《實際問題與二次函數(shù)》名師教案 省賽獲獎

1、PAGE43實際問題與二次函數(shù)（2）二次函數(shù)與幾何最值問題（杜星蘭）一、教學目標（一）學習目標1能根據(jù)具體幾何問題中的數(shù)量關(guān)系，列出二次函數(shù)關(guān)系式2會利用二次函數(shù)求幾何圖形中的周長、面積等的最值3體會利用二次函數(shù)求面積其中所蘊含的數(shù)學思想和方法（二）學習重點應用二次函數(shù)解決幾何圖形中有關(guān)的最值問題（三）學習難點函數(shù)特征與幾何特征的相互轉(zhuǎn)化以及討論最值在何處取得二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計預習任務1；對稱軸、頂點坐標、當時，取最大值為22；對稱軸、頂點坐標、當時，取最小值為-23對稱軸、頂點坐標、當時，取最小值為預習自測1已知二次函數(shù)的解析式為1當，該函數(shù)的最大和最小值分別是_和_；2當，該函數(shù)的

2、最大和最小值分別是_和_【知識點】求二次函數(shù)的區(qū)間的矩形風景畫的四周鑲上一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如果要使整個掛圖的面積是5000cm2，設(shè)金色紙邊的寬為cm，那么滿足的方程是（）A2130-1400=0B2-130-1400=0C265-250=0D2-65-250=0【知識點】矩形性質(zhì)，矩形面積【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】掛圖長為（802）cm，寬為（502）cm，根據(jù)整個掛圖的面積是5000cm2，即長寬=5000，列方程進行化簡即可【解題過程】解：掛圖長為（802）cm，寬為（502）cm；所以（802）（502）=5000，即421604000100=5000，所以4226

3、0-1000=0即265-250=0故選C【答案】C【設(shè)計意圖】根據(jù)矩形的面積公式本題易得解3用長16m的繩子圍成如圖所示的矩形框，使矩形框的面積最大，那么這個矩形框的最大面積是_【知識點】矩形性質(zhì)，矩形周長，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】設(shè)豎邊為，用表示橫邊，再表示面積，再求最值【解題過程】設(shè)豎邊為,則橫邊為當時，取最大值為eqf32,3【答案】eqf32,3【設(shè)計意圖】把其中的一個主要變量設(shè)為，另一個設(shè)為y，其它變量用含的代數(shù)式表示，找等量關(guān)系，建立函數(shù)模型，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學生在不斷探究中悟出利用函數(shù)知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題

4、而做題，為以后的學習奠定思想方法基礎(chǔ)4如圖，點C是線段AB上的一個動點，AB1，分別以AC和CB為一邊作正方形，用S表示這兩個正方形的面積之和，下列判斷正確的是A當C是AB的中點時，S最小B當C是AB的中點時，S最大C當C為AB的三等分點時，S最小D當C是AB的三等分點時，S最大【知識點】正方形性質(zhì)，求面積最大問題【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】把其中的一個主要變量設(shè)為，其它變量用含的代數(shù)式表示，找等量關(guān)系，建立函數(shù)模型【解題過程】設(shè)AC=則BC=當時，取最小值為當C是AB的中點時，S最小【答案】A【設(shè)計意圖】把其中的一個主要變量設(shè)為，另一個設(shè)為y，其它變量用含的代數(shù)式表示，找等量關(guān)系，建立函

5、數(shù)模型，實際問題還要考慮定義域，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學生在不斷探究中悟出利用函數(shù)知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為以后的學習奠定思想方法基礎(chǔ)（二）課堂設(shè)計1知識回顧（1）對于任意一個二次函數(shù)的一般式，可以利用配方把它化為頂點式，進而寫出頂點坐標（h,）和對稱軸=h（2）求二次函數(shù)與軸的交點，即令y=0即可；其與軸交點即為；求二次函數(shù)與y軸的交點，即令=0即可；其與y軸交點即為（3）將二次函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成頂點式來求二次函數(shù)最值，當時，取最值為2問題探究探究一最大面積（）活動1創(chuàng)設(shè)情境，發(fā)現(xiàn)問題做一做：請你畫一個周長為24厘米的矩形，算算它的面積是多少

6、再和同學比比，發(fā)現(xiàn)了什么誰的面積最大做一做中，讓每一個同學動手畫周長固定的矩形，然后比較誰的矩形面積最大學生通過畫周長一定的矩形，會發(fā)現(xiàn)矩形長、寬、面積不確定，從而回想起常量與變量的概念，最值又與二次函數(shù)有關(guān)，進而自己聯(lián)想到用二次函數(shù)知識去解決【設(shè)計意圖】做一做中，讓每一個同學動手畫周長固定的矩形，然后比較誰的矩形面積最大，目的一是為激發(fā)學生的學習興趣，二是為了引出想一想周長固定、要畫一個面積最大的矩形，這個問題本身對學生來說具有很大的趣味性和挑戰(zhàn)性，學生既感到好奇，又樂于探究它的結(jié)論，從而很自然地從復習舊知識過渡到新知識的學習活動2師生共研，探索解法例1李老師計劃用長為24米的籬笆，圍成長方

7、形花圃，他想請同學們幫他思考一下如何圍才能使圍成的花圃面積最大，最大值是多少讓學生討論，得出解法點撥：先用未知數(shù)表示面積問題中的各個量，再利用矩形面積公式列出表達式，然后根據(jù)表達式，利用二次函數(shù)求最值生答：設(shè)矩形寬為厘米，則長為=（12-）厘米，當=6時，S取最大值為36【設(shè)計意圖】把前面矩形的周長24厘米改為24米，變成一個實際問題，目的在于讓學生體會其應用價值數(shù)學面探究問題時，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了面積不唯一，并急于找出最大的，而且要有理論依據(jù)，這樣首先要建立函數(shù)模型，在選取變量時學生可能會有困難，這時教師要引導學生關(guān)注哪兩個變量，就把其中的一個主要變量設(shè)為，另一個設(shè)為y，其它變量用含的代數(shù)式表示，找

8、等量關(guān)系，建立函數(shù)模型，實際問題還要考慮定義域，畫圖象觀察最值點，這樣一步步突破難點，從而讓學生在不斷探究中悟出利用函數(shù)知識解決問題的一套思路和方法，而不是為了做題而做題，為以后的學習奠定思想方法基礎(chǔ)解決完想一想之后及時讓學生總結(jié)方法，為后面階段打下思想方法基礎(chǔ)的籬笆圍成矩形場地，矩形面積S隨矩形一邊長的變化而變化當為多少米時，場地的面積S最大【知識點】矩形性質(zhì)，矩形周長，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵【解題過程】設(shè)矩形一邊長，則長為厘米，當時，S取最大值為225【答案】當時，S取最大值為225【設(shè)計意圖】一個實際

9、問題，目的在于讓學生體會其應用價值數(shù)學面探究問題時，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了面積不唯一，并急于找出最大的，而且要有理論依據(jù)，這樣首先要建立函數(shù)模型，在選取變量時學生可能會有困難，這時教師要引導學生關(guān)注哪兩個變量，就把其中的一個主要變量設(shè)為，其它變量用含的代數(shù)式表示，找等量關(guān)系，建立函數(shù)模型活動3變式應用例2（例1變式）后來李老師驚喜的發(fā)現(xiàn)有一面長度為8米的墻可以靠，則他怎樣圍可以使花圃的面積最大最大面積是多少？學生根據(jù)例1的解法，獨立求解【知識點】矩形性質(zhì)，矩形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式是本題關(guān)鍵考慮實際問題中靠墻所造成的易錯點

10、最值不是由頂點處取到，學會區(qū)間求最值【解題過程】生答：（1）設(shè)矩形長為厘米，則寬為厘米（）=；a=0，開口向下，當時，S取最大值為64【答案】面積S取最大值為64【設(shè)計意圖】此時有了上一問的方法和技巧，很多學生能夠類比的方法建立模型，設(shè)出未知數(shù)，列出函數(shù)關(guān)系式但問題是此時自變量有取值范圍的限制，不能“任性”的取值從而讓學生在不斷的探究和合作中感悟，對于實際問題一定需要考慮其自變量的取值范圍才可以求最值練習2如圖，用一段長為60m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長32m，這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？【知識點】矩形性質(zhì)，矩形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)

11、合【思路點撥】能用未知數(shù)表示清楚面積問題中的各個量，列出面積的關(guān)系式時考慮實際問題中靠墻所造成的易錯點（這道題靠墻依然可以在頂點處取到最值）【解題過程】與墻垂直的一邊為米，時，S取最大值為450【答案】當時，S取最大值為450【設(shè)計意圖】這一階段，我讓學生分組討論，每一小組指定一名發(fā)言人說明小組的思路和解題的過程這一過程既加強了學生之間合作和探究的能力，形成你追我趕的良好氛圍，同時也鍛煉學生口頭表達能力和板書的能力小組中每個孩子的數(shù)學思維和數(shù)學能力都得到了鍛煉，使不同層次的學生都能體會到成功的喜悅小結(jié)：在實際問題中求解二次函數(shù)的最值問題，不一定都取圖象頂點處，要根據(jù)自

12、變量的取值范圍來確定通過問題2與問題3的對比，希望學生能夠理解函數(shù)圖象的頂點、端點與最值的關(guān)系，以及何時取頂點處、何時取端點處才有符合實際的最值探究二利用二次函數(shù)求幾何最值的訓練活動基礎(chǔ)性例題例1為了改善小區(qū)環(huán)境，某小區(qū)決定要在一塊一邊靠墻（墻長25m）的空地上修建一個矩形綠化帶ABCD，綠化帶一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍?。ㄈ缦聢D）設(shè)綠化帶的BC邊長為m，綠化帶的面積為1求y與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍2當為何值時，滿足條件的綠化帶的面積最大？【知識點】一側(cè)靠墻的矩形，周長確定求其面積最大【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】利用題目給出的已知條件列出滿足題意的式子，進而轉(zhuǎn)

13、化為二次函數(shù)求最值【解題過程】解：（1），自變量的取值范圍是025；（2）2025，當=20時，y有最大值200，即當=20時，滿足條件的綠化帶面積最大【答案】（1），其中；（2）當=20時，滿足條件的綠化帶面積最大【設(shè)計意圖】這一階段，我讓學生分組討論，每一小組指定一名發(fā)言人說明小組的思路和解題的過程這一過程既加強了學生之間合作和探究的能力，形成你追我趕的良好氛圍，同時也鍛煉學生口頭表達能力和板書的能力小組中每個孩子的數(shù)學思維和數(shù)學能力都得到了鍛煉，使不同層次的學生都能體會到成功的喜悅練習某窗戶如圖所示，它的上半部是半圓，下半部是矩形，制造窗框的材料總長為15m圖中所有線條長度之和，當?shù)扔诙?/p>

14、少時，窗戶通過的光線最多此時，窗戶的面積是多少結(jié)果精確到【知識點】周長確定的矩形面積最大問題【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】中間線段用的代數(shù)式來表示，要充分利用幾何關(guān)系；要注意頂點的橫坐標是否在自變量的取值范圍內(nèi)【解題過程】由題意可知，化簡得，設(shè)窗戶的面積為Sm2，則，S有最大值當時，S最大值m2，即當時，窗戶通過的光線最多此時，窗戶的面積是【答案】當時，窗戶通過的光線最多此時，窗戶的面積是【設(shè)計意圖】這一階段，讓學生自己通過自己的思考，動手來進行操作解決問題每一小組指定一名發(fā)言人說明小組的思路和解題的過程這一過程既加強了學生之間合作和探究的能力，形成你追我趕的良好氛圍，同時也鍛煉學生口頭表達

15、能力和板書的能力小組中每個孩子的數(shù)學思維和數(shù)學能力都得到了鍛煉，使不同層次的學生都能體會到成功的喜悅活動提升型例題分組討論交流解題思路，小組活動后，小組代表展示活動成果例2如圖，在矩形ABCD中，AB2cm，BC4cm，正方形PQRS與矩形ABCD重疊部分面積為y，試分別寫出和時，y與之間的函數(shù)關(guān)系式【知識點】正方形性質(zhì)，矩形性質(zhì)，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【思路點撥】根據(jù)題目題意畫出相關(guān)的圖形，充分利用幾何關(guān)系來求解同時寫出自變量的取值范圍內(nèi)【解題過程】如圖，陰影部分的重疊部分的面積為y當時，如下面的左邊的圖形所示，此時，其中；當時，如下面的右邊的圖形所示，此時，其中；，其

16、中綜上所述：【答案】【設(shè)計意圖】讓學生自己通過自己的思考，結(jié)合題意畫出符合題意的圖形，根據(jù)圖形來求解，讓學生感受分類討論的數(shù)學思想練習如圖，從一張矩形紙片較短的邊上找一點E，過E點剪下兩個正方形，它們的邊長分別是AE，DE，要使剪下的兩個正方形的面積和最小，點E應選在何處為什么？【知識點】矩形性質(zhì)，矩形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】根據(jù)圖形之間的關(guān)系，表示出兩個正方形的邊長，進而表示出兩個正方形的面積之和，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值【解題過程】令，所以面積之和，所以當時，面積最小，即E應選在AD的中點【答案】E應選在AD的中點【設(shè)計意圖】新課程下的數(shù)學活動必須建立在學生已有的認

17、知發(fā)展水平及知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，充分讓學生參與教學，在合作交流的過程中，獲得良好的情感體驗例3如圖，要設(shè)計一個等腰梯形的花壇，花壇上底長120米，下底長180米，上下底相距80米，在兩腰中點連線虛線處有一條橫向甬道，上下底之間有兩條縱向甬道，各甬道的寬度相等，設(shè)甬道的寬為米（1）用含的式子表示橫向甬道的面積；（2）當三條甬道的總面積是梯形面積的八分之一時，求甬道的寬；（3）根據(jù)設(shè)計的要求，甬道的寬不能超過6米，如果修建甬道的總費用萬元與甬道的寬度成正比例關(guān)系，比例系數(shù)是，花壇其余部分的綠化費用為每平方米萬元，那么當甬道的寬度為多少米時，所建花壇的總費用最少最少費用是多少萬元【知識點】梯形面積，正

18、比例函數(shù)，解一元二次方程，二次函數(shù)求最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】想象把所有的陰影部分拼在一起就是一個小梯形解答拋物線形實際問題的一般思路：1把實際問題中的已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；2建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，把已知條件轉(zhuǎn)化為坐標系中點的坐標；3求拋物線的解析式【解題過程】（1）橫向甬道的面積為：（2）依題意：整理得：解得故甬道的寬為5米；（3）設(shè)建設(shè)花壇的總費用為y萬元則當時，y的值最小根據(jù)設(shè)計的要求，甬道的寬不能超過6米，當=6米時，總費用最少即最少費用為萬元【答案】（1）橫向甬道的面積為：（2）故甬道的寬為5米；（3）當=6米時，總費用最少即最少費用為萬元【設(shè)計意圖】新課程下的數(shù)學活

19、動必須建立在學生已有的認知發(fā)展水平及知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，充分讓學生參與教學，在合作交流的過程中，獲得良好的情感體驗練習如圖，某水渠的橫斷面是等腰梯形，底角為120，兩腰與下底的和為4m，當水渠深為_時，橫斷面面積最大，最大面積是_【知識點】梯形面積，二次函數(shù)求最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】根據(jù)題目中給定的角度，求出兩腰和下底之間的關(guān)系式，進而列式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求解【解題過程】底角為120,則高和腰之間的夾角為30,水渠深度為,則得到：,腰長兩腰與下底的和為4得到：下底為所以上底為設(shè)橫斷面的面積為S,則當時，橫斷面面積最大為【答案】當時，橫斷面面積最大為【設(shè)計意圖】加強學生運用新知的意識，培

20、養(yǎng)學生解決實際問題的能力和學習數(shù)學的興趣活動探究型例題中，AB6cm，BC12cm，點/秒的速度移動，同時，點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2cm/秒的速度移動如果，故，BQ=2tcm，故（3）當秒時，S取最小值為63【答案】（1）2秒或4秒后，如何設(shè)計這個窗戶，使透光面積最大？（該題的答案是：當窗戶半圓的半徑約為時，透光面積最大值約為）我們?nèi)绻淖冞@個窗戶的形狀，上部改為由兩個正方形組成的矩形，如圖2，材料總長仍為6m，利用圖3，解答下列問題：（1）若AB為1m，求此時窗戶的透光面積（2）與該例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值有沒有變大請通過計算說明【知識點】矩形性質(zhì)，二次函數(shù)求最

21、值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【思路點撥】由題意列出式子，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值【解題過程】（1）由已知可以得到：此時窗戶的透光面積；（2）設(shè)AB=，則設(shè)窗戶的面積為S,由已知可以得到當時，與前面的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值變大【答案】（1）窗戶的透光面積（2）與前面的例題比較，改變窗戶形狀后，窗戶透光面積的最大值變大【設(shè)計意圖】學生在探索這個問題的過程中，將自然地體會到數(shù)學到數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系，同時加強學生自己的過手能力和計算能力，以課本上的例題為引子，在原來的基礎(chǔ)上進行拓展，讓學生吃透課本課堂總結(jié)知識梳理二次函數(shù)的三種形式：一般式；頂點式以及交點式二次函數(shù)的三種形式之間的相

22、互轉(zhuǎn)化：一般式可以利用配方化為頂點式，進而可以得到頂點坐標公式，對稱軸交點式可以先化為一般式再配方轉(zhuǎn)化為頂點式，有時也可以利用交點式快速的求對稱軸利用二次函數(shù)求矩形周長一定的情況下，矩形面積的最大值，在求解的過程中需要標注自變量的取值范圍，求解的過程中注意是頂點最值還是區(qū)間最值，這里往往難度較大重難點歸納利用二次函數(shù)的一般式求最值，有兩種思路，第一可以先通過配方把一般式化為頂點式，再利用頂點式求函數(shù)的最值；第二可以直接利用頂點坐標公式來求解利用交點式求二次函數(shù)的最值，一般是快速的利用對稱軸的方程來求對稱軸，進而求解2實際問題中已知矩形的周長來求解面積最大，此時需要結(jié)合題意求解相關(guān)的邊長，列出方

23、程或是等式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的形式，但需要注意實際問題中往往需要注明自變量的取值范圍3強化利用二次函數(shù)求面積時，應該用一個變量來表示另一個變量，進而表示出面積，寫出自變量的取值范圍，再結(jié)合二次函數(shù)求最值的方法來求解，在求解的過程中應該注意是頂點最值還是區(qū)間最值，最后還需檢驗解的合理性4數(shù)形結(jié)合思想特別重要，在思考的過程中需要結(jié)合題意畫出滿足條件的圖形，尤其是動態(tài)問題中畫出圖形是解題的關(guān)鍵（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1如圖，假設(shè)籬笆虛線部分的長度為16m，則所圍成矩形ABCD的最大面積是A60m2B63m2C64m2D66m2【知識點】矩形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)AB=

24、，則BC=16-，其中所以矩形ABCD的面積為且時，矩形ABCD的面積最大，【思路點撥】通過設(shè)未知數(shù)，先把矩形ABCD的面積表示出來，是一個開口向下的二次函數(shù)，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，又知道自變量，因此當取對稱軸時，面積最大【答案】C2用一根長為40的繩子圍成一個面積為a的矩形，那么a的值不可能為A20B40C100D120【知識點】矩形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)矩形的一邊為，則另外一邊為，其中所以圍成矩形的面積為且時，矩形的面積最大，因此,故a不可能取120【思路點撥】矩形的周長為40，可以設(shè)出其中一邊，可表示出另外一邊，需要注意此時自變量的取值范圍，再表

25、示出矩形的面積，此時面積是一個開口向下的二次函數(shù)，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，又知道自變量，因此可以算出面積的取值范圍【答案】D3已知一個直角三角形兩直角邊長之和為20，則這個直角三角形的最大面積為A25B50C100D不確定【知識點】三角形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)這個直角三角形的一邊為，則另外一邊為，其中所以面積為且時，三角形的面積最大，因此【思路點撥】已知直角三角形的兩邊之和是20，設(shè)其中一邊為，表示出該直角三角形的面積，此時面積是一個開口向下的二次函數(shù)，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，其中，因此可以算出面積的最大值【答案】B4將一條長為20cm的鐵絲剪成

26、兩段，并以每一段鐵絲的長度為周長各做成一個正方形，則這兩個正方形面積之和的最小值是_【知識點】正方形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)其中一個正方形的周長為cm，其邊長為，則另外一個正方形的周長為（）cm，其邊長為其中所以這兩個正方形的面積之和為且時，三角形的面積最小，因此【思路點撥】兩個正方形的周長之和為20，,設(shè)其中一個正方形的邊長為，表示出另一個的周長，進而表示出兩個正方形的面積之和，此時面積是一個開口向上的二次函數(shù)，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，其中，因此可以算出面積的最小值【答案】5如圖，已知ABCD的周長為8cm，B30，若邊長ABcm1ABCD的面積y與之間

27、的函數(shù)解析式為_，自變量的取值范圍為_；2當取_時，y的值最大，最大值為_【知識點】平行四邊形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】1已知平行四邊周長為8cm，ABcm，則BC4-過點A作AEBC交BC于點E，B30,所以所以ABCD的面積，其中2且時，因此【思路點撥】設(shè)平行四邊形中一個角為30，周長為8，一邊為可以表示出另一邊和這邊上的高，進而可以寫出該平行四邊形的面積，此時面積是一個開口向下的二次函數(shù)，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸，其中，因此可以算出【答案】6為搞好環(huán)保，某公司準備修建一個長方體的污水處理池，池底矩形的周長為100m，則池底的最大面積是A600B625C65

28、0D675【知識點】矩形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)矩形一邊為，另一邊為50-，所以該矩形的面積為，時該矩形的面積最大為625【思路點撥】設(shè)矩形一邊為，該矩形的面積為，然后利用頂點坐標公式求出對稱軸進而可算出該矩形面積的最大值【答案】B能力型師生共研7如圖，邊長分別為1和2的兩個等邊三角形，開始它們在左邊重合，大三角形固定不動，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止，設(shè)小三角形移動的距離為，兩個三角形重疊面積為y，則y關(guān)于的函數(shù)圖象是【知識點】等邊三角形，三角形面積，一次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合，分類討論【解題過程】由題意可知當0移動到點時

29、，兩個三角形重疊部分都是,由等邊三角形的面積公式可知此時重合部分的面積；當時，重疊部分依然是一個等邊三角形，不過此時等邊三角形的邊長為，所以此時重合部分的面積，因此【思路點撥】運動過程中重疊部分的面積分別表示出來，轉(zhuǎn)化為一個分段函數(shù)的形式分別寫出函數(shù)解析式，進而可以得到圖象【答案】B長的木料做成如圖的矩形窗框，則當長和寬各為多少米時，矩形窗框的面積最大最大面積是多少？【知識點】矩形面積，求二次函數(shù)最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)該矩形的長為，則寬為，所以該矩形的面積為，當時該矩形的面積最大，最大值為4【思路點撥】設(shè)矩形的長為，可知4（長寬）=12，進而可以表示出寬，利用面積公式轉(zhuǎn)化為二次

30、函數(shù)求最值【答案】4探究型多維突破9如圖，有一塊邊長為6cm的正三角形紙板，在它的三個角處分別截去一個彼此全等的箏形，再沿圖中的虛線折起，做成一個無蓋的直三棱柱紙盒，則該紙盒側(cè)面積的最大值是r3f3,2eqr3f9,2eqr3f27,2eqr3【知識點】等邊三角形，三棱柱側(cè)面積，利用二次函數(shù)求最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)盒子的高為，則箏形的長為，盒子的底邊為，側(cè)面積為當時該矩形的面積最大，最大值為【思路點撥】如何表示其側(cè)面積是難點，利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題【答案】C10在美化校園的活動中，某興趣小組想借助如圖所示的直角墻角（兩邊足夠長），用28m長的籬笆圍成一個矩形花園ABC

31、D（籬笆只圍AB，BC兩邊），設(shè)AB=m（1）若花園的面積為192,求的值；（2）若在和6m，要將這棵樹圍在花園內(nèi)（含邊界，不考慮樹的粗細），求花園面積S的最大值【知識點】矩形面積，解一元二次方程，利用二次函數(shù)求最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】（1）AB=，BC=由題意可知，解得故時，花園面積為192；（2）由題意可知所以，因為該拋物線開口向下，對稱軸為，當時，隨的增大而增大所以當時，花園面積最大，最大值為195【思路點撥】（1）中直接求解一元二次方程即可，（2）是個區(qū)間最值，即對稱軸不所給的區(qū)間之內(nèi)，需要謹慎【答案】195自助餐1如圖，用20m長的鐵絲網(wǎng)圍成一個一面靠墻的矩形養(yǎng)殖場，其養(yǎng)殖場的最大面積為_m2【知識點】矩形面積，二次函數(shù)求最值【數(shù)學思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】設(shè)矩形養(yǎng)殖場平行于墻的一邊長m,那么另外兩邊長養(yǎng)殖場的最大面積為可看出,當=10時面積取得最大為50所以養(yǎng)殖場的最大面積為50m【思路點撥】設(shè)未知數(shù)根據(jù)二次函數(shù)求最值【答案】502用長為8米的鋁合金條做成如圖所示形狀的矩形窗框，是窗戶的透光面積最大，那么這個窗戶的最大透光面積是