高等代數(shù)習(xí)題2

高等代數(shù)習(xí)題庫(kù)第一章行列式1.決定以下排列的反序數(shù)，從而決定它們的奇偶性.(1)134782695(2)217986354(3)9876543212.如果排列的反序數(shù)為，排列的反序數(shù)是多少?3.寫(xiě)出4階行列式中所有帶有負(fù)號(hào)并且包含因子的項(xiàng).4.按定義計(jì)算行列式(1);(2)5.設(shè)，不計(jì)算行列式，求展開(kāi)式中的系數(shù).6.求，這里是對(duì)所有元排列求和.7.證明：8.計(jì)算下列行列式.(1);(2);(3)(4);(5)(6);(7);(8)9.已知階行列式為常數(shù)，若的值為，求下列行列式的值:10.設(shè)是階行列式，若的元素間滿足關(guān)系：則稱(chēng)是一個(gè)反對(duì)稱(chēng)行列式.求證：當(dāng)是奇數(shù)時(shí),階反對(duì)稱(chēng)行列式的值為零.11.計(jì)算下列階行列式(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)12.證明(1)；(2)(3)(4).13.計(jì)算下列行列式的值(1);(2);(3);(4)(5);(6);(7)；(8)14.利用Laplace定理計(jì)算(1);(2)15.利用Laplace定理證明16.設(shè)都是實(shí)數(shù)，且.計(jì)算行列式的值，其中17.用克拉默法則解下列方程組(1);(2)(3);(4)18.設(shè)水銀密度與溫度的關(guān)系為由實(shí)驗(yàn)測(cè)定得以下數(shù)據(jù)：求時(shí)水銀密度(準(zhǔn)確到小數(shù)兩位).19在幾何空間中有不在同一直線上的三點(diǎn)和，試建立用行列式表示的過(guò)這三點(diǎn)的平面方程.20.設(shè)是三條不同的直線，若交于一點(diǎn)，試證：第二章矩陣1.設(shè)是階矩陣，是一個(gè)數(shù)，試問(wèn)與有什么關(guān)系？2.設(shè)，計(jì)算.3.計(jì)算(1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8)4.求所有與矩陣可交換的矩陣.5.證明：若階矩陣與所有的階矩陣可交換,那么一定是數(shù)量矩陣.6.在中學(xué)代數(shù)中,有平方差公式,現(xiàn)設(shè)是兩個(gè)階矩陣,問(wèn)對(duì)于矩陣是否有成立?為什么?7.用表示行列的元素為1,而其余元素全為零的矩陣,而.證明：(1)如果,那么當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí);(2)如果,那么當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)且;(3)如果與所有的階矩陣相乘可交換,那么一定是數(shù)量矩陣,即.8.如果,證明：當(dāng)且僅當(dāng).9.矩陣稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)的,如果,證明：如果是實(shí)對(duì)稱(chēng)陣且,那么.10.矩陣稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)的,如果,證明:任一矩陣都可以表示為一對(duì)稱(chēng)陣與一反對(duì)稱(chēng)陣之和.11.設(shè)是階矩陣,則主對(duì)角線上元素之和稱(chēng)為矩陣的跡,記為.設(shè)為階矩陣,是常數(shù),求證：(1)；(2)；(3).12.求證：(1)上(下)三角陣的逆矩陣也是(下)三角陣；(2)對(duì)稱(chēng)矩陣的逆矩陣也是對(duì)稱(chēng)矩陣；(3)反對(duì)稱(chēng)矩陣的逆矩陣也是反對(duì)稱(chēng)矩陣.13.設(shè),用初等變換的方法求,通過(guò)求來(lái)回答下面的問(wèn)題：可逆的上三角陣的逆矩陣還是上三角陣嗎?為什么?14.解矩陣方程.(1);(2),其中.15.若階矩陣都可逆,問(wèn)也可逆嗎?為什么?16.把下列矩陣化為它的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.(1);(2)17.設(shè),求可逆矩陣與,使得.18.求,設(shè)(1);(2);(3);(4);(5);(6)19.若為階矩陣,可逆,求證：也可逆.20.對(duì)階矩陣,求證：.21.求證：若,則.22.計(jì)算下列分塊矩陣的乘法.23.設(shè)有分塊矩陣,其中為可逆矩陣,求的逆矩陣.24.設(shè)為階方陣,求證：25.設(shè),求證:26.設(shè)是4階矩陣,,求的值.27.設(shè)是階方陣且,求證:是可逆矩陣.28.若,求證下列行列式的值為零.29.設(shè)都是階矩陣,求證：30.設(shè)分別是和矩陣.證明：31.設(shè)分別是和矩陣,.證明：32.設(shè)分別是階方陣,證明：若都是可逆矩陣,則也是可逆矩陣,并求其逆矩陣.(提示：).33.設(shè)都是階方陣,是可逆矩陣,且.求證：.(提示：).第三章線性空間1.已知向量求解下列向量方程2.已知向量，.求使得.3.設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，線性無(wú)關(guān)，問(wèn)是否線性無(wú)關(guān)？4.若，，是三個(gè)維向量，與線性無(wú)關(guān)，與線性無(wú)關(guān)，與線性無(wú)關(guān).問(wèn)，，是否線性無(wú)關(guān)？5.已知個(gè)向量線性相關(guān)，但其中任意個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)，證明（1）如果，則或者全為，或全不為.（2）如果存在兩個(gè)等式，，其中，則6.設(shè)，，線性無(wú)關(guān)，證明，，也線性無(wú)關(guān).7.設(shè)維列向量線性無(wú)關(guān)，是可逆陣，則線性無(wú)關(guān).8.設(shè)可由向量組線性表示，但不能由其中任何一個(gè)個(gè)數(shù)少于的部分向量組線性表示，求證：線性無(wú)關(guān).9.設(shè)是一組維向量，如果單位向量可由它們線性表示，則線性無(wú)關(guān).10.設(shè)是一組維向量，證明：線性無(wú)關(guān)的充要條件是任一維向量都可以由它們線性表示.11.設(shè)，證明與有相同的秩.12.設(shè)是一組線性無(wú)關(guān)的向量，證明：線性無(wú)關(guān)的充要條件是.13.一個(gè)向量組的任何一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組都可以擴(kuò)充為一極大無(wú)關(guān)組.14.求證：階方陣是冪等矩陣（）的充分必要條件是15.設(shè)是階方陣，求證：的充分必要條件是16.設(shè)是階方陣，求證：17.判別下列集合對(duì)于指定的運(yùn)算是否構(gòu)成相應(yīng)的數(shù)域上的線性空間？（1）次數(shù)等于的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的集合，對(duì)于多項(xiàng)式的加法與實(shí)數(shù)與多項(xiàng)式的乘法；（2）數(shù)域上維向量的集合，按通常的向量加法，而數(shù)乘定義為.（3）區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的全體在函數(shù)的加法及數(shù)乘下，這里數(shù)域是實(shí)數(shù)域；（4）平面上全體向量，對(duì)于通常的加法及如下定義的數(shù)乘：.（5）全體正實(shí)數(shù)，加法與數(shù)乘定義為：.13.給出4維線性空間的一組基，并求矩陣在所給的基下的坐標(biāo).14.求向量在基下的坐標(biāo).15.設(shè)實(shí)數(shù)域上次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式全體所稱(chēng)的實(shí)線性空間，求證：是的一組基.16.設(shè)是數(shù)域上階上三角陣所成的集合，證明：在矩陣的加法及數(shù)乘下是線性空間，并求出的維數(shù).17.設(shè)是數(shù)域上階上對(duì)稱(chēng)矩陣所成的集合，證明：在矩陣的加法及數(shù)乘下是線性空間，并求出的維數(shù).18.設(shè)是線性空間的一組基，是中的一組向量，如果與等價(jià)，那么也是線性空間的一組基.19.設(shè)，是線性空間的兩個(gè)子空間，且，證明：如果，則.20.設(shè)，（1）證明：全體與可交換的矩陣組成的一個(gè)子空間；（2）當(dāng)時(shí)，求；（3）當(dāng)時(shí)，求的維數(shù)及它的一組基.21.設(shè)是數(shù)域上線性空間的個(gè)真子空間，證明：在必存在一個(gè)向量，它不屬于中任何一個(gè).22.設(shè)是維線性空間的一組基，是一個(gè)矩陣，.證明：的維數(shù)等于的秩.23.設(shè)，是線性空間的兩個(gè)子空間，如果與分別是與的基，且是直和，則就是的一組基.24.設(shè)階方陣的行列式等于零，則的秩不超過(guò)1.25.設(shè)，分別是數(shù)域上的齊次線性方程組.證明：維列向量空間.26.求下列齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系：(1)(2)27.討論取何值是，下列方程組有解，并求解：(1)(2)28.取何值時(shí)線性方程組無(wú)解？有唯一解和無(wú)窮多解？并求出一切解.29.設(shè)四元齊次線性方程組（I）為已知另一四元齊次線性方程組（II）的一個(gè)基礎(chǔ)解系為.1）求方程組（I）的一個(gè)基礎(chǔ)解系；2）當(dāng)為何值時(shí)，方程組（I）與（II）有非零的公共解.30.齊次線性方程組（I）和（II）同解，求的值.31.設(shè)證明：該方程組有解的充分必要條件是.在有解的情形，求出它的一般解.32.設(shè)是數(shù)域上的階方陣，如果線性方程組和同解，且每個(gè)方程組的基礎(chǔ)解系都含個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量.證明：.33.設(shè)是秩為的矩陣，求證：必存在一個(gè)秩為的的矩陣，使得34.設(shè)是秩為的矩陣，與是齊次線性方程組的兩個(gè)基礎(chǔ)解系，求證：必存在階可逆矩陣，使得.35.設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為設(shè)是矩陣中劃去第列剩下的矩陣的行列式.(1)證明：是方程組的一個(gè)解；(2)如果的秩為，則方程組的解全是的倍數(shù).第四章線性變換1.判別下面的變換，哪些是線性變換，哪些不是：(1)在線性空間中，，其中是一固定的向量；(2)在線性空間中，，其中是一固定的向量；(3)在線性空間中，；(4)在線性空間中，；；；；(5)在中，其中是中兩個(gè)固定的矩陣.2.設(shè)是數(shù)域上線性空間上的線性變換，是的兩個(gè)子空間，且有.證明：可逆的充分必要條件是.3.證明：是線性空間的一組基.并求出線性變換在這組基下的矩陣.4.在中定義線性變換；；.分別求出，，在基下的矩陣.5.設(shè)在數(shù)域上的三維線性空間上的線性變換在基下的矩陣為.求(1)在基下的矩陣；(2)在基下的矩陣，其中，且；(3)在基下的矩陣.6.設(shè)是線性變換，如果證明：是大于1的正整數(shù).7.設(shè)階矩陣和相似，且可逆.則與相似.8.設(shè)是數(shù)域上的二維線性空間，線性變換在基下的矩陣是.也是的一組基，且從基到的過(guò)渡矩陣為.求在基下的矩陣及為正整數(shù).9.證明：方陣與相似，其中是的一個(gè)排列.10.如果和相似，和相似，證明與相似.11.設(shè)是維線性空間的一個(gè)線性變換，且，.證明：在中存在一組基，使得在這組基下的矩陣是12.設(shè)是四維線性空間的一組基，線性變換在基下的矩陣是.(1)求在基下的矩陣；(2)求的值域與核；(3)在的值域中選擇一組基，把它擴(kuò)充為的一組基，并求在這組基下的矩陣；(4)在的核中選擇一組基，把它擴(kuò)充為的一組基，并求在這組基下的矩陣.13.設(shè)是有限維線性空間的一個(gè)線性變換，是的一個(gè)子空間.證明：.14.設(shè)是維線性空間線性變換.證明：的秩的秩+的秩.15.設(shè)是線性空間的個(gè)兩兩不同的線性變換，則在中必存在向量，使得也兩兩不同.16.設(shè)是線性空間線性變換，且，.證明：(1)有相同的值域；(2)有相同的核.17.設(shè)是維線性空間線性變換.證明：的秩=的秩18.設(shè)是線性空間的一個(gè)子空間，是的一個(gè)線性變換.證明：如果是的不變子空間，則可以選擇適當(dāng)?shù)幕沟迷谶@組基下的矩陣具有如下形狀：.19.設(shè)是維線性空間的可逆的線性變換，是的子空間，且對(duì)于不變.證明：也是的不變子空間.20.設(shè)是維線性空間線性變換，且.證明：(1)；(2)若是線性變換，則與都是的不變子空間的充要條件是第五章多項(xiàng)式1.用除，求商及余式：(1)，；(2)，.2.設(shè)，.如果除后余式為，試求的值.3.滿足什么條件時(shí)，有(1);(2).4.利用綜合除法將多項(xiàng)式按的方冪展開(kāi).5.證明：如果，且，則.6.證明：如果，則.其中為正整數(shù).7.如果，問(wèn)是否必有？如果不成立，請(qǐng)給出反例，如果成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.8.求與的最大公因式：(1)，；(2)，.9.求使得：(1)，；(2)，.10.設(shè)，的最大公因式是一個(gè)二次多項(xiàng)式，求的值.11.證明：，其中的首項(xiàng)系數(shù)為1.12.設(shè)，請(qǐng)舉例說(shuō)明不一定是與的最大公因式.并證明：是與的最大公因式，當(dāng)且僅當(dāng)是它們的公因式.13.證明：如果，，且是與的一個(gè)組合，那么是與的一個(gè)最大公因式.14.設(shè)是不全為零的兩個(gè)一元多項(xiàng)式，求證：15.設(shè)是一元多項(xiàng)式與的一個(gè)公因式且首項(xiàng)系數(shù)為1.證明：16.17.如果一元多項(xiàng)式與不全為零，且，則.18.證明：只要的次數(shù)大于零，就可以適當(dāng)?shù)倪x擇滿足等式的與，使得19.如果多項(xiàng)式滿足：(1)，；(2)的任一個(gè)公倍式都是的公倍式，則稱(chēng)為的一個(gè)最小公倍式，記為.證明：如果的首項(xiàng)系數(shù)都是1，那么.20.設(shè)是次數(shù)大于零的多項(xiàng)式，如果對(duì)于任意多項(xiàng)式，由可以推出或者，那么是不可約多項(xiàng)式.21.設(shè)是不全為零的兩個(gè)一元多項(xiàng)式，求證：（為正整數(shù)）.22.設(shè)是不全為零的兩個(gè)一元多項(xiàng)式，且.證明：中次數(shù)最低的多項(xiàng)式是與的最大公因式.23.設(shè)的最大公因式是，則必存在，使得.特別地，互素存在使得.24.設(shè)是數(shù)域上的兩個(gè)一元多項(xiàng)式，為給定的正整數(shù).證明：.25.如果一元多項(xiàng)式與互素，則與.其中為正整數(shù).26.判別下列多項(xiàng)式有無(wú)重因式：(1)；(2).27.求使得下列多項(xiàng)式有重根：(1)；(2).28.設(shè)是一個(gè)不可約多項(xiàng)式.證明是的重因式，當(dāng)且僅當(dāng).29.舉例說(shuō)明，若不可約多項(xiàng)式是的重因式，而不一定是的重因式.又當(dāng)是的因式時(shí)情形如何？30.求在實(shí)數(shù)域及復(fù)數(shù)域上的因式分解.其中為正整數(shù).31.證明：是多項(xiàng)式實(shí)根的一個(gè)上界.32.求下列多項(xiàng)式的有理根：(1)；(2)；(3).33.設(shè)都是奇數(shù)，則沒(méi)有整數(shù)根.34.證明下列多項(xiàng)式在有理數(shù)域上不可約：(1)；(2)；(3)，為素?cái)?shù).35.若為素?cái)?shù)，證明：在有理數(shù)域上不可約.36.設(shè)為整系數(shù)多項(xiàng)式.如果存在素?cái)?shù)滿足：(1)；(2)；(3)，則在有理數(shù)域上不可約，是否正確？37.設(shè)既約分?jǐn)?shù)是整系數(shù)多項(xiàng)式的根，證明：，.38.設(shè)是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，證明：(1)如果全是正數(shù)，則沒(méi)有負(fù)實(shí)根；(2)如果全是負(fù)數(shù)，則沒(méi)有負(fù)實(shí)根；(3)如果全正或全負(fù)，則沒(méi)有實(shí)數(shù)根.39.設(shè)，其中是兩兩不同的整數(shù).證明：在有理數(shù)域上不可約.40.設(shè)為素?cái)?shù)，為整數(shù)，，，證明：沒(méi)有有理根.41.設(shè)是有理數(shù)域上的次多項(xiàng)式，且在有理數(shù)域上不可約，如果一個(gè)根的倒數(shù)也是的根.證明：每一個(gè)根的倒數(shù)也是的根.42.一個(gè)非零復(fù)數(shù)是某一有理系數(shù)非零多項(xiàng)式的根當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)有理系數(shù)多項(xiàng)式使得.43.用初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式表出下列對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式：(1)；(2)；(3)；(4)44.設(shè)，.稱(chēng)下面的階行列式：為與的結(jié)式.證明：多項(xiàng)式與有公共根的充分必要條件是它們的結(jié)式.第六章特征值1.求下列矩陣的特征值與特征向量：(1)；(2)；(3).2.已知是兩個(gè)非零向量且，求矩陣的全部特征值.3.設(shè)使線性空間上的線性變換，有一個(gè)直和分解：，其中每個(gè)是的不變子空間.設(shè)限制在上的特征多項(xiàng)式為，求證：的特征多項(xiàng)式.4.證明：階矩陣以任一非零列向量為特征向量的充分必要條件是，其中是常數(shù).5.設(shè).如果，有一個(gè)特征值且屬于的一個(gè)特征向量為.求的值.6.判斷下列矩陣是否相似于對(duì)角陣，如果是，求出可逆矩陣，使得為對(duì)角陣.(1)；(2).7.矩陣是3階方陣，其特征值為1，1，3，對(duì)應(yīng)的特征向量依次為，求出矩陣.8.設(shè)當(dāng)為何值時(shí)，存在可逆矩陣，使得為對(duì)角陣.求出和對(duì)角陣.9.求證：(1)如果是冪零陣，即存在自然數(shù)使，則的特征值全為零，并且不可對(duì)角化.(2)若，則的特征值為或者，并且可對(duì)角化.(3)若，則的特征值為或者，并且可對(duì)角化.10.設(shè)是的兩個(gè)不同的特征值，分別是的特征值，則必不是的特征向量.11.設(shè)使復(fù)數(shù)域上的維線性空間，與是的兩個(gè)線性變換，且.證明：(1)如果是的一個(gè)特征值，那么是的不變子空間.(2)與至少有一個(gè)公共的特征向量.12.設(shè)是矩陣，是矩陣，且.求證：.13.設(shè)是數(shù)域上維線性空間的線性變換且可逆.證明：(1)的特征值不為零；(2)如果是的特征值，則是的特征值.14.設(shè)是數(shù)域上維線性空間的線性變換，證明：的行列式為零的充分必要條件是的一個(gè)特征值為零.15.設(shè)是一個(gè)階下三角陣，證明：(1)如果當(dāng)時(shí)，，，那么相似于一個(gè)對(duì)角陣.(2)如果，而至少有一個(gè)，那么不相似于對(duì)角陣.16.證明：對(duì)任一階復(fù)方陣，存在可逆矩陣，使得為上三角矩陣.第七章矩陣1.將下列矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形：(1)；(2).2.求下列矩陣的不變因子：(1)；(2).3.證明的不變因子是，其中.4.設(shè)是數(shù)域上的階矩陣，證明與相似.5.設(shè)，求.6.求下列復(fù)系數(shù)矩陣的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：(1)；(2)；(3).7.求下列矩陣的最小多項(xiàng)式：(1)；(2).8.設(shè)階矩陣的特征值為.證明：.第八章二次型1.證明：秩等于的對(duì)稱(chēng)矩陣等于個(gè)秩為1的對(duì)稱(chēng)矩陣之和.2.設(shè)是的一個(gè)排列，則下面兩個(gè)對(duì)角陣與合同.3.若可逆矩陣和合同，求證：和也合同.4.用配方法把下列二次型化成標(biāo)準(zhǔn)形.（1）；（2）；（3）；（4）5.用初等變換法把下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求可逆矩陣.（1）；（2）；(3);(4)6.用非退化的線性替換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：（1）；（2）7.設(shè)是一個(gè)階矩陣，證明（1）是反對(duì)稱(chēng)矩陣當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于任一個(gè)維向量，有；（2）如果是對(duì)稱(chēng)矩陣，且對(duì)任一個(gè)維向量有，那么.8.如果把實(shí)階矩陣按照合同分類(lèi)，即兩個(gè)實(shí)階矩陣屬于同一類(lèi)當(dāng)且僅當(dāng)它們合同，問(wèn)共有幾類(lèi)？9.證明：一個(gè)秩大于1的實(shí)二次型可以分解為兩個(gè)實(shí)系數(shù)的一次多項(xiàng)式之積的充分必要條件是它的秩等于2且符號(hào)差等于零.10.設(shè)實(shí)二次型，證明：的秩等于矩陣的秩.11.設(shè)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是正定的，是階實(shí)可逆矩陣，證明：也是正定矩陣.12.設(shè)是階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：是正定的當(dāng)且僅當(dāng)存在階實(shí)可逆矩陣，使得.13.設(shè)是一個(gè)正定矩陣，證明：（1）對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，是正定矩陣；（2）對(duì)于任意正整數(shù)，是正定矩陣；（3）是正定矩陣；（4）的伴隨矩陣也是正定矩陣.14.判別下列二次型是否正定：（1）；（2）；（3）；（4）15.如下列二次型是正定的，求的取值范圍：（1）；（2）16.設(shè)是實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：當(dāng)實(shí)數(shù)充分大之后，是正定矩陣.17.設(shè)是一個(gè)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且，證明：必存在實(shí)維向量，使.18.證明：是半正定的.19.設(shè)是一實(shí)二次型，若有實(shí)維向量使證明：必存在實(shí)維向量，使.20.設(shè)是一個(gè)階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，證明：存在一正實(shí)數(shù)使對(duì)任一個(gè)實(shí)維向量都有21.設(shè)實(shí)二次型，其中，求證：的正慣性指數(shù)，負(fù)慣性指數(shù).22.證明（1）如果是正定二次型，那么是負(fù)定二次型；（2）如果是正定矩陣，那么，這里的是的級(jí)順序主子式；（3）如果是正定矩陣，那么；（4）如果是階實(shí)可逆矩陣，那么.23.證明：實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣是半正定的充分必要條件是的一切主子式全大于或等于零.其中級(jí)主子式為：24.設(shè)是個(gè)互不相同的正實(shí)數(shù)，令。證明：是正定矩陣.第九章歐式空間1.設(shè)是一個(gè)級(jí)正定矩陣，而在中定義內(nèi)積為證明在這個(gè)定義之下，成一歐氏空間；求維單位向量的度量矩陣.2.設(shè)是實(shí)數(shù)域上全體多項(xiàng)式構(gòu)成的實(shí)線性空間，設(shè)定義證明：定義了上的內(nèi)積.3.證明：在一個(gè)歐氏空間里，對(duì)任意的向量，以下等式成立：（1）（2）4.在歐氏空間中，求一個(gè)單位向量與都正交.5.設(shè)是維歐氏空間，是的一組基，若,求證：.6.在歐氏空間中，求基的度量矩陣，其中7.證明是歐氏空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.8.設(shè)是歐氏空間，是的子空間，若可以由向量組生成，則9.設(shè)是一維歐氏空間，是中一個(gè)固定向量.（1）證明：是的一子空間；（2）證明：10.設(shè)是維歐氏空間中一組向量，而證明：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)線性無(wú)關(guān).11.用Gram-Schmidt正交化方法，將下列向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.（1）（2）12.設(shè)是歐氏空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，是的一個(gè)線性變換，已知證明：是一個(gè)對(duì)稱(chēng)變換；求的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基，使在這個(gè)基下的矩陣是對(duì)角矩陣.13.正交矩陣的特征根的模等于1.14（1）設(shè)是一個(gè)級(jí)實(shí)矩陣，且.證明可以分解成，其中是正交矩陣，是一上三角形矩陣：并證明這個(gè)分解是唯一的；（2）設(shè)是一個(gè)級(jí)正定矩陣，證明存在一上三角形矩陣，使.15.設(shè)是歐氏空間中一單位向量，定義證明：（1）是正交變換，這樣的正交變換稱(chēng)為鏡面反射；（2）是第二類(lèi)的；（3）如果維歐氏空間中，正交變換以1作為一個(gè)特征值，且屬于特征值1的特征子空間的維數(shù)為，那么是鏡面反射.16.設(shè)和是維歐氏空間中兩個(gè)向量組.證明存在一正交變換，使的充分必要條件是17.求正交矩陣使成對(duì)角形，其中為：（1）；（2）；（3）；（4）18.設(shè)是維歐氏空間的線性變換，如果滿足則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)變換。證明為反對(duì)稱(chēng)變換的充分必要條件是，在的標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是反對(duì)稱(chēng)矩陣.19.設(shè)是一個(gè)維歐氏空間，證明：（1）如果是的一個(gè)子空間，那么；（2）如果都是的子空間，且，那么；（3）如果都是的子空間，那么.20.用正交線性變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型（1）；（2）21.設(shè)是級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且，證明存在正交矩陣使得22.設(shè)是級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且，證明：存在正交矩陣使得23.設(shè)是兩個(gè)級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且是正定矩陣。證明：存在級(jí)實(shí)可逆矩陣使和都是對(duì)角形矩陣.（提示：存在實(shí)可逆矩陣，使得，存在正交矩陣，使得為對(duì)角形，令）24.設(shè)是兩個(gè)級(jí)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，且是正定矩陣。證明：存在級(jí)實(shí)可逆矩陣，使，其中是的個(gè)實(shí)根.（提示：利用上題結(jié)果）25.設(shè)是一實(shí)二次型，是的特征多項(xiàng)式的根，且。證明對(duì)任一，有26.設(shè)二次型的矩陣，是的特征多項(xiàng)式的根，證明存在中的非零向量，使得27.（1）設(shè)是歐氏空間中兩個(gè)不同的單位向量，證明存在一鏡面反射，使得（2）證明：維歐氏空間中任一正交變換都可以表成一系列鏡面反射的乘積.28.證明：如果是維歐氏空間的一個(gè)正交變換，那么的不變子空間的正交補(bǔ)也是的不變子空間.練習(xí)題選參考答案1．兩非零向量、垂直，則有或；平行則有或或兩向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例。2．若，，則與，軸均垂直的向量。3．曲線在面上的投影曲線方程為：，投影柱面方程為：。4．面上的曲線分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，。5．已知，，則兩向量所成夾角的角平分線上的單位向量為。6．以點(diǎn)A，B，C，D為頂點(diǎn)的四面體的體積V=。二計(jì)算1．求點(diǎn)P關(guān)于直線L:的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)。解：直線L的方向向量，取直線上的定點(diǎn)，將其化為參數(shù)式：過(guò)點(diǎn)P與直線L垂直的平面為：，，將直線的參數(shù)式代入垂面方程有，從而點(diǎn)P在直線L上的投影坐標(biāo)（直線與垂面的交點(diǎn)）為，設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線L的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為，則有：，解之:2．設(shè)直線L過(guò)點(diǎn)M且其與y軸相交，與直線垂直，求該直線方程。解：設(shè)L與y軸的交點(diǎn)為N（0,t,0），其與直線垂直，則，從而由兩點(diǎn)式有直線L的方程為：L:3．求直線在平面上的投影直線方程。解：直線與平面的交點(diǎn)為，直線上的點(diǎn)在平面上的投影為，則在上的投影直線方程為：4．求兩平面，所成二面角的角平分面方程。解：法一，設(shè)為所求平面上任意一點(diǎn)，則由題意有：消去絕對(duì)值得即法二，所求平面過(guò)兩平面與的交線，故可設(shè)其方程為：在該平面上任取一點(diǎn)，如令，然后由點(diǎn)到兩平面的距離相等可解得，從而得到所求平面方程。5．設(shè)有直線L1和L2的方程分別為：L1：，L2：（1）證明L1與L2異面；（2）求兩直線之間的距離；（3）求與兩直線距離相等的平面方程；（4）求與兩直線都垂直相交的直線方程。解：直線L1，L2上分別有定點(diǎn)P1（-2，2，-9），P2（1，-6，-4），其方向向量分別為，（1）由于，所以?xún)芍本€異面。（2）由于故過(guò)與平行的平面方程為則兩直線的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P1到該平面的距離：（3）由題意，所求平面過(guò)線段的中點(diǎn)，其法向量為，故所求平面方程為設(shè)。（4）設(shè)公垂線為，其方向向量，則：相交所成平面的法向量，的方程為，與的交點(diǎn)（即公垂線與的交點(diǎn)）相交所成平面的法向量，的方程為，與的交點(diǎn)（即公垂線與的交點(diǎn)），所以，公垂線方程為注：實(shí)際只需求一個(gè)交點(diǎn)即可，這里只是為了理解將兩個(gè)交點(diǎn)都求出，這樣亦可以得到（2）的另一解法。第六章空間解析幾何與向量代數(shù)一、單項(xiàng)選擇題1.下列向量中為單位向量的是――――――――――――――――――（）.；.；.；..2．設(shè)是三個(gè)坐標(biāo)軸正方向上的單位向量，下列等式中正確的是——（）．.；.；.；.．3.兩向量互相垂直的充分必要條件是―――――――――――――（）.；.；.；.以上都不對(duì).4.兩向量互相平行的充分必要條件是―――――――――――――（）.；.；.；.以上都不對(duì).5.設(shè)，，若，則―――――――――（）.；.；.；..6.設(shè)，，若，則―――――――――（）.；.；.；..7.在空間直角坐標(biāo)系中，函數(shù)表示的曲面為――――――（）.圓錐面；.圓柱面；.旋轉(zhuǎn)拋物面；.球面.8.在空間直角坐標(biāo)系中，函數(shù)表示的曲面為―――――――（）.圓錐面；.圓柱面；.旋轉(zhuǎn)拋物面；.球面.9.在空間直角坐標(biāo)系中，方程表示的曲面為―――（）.圓錐面；.圓柱面；.旋轉(zhuǎn)拋物面；.球面.10.過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面方程是―――――――－（）A.B.C.D.11.下列平面方程中，過(guò)點(diǎn)的平面方程是―――――――――－（）.；.；.；..12.平面與平面的位置關(guān)系是――（）.平行；.垂直；.相交；.重合.二、計(jì)算題13.已知，，且，求.14.設(shè)，，，求15.求過(guò)點(diǎn)和的直線方程.16.求過(guò)點(diǎn)且與平面和都平行的直線方程.17.求過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程.18.求過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線方程.19.已知兩點(diǎn)A和B，求一平面，使其通過(guò)點(diǎn)B而且垂直于AB。20.求過(guò)點(diǎn)且平行于平面的平面方程.21.求過(guò)點(diǎn)且垂直于直線的平面方程.22.求過(guò)點(diǎn)且與平面和都垂直的平面方程.第七章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用一、單項(xiàng)選擇題1.二元函數(shù)的定義域?yàn)楱D―――――――――――（）.；.；.；..2.設(shè)，則―――――――――――――――（）.；.；.；..3.設(shè)，則＝――――――――――――――――（）.0；.；.1；.2.4.設(shè)，，,則――――――――()．.與是同一個(gè)函數(shù)；.與是同一個(gè)函數(shù)；.與是同一個(gè)函數(shù)；.其中任何兩個(gè)函數(shù)都不相同.5.設(shè)，則――――――――――――――――（）.；.；.；..6.設(shè)，則＝―――――