質(zhì)點(diǎn)位移方向與波傳輸方向一致，通常稱之為縱波。橫波情況位移矢量場矢量勢y滿足方程當(dāng)研究沿n之正方向傳輸波時，有：

物理意義：無散波場中質(zhì)點(diǎn)位移方向與波傳輸方向垂直，通常稱為橫波。波前面應(yīng)力分布

當(dāng)彈性體在介質(zhì)中傳輸時，介質(zhì)因為變形產(chǎn)生應(yīng)力，由廣義虎克定律可知：

平面波分離變量法解要使上式對于任意xi和t，都成立，則每一個求和項必為一常數(shù)，令其為-ki2。解上述4個方程，得：∴平面波解可改寫為視速度定理非均勻平面波

假如波等位相面各點(diǎn)振動幅值不等，即等位相面和等振幅面并不平行，則稱之為非均勻平面波。

對于普通平面波來說，其波函數(shù)可取為：假如平面波是非均勻平面波時，則波數(shù)為復(fù)數(shù)此時，kj為實數(shù)由上式非均勻平面簡諧波波函數(shù)可知，其振幅不是常數(shù)，與空間點(diǎn)坐標(biāo)相關(guān)。由以上3個等式可知，此時等相位面與等振幅面相互垂直。波傳輸方向為等相位面法線方向；波衰減方向為等振幅面法線方向。非均勻平面波特點(diǎn)結(jié)論非均勻波不能在全空間中傳輸，它只能存在于介質(zhì)表面附近。這類波通常稱為表面波。任一非均勻平面波都可看作由許多均勻簡諧平面波迭加而成。球面波

假如彈性介質(zhì)位移矢量場含有球?qū)ΨQ性，且僅是空間變量r與時間變量t函數(shù)，而與方位角q、j

無關(guān)，這么波稱為球面波。直角坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系關(guān)系可表示為：§6.6有源地震波傳輸組成半空間理想彈性體密度、拉梅系數(shù)已知。當(dāng)t=0時，彈性體處理靜止?fàn)顟B(tài)；當(dāng)t>0時，彈性體受到均勻壓力P(t)作用，不計體力。求t>0時，彈性體內(nèi)位移場及應(yīng)力場。分析：此問題一樣是個一維問題

u1=u2=0u3=u3(x3,t)x1x3當(dāng)t>0時，彈性體在x3=0表面上受力為t1=t2=0,t3=P(t)。當(dāng)t=0時，彈性體處于平衡、靜止?fàn)顟B(tài)由已知位