2022年遼寧省盤錦市第二高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足任意，有，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．如圖，網(wǎng)格紙是由邊長為1的小正方形構(gòu)成，若粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．4．在中，，，分別為角，，的對(duì)邊，若的面為，且，則（）A．1 B． C． D．5．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．56．如圖，雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．7．設(shè)P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，則A．PQ B．QPC．Q D．Q8．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．4011．已知向量，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．12．如圖所示的“數(shù)字塔”有以下規(guī)律：每一層最左與最右的數(shù)字均為2，除此之外每個(gè)數(shù)字均為其兩肩的數(shù)字之積，則該“數(shù)字塔”前10層的所有數(shù)字之積最接近（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合，，則_____________.14．在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為________15．在的二項(xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024，則展開式常數(shù)項(xiàng)的值等于_______．16．如圖是九位評(píng)委打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均分為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)是，，在橢圓上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否是函數(shù)的極值點(diǎn)，并說明理由；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的值.20．（12分）已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程；（2）設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點(diǎn)為，曲線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)，求的周長的最大值．22．（10分）已知.（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若時(shí)不等式成立，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

化簡復(fù)數(shù)為、的形式，可以確定對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于的象限．【詳解】解：復(fù)數(shù)故復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為位于第三象限故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

由題意可得的周期為，當(dāng)時(shí)，，令，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，畫出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)，求得的取值范圍.【詳解】是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，滿足任意，，令，又，為周期為的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，當(dāng)，作出圖像，如下圖所示：函數(shù)至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，，若，的圖像和的圖像只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以，的圖像和的圖像至少有個(gè)交點(diǎn)，則有，即，.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)周期性及其應(yīng)用，解題過程中用到了數(shù)形結(jié)合方法，這也是高考?？嫉臒狳c(diǎn)問題，屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)三視圖還原為幾何體，結(jié)合組合體的結(jié)構(gòu)特征求解表面積.【詳解】由三視圖可知，該幾何體可看作是半個(gè)圓柱和一個(gè)長方體的組合體，其中半圓柱的底面半圓半徑為1，高為4，長方體的底面四邊形相鄰邊長分別為1，2，高為4，所以該幾何體的表面積，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的識(shí)別，利用三視圖還原成幾何體是求解關(guān)鍵，側(cè)重考查直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).4、D【解析】

根據(jù)三角形的面積公式以及余弦定理進(jìn)行化簡求出的值，然后利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由，得，∵，∴，即即，則，∵，∴，∴，即，則，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形的應(yīng)用，結(jié)合三角形的面積公式以及余弦定理求出的值以及利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．5、D【解析】

由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和等比數(shù)列的性質(zhì)計(jì)算．【詳解】由題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6、A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時(shí)，最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.7、C【解析】

解：因?yàn)镻={y|y=-x2+1，x∈R}={y|y1}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y>0},因此選C8、D【解析】

先求出球心到四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的距離，再加上側(cè)面三角形的高，即可求解.【詳解】設(shè)四個(gè)支點(diǎn)所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質(zhì)可得，又由到底面的距離即為側(cè)面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí)，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，是一道容易題.11、A【解析】

投影即為，利用數(shù)量積運(yùn)算即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考察了向量的數(shù)量積運(yùn)算，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

結(jié)合所給數(shù)字特征，我們可將每層數(shù)字表示成2的指數(shù)的形式，觀察可知，每層指數(shù)的和成等比數(shù)列分布，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式和對(duì)數(shù)恒等式即可求解【詳解】如圖，將數(shù)字塔中的數(shù)寫成指數(shù)形式，可發(fā)現(xiàn)其指數(shù)恰好構(gòu)成“楊輝三角”，前10層的指數(shù)之和為，所以原數(shù)字塔中前10層所有數(shù)字之積為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查與“楊輝三角”有關(guān)的規(guī)律求解問題，邏輯推理，等比數(shù)列前項(xiàng)和公式應(yīng)用，屬于中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由集合和集合求出交集即可.【詳解】解：集合，，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.14、1【解析】

設(shè)，令，的值即為所有項(xiàng)的系數(shù)之和?！驹斀狻吭O(shè)，令，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為。【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式所有項(xiàng)的系數(shù)的和的求法─賦值法。一般地，對(duì)于，展開式各項(xiàng)系數(shù)之和為，注意與“二項(xiàng)式系數(shù)之和”區(qū)分。15、【解析】

利用展開式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求得展開式中的常數(shù)項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,故的展開式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C·35-r,令,解得r=4,可得常數(shù)項(xiàng)為T5=C·3=15,故填15.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.16、1【解析】

寫出莖葉圖對(duì)應(yīng)的所有的數(shù)，去掉最高分，最低分，再求平均分．【詳解】解：所有的數(shù)為：77，78，82，84，84，86，88，93，94，共9個(gè)數(shù)，去掉最高分，最低分，剩下78，82，84，84，86，88，93，共7個(gè)數(shù)，平均分為，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖及平均數(shù)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標(biāo)，表示出，根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【詳解】（1）因?yàn)?，由橢圓的定義得，，點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設(shè)，，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.18、（1）是函數(shù)的極大值點(diǎn)，理由詳見解析；（2）1.【解析】

（1）將直接代入，對(duì)求導(dǎo)得，由于函數(shù)單調(diào)性不好判斷，故而構(gòu)造函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)在左右兩邊的正負(fù)情況，最后得出，是函數(shù)的極大值點(diǎn)；（2）利用題目已有條件得，再證明時(shí)，不等式恒成立，即證，從而可知整數(shù)的最小值為1.【詳解】解:（1）當(dāng)時(shí)，.令，則當(dāng)時(shí)，.即在內(nèi)為減函數(shù)，且∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)是增函數(shù)，在內(nèi)是減函數(shù).綜上，是函數(shù)的極大值點(diǎn).（2）由題意，得，即.現(xiàn)證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，即.即證令則∴當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.∴在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，的最大值為.∴當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，不等式成立.綜上，整數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值，最值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，由此來求解函數(shù)中的參數(shù)的取值范圍，對(duì)學(xué)生要求較高，然后需要學(xué)生能構(gòu)造新函數(shù)處理恒成立問題，為難題19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）把轉(zhuǎn)化成，令，由題意得，即證明恒成立，通過導(dǎo)數(shù)求證即可（2）直接求導(dǎo)可得，，令，得或，故根據(jù)0與的大小關(guān)系來進(jìn)行分類討論即可【詳解】證明：（1）令，則.分析知，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.所以當(dāng)時(shí)，.所以，即，所以.所以當(dāng)時(shí)，.解：（2）因?yàn)?，所?討論：①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，故此時(shí)函數(shù)僅有一個(gè)零點(diǎn)為0；②當(dāng)時(shí)，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極大值，所以極小值.當(dāng)時(shí)，有.又，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，令得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，.又極小值，所以極大值.若，則，得，所以，所以當(dāng)且時(shí)，，故此時(shí)函數(shù)還有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.綜上，所求實(shí)數(shù)的值為.【點(diǎn)睛】本題考查不等式的恒成立問題和函數(shù)的零點(diǎn)問題，本題的難點(diǎn)在于把導(dǎo)數(shù)化成因式分解的形式，如，進(jìn)而分類討論，本題屬于難題20、(1)(2)【解析】

（1）先利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可分別求出的值，從而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減求和法可求出數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】解：（1）由是遞增等比數(shù)列，，聯(lián)立，解得或，因?yàn)閿?shù)列是遞增數(shù)列，所以只有符合題意，則，結(jié)合可得，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式：；（2）由，∴；∴；那么，①則，②將②﹣①得：．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.21、（1）曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)（2）【解析】

（1）將代入，可得，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為．由可得，將，代入上式，可得，整理可得，所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)．（2）由題可設(shè)，，，所以，，，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，l取得最大值為，所以的周長的最大值為．22、（1）；（2）【解析】分析：(1)將代入函數(shù)解析式，求得，利用零點(diǎn)分段將解析式化為，然后利用分段函