中考數(shù)學難點攻克“K”字型幾何相似題型突破與練習

(全國通用)中考數(shù)學難點攻陷“K〞字型幾何相像題型打破與練習(全國通用)中考數(shù)學難點攻陷“K〞字型幾何相像題型打破與練習(全國通用)中考數(shù)學難點攻陷“K〞字型幾何相像題型打破與練習中考數(shù)學重難考點打破“K〞字型幾何相像題型研究與練習相像根本圖形中除了常有的“A〞字型、“X〞字型相像外，還有一個“K〞字型相像，也常用于各樣相像圖形中“K〞字型相像由特別到一般，題型常常豐富多彩，也是近幾年中考題中常有的一種根本圖形．認識一個根本圖形，有助于我們在復雜圖形中浸透此中的奇特，從而找到解決問題的打破口．種類1“K〞字型相像根本圖形1圖1例1條件：如圖1，B，C，E三點共線，∠B＝∠ACD＝∠E＝90°.結論：△ABC∽△CED.請證明結論正確【分析】證明兩個三角形相像有哪些方法？除了∠B＝∠E＝∠ACD以外，圖中還能夠找出哪些角相等？【答案】證明兩個三角形相像常用的判斷方法有：兩角對應相等的兩個三角形相像；兩邊對應成比率且夾角相等的兩個三角形相像；三邊對應成比率的兩個三角形相像等．依據(jù)余角的性質還能夠獲得∠A＝∠DCE，∠ACB＝∠D，從而可證得△ABC∽△CED.【應用】如圖2，點A(0，4)，B(4，1)，BC⊥x軸于點C，點P為線段OC上一點，且PA⊥PB，那么點P的坐標為________．圖2【分層分析】依據(jù)“K〞字型相像，圖中能夠找到哪兩個三角形相像？依據(jù)相像三角形又能夠獲得如何的比率式？設P(x，0)，那么依據(jù)比率式列出方程即可求得x的值，從而獲得點P的坐標．【解題方法點醒】“K〞字型相像根本圖形1，在于找尋三個直角相等，熟記根本圖形有益于迅速找到相像三角形，從而經(jīng)過成立方程解決問題．【答案】【分層分析】AOOP依據(jù)“K〞字型相像，可獲得△AOP∽△PCB，所以＝.PCCB設P(x，0)，由于AO＝OC＝4，BC＝1，所以OP＝x，PC＝4－x，所以4x4－x＝1，解得x＝2，從而獲得點P的坐標為(2，0)．[答案](2，0)[分析]∵PA⊥PB，∴∠APO＋∠BPC＝90°.∵AO⊥x軸，∴∠APO＋∠PAO＝90°，∴∠PAO＝∠BPC.又∵BC⊥x軸，AO⊥x軸，∴∠BCP＝∠POA＝90°，AOOP∴△BCP∽△POA，∴＝.PCCB∵點A(0，4)，B(4，1)，∴AO＝4，BC＝1，OC＝4.設P(x，0)，那么OP＝x，PC＝4－x，x4－x＝1，解得x＝2，∴點P的坐標為(2，0)．種類2“K〞字型相像根本圖形2例2條件：如圖3，B，D，C三點共線，∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α.圖3結論：△BDE∽△CFD.請證明：結論正確【分層分析】“K〞字型相像根本圖形2與根本圖形1有何聯(lián)系？如何證明∠E＝∠CDF?【答案】【分層分析】(1)兩個圖形都有三個角相等，根本圖形1是三個直角相等，而根本圖形2是根本圖形1的一般情況，更具廣泛性，兩個圖形的形狀均近似于字母“K〞，所以稱之為“K〞字型相像圖形．∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性質可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠CDF，∴∠E＝∠CDF.證明：∵∠B＝∠EDF＝∠C＝∠α，由外角性質可知∠EDC＝∠B＋∠E＝∠α＋∠E.又∵∠EDC＝∠EDF＋∠FDC＝∠α＋∠FDC，∴∠E＝∠FDC.又∵∠B＝∠C，∴△BDE∽△CFD.【應用】1．如圖4，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是梯形，CB∥OA，OC＝BA，OA＝7，BC＝1，AB＝5，點P為x軸上的一個動點，點P不與點O，A重合．連接CP，過點P作PD交AB于點D.圖4直接寫出點B的坐標：________；當點P在線段OA上運動時，使得∠CPD＝∠OAB，且BD∶AD＝3∶2，求點P的坐標．【分層分析】過點B作BQ⊥x軸于點Q，依題意可得OQ＝4，AQ＝3，AB＝5，依據(jù)勾股定理求出QB即可解答．依據(jù)“K〞字型相像，圖中能夠找到哪兩個三角形相像？依據(jù)相像三角形又能夠獲得如何的比率式？【答案】【分層分析】過點B作BQ⊥x軸于點Q，易求得BQ＝4，故獲得點B的坐標為(4，4)．由“K〞字型相像可獲得△POC∽△DAP，OCOP所以＝，APAD2設OP＝x，OC＝AB＝5，AD＝5AB＝2，AP＝7－x，5x所以7－x＝2，解得x＝2或x＝5，所以點P的坐標為(2，0)或(5，0)．解：(1)過點B作BQ⊥x軸于點Q.AB＝OC，AQ＝(7－1)÷2＝3，在Rt△BQA中，BA＝5，22由勾股定理，得BQ＝AB－AQ＝4，∴點B的坐標為(4，4)．∵∠CPA＝∠OCP＋∠COP，即∠CPD＋∠DPA＝∠COP＋∠OCP，而∠CPD＝∠OAB＝∠COP，∴∠OCP＝∠APD，∴△OCP∽△APD，OCOP∴＝.APADBD3∵＝，∴AD＝2.AD2設OP＝x，OC＝AB＝5，AP＝7－x，x7－x＝2，解得x＝2或x＝5，∴點P的坐標為(2，0)或(5，0)．42222．如圖5，直線y＝kx與拋物線y＝－27x＋3交于點A(3，6)．圖5求直線y＝kx的函數(shù)表達式和線段OA的長度．假定點B為拋物線上對稱軸右邊的點，點E在線段OA上(與點O，A不重合)，點D(m，0)是x軸正半軸上的動點，且知足∠BAE＝∠BED＝∠AOD探.究：m在什么范圍內時，符合條件的點E分別有1個、2個？【分層分析】(1)利用待定系數(shù)法求出直線y＝kx的函數(shù)表達式，依據(jù)A點坐標用勾股定理求出線段OA的長度．①延伸AB交x軸于點F，由∠BAE＝∠AOD可求出點F的坐標為________，從而再求得點B的坐標為________，此后由兩點間距離公式可求得線段

AB的長為________；②由條件∠

BAE＝∠BED＝∠AOD，可獲得“

K〞字型相像的根本圖形

2，故可獲得△________∽△________，設

OE＝a，那么由對應邊的比率關系能夠獲得

________．從而獲得對于

a的一元二次方程為

____________，此后依據(jù)根的鑒別式能夠分別獲得

a的值分別為

1個、2個時m的取值范圍．【解題方法點醒】“K〞字型相像根本圖形2，依據(jù)三個角相等，聯(lián)想到“K〞字型根本圖形1，便于迅速找到相像三角形，從而利用相像的相關性質解決問題．【答案】【例題分層分析】直線y＝kx的函數(shù)表達式為y＝2x，OA＝32＋62＝35.15①點F的坐標為(2，0)，點B的坐標為(6，2)，AB＝5.②依據(jù)“K〞字型相像的根本圖形2，可獲得△ABE∽△OED，設OE＝a，那么AE＝35－a(0＜a＜35)，AEOD由△ABE∽△OED得＝，ABOE35－am2∴5＝a，∴a－35a＋5m＝0，依題意知m>0，29∴當＝0，即(－35)－20m＝0，m＝4時，符合條件的點E有1個；當＞0，即(－35)2－20m＞0，0＜m＜9時，符合條件的點E有2個．4解：(1)把點A(3，6)的坐標代入y＝kx，得6＝3k，k＝2，∴y＝2x，OA＝32＋62＝35.如圖，延伸AB交x軸于點F，過點F作FC⊥OA于點C，過點A作AR⊥x軸于點R.∵∠AOD＝∠BAE，AF＝OF，3OC＝AC＝2OA＝25.∵∠ARO＝∠FCO＝90°，∠AOR＝∠FOC，∴△AOR∽△FOC，OFAO35315∴＝＝3＝5，∴OF＝5×5＝，OCOR22∴點F的坐標為15，0.215設直線AF的函數(shù)表達式為y＝ax＋b(a≠0)，把點A(3，6)，F(xiàn)2，0的坐標代入，解得a44＝－3，b＝10，∴y＝－3x＋10，4y＝－3x＋10，x1＝3，x2＝6，由22解得(舍去)，42y1＝6y2＝2，y＝－27x＋3，B(6，2)，∴AB＝5.∵∠BAE＝∠BED，ABE＋∠BAE＝∠DEO＋∠BED，∴∠ABE＝∠DEO.∵∠BAE＝∠EOD，∴△ABE∽△OED.設OE＝a，那么AE＝35－a(0＜a＜35)，AEOD由△ABE∽△OED得＝，ABOE35－am2即5＝a，∴a－35a＋5m＝0.依題意得m>0，29∴當＝0，即(－35)－20m＝0，m＝4時，符合條件的點E有1個；29當＞0，即(－35)－20m＞0，0＜m＜4時，符合條件的點E有2個．專題訓練1．如圖6，矩形ABCD的極點A，D分別落在x軸、y軸上，OD＝2OA＝6，AD∶AB＝3∶1，那么點C的坐標是()A．(2，7)B．(3，7)C．(3，8)D．(4，8)圖62．如圖7，在矩形ABCD中，把DA沿AF對折，使得點D與CB邊上的點E重合，假定AD＝10，AB＝8，那么EF＝________．圖73．如圖8，D是等邊△ABC邊AB上的點，AD＝2，BD＝4.現(xiàn)將△ABC折疊，使得點C與點DCF重合，折痕為EF，且點E，F(xiàn)分別在邊AC和BC上，那么＝________．CE圖84．如圖9，在直角梯形ABCF中，CB＝14，CF＝4，AB＝6，CF∥AB，在邊CB上找一點E，使以E，A，B為極點的三角形和以E，C，F(xiàn)為極點的三角形相像，那么CE＝________．圖95．如圖10，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝3，AB＝6.在底邊AB上取點E，在射線DC上取點F，使得∠DEF＝120°.當點E是AB的中點時，線段DF的長度是________；假定射線EF經(jīng)過點C，那么AE的長是________．圖106．將形狀、大小完滿同樣的兩個等腰三角形如圖11所示擱置，點D在AB邊上，△DEF繞點D旋轉，腰DF和底邊DE分別交△CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點．假定CA＝5，AB＝6，AD∶AB＝1∶3，那么MD＋12的最小值為________．MA·DN圖117．如圖12，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝7，AD＝9，BC＝12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F.假定點F與B重合，求CE的長；假定點F在線段AB上，且AF＝CE，求CE的長．圖128．如圖13，在△ABC中，AB＝AC，點P，D分別是BC，AC邊上的點，且∠APD＝∠B.求證：AC·CD＝CP·BP；假定AB＝10，BC＝12，當PD∥AB時，求BP的長．圖139．△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的極點E與△ABC的斜邊BC的中點重合，將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB訂交于點P，線段EF與射線CA訂交于點Q.如圖14①，當點Q在線段AC上，且AP＝AQ時，求證：△BPE≌△CQE.如圖14②，當點Q在線段CA的延伸線上時，求證：△BPE∽△CEQ；并求當BP＝2，CQ＝9時BC的長．圖1410．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，P為BC的中點，小明拿著含有30°角的透明直角三角板，使

30°角的極點落在點

P上，三角板繞點

P旋轉．(1)如圖

15①，當三角板的向來角邊和斜邊分別與

AB，AC交于點

E，F(xiàn)時，連接

EF，請說明△BPE∽△CFP.操作：將三角板繞點P旋轉到圖②的情況時，三角板的兩邊分別交BA的延伸線、邊AC于點E，F(xiàn)，連接EF.①研究1：△BPE與△CFP相像嗎？請說明原因；②研究2：△BPE與△PFE相像嗎？請說明原因．圖15參照答案51.【答案】A2.【答案】53.【答案】4284【.答案】2或12或5[分析]兩個三角形相像，可能是△EFC∽△EAB，也可能是△EFC∽△AEB，所以應分兩種情況討論，從而求CE的值即可．5.【答案】(1)6(2)2或5[分析](1)過點E作EG⊥DF，由E是AB的中點，得出DG＝，從而得出∠DEG＝°，由∠DEF360FG＝120°，得∠FEG＝60°，由tan∠FEG＝，即可求出GF的長，從而得出DF的長．GE過點B作BH⊥DC，延伸AB，過點C作CM⊥AB于點M，那么BH＝AD＝3，再由銳角三角函數(shù)的定義求出CH及BC的長，設AE＝x，那么BE＝6－x，利用勾股定理用x表示出DE及EC的長，再判斷出△EDC∽△BCE，由相像三角形的對應邊成比率即可得出對于x的方程，求出x的值即可．6.【答案】23[分析]先求出AD＝2，BD＝4，由“K〞字型相像可得△AMD和△BDN相像，依據(jù)相像三角形對應邊成比率可得MAMD＝，求出MA·DN＝4MD，再將所求代數(shù)式整理得出完滿平方的形式，此后依據(jù)BDDN非負數(shù)的性質求出最小值即可．解：(1)當點F和B重合時，EF⊥DE，∴DE⊥BC.∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，AB∥DE.∵AD∥BC，∴四邊形ABED是平行四邊形，AD＝EF＝9，CE＝BC－EF＝12－9＝3.過點D作DM⊥BC于點M，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB.AD∥BC，∴四邊形ABMD是矩形，AD＝BM＝9，AB＝DM＝7，CM＝12－9＝3.設AF＝CE＝a，那么BF＝7－a，EM＝a－3，BE＝12－a，可證△FBE∽△EMD，BFBE7－a12－a∴＝，即＝，EMDMa－37解得a＝5或a＝17.∵點F在線段AB上，AF＝CE＜AB＝7，∴CE＝5.解：(1)證明：∵∠APC＝∠PAB＋∠B，∠APD＝∠B，∴∠DPC＝∠PAB，又AB＝AC，∴∠ABP＝∠PCD，ABBP∴△ABP∽△PCD，∴＝，CPCDACBP∴＝，∴AC·CD＝CP·BP.CPCD(2)∵PD∥AB，∴∠DPC＝∠B，∴∠PAB＝∠B，又∠B＝∠C，∴∠PAB＝∠C.又∠PB