《數(shù)學(xué)物理方程》課程實(shí)施大綱

《數(shù)學(xué)物理方程》課程實(shí)施大綱目錄1．教學(xué)理念 41.1關(guān)注學(xué)生的發(fā)展 41.2關(guān)注教學(xué)的有效性 51.3關(guān)注教學(xué)的策略 51.4關(guān)注教學(xué)價(jià)值觀(guān) 52．課程介紹 52.1課程的性質(zhì) 52.2課程在學(xué)科專(zhuān)業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用 52.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì) 62.4學(xué)習(xí)本課程的必要性 63．教師簡(jiǎn)介 63.1教師的職稱(chēng)、學(xué)歷 63.2教育背景 63.3研究興趣（方向） 64．先修課程 65．課程目標(biāo) 65.1知識(shí)與技能方面 75.2過(guò)程與方法方面 75.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)方面 76．課程內(nèi)容 77.課程教學(xué)實(shí)施 107.1教學(xué)單元一 107.2教學(xué)單元二 217.3教學(xué)單元三 327.4教學(xué)單元四 397.5教學(xué)單元五 457.6教學(xué)單元六 567.7教學(xué)單元七 617.8教學(xué)單元八 667.9教學(xué)單元九 817.10教學(xué)單元十 887.11教學(xué)單元十一 977.12教學(xué)單元十二 1077.13教學(xué)單元十三 1137.14教學(xué)單元十四 1177.15教學(xué)單元十五 1217.16教學(xué)單元十六 1247.17教學(xué)單元十七 1287.18教學(xué)單元十八 1337.19教學(xué)單元十九 1487.20教學(xué)單元二十 1517.21教學(xué)單元二十一 1547.22教學(xué)單元二十二 1587.23教學(xué)單元二十三 1658．課程要求 1779．課程考核方式及評(píng)分規(guī)程 17710．學(xué)術(shù)誠(chéng)信規(guī)定 17711．課堂規(guī)范 17712．課程資源 17713．教學(xué)契約 17814．其他說(shuō)明 178教學(xué)理念1.1關(guān)注學(xué)生的發(fā)展以學(xué)生為主體，關(guān)注學(xué)生情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)的體現(xiàn)與發(fā)展。教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)的能力，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情，同時(shí)要將學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和人才建設(shè)的培養(yǎng)相結(jié)合，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生積極的人生態(tài)度，正確的價(jià)值觀(guān)、人生觀(guān)和科學(xué)的世界觀(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、邏輯思維能力和空間思維能力，發(fā)揮學(xué)生的主觀(guān)能動(dòng)性。采用提問(wèn)式、討論式、啟發(fā)式等教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到教學(xué)過(guò)程中來(lái)。對(duì)課程內(nèi)容的理解上，授課教師應(yīng)對(duì)課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)講課思路清晰，化難為簡(jiǎn)。同時(shí)將一些實(shí)際問(wèn)題作為討論對(duì)象，有針對(duì)性的講解，盡量采用形象化的多媒體技術(shù)進(jìn)行講述，使學(xué)生較為容易接受。1.2關(guān)注教學(xué)的有效性在教學(xué)內(nèi)容取舍上，要講究教學(xué)實(shí)效，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)來(lái)進(jìn)行取舍；要理論聯(lián)系實(shí)際，常微分方程這門(mén)課程理論性強(qiáng)，較為抽象，因此，應(yīng)更多的將實(shí)際問(wèn)題中的實(shí)例引入課堂，這樣可以引起學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)興趣。1.3關(guān)注教學(xué)的策略本課程為了取得教學(xué)實(shí)效，授課教師制作了生動(dòng)形象的課件，主要由多媒體加板書(shū)的形式授課，并安排有課堂討論、自學(xué)寫(xiě)讀書(shū)報(bào)告、課堂練習(xí)等。1.4關(guān)注教學(xué)價(jià)值觀(guān)第一，要完成科學(xué)知識(shí)的講授和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的傳遞，發(fā)展學(xué)生智育；第二，要發(fā)展學(xué)生的智能和體能，使學(xué)生形成能力，掌握個(gè)人生存和為社會(huì)服務(wù)的本領(lǐng)；第三，要重視學(xué)生操作能力、動(dòng)手能力、實(shí)踐能力的培養(yǎng)，在理論和實(shí)踐結(jié)合上掌握知識(shí)，學(xué)習(xí)技術(shù)，習(xí)得方法；第四，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育，逐步使學(xué)生樹(shù)立正確的世界觀(guān)、科學(xué)的人生觀(guān)、形成良好道德品質(zhì)、行為習(xí)慣，樹(shù)立與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)相適應(yīng)的思想和品格。2．課程描述2.1課程的性質(zhì)數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)領(lǐng)域偏微分方程方向的最基本的入門(mén)課程。偏微分方程理論主要研究具有實(shí)際背景的偏微分方程或偏微分方程組，是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科之一。2.2課程在學(xué)科專(zhuān)業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用數(shù)學(xué)物理方程是從物理問(wèn)題中導(dǎo)出反映客觀(guān)物理量在空間和時(shí)間上相互制約關(guān)系的偏微分方程，是物理過(guò)程的數(shù)學(xué)表達(dá)式。眾多理工學(xué)科的本質(zhì)問(wèn)題都可歸屬于對(duì)相應(yīng)的數(shù)學(xué)物理方程的研究。因此，數(shù)學(xué)物理方程是理工專(zhuān)業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)課和必修課。該課程以偏微分方程作為研究對(duì)象，把數(shù)學(xué)理論、求解方法和物理實(shí)際緊密融合在一起。通過(guò)應(yīng)用物理定律對(duì)實(shí)際的物理問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述物理問(wèn)題的能力；通過(guò)學(xué)習(xí)典型的數(shù)學(xué)物理方程的求解，為學(xué)生儲(chǔ)備解決實(shí)際物理問(wèn)題的數(shù)學(xué)技能；通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)過(guò)程和物理意義的深入剖析，讓學(xué)生體會(huì)到形式與內(nèi)容得統(tǒng)一、科學(xué)內(nèi)在的美。因而，這門(mén)課程的開(kāi)設(shè)，不僅為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定了必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，而且提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)物理素質(zhì)，對(duì)學(xué)生將來(lái)進(jìn)一步開(kāi)展科學(xué)研究具有重要而深遠(yuǎn)的意義。課程不僅涉及知識(shí)面廣，包含了高等數(shù)學(xué)、線(xiàn)性代數(shù)、復(fù)變函數(shù)、常微分方程、積分變換、和物理學(xué)中熱廣電等知識(shí)，而且有大量的繁瑣數(shù)學(xué)推導(dǎo)，求解結(jié)果通常又是復(fù)雜的級(jí)數(shù)或者積分形式，其中又使用了三角函數(shù)或者特殊函數(shù)來(lái)表示。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì)偏微分方程是研究客觀(guān)世界數(shù)量間相互制約的有力工具。它的發(fā)展以核心數(shù)學(xué)中各分支的理論為基礎(chǔ)，反過(guò)來(lái)，它的任何重大理論進(jìn)展都豐富了核心數(shù)學(xué)二的內(nèi)容。自Hilbert關(guān)于邊值問(wèn)題和變分理論的著名問(wèn)題提出后的近百年來(lái)，偏微分方程的理論已取得了重大進(jìn)展，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他當(dāng)時(shí)所想象的范圍，大大加深了人們對(duì)偏微分方程理論本身和相關(guān)領(lǐng)域的人數(shù)。目前從事偏微分方程理論及其應(yīng)用研究的人數(shù)眾多：據(jù)說(shuō)占所有從事數(shù)學(xué)及其應(yīng)用研究的人數(shù)的一半以上。2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性數(shù)學(xué)物理方程作為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)發(fā)展所必須的一門(mén)理論基礎(chǔ)課，不僅是方程理論性與應(yīng)用性并舉的一門(mén)學(xué)科，更是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活問(wèn)題的一種重要的工具，它在物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域都有著廣泛而深入的應(yīng)用。數(shù)學(xué)物理方程主要是用數(shù)學(xué)方法探討物理現(xiàn)象的一門(mén)課程。學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程，討論三類(lèi)典型二階方程定解問(wèn)題的解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性：包括波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程等，為將來(lái)從事偏微分方程方向的科學(xué)研究以及相關(guān)的應(yīng)用行業(yè)的實(shí)際工作提供知識(shí)上的儲(chǔ)備。3．教師簡(jiǎn)介對(duì)不動(dòng)點(diǎn)理論、變分不等式等比較感興趣，先后在國(guó)內(nèi)外學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文20余篇，其中在《JournalofMathematicalAnalysisandApplications》,《FixedPointTheoryandApplications》和《InternationalJournalofElectronicsandCommunications(AEü)》等雜志發(fā)表SCI論文6篇，主持四川省教育廳項(xiàng)目1項(xiàng)，海南省科技廳自然科學(xué)基金項(xiàng)目1項(xiàng)。4．先修課程《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》、《線(xiàn)性代數(shù)》等是本課程的先修課程。5．課程目標(biāo)5.1知識(shí)與技能方面一、本學(xué)期要學(xué)的主要內(nèi)容1、建立偏微分方程（PDE）應(yīng)用數(shù)學(xué)理論、方法及有關(guān)技巧，研究一些具有典型意義的物理現(xiàn)象，導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型──偏微分方程。2、偏微分方程（PDE）理論初步①、一些基本的方法和技巧：包括特征線(xiàn)法、分離變量法、Green函數(shù)法、Fourier變換法、能量不等式、極值原理以及基本解、廣義函數(shù)等等。②、討論三類(lèi)典型二階方程定解問(wèn)題的解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性：包括波動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方程和位勢(shì)方程。③、二階線(xiàn)性偏微分方程分類(lèi)二、《數(shù)學(xué)物理方程》課程的特點(diǎn)：1、數(shù)學(xué)理論、解題方法與物理實(shí)際有機(jī)結(jié)合?？梢詫W(xué)到：如何根據(jù)物理現(xiàn)象建立偏微分方程模型及尋找求解方法，并用偏微分方程有關(guān)理論來(lái)解釋物理現(xiàn)象。2、需要綜合應(yīng)用多門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)可以鞏固、復(fù)習(xí)有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，提高綜合運(yùn)用這些知識(shí)的能力。如《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》、《線(xiàn)性代數(shù)》等。3、解題過(guò)程較繁、計(jì)算量較大可以培養(yǎng)耐心、細(xì)致的計(jì)算能力，這也是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生必備的能力，是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的基本功。5.2過(guò)程與方法方面以課題講授為主，充分運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)進(jìn)行多媒體教學(xué)，提供直觀(guān)生動(dòng)的圖表資料以加深理解，同時(shí)結(jié)合習(xí)題課和現(xiàn)代應(yīng)用背景加以鞏固。5.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)方面教學(xué)要進(jìn)行“知識(shí)與技能，過(guò)程與方法，情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)”的整合。過(guò)去，側(cè)重于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平，不僅追求“知識(shí)和技能”的質(zhì)量，而且崇尚“過(guò)程與方法”的完美。學(xué)生掌握學(xué)習(xí)過(guò)程和方法，比學(xué)生得到標(biāo)準(zhǔn)正確的答案更重要。方法是能力，方法是人終身受益的工具。過(guò)程是產(chǎn)生價(jià)值的媒體，沒(méi)有過(guò)程就沒(méi)有認(rèn)知的發(fā)展，沒(méi)有過(guò)程就沒(méi)有情感、態(tài)度、價(jià)值觀(guān)的升華。只有在過(guò)程中，學(xué)生才能形成正確的價(jià)值取向，培養(yǎng)社會(huì)責(zé)任感，形成正確的世界觀(guān)、人生觀(guān)；學(xué)生才能學(xué)會(huì)做人，學(xué)會(huì)生存，學(xué)會(huì)創(chuàng)造的本領(lǐng)。6．課程內(nèi)容6.1課程的內(nèi)容概要第一章方程的到處和定解條件3學(xué)時(shí)1.守恒律。2.變分原理。3.定解問(wèn)題的適定性。要求：1.用Newton定律、守恒律及其它實(shí)驗(yàn)定律方法導(dǎo)出偏微分方程及定解條件。2.用變分原理推導(dǎo)Euler方程及定解問(wèn)題。3.理解定解問(wèn)題的適定性以及線(xiàn)性賦范空間，范數(shù)的概念第二章波動(dòng)方程14學(xué)時(shí)1.一階線(xiàn)性方程的特征線(xiàn)解法。2.初值問(wèn)題（一維情形）。3.初值問(wèn)題（高維情形）。4.混合問(wèn)題。要求：1.用特征線(xiàn)解法求解一類(lèi)一階線(xiàn)性方程。2.熟悉一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題分解為三個(gè)一維問(wèn)題，這三個(gè)問(wèn)題解之間的關(guān)系以及一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題解的表達(dá)式，依賴(lài)區(qū)間，決定區(qū)域和影響區(qū)域，掌握能量不等式，掌握半無(wú)界問(wèn)題的求解。。3.掌握高維（二維、三維）波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的解的表達(dá)式，熟悉惠更斯原理。4.掌握用分離變量法求解一維波動(dòng)方程混合問(wèn)題，理解其物理意義，共振現(xiàn)象，熟悉能量不等式，了解廣義解。第三章熱傳導(dǎo)方程14學(xué)時(shí)1.初值問(wèn)題。2.混合問(wèn)題。3.極值原理與最大模估計(jì)。要求：1.熱傳導(dǎo)方程定解問(wèn)題的解法，主要采用Fourier變換法及分離變量法。2.熱傳導(dǎo)方程定解問(wèn)題的解的性質(zhì)，掌握極值原理及最大模估計(jì)。3.系統(tǒng)地了解Fourier變換法及其運(yùn)算、廣義函數(shù)理論。第四章位勢(shì)方程10學(xué)時(shí)1.基本解與Green公式。2.極值原理與調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)。3.變分方法要求：1.位勢(shì)方程的基本性質(zhì)及有關(guān)技巧。。2.掌握基本解，Green函數(shù)法，極值原理，最大模估計(jì)，能量模估計(jì)。第五章二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)4學(xué)時(shí)1.分類(lèi)。2.具有非負(fù)特征的二階偏微分方程。要求：1.掌握一般二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)法。2.掌握常系數(shù)二階線(xiàn)性偏微分方程化簡(jiǎn)法。3.掌握具有二個(gè)自變量的二階線(xiàn)性偏微分方程化簡(jiǎn)法6.2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)數(shù)學(xué)物理方程學(xué)習(xí)難點(diǎn)：1、涉及較多的物理知識(shí)；2、大量應(yīng)用多元微積分、含參變量積分以及Fourier級(jí)數(shù)等有關(guān)的知識(shí)、技巧；3、綜合應(yīng)用多門(mén)已學(xué)課程；4、計(jì)算量較大。6.3學(xué)時(shí)安排內(nèi)容講課（學(xué)時(shí)）方程的導(dǎo)出和定解條件3波動(dòng)方程14熱傳導(dǎo)方程14位勢(shì)方程10二階線(xiàn)性偏微分方程的分類(lèi)47.課程教學(xué)實(shí)施7.1教學(xué)單元一7.1.1單元教學(xué)日期7.1.2單元教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：用Newton定律、守恒律及其它實(shí)驗(yàn)定律方法導(dǎo)出偏微分方程及定解條件。7.1.3單元教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)內(nèi)容：第一章第一節(jié)守恒律教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用數(shù)學(xué)推導(dǎo)出三類(lèi)偏微分方程教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)物理現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型7.1.4單元教學(xué)過(guò)程（請(qǐng)?jiān)敿?xì)描述教學(xué)實(shí)施過(guò)程）一些基本概念·PDE(偏微分方程PartialDifferentialEquation):含有多元未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方程；·ODE(偏微分方程O(píng)rdinaryDifferentialEquation);·PDE的階：方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)最高階偏導(dǎo)數(shù)的階；·線(xiàn)性PDE：方程中的任一項(xiàng)或者與未知函數(shù)無(wú)關(guān)，或者是已知函數(shù)與未知函數(shù)或其某一偏導(dǎo)數(shù)的乘積。·非線(xiàn)性PDE：不是線(xiàn)性的PDE統(tǒng)稱(chēng)為非線(xiàn)性PDE。本課程主要討論三類(lèi)二階線(xiàn)性PDE。例是二階線(xiàn)性PDE。是一階非線(xiàn)性PDE。第一章方程的導(dǎo)出和定解條件一、本章內(nèi)容：1、根據(jù)典型的問(wèn)題導(dǎo)出數(shù)學(xué)物理方程—偏微分方程。2、介紹變分原理。3、介紹偏微分方程基本概念。二、采用方法1、用Newton定律、守恒律及其它實(shí)驗(yàn)定律方法導(dǎo)出偏微分方程及定解條件。2、用變分原理推導(dǎo)Euler方程及定解問(wèn)題。§1.守恒律一、方程推導(dǎo)1、問(wèn)題提法一長(zhǎng)為的柔軟。均勻的細(xì)弦，拉緊后讓它離開(kāi)平衡位置，在垂直于弦線(xiàn)的外力的作用下，作微小的橫振動(dòng)，求在不同時(shí)刻弦線(xiàn)的形狀。2、數(shù)學(xué)提法以弦平衡位置所在直線(xiàn)為軸，弦運(yùn)動(dòng)平面內(nèi)，過(guò)弦的一端垂直于弦平衡位置的直線(xiàn)為軸，建立直角坐標(biāo)系。問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法：設(shè)時(shí)刻，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)處的位移為，求函數(shù)3、分析、假設(shè)①.波動(dòng)原因：對(duì)小段弦而言，弦受外力、張力共同作用引起位移、加速度變化，當(dāng)把小段弦視作質(zhì)點(diǎn)時(shí)，這小段弦服從Newton第二定律：（外力的合力=質(zhì)量*加速度）。②.術(shù)語(yǔ)及假設(shè)：柔軟—抗拉伸，不抗彎曲，從而拉力與弦線(xiàn)相切。均勻—弦的線(xiàn)密度為常數(shù)，可設(shè)為。細(xì)弦—弦的直徑與長(zhǎng)度之比遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于，弦可視為立項(xiàng)的曲線(xiàn)。外力—線(xiàn)密度可設(shè)為；方向：向上，向下。微小的振動(dòng)—，故其高階項(xiàng)可近似看著為。拉緊—弦的張力隨時(shí)間的變化可忽略不計(jì)。4.受力分析及各物理量計(jì)算公式①.受力分析：如圖：小段弦受外力、張力共同作用這里②.各量計(jì)算公式：垂直方向合力大?。ǚ较蛳蛏希浩渲袨橹赶蜉S正向的單位向量，為弧長(zhǎng)。水平方向合力大小：（，橫振動(dòng)）小段弦質(zhì)量：小段弦加速度：()③.各量近似、簡(jiǎn)化：根據(jù)微小振動(dòng)條件因此由數(shù)學(xué)分析的近似關(guān)系：，，由橫向的平衡條件得：5.方程導(dǎo)出由Newton第二定律及前面的計(jì)算公式、近似公式可得：于是得令得：兩邊同除以，就得出弦振動(dòng)方程：，其中，。注意：由前面的推導(dǎo)，邊界張力的垂直分量為：，總結(jié)：弦振動(dòng)方程：，其中，。是弦的線(xiàn)密度，是弦的張力的大小，是外力的線(xiàn)密度，和是正數(shù)，外力方向向上，外力方向向下。左端點(diǎn)張力的垂直分量為：，右端點(diǎn)張力的垂直分量為：。二、定解條件1、初始條件：①.已知初始位移：，，②.已知初始速度：，，2.邊界條件：①.第一類(lèi)邊界條件：（已知邊界位移），，，當(dāng)（或）時(shí)，稱(chēng)該端為固定端。②.第二類(lèi)邊界條件：（已知邊界張力垂直分量），，，當(dāng)（或）時(shí)，稱(chēng)該端為自由端。③.第三類(lèi)邊界條件：（邊界有彈性支撐情形），，，，其中，，。三、定解問(wèn)題提法（PDE術(shù)語(yǔ)）1、定解條件（從方程中確定解的條件）：初始條件、邊界條件的統(tǒng)稱(chēng)。注意：定解條件是不能隨意施加的！2、定解問(wèn)題：方程+定解條件。3、弦振動(dòng)方程的定解問(wèn)題：弦振動(dòng)方程+兩個(gè)初始條件+邊界條件之一也稱(chēng)為弦振動(dòng)方程的混合問(wèn)題。弦振動(dòng)方程的第一邊值（Dirchlet）問(wèn)題：弦振動(dòng)方程的第二邊值（Neumann）問(wèn)題；弦振動(dòng)方程的第三邊值問(wèn)題：4、Cauchy問(wèn)題（或初值問(wèn)題）：對(duì)于弦線(xiàn)中某一段，如果在所考慮的時(shí)間內(nèi)，弦端點(diǎn)的影響可以忽略不計(jì)時(shí)，可以認(rèn)為弦長(zhǎng)為無(wú)窮，這時(shí)問(wèn)題化為：五、附注1、弦振動(dòng)方程具有典型性，許多有關(guān)振動(dòng)問(wèn)題同樣可以用此方程來(lái)刻畫(huà)。由于振動(dòng)的一個(gè)共同特征是產(chǎn)生波的傳播，因此，此方程也稱(chēng)為一維波動(dòng)方程。2、弦振動(dòng)方程的混合問(wèn)題的邊界條件也可以是三類(lèi)邊界條件中的不同兩種。3、高維波動(dòng)方程與一維波動(dòng)方程類(lèi)似：這里為L(zhǎng)aplace算子，為維數(shù)。為維空間中的點(diǎn)。通常我們稱(chēng)該方程為波動(dòng)方程。波動(dòng)方程的混合問(wèn)題：波動(dòng)方程的第一邊值（Dirchlet）問(wèn)題：這里為的單位外法向。波動(dòng)方程的第二邊值（Neumann）問(wèn)題：這里為的單位外法向。波動(dòng)方程的第三邊值問(wèn)題：這里為的單位外法向。波動(dòng)方程的初值問(wèn)題（Cauchy問(wèn)題）4、平衡狀態(tài)問(wèn)題當(dāng)物體在外力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，物體的位移不再隨時(shí)間變化，此時(shí)，位移滿(mǎn)足：該方程稱(chēng)為Poisson方程。注：均勻彈性桿的微小縱振動(dòng)—均勻細(xì)桿在外力作用下沿桿長(zhǎng)方形作微小振動(dòng)設(shè)桿長(zhǎng)方向?yàn)檩S，為處的截面在時(shí)刻沿桿長(zhǎng)方向的位移，如上圖振動(dòng)中弦上點(diǎn)的張力大小由胡克定理確定：其中，一截面積、一彈性系數(shù)（楊氏模量）、—桿在該點(diǎn)的相對(duì)伸長(zhǎng)量。因此，區(qū)間兩端所受的張力為：，再由Newton第二定律，可推得滿(mǎn)足其中為桿的密度，為外力線(xiàn)密度?！?.2能量守恒與熱傳導(dǎo)方程一、問(wèn)題在三維空間中，考慮一均勻、各向同性的物體，假定它內(nèi)部有熱源，并且與周?chē)橘|(zhì)有熱交換，研究物體內(nèi)部溫度的分布和變化。二、問(wèn)題的數(shù)學(xué)提法及假設(shè)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)物體所處區(qū)域?yàn)榭臻g區(qū)域，物體在時(shí)刻，對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的溫度為。求?；炯僭O(shè)：均勻—物體的密度為常數(shù)，單位。各向同性—物體的比熱為常數(shù)，單位。內(nèi)部有熱源—假設(shè)物體的熱源強(qiáng)度為，單位，表示在單位時(shí)間，單位質(zhì)量的物體所產(chǎn)生的熱量。引入物理量：熱流密度：，單位，—表示在單位時(shí)間，流經(jīng)與垂直的單位面積的熱量為，方向同熱流方向一致。三、方程推導(dǎo)1.熱傳導(dǎo)過(guò)程分析：物體的溫度分布和變化的原因是物體內(nèi)各部分溫度不同，引起熱量的傳遞，此傳遞過(guò)程遵循能量守恒定律。2.能量守恒定律：物體內(nèi)熱量的增量，等于通過(guò)物體的邊界流入的熱量與物體內(nèi)部熱源產(chǎn)生的熱量總和。3.各量計(jì)算：我們考慮中的任一小塊物體，其邊界為，在任一小段時(shí)間內(nèi)，各量計(jì)算公式。①.熱量計(jì)算：比熱為常數(shù)，質(zhì)量為，溫度為的物體的熱量計(jì)算公式對(duì)于非常值溫度在時(shí)刻有：②.熱源產(chǎn)生熱量計(jì)算：由熱源強(qiáng)度定義，質(zhì)量為的物體在時(shí)間內(nèi)放出熱量為對(duì)于一般情形有：③.流經(jīng)邊界的熱量計(jì)算：如圖，對(duì)于小塊曲面在小段時(shí)間內(nèi)，假設(shè)熱流密度及曲面單位法向分別為及，二向量的夾角為。小塊曲面與垂直的實(shí)際有效面積為由熱流密度定義，在時(shí)間內(nèi)，通過(guò)流入所指一側(cè)的熱量為：將小塊曲面及小段時(shí)間進(jìn)行疊加可得：在時(shí)間內(nèi)，通過(guò)流出的熱量為4.建立方程對(duì)小塊物體在小段時(shí)間內(nèi)利用熱平衡方程可得：利用Fourier定律：在一定條件下，熱流向量與溫度梯度成正比，而方向相反，即：，這里為導(dǎo)熱系數(shù)，—表示熱流方向是從溫度高處向溫度低處流。因此于是得到：當(dāng)有關(guān)于，，連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)時(shí)，利用Gauss公式：可以得到進(jìn)一步，當(dāng)有關(guān)于有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)時(shí)，可得：由及，的任意性： 整理得：令則方程可化為：，稱(chēng)此方程為熱傳導(dǎo)方程?？偨Y(jié)：熱傳導(dǎo)方程：，其中為溫度。是物體的密度，熱傳導(dǎo)系數(shù)，是比熱，是熱源的強(qiáng)度，，，是正數(shù)，為放熱熱源，為吸熱熱源。熱量向量為：，通過(guò)邊界流出的熱量流密度為這里為上的單位外法向量。（單位時(shí)間，單位面積）。四、定解條件1.初始條件：2.邊界條件：a.第一類(lèi)邊界條件：已知邊界溫度分布，b.第二類(lèi)邊界條件：已知邊界熱流密度的法向分量，c.第三類(lèi)邊界條件：已知邊界有熱交換，熱交換定律：（在一定的條件下）在界面處沿法線(xiàn)法線(xiàn)的熱流量與界面處的溫度差成正比：設(shè)在處的外界的溫度為，的溫度為，（如圖所示）沿流出的熱量為：所以，其中比例系數(shù)，稱(chēng)為熱交換系數(shù)。注意當(dāng)時(shí)流出的熱量為證。于是，熱傳導(dǎo)方程的混合問(wèn)題：熱傳導(dǎo)方程的第一邊值（Dirchlet）問(wèn)題:熱傳導(dǎo)方程的第二邊值（Neumann）問(wèn)題:這里為的單位外法向。熱傳導(dǎo)方程的第三邊值問(wèn)題：這里為的單位外法向。熱傳導(dǎo)方程的初值問(wèn)題(Cauchy問(wèn)題)：平衡狀態(tài)問(wèn)題：當(dāng)物體熱流處于平衡狀態(tài)時(shí)，物體的溫度不再隨時(shí)間變化，此時(shí)，溫度滿(mǎn)足：該方程稱(chēng)為Poisson方程。五、一維、二維熱傳導(dǎo)方程1.細(xì)桿的熱傳導(dǎo)問(wèn)題:如果物體可看成一根細(xì)桿，它的側(cè)表面絕熱，與周?chē)橘|(zhì)的熱交換只在桿的兩端進(jìn)行，如果在任意一個(gè)與桿的軸線(xiàn)垂直的截面上，初始溫度和熱源強(qiáng)度變化很小，那么我們可以近似地認(rèn)為桿上的溫度分布只依賴(lài)于截面的位置，因此，如果桿的軸線(xiàn)為軸，則方程可改寫(xiě)為：，2.中心對(duì)稱(chēng)球的熱傳導(dǎo)問(wèn)題：考慮一半徑為的球體，它通過(guò)表面與周?chē)橘|(zhì)有熱交換，如果在球面上所有點(diǎn)所受周?chē)橘|(zhì)的影響都相同，且球內(nèi)任意一點(diǎn)的初始溫度和熱源強(qiáng)度只依賴(lài)于它到球心的距離而與它的方位無(wú)關(guān)，則方程為：，，3.二維軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的熱傳導(dǎo)方程：考慮一高度為，半徑為的圓柱形物體，引入柱坐標(biāo)系，取柱體的軸線(xiàn)為軸，下底落在平面上，假設(shè)在柱體的側(cè)表面和上、下底上給出的邊界條件只分別依賴(lài)于和（點(diǎn)到軸線(xiàn)的距離），且柱體初始溫度和內(nèi)部熱源也只是，的函數(shù)，這樣，在柱體內(nèi)溫度適合以下方程：，，，7.1.5教學(xué)方法：講授法，板書(shū)+PPT7.1.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：習(xí)題一1,2，6,7,8課后反思：1．如何運(yùn)用守恒律建立數(shù)學(xué)模型，并求解出方程的表達(dá)式。7.1.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．定積分，二重積分，三重積分的求解。7.1.8參考資料《數(shù)學(xué)物理方程講義》(1—5章),姜禮尚等編,高等教育出版社，p1-157.2教學(xué)單元二7.2.1單元教學(xué)日期7.2.2單元教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：用變分原理推導(dǎo)Euler方程及定解問(wèn)題。7.2.3單元教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)內(nèi)容：第一章第二節(jié)變分原理教學(xué)重點(diǎn)：極小曲面問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：膜的平衡問(wèn)題7.2.4單元教學(xué)過(guò)程（請(qǐng)?jiān)敿?xì)描述教學(xué)實(shí)施過(guò)程）§2變分原理一、概念與記號(hào)：1.函數(shù)空間：其中，，為中的開(kāi)集。且是中的有界閉集。函數(shù)實(shí)例：其中為常數(shù)，滿(mǎn)足：2.泛函：函數(shù)集合到實(shí)數(shù)集的映射稱(chēng)為泛函。例如：，是定義在上的泛函。3.變分問(wèn)題：某一特定泛函在其定義域上的極值問(wèn)題稱(chēng)為變分問(wèn)題。例如：求，使得下面考慮一個(gè)數(shù)學(xué)分析的基本問(wèn)題：設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，要找函數(shù)集合，滿(mǎn)足：1.盡可能小；2.中函數(shù)的性質(zhì)盡可能好，使得，如果，對(duì)成立，則于。常用的一種選擇是。因此，也稱(chēng)為實(shí)驗(yàn)函數(shù)空間。二、基本引理：引理2.1設(shè)為中有界區(qū)域，在連續(xù)，如果對(duì)于任意的，有：，則在上恒為零。證明圖示：，Green公式：設(shè)為中有界區(qū)域，分片光滑，如果，在上有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，則有：對(duì)于高維情形，中類(lèi)似有：一般地，有分部積分公式：這里，是的單位外法向量。§2.1極小曲面問(wèn)題一、問(wèn)題考慮平面上有界區(qū)域，在邊界上給定一條空間曲線(xiàn)，求一張定義在上的曲面，使得1.以為周界；2.的表面積最小。二、問(wèn)題的另一種提法在所有定義在上并以為周界的曲面中，求一曲面，使得它的表面積最小。三、問(wèn)題的變分提法：給定平面區(qū)域及上的空間曲線(xiàn)，在定義在上且以為周界的曲面集合中求曲面，使得它的表面積最小。由于有以下表示：定義在上的曲面面積計(jì)算公式為：因此，極小曲面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：求，使得這里是按以下方式定義：四、變分問(wèn)題的Euler方程（極值必要條件）：Step1.問(wèn)題轉(zhuǎn)化：設(shè)為問(wèn)題之解。令則對(duì)于任意的及任意的有：對(duì)于作函數(shù)，，則函數(shù)在時(shí)取得最小，因此，當(dāng)時(shí)有：。Step2.計(jì)算、導(dǎo)出積分形式的必要條件：由于：于是：Step3.導(dǎo)出Euler方程（即，必要條件）：若，則由Green公式得：（*）式對(duì)于任意的成立。由于，因此，（*）對(duì)于也成立，于是得：由引理2.1，從而得到必要條件（假設(shè)）：該方程稱(chēng)為極小曲面方程，是該變分問(wèn)題的Euler方程?？偨Y(jié)（必要條件）設(shè)，則如果是變分問(wèn)題的解，那么是極小曲面方程的下述定解問(wèn)題的解：Step4.充分性：設(shè)是上述定解問(wèn)題的解，如在證明必要性一樣定義，則由極小曲面方程可得且所以，，即，特別。對(duì)任意的，可取，則，從而于是，為變分問(wèn)題之解。注：極小曲面問(wèn)題為非線(xiàn)性問(wèn)題，一般情況下其解不滿(mǎn)足唯一性。示例：變分問(wèn)題求解步驟總結(jié)：Step1.問(wèn)題轉(zhuǎn)化：設(shè)為問(wèn)題之解，取集合滿(mǎn)足：對(duì)于任意的及任意的有：對(duì)于作函數(shù)，。Step2.計(jì)算、導(dǎo)出積分形式的必要條件：利用在時(shí)取得最小，求，寫(xiě)出。Step3.導(dǎo)出Euler方程：將關(guān)于的導(dǎo)數(shù)通過(guò)分布積分或Green公式轉(zhuǎn)移到僅含有的關(guān)系式上，再應(yīng)用引理2.1導(dǎo)出方程。Step4.充分性：上面的方法是反推上去，得，再證明§2.2膜平衡問(wèn)題一、問(wèn)題：1.問(wèn)題的物理提法：考慮一處于緊張狀態(tài)的薄膜，它的部分邊界固定在一構(gòu)架上，而另一部分邊界上受到外力的作用；若整個(gè)薄膜在垂直于平衡位置的外力的作用下處于平衡狀態(tài)，問(wèn)膜的形狀任如何?2.問(wèn)題的數(shù)學(xué)假設(shè)及提法：a.作坐標(biāo)系，設(shè)膜的水平投影為面上的區(qū)域，軸垂直于面并與，軸構(gòu)成右手系。b.膜對(duì)應(yīng)于點(diǎn)的位移設(shè)為。c.區(qū)域的邊界，其中上已知膜的位移為，上膜的邊界受到外力的作用，外力的線(xiàn)密度為。d.膜對(duì)應(yīng)于點(diǎn)所受的外力面密度設(shè)為。求處于平衡狀態(tài)下的膜形狀。二、推導(dǎo)：1.膜平衡條件—最小勢(shì)能原理：受外力作用的彈性體，在滿(mǎn)足已知邊界位移約束的一切可能位移中，以達(dá)到平衡狀態(tài)的位移使物體的總勢(shì)能達(dá)到最小?？倓?shì)能=彈性勢(shì)能-外力作的功。2.總勢(shì)能表達(dá)式：當(dāng)膜的形狀為時(shí)，它所具有的總勢(shì)能為：3.已知邊界位移約束的一切可能位移條件：a.滿(mǎn)足已知的位移約束，即：b.總勢(shì)能表達(dá)式有意義：，由上分析得：已知邊界位移約束的一切可能位移為函數(shù)集：4.問(wèn)題的變分提法：求，使得：5.變分問(wèn)題的Euler方程（必要條件）Step1.問(wèn)題轉(zhuǎn)化：設(shè)為問(wèn)題之解，考慮的任意兩解之差所在的集合：則對(duì)于任意的及任意的有：對(duì)于作函數(shù)，則函數(shù)在時(shí)取得最小值，。Step2.計(jì)算、導(dǎo)出積分形式的必要條件：由于：于是，由，得Step3.導(dǎo)出Euler方程：設(shè)，則由分部積分公式得：其中，為在上的單位外法向量。因此，由于，因此，（*）對(duì)于也成立。所以即從而由引理2.1，得到：，或：，（**）注意，（*）式中的邊界積分還沒(méi)有起作用，返回到（*）式：將（**）式代入，得：即由于中的函數(shù)在上的值沒(méi)有限制，得：結(jié)合的位移約束條件：我們得：若變分問(wèn)題之解且，則：其中為的外法向。Step4.充分性：我們這里來(lái)直接證明（*）的解是變分問(wèn)題的解。當(dāng)，滿(mǎn)足（*）時(shí)，對(duì)任意的，有：所以，。結(jié)論設(shè)，則其中為的外法向，和在本節(jié)定義。位勢(shì)方程（或Poisson方程）特別，稱(chēng)為L(zhǎng)aplace方程。Laplace方程的解為調(diào)和函數(shù)。定解問(wèn)題（*）是位勢(shì)方程的一種混合邊值問(wèn)題。總結(jié)：位勢(shì)方程的導(dǎo)出①.由波動(dòng)方程：②.由熱平衡方程：③.膜平衡方程：，還可通過(guò)簡(jiǎn)化極小曲面方程得出，等等。位勢(shì)方程邊值問(wèn)題：位勢(shì)方程的第一邊值（Dirchlet）問(wèn)題：位勢(shì)方程的第二邊值（Neumann）問(wèn)題：這里為的單位外法向。位勢(shì)方程的第三邊值問(wèn)題：這里為的單位外法向?！?定解問(wèn)題的適定性一、偏微分方程術(shù)語(yǔ)：1.偏微分方程（PDE）:關(guān)于未知函數(shù)，的偏微分方程是指形如：的方程，其中，為，及的有限個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的已知函數(shù)。2.偏微分方程的階：偏微分方程（*）中含有的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱(chēng)為方程（*）的階。3.偏微分方程的解：如果將定義在上的函數(shù)代入方程后，這個(gè)方程在成為恒等式，則稱(chēng)為方程在上的解。4.線(xiàn)性偏微分方程：當(dāng)關(guān)于及其偏導(dǎo)數(shù)為線(xiàn)性時(shí)，稱(chēng)方程（*）為線(xiàn)性偏微分方程。例：，，，，，5.非線(xiàn)性偏微分方程：不是線(xiàn)性的偏微分方程稱(chēng)為非線(xiàn)性偏微分方程。例：極小曲面方程6.偏微分方程定解問(wèn)題：偏微分方程連通它對(duì)應(yīng)的定解條件構(gòu)成偏微分方程的定解問(wèn)題。二、定解問(wèn)題的適定性：—偏微分方程的最基本問(wèn)題1.解的存在性；2.解的唯一性；3.解的穩(wěn)定性。如果一個(gè)定解問(wèn)題的解是存在的、唯一的和穩(wěn)定的，則稱(chēng)該定解問(wèn)題是適定的，也即：在數(shù)學(xué)上就認(rèn)為它的提法是正確的。1.偏微分方程解的存在性：例：對(duì)于定解問(wèn)題：其中為的外法向，。若，且滿(mǎn)足上面三個(gè)方程，則稱(chēng)是上述定解問(wèn)題的解。注：1.方程中出現(xiàn)的及其偏導(dǎo)數(shù)要求在中連續(xù)；2.邊界條件中出現(xiàn)的及其偏導(dǎo)數(shù)要求從中連續(xù)到相應(yīng)邊界。按上述要求定義的解稱(chēng)為古典解（Classicalsolution）。降低要求還可以定義：弱解、強(qiáng)解、粘性解等等。解的存在性依賴(lài)于解的定義！如無(wú)特別說(shuō)明，我們所講的解都指古典解。2.偏微分方程解的唯一性：定解問(wèn)題之解再考慮的函數(shù)類(lèi)中是否只有一個(gè)。因此，解的唯一性也依賴(lài)于所考慮的函數(shù)類(lèi)。3.偏微分方程解的穩(wěn)定性：①.直觀(guān)提法：因?yàn)槎ń鈹?shù)據(jù)（如初值、邊值及方程的非齊次項(xiàng)等）一般都是通過(guò)測(cè)量得到，不可能絕對(duì)正確，所以人們關(guān)心對(duì)于定解數(shù)據(jù)的微小差異，是否會(huì)引起解的完全失真？此即穩(wěn)定性問(wèn)題。②.嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義比較復(fù)雜：穩(wěn)定性是一種連續(xù)性，涉及到所考慮的函數(shù)空間。a.范數(shù)概念：線(xiàn)性空間設(shè)為一個(gè)函數(shù)集合，如果對(duì)于任意兩個(gè)函數(shù)必有（），則稱(chēng)為線(xiàn)性空間。線(xiàn)性賦范空間：如果是線(xiàn)性空間，且對(duì)于任意的，都有一個(gè)非負(fù)的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)，且適合：（1）.若，則；（三角不等式）（2）.若，，則；（正齊性）（3）.，其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。（正定性）則稱(chēng)為線(xiàn)性賦范空間，稱(chēng)為的范數(shù)或模。b.函數(shù)間距離：對(duì)于函數(shù)集合，如果按照某種方式引入了范數(shù)，則對(duì)于任意的可用的大小來(lái)表示它們的接近程度。d.穩(wěn)定性定義：例：將已知函數(shù)組看作是某線(xiàn)性賦范空間中的元素，把對(duì)于的問(wèn)題的解看作是另一線(xiàn)性賦范空間中的元素，如果對(duì)于任意的以及相應(yīng)于它們的解，有：，，當(dāng)時(shí)，有即當(dāng)在中趨向于時(shí)，在中趨向于，則稱(chēng)問(wèn)題（*）對(duì)于邊值及非齊次項(xiàng)是連續(xù)依賴(lài)的。7.2.5教學(xué)方法：講授法，板書(shū)+PPT7.2.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：習(xí)題一12,13，14，15(1)b),(2),(3)，16（1）,17，18,課后反思：1．極小曲面問(wèn)題和膜的平衡問(wèn)題。7.2.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．函數(shù)空間概念的理解。7.2.8參考資料《數(shù)學(xué)物理方程講義》(1—5章),姜禮尚等編,高等教育出版社，p16-237.3教學(xué)單元三7.3.1單元教學(xué)日期7.3.2單元教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：一類(lèi)一階線(xiàn)性方程Cauchy問(wèn)題的求解。7.3.3單元教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)內(nèi)容：第三講第二章波動(dòng)方程§1.一階線(xiàn)性方程的特征線(xiàn)解法教學(xué)重點(diǎn)：一類(lèi)一階線(xiàn)性方程的求解，轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行求解教學(xué)難點(diǎn)：由特征方程求解特征線(xiàn)7.3.4單元教學(xué)過(guò)程第二章波動(dòng)方程§1.一階線(xiàn)性方程的特征線(xiàn)解法本節(jié)討論一類(lèi)最簡(jiǎn)單的偏微分方程求解法。一、問(wèn)題求解一階線(xiàn)性方程Cauchy問(wèn)題：(1)注意：這里的系數(shù)為。二、解法（特征線(xiàn)性）1.思路（化為常微分方程）：對(duì)于函數(shù)，當(dāng)取時(shí)，有。關(guān)于求導(dǎo)得：若取滿(mǎn)足：，則方程化為：記，則方程進(jìn)一步化為：此為一階線(xiàn)性常微分方程，于是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一階常微分方程問(wèn)題。圖示：對(duì)任意一點(diǎn)，取滿(mǎn)足：，且。則沿曲線(xiàn)，方程化為：常微分方程令，則2.特征線(xiàn)由以上討論知，求解問(wèn)題（1）的關(guān)鍵在于尋找曲線(xiàn)，滿(mǎn)足：、這一曲線(xiàn)稱(chēng)為方程（1）的特征線(xiàn)，更精確地有以下定義：定義：對(duì)于方程（1），常微分方程初值問(wèn)題：（2）之解稱(chēng)為（1）的特征線(xiàn)，（2）的第一個(gè)方程稱(chēng)為特征方程，其中為任意常數(shù)。沿特征線(xiàn)簡(jiǎn)化方程：記特征線(xiàn)方程（2）所得的特征線(xiàn)為，又記,則（1）化為：，（3）求解（3）得函數(shù)，即，為求，只要令，并從此式中解得，將其代入即得。三、求解步驟Step1.作特征方程并求特征線(xiàn)由方程（1）形式，可得方程的特征方程的初值問(wèn)題為：，求解得特征線(xiàn)。Step2.沿特征線(xiàn)簡(jiǎn)化方程并求解在方程（1）中，令，得：，解常微分方程得。Step3.還原變換得解令，從此式中解得，將其代入即得。四、例：求解下列Cauchy問(wèn)題：解：1.求特征線(xiàn)解得。2.令解得：3.由，得所以，即。注1：如果兩條不同的特征線(xiàn)相交，則在交點(diǎn)處解的值不能確定。如右上圖所示：兩條特征線(xiàn)與在相交，此時(shí)，在該點(diǎn)附近無(wú)法由解出唯一的，代入解的表達(dá)式得出解在的值。要特征線(xiàn)不相交，需要函數(shù)滿(mǎn)足適當(dāng)?shù)臈l件。注2：特征線(xiàn)法同樣可用來(lái)求解多維一階線(xiàn)性PDE的初值問(wèn)題：此時(shí)，特征線(xiàn)滿(mǎn)足常微分方程組：其解就是一簇特征曲線(xiàn)，沿特征曲線(xiàn)問(wèn)題化為：其中。即當(dāng)在中趨向于時(shí)，在中趨向于，則稱(chēng)問(wèn)題（*）對(duì)于邊值及非齊次項(xiàng)是連續(xù)依賴(lài)的。7.3.5教學(xué)方法：講授法，板書(shū)+PPT7.3.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：習(xí)題二3(2),(4)課后反思：1．特征線(xiàn)解法的步驟。7.3.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．一階常微分方程的求解。7.3.8參考資料《數(shù)學(xué)物理方程講義》(1—5章),姜禮尚等編,高等教育出版社，p16-237.4教學(xué)單元四7.4.1單元教學(xué)日期7.4.2單元教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：一維波動(dòng)方程的求解（先求形式解，再驗(yàn)證）。7.4.3單元教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)內(nèi)容：第四講第二章波動(dòng)方程§2.初值問(wèn)題（一維情形）2.1問(wèn)題的簡(jiǎn)化2.2解的表達(dá)式教學(xué)重點(diǎn)：一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題分解成(Ⅰ)、（Ⅱ）、（Ⅲ）三個(gè)問(wèn)題，三個(gè)問(wèn)題相互之間解的關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)：?jiǎn)栴}（Ⅱ）的求解。7.4.4單元教學(xué)過(guò)程§2初值問(wèn)題（一維情形）2.1問(wèn)題的簡(jiǎn)化一、問(wèn)題求解一維波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題簡(jiǎn)化問(wèn)題思路：這是一個(gè)線(xiàn)性問(wèn)題，為了簡(jiǎn)化求解過(guò)程，我們可以利用線(xiàn)性問(wèn)題疊加原理，將問(wèn)題分解為三個(gè)問(wèn)題，其中每個(gè)問(wèn)題均有二個(gè)齊次方程一個(gè)非齊次方程構(gòu)成，主要問(wèn)題化為三個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)的波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題。(Ⅰ)（Ⅱ）（Ⅲ）由線(xiàn)性問(wèn)題疊加原理，顯然有上述三個(gè)問(wèn)題的解之間又由關(guān)系：只要求出了就可由的表達(dá)式得到和的表達(dá)式。定理2.1設(shè)是定解問(wèn)題（3）的解，則定解問(wèn)題（2）（4）之解，可分別表為：（齊次化原理）其中，并且假定和分別在區(qū)域和上對(duì)變量，和充分光滑。定理2.1的證明：1.先證滿(mǎn)足（2）。由定義滿(mǎn)足：因此，因此滿(mǎn)足問(wèn)題（2）。2.證滿(mǎn)足（4）。注意到滿(mǎn)足：（）于是有記，則所以，于是，即證畢。定理2.1的進(jìn)一步理解：①.(Ⅰ)，②.（Ⅲ），物理意義：其中，而是下述問(wèn)題的解：因此，不妨設(shè)弦的線(xiàn)密度為，則是外力的線(xiàn)密度，當(dāng)很小時(shí)，近似于外力在時(shí)間段對(duì)弦線(xiàn)產(chǎn)生的沖量。也即，外力在時(shí)間段對(duì)弦線(xiàn)的作用近似于在時(shí)刻給弦線(xiàn)一個(gè)沖量，由動(dòng)量守恒定律，這一沖量使弦線(xiàn)在時(shí)刻獲得一個(gè)大小為的動(dòng)量，也即弦線(xiàn)在時(shí)刻獲得一個(gè)大小為的速度，由這個(gè)速度引起的弦的位移即是：所以，Cauchy問(wèn)題的解可以按下述方法得到：將區(qū)間分為若干個(gè)小區(qū)間（），在每個(gè)小時(shí)段上，外力對(duì)弦線(xiàn)的作用近似于在時(shí)刻給弦線(xiàn)一個(gè)大小為的速度，由這個(gè)速度引起的弦的位移為，因此外力在時(shí)段上引起的總位移為，令各小時(shí)段的長(zhǎng)度趨于零，我們就得出：這就是我們前面的公式。附注1：在定理證明過(guò)程中，我們沒(méi)考慮其中各種運(yùn)算合法性，因此，這一公式只是一種形式上的公式。偏微分方程的求解過(guò)程往往采樣這樣的步驟：先求形式解，即在求解過(guò)程中，不放先假定所有的運(yùn)算都是合法的，然后再討論對(duì)定解資料要加些什么條件才能保證所得的形式解確實(shí)是真正的解，即具有所需要的連續(xù)可微性，并適合方程和定解條件。附注2：本定理的結(jié)論也適用于高維的波動(dòng)方程Canchy問(wèn)題。附注3：對(duì)于熱傳導(dǎo)方程的Canchy問(wèn)題也有類(lèi)似于本定理的結(jié)論。附注4：對(duì)于帶有齊次邊界條件的熱傳導(dǎo)方程和波動(dòng)方程的定解問(wèn)題，也有類(lèi)似于本定理的結(jié)論。附注5：對(duì)于常微分方程的初值問(wèn)題情形，也有類(lèi)似與本定理的結(jié)論。（參見(jiàn)Page108,1、2）2.2解的表達(dá)式一、問(wèn)題求解一維波動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題：二、求形式解由上節(jié)討論，我們只須求解以下問(wèn)題：我們這里介紹兩種解法：解法1：特征線(xiàn)法（這是教材上的解法。）第一步：將算子分解。即，注意，這里是常數(shù)。令則由方程得，這就將一個(gè)二階方程化為兩個(gè)一階方程。再由初始條件得：，因此，問(wèn)題化為求解兩個(gè)一階線(xiàn)性方程的Cauchy問(wèn)題：因此，可用特征線(xiàn)法先求出，再求出，就得到所求解的表達(dá)式。解法2：①，先求方程的通解。由課本第31頁(yè)練習(xí)16的結(jié)論，方程在變換下化為，積分兩次得：，其中和為上的任意函數(shù)。于是，?？偨Y(jié)方程的通解為：，其中和為上的任意函數(shù)。②.由通解求Cauchy問(wèn)題的解。，我們只要利用初始條件來(lái)確定這兩個(gè)和函數(shù)，即可得出問(wèn)題（2）（3）（4）之解。，（5）(6)(6)對(duì)在積分得：（7）由（5）（7）解得：于是得：即因此得問(wèn)題（1）之解為：三、驗(yàn)證前面所得得解表達(dá)式僅僅為問(wèn)題（1）的形式解，是我們?cè)诓豢紤]各種運(yùn)算合理性情況下推得的，其合法性尚需驗(yàn)證。定理2.2若，，，這里，則由表達(dá)式（8）給出的函數(shù)必為，且是定解問(wèn)題（1）之解。定理證明思路：1.計(jì)算函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，從而證明函數(shù)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)。2.證明函數(shù)滿(mǎn)足方程及初始條件。四、性質(zhì)推論若，，為的偶（奇，周期）函數(shù)，則由表達(dá)式（8）給出的函數(shù)也必為的偶（奇，周期）函數(shù)。注意這里我們只能說(shuō)表達(dá)式（8）給出的函數(shù)，而不能說(shuō)定解問(wèn)題（1）的解。這是因?yàn)槲覀冞€不知道問(wèn)題是否有其他解，一旦證明問(wèn)題之解為位移，我們可以說(shuō)問(wèn)題之解滿(mǎn)足這一性質(zhì)。證明：以奇函數(shù)為例加以證明。當(dāng)，，為的奇函數(shù)，則證畢。7.4.5教學(xué)方法：講授法，板書(shū)+PPT7.4.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：習(xí)題二1,2,4(提示：作變換),8(提示：分為三個(gè)一維問(wèn)題)課后反思：1．一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題分解為三個(gè)問(wèn)題的方法和步驟。7.4.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．積分號(hào)下求微商，積分號(hào)下取極限，交換積分次序。7.4.8參考資料《數(shù)學(xué)物理方程講義》(1—5章),姜禮尚等編,高等教育出版社，p35-417.5教學(xué)單元五7.5.1單元教學(xué)日期7.5.2單元教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：掌握依賴(lài)區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域，理解能量不等式。7.5.3單元教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)內(nèi)容：第五講第二章波動(dòng)方程§2.初值問(wèn)題（一維情形）2.3依賴(lài)區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域2.4能量不等式教學(xué)重點(diǎn)：能量不等式教學(xué)難點(diǎn)：能量不等式。7.5.4單元教學(xué)過(guò)程2.3依賴(lài)區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域?yàn)橛懻搯?wèn)題方便起見(jiàn)，我們考慮以下一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題：求解得：—D’Alembert公式一、依賴(lài)區(qū)間從上述表達(dá)式可以看出，對(duì)于上半平面內(nèi)的任一固定點(diǎn)解在該點(diǎn)的值僅由在和兩點(diǎn)及在上的值唯一確定，而與其他點(diǎn)上的初始條件無(wú)關(guān)，我們稱(chēng)軸上的區(qū)間為點(diǎn)的依賴(lài)區(qū)間，記作，即：從直角坐標(biāo)系中可以看出是過(guò)點(diǎn)分別作斜率為的直線(xiàn)與軸相交所截得的區(qū)間。二、決定區(qū)域?qū)τ谳S上任一區(qū)間，我們考慮指出能由上的初值，唯一確定解值的取值范圍，稱(chēng)為區(qū)間的決定區(qū)域。顯然有。從直角坐標(biāo)系中可以看出是過(guò)，點(diǎn)分別作斜率為，的直線(xiàn)與軸圍成的三角形區(qū)域。三、影響區(qū)域?qū)τ谏系娜我粎^(qū)間，我們考慮由上的初值影響的取值范圍，稱(chēng)其為區(qū)間的影響區(qū)域。這時(shí)有。從直角坐標(biāo)系中可以看出是過(guò)，點(diǎn)分別作斜率為，的直線(xiàn)與三直線(xiàn)在軸上方形成的區(qū)域。四、特征線(xiàn)由前面討論過(guò)程，空間和時(shí)間構(gòu)成的平面直角坐標(biāo)系中，以為斜率的直線(xiàn)（為任意常數(shù)）起到了很重要的作用。我們稱(chēng)這類(lèi)直線(xiàn)為一維波動(dòng)方程的特征線(xiàn)。五、波的傳播方程的通解為：在特征線(xiàn)恒等于常數(shù)。在特征線(xiàn)恒等于常數(shù)。也可用影響區(qū)域來(lái)討論：考慮初始時(shí)刻僅在軸上的區(qū)間有位移，其余部分處于靜止?fàn)顟B(tài)的波動(dòng)過(guò)程，由前面的討論，受區(qū)間上上波動(dòng)影響的范圍為。如圖，在時(shí)刻的擾動(dòng)范圍為，這表明在向右方向，在時(shí)段內(nèi)，擾動(dòng)從點(diǎn)傳到了點(diǎn)，傳播距離為：，傳播速度為：因此，波的傳播速度為并且向左右兩個(gè)方向傳播。六、奇性傳播問(wèn)題由D’Alemlert公式當(dāng)在處有間斷時(shí)，如果，即：這表明平面上，在直線(xiàn)上的點(diǎn)都將有間斷。因此，我們說(shuō)奇性沿特征線(xiàn)傳播。前面討論表明，當(dāng)在處有間斷時(shí)，的間斷會(huì)沿特征線(xiàn)平面上方發(fā)展。類(lèi)似可得當(dāng)在處有間斷時(shí)，的一階導(dǎo)數(shù)也有間斷，且間斷會(huì)沿特征線(xiàn)向平面上方發(fā)展。對(duì)于一般問(wèn)題，函數(shù)也有同樣結(jié)果。因此，我們有以下結(jié)論：弦振動(dòng)方程的Cauchy問(wèn)題的解有如下性質(zhì)：1.由向左傳播和向右傳播的兩個(gè)波疊加而成；2.傳播速度為；3.傳播方式為：沿特征線(xiàn)向左右兩個(gè)方向發(fā)展；特別，若解有奇性，奇性會(huì)沿特征線(xiàn)向左右兩個(gè)方向發(fā)展。4.若，（即無(wú)外力干擾時(shí)），這兩個(gè)波在傳播過(guò)程中波形不變。例1：求解問(wèn)題其中，，當(dāng)；，當(dāng)。解：左傳播波為：沿特征線(xiàn)傳播；右傳播波為：沿特征線(xiàn)傳播。：：：注意：的間斷點(diǎn)沿兩條特征線(xiàn)傳播！例2（書(shū)上第112頁(yè)第18題）求解達(dá)布問(wèn)題其中。如果、給定在，指出此定解條件的決定區(qū)域。解：①.求解。由方程的通解，得：所以，，于是，直接計(jì)算可得：如果、， 且，物理意義：是從發(fā)出的、沿特征線(xiàn)傳播的波；是從發(fā)出的、沿特征線(xiàn)傳播的波；是從發(fā)出的、先沿特征線(xiàn)傳播，碰到反射后，再沿特征線(xiàn)傳播的波。注意，由在點(diǎn)的值只依賴(lài)于在點(diǎn)上的值。②.求決定區(qū)域。如圖所示：要求的決定區(qū)域?yàn)榻猱叀?.4能量不等式本節(jié)我們將討論一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的唯一性及穩(wěn)定性問(wèn)題。一、記號(hào)如圖：設(shè)為平面直角坐標(biāo)系上半平面上任一點(diǎn)，過(guò)此點(diǎn)向下作二條特征線(xiàn)，這二條特征線(xiàn)與軸圍成一個(gè)三角形區(qū)域，我們稱(chēng)此區(qū)域?yàn)橐渣c(diǎn)為頂點(diǎn)的特征錐，記之為。對(duì)于任意的，記：，,，。二、能量不等式定理2.3設(shè)為以下定解問(wèn)題（1）的解則對(duì)于任意的，，有以下估計(jì)其中，。證明：Step1方程兩邊同乘以并且在上積分得：Step2應(yīng)用分部積分公式計(jì)算積分這里，是的單位外法向量，上，上，上，上，所以，類(lèi)似地，同前面一樣，可得：而所以，于是，注意到，在上，所以上式最后一項(xiàng)為：這就得到：代入上面的等式，得：Step3應(yīng)用Gronwall不等式其中因此有從而不等式（2）可以表為：，（3）—Gronwall不等式。由Gronwall不等式不等式解法，（3）兩邊同時(shí)乘以得：在積分得：綜合（2）（3）（4）得：，，定理得證。能量估計(jì)證明方法總結(jié)第一步：選取未知函數(shù)或其偏導(dǎo)數(shù)去乘方程，并在所考慮的區(qū)域上積分。第二步：計(jì)算各積分，用有關(guān)不等式放大或縮小相應(yīng)積分。第三步：（必要的時(shí)候）利用Gronwall不等式，估計(jì)積分。Gronwall不等式：若：，則三、波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題解的唯一性和穩(wěn)定性定理設(shè)為以下定解問(wèn)題（1）的解則對(duì)于任意的，，有以下估計(jì)其中，。證明：對(duì)于任意的，由于由能量不等式（定理2.3）得：其中,記則有，于是得Gronwall不等式：，類(lèi)似于前面處理法可得：積分得于是有本定理即表明問(wèn)題（1）解的唯一性和穩(wěn)定性。事實(shí)上，若有，()為如下問(wèn)題之解則對(duì)于滿(mǎn)足由定理知：四、附注1.后一定理可通過(guò)對(duì)方程乘并在上積分直接證明。2.由定理2.3可證明解的唯一性，但不能證明穩(wěn)定性。因?yàn)槎ɡ?.3沒(méi)有得到本身的估計(jì)。3.在物理上，的平方及其偏導(dǎo)數(shù)的平方的積分，對(duì)應(yīng)于各種能量，因此稱(chēng)有關(guān)它們的平方的不等式稱(chēng)為能量不等式。7.5.5教學(xué)方法：講授法，板書(shū)+PPT7.5.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：習(xí)題二5,6,7,13,17,302.考慮下述混合問(wèn)題：證明下述能量不等式，并用其來(lái)證明解的唯一性。課后反思：1．能量不等式。7.5.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．Green公式，定積分，二重積分。7.5.8參考資料《數(shù)學(xué)物理方程講義》(1—5章),姜禮尚等編,高等教育出版社，p41-497.6教學(xué)單元六7.6.1單元教學(xué)日期7.6.2單元教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的半無(wú)界問(wèn)題的求解。7.6.3單元教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)內(nèi)容：第六講第二章波動(dòng)方程§2.初值問(wèn)題（一維情形）2.5半無(wú)界問(wèn)題教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)，，關(guān)于的奇開(kāi)拓，相容性條件教學(xué)難點(diǎn)：相容性條件7.6.4單元教學(xué)過(guò)程2.5半無(wú)界問(wèn)題一、問(wèn)題在區(qū)域求解定解問(wèn)題：二、求解A。情形此時(shí)，問(wèn)題（1）化為：1.解法1—通解法類(lèi)似于前面Cauchy問(wèn)題解法，我們可以由簡(jiǎn)化公式，先求解齊次方程情形的定解問(wèn)題，利用齊次方程的通解表示，根據(jù)初始條件、邊界條件確定待定函數(shù)，從而得到解表達(dá)式。2.解法2—對(duì)稱(chēng)延拓法由P44的推論知，對(duì)于波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題，當(dāng)函數(shù)，，關(guān)于為奇函數(shù)時(shí)，問(wèn)題的解也關(guān)于為奇函數(shù)，其自然滿(mǎn)足。由此，我們得到求解半無(wú)界問(wèn)題的基本思路：首先，適當(dāng)拓展已知函數(shù)，，在和上的值，把半無(wú)界問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定在上半平面的Cauchy問(wèn)題，使其解自然滿(mǎn)足邊界條件。第二步，利用一維波動(dòng)方程Cauchy求解公式地，求解Cauchy問(wèn)題。第三步，利用解表達(dá)式，限定，取值范圍，得到問(wèn)題解。1.對(duì)稱(chēng)延拓已知函數(shù)根據(jù)問(wèn)題特點(diǎn)，本問(wèn)題只要對(duì)已知函數(shù)，，關(guān)于作奇延拓。令：于是得一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題：2.解Cauchy問(wèn)題由一維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題解公式3.求解顯然，當(dāng)，時(shí)有。以下討論用，，來(lái)表示解。當(dāng)時(shí)：當(dāng)時(shí)：我們分別計(jì)算（3）中各項(xiàng)：其中是由與軸圍成的一個(gè)三角形區(qū)域，如圖：于是得解的表達(dá)式：3.驗(yàn)證同一維波動(dòng)方程解Cauchy問(wèn)題情形類(lèi)似，這里我們所得的解表達(dá)式（4）僅僅是問(wèn)題（2）的形式解，我們?nèi)孕枰黩?yàn)證。a.相容性條件在，處，問(wèn)題的邊界條件及初始條件出現(xiàn)重復(fù)，為保證問(wèn)題解的連續(xù)、一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)和二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，我們須對(duì)初始條件及邊界條件加以分析。①解在連續(xù)：即（5）②解在一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：即（6）③解在二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)：即：（7）結(jié)合①②③，我們可得：定理2.5若，，，且滿(mǎn)足相容性條件（5）（6）（7），則半無(wú)界問(wèn)題（2）必有解，且由表達(dá)式（4）給出。這里。定理證明思路：第一步：驗(yàn)證二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。第二步：驗(yàn)證函數(shù)滿(mǎn)足初始痛苦、邊界條件及方程。B.情形解法：作函數(shù)變換，則問(wèn)題（1）化為：從而歸結(jié)為A情形，可求解，且有偶類(lèi)似定理。定理2.6若，，，，且滿(mǎn)足相容性條件：，，，則半無(wú)界問(wèn)題（8）必有解。三、唯一性和穩(wěn)定性（能量不等式）定理2.3設(shè)為以下定解問(wèn)題（2）的解則對(duì)于任意的，，有以下估計(jì)其中，。如右圖所示：四、附注對(duì)于其他形式的半無(wú)界問(wèn)題可類(lèi)似前面做法進(jìn)行求解。特別對(duì)于上給定第二邊界條件：情形，我們可仿照前面作法，作函數(shù)變換：，則。就將邊界條件化為齊次情形，再利用對(duì)稱(chēng)延拓法或通解法進(jìn)行求解。7.6.5教學(xué)方法：講授法，板書(shū)+PPT7.6.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè)：習(xí)題二10,11,（選作12，15,16）課后反思：1．半無(wú)界問(wèn)題的求解。7.6.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．奇函數(shù)，連續(xù)，二次可微。7.6.8參考資料《數(shù)學(xué)物理方程講義》(1—5章),姜禮尚等編,高等教育出版社，p49-557.7教學(xué)單元七7.7.1單元教學(xué)日期7.7.2單元教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：高維（二、三維）波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的求解，理解二維的依賴(lài)區(qū)域，決定區(qū)域和影響區(qū)域。7.7.3單元教學(xué)內(nèi)容（含重點(diǎn)、難點(diǎn)）教學(xué)內(nèi)容：第七講第二章波動(dòng)方程§3.初值問(wèn)題（高維情形）教學(xué)重點(diǎn)：球面平均法推導(dǎo)三維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的解。教學(xué)難點(diǎn)：降維法推導(dǎo)二維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題的解。7.7.4單元教學(xué)過(guò)程§3.初值問(wèn)題（高維情形）§3.1解的表達(dá)式一、三維情形（Kirchhoff公式）（1）問(wèn)題求解：（2）解法由簡(jiǎn)化公式，只須討論，情形。利用球平均值函數(shù)工具，應(yīng)用半無(wú)界問(wèn)題解公式，最終可得解公式：（3）公式：其中：。二、二維情形（1）問(wèn)題：（2）解法—降維法設(shè)為問(wèn)題（3）之解，令函數(shù)，則滿(mǎn)足：由Kirchhoff公式我們只對(duì)中間一個(gè)積分做一下計(jì)算，其余類(lèi)似。由于該積分為曲面積分，被積函數(shù)與無(wú)關(guān)，積分范圍是以球面，方程為，上半球面可表為：，記因此，積分可表為：于是得：從而得到原問(wèn)題得解為：這里：，，當(dāng)時(shí)，公式（4）稱(chēng)為Poisson公式。公式（2）（4）僅為問(wèn)題（1）（3）的形式解，類(lèi)似于前面做法，我們可進(jìn)一步驗(yàn)證得到如下定理：定理3.1若，，，這里，則由（2）、（4）給出的函數(shù)，分別是定解問(wèn)題（1）和（3）的解?！?.2特征錐與Huygens原理一、問(wèn)題：對(duì)于二維波動(dòng)方程Cauchy問(wèn)題討論其依賴(lài)區(qū)域、決定區(qū)域及影響區(qū)域（1）依賴(lài)區(qū)域由解公式可得，解在任一點(diǎn)的值僅依賴(lài)于以這點(diǎn)為頂點(diǎn)的椎體內(nèi)的定解數(shù)值；具體地說(shuō)，膜上任意一點(diǎn)在時(shí)刻的位移值只依賴(lài)于區(qū)域上的初始值，及內(nèi)外力的值。我們稱(chēng)區(qū)域?yàn)辄c(diǎn)對(duì)初值的依賴(lài)區(qū)域，即：稱(chēng)椎體為問(wèn)題（1）的特征錐。（2）決定區(qū)域?qū)τ谄矫嫔系娜我粎^(qū)域，在時(shí)，給定，在上的值，問(wèn)上半空間中哪些點(diǎn)上的位移可由中的，的值唯一確定。顯然，這樣的點(diǎn)全體構(gòu)成的集合可表為：我們稱(chēng)集合為平面上的區(qū)域的決定區(qū)域。（3）影響區(qū)域?qū)τ谄矫嫔系娜我粎^(qū)域，在時(shí)，給定，在上的值，問(wèn)上半空間中哪些點(diǎn)上的位移會(huì)受中的，的值影響。顯然，這樣的點(diǎn)全體構(gòu)成的集合可表為：我們稱(chēng)集合為平面上的區(qū)域的影響區(qū)域。（4）波傳播速度以決定區(qū)域?yàn)槔f(shuō)明設(shè)初始時(shí)刻，在的決定區(qū)域外有一波動(dòng)，隨著時(shí)間推延，到，時(shí)刻波動(dòng)范圍分別如圖所示，中間部分未波動(dòng)的范圍逐漸縮小，直到時(shí)刻縮成一點(diǎn)。這表明在時(shí)間段內(nèi)，波動(dòng)向內(nèi)前進(jìn)了距離，因此波動(dòng)的傳播速度為。二、Huygens原理我們討論在時(shí)，二、三維波動(dòng)傳播特點(diǎn)。由解公式（2）（4）可知，在時(shí)，解在點(diǎn)上的值只依賴(lài)區(qū)域的邊界：上的初值，，而與它們?cè)趦?nèi)部的值無(wú)關(guān)。在時(shí)，解在點(diǎn)上的值依賴(lài)于整個(gè)區(qū)域上的初值，。這個(gè)差別在物理上產(chǎn)生了截然不同的效果。設(shè)想在初始時(shí)刻，初值，只有在區(qū)域內(nèi)不為，在以外考慮一個(gè)定點(diǎn)，記這里表示，之間的距離。a.在情形：由Poisson公式