2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(全國(guó)甲卷)文

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(甲卷)文科一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(2021全國(guó)甲文1)設(shè)集合M=1,3,5,7,9,N=x|2x7,則MN=()A.7,9B.5,7,9C.3,5,7,9D.1,3,5,7,9命題意圖本題考查集合的交集運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力.解析BM=1,3,5,7,9,N=x|MN=5,7,9.故選B.2.(2021全國(guó)甲文2)為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況,對(duì)該地農(nóng)戶家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查,將農(nóng)戶家庭年收入的調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖:根據(jù)此頻率分布直方圖,下面結(jié)論中不正確的是()A

2、.該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為6%B.該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為10%C.估計(jì)該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值不超過(guò)6.5萬(wàn)元D.估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶,其家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間命題意圖考查頻率分布直方圖,用樣本估計(jì)總體,考查數(shù)據(jù)分析與處理能力.解析C該地農(nóng)戶家庭年收入低于4.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.02+0.04)1=6%,A正確;該地農(nóng)戶家庭年收入不低于10.5萬(wàn)元的農(nóng)戶比率估計(jì)為(0.04+0.02+0.02+0.02)1=10%,B正確;該地農(nóng)戶家庭年收入的平均值為0.023+0.044+0.15+0.146+0.27+0

3、.28+0.19+0.110+0.0411+0.0212+0.0213+0.0214=7.68,C不正確;該地農(nóng)戶家庭年收入介于4.5萬(wàn)元至8.5萬(wàn)元之間的比率為(0.1+0.14+0.2+0.2)1=64%,D正確.3.(2021全國(guó)甲文3)已知(1-i)2z=3+2i,則z=()A.-1-32iB.-1+3C.-32+iD.-32命題意圖考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,考查運(yùn)算求解能力.解析B由題意得z=3+2i(1-i)24.(2021全國(guó)甲文4)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為()A.f(x)=-xB.f(x)=2C.f(x)=x2D.f(x)=3命題意圖本題考查函數(shù)的單調(diào)性,考查了學(xué)生的直觀想象、數(shù)形結(jié)合的能

4、力.解析D借助函數(shù)的圖形可知,對(duì)于A,函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于B,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)單調(diào)遞減,不合題意;對(duì)于C,函數(shù)在定義域內(nèi)沒(méi)有單調(diào)性,不合題意;對(duì)于D,根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可知,函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù),符合題意.故選D.5.(2021全國(guó)甲文5)點(diǎn)(3,0)到雙曲線x216-y29A.95B.85C.65命題意圖本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合及基本運(yùn)算能力.解析A由題意,雙曲線的一條漸近線方程為y=34x,即3x-4y=0,點(diǎn)(3,0)到該漸近線的距離為|336.(2021全國(guó)甲文6)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)

5、記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lg V.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(10101.259)(A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6命題意圖考查函數(shù)模型,指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算及應(yīng)用,考查數(shù)學(xué)建模及運(yùn)算求解能力.解析C由題意L=5+lg V,當(dāng)L=4.9時(shí),有4.9=5+lg V,lg V=-0.1,V=1100.17.(2021全國(guó)甲文7)在一個(gè)正方體中,過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E,F,G.該正方體截去三棱錐A-EFG后,所得多面體的三視圖中,正視圖如圖所示,則相應(yīng)的側(cè)視圖是()正視圖命題意圖考查三視圖,考查空

6、間想象能力.解析D由題意還原該正方體的直觀圖如圖所示,該多面體的三視圖中,相應(yīng)的側(cè)視圖為D.8.(2021全國(guó)甲文8)在ABC中,已知B=120,AC=19,AB=2,則BC=()A.1B.2C.5D.3命題意圖本題考查用余弦定理解三角形,考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力.解析D設(shè)BC=x,由余弦定理得19=4+x2-22xcos 120,解得x=3或x=-5(舍).故選D.9.(2021全國(guó)甲文9)記Sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和.若S2=4,S4=6,則S6=()A.7B.8C.9D.10命題意圖本題考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力及數(shù)學(xué)探究與創(chuàng)新能力.解析A設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由題意知q1.根據(jù)等比數(shù)列

7、的性質(zhì)可知,S2,S4-S2,S6-S4成等比數(shù)列,即(S4-S2)2=S2(S6-S4),S2=4,S4=6,(6-4)2=4(S6-6),解得S6=7.故選A.10.(2021全國(guó)甲文10)將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,則2個(gè)0不相鄰的概率為()A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8命題意圖本題考查了學(xué)生的邏輯推理能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題能力.解析C將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行,共有11100,00111,01110,11010,11001,10110,10011,10101,01101,01011,10種排法,2個(gè)0不相鄰的排法共有01110,11010,10110,10101,011

8、01,01011,6種排法,故所求的概率為610=0.6,故選C11.(2021全國(guó)甲文11)若0,2,tan 2=cos2-sinA.1515B.55C.53命題意圖本題考查三角恒等變換,考查邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.解析A由題意sin2cos2=cos2-sin,2sincos1-2sin2=cos2-sin,因?yàn)?,212.(2021全國(guó)甲文12)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且f(1+x)=f(-x).若f-13=13,則fA.-53B.-13C.13命題意圖本題考查函數(shù)的奇偶性與周期性,考查了學(xué)生的抽象思維及邏輯思維能力.解析Cf(x)是奇函數(shù),f(-x)=-f(x).f(x+1

9、)=f(-x),f(x+1)=-f(x),則f(x+2)=-f(x+1)=f(x),所以函數(shù)f(x)的周期為2,則f53=f2-13=f-二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(2021全國(guó)甲文13)若向量a,b滿足|a|=3,|a-b|=5,ab=1,則|b|=.命題意圖本題考查平面向量模的運(yùn)算,考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力.解析32由|a-b|2=a2-2ab+b2,得25=9-21+|b|2,解得|b|=32.14.(2021全國(guó)甲文14)已知一個(gè)圓錐的底面半徑為6,其體積為30,則該圓錐的側(cè)面積為.命題意圖本題考查圓錐體積與側(cè)面積的計(jì)算,考查了學(xué)生的空間想象能力及基本運(yùn)算能

10、力.解析39設(shè)圓錐的高為h,母線長(zhǎng)為l,則1362h=30,解得h=52,則l=62+h2=132,所以圓錐的側(cè)面積為15.(2021全國(guó)甲文15)已知函數(shù)f(x)=2cos(x+)的部分圖象如圖所示,則f2=.命題意圖本題考查三角函數(shù)性質(zhì)及應(yīng)用,考查了學(xué)生的讀圖識(shí)圖能力及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.解析-3設(shè)f(x)的最小正周期為T(mén),由圖形可知,34T=1312-3,則T=由2cos136+=2,得=-6+2k所以f(x)=2cos2x則f2=2cos5616.(2021全國(guó)甲文16)已知F1,F2為橢圓C:x216+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),且|PQ|=|F1

11、F2|,則四邊形PF1命題意圖本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì),考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.解析8由題意得a=4,b=2,c=23,則|PQ|=|F1F2|=43.|OQ|=|OF1|=|OF2|=23,QF1QF2,即四邊形PF1QF2為矩形.|QF1|+|QF2|=2a=8,|QF1|2+|QF2|2=|F1F2|2=48,|QF1|QF2|=12(|QF1|+|QF2|)2-(|QF1|2+|QF2|2)=8,即四邊形PF1QF2的面積為8三、解答題:共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第1721題為必考題,每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題,考生根據(jù)要求作答.

12、(一)必考題:共60分.17.(12分)(2021全國(guó)甲文17)甲、乙兩臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)同種產(chǎn)品,產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級(jí)品和二級(jí)品,為了比較兩臺(tái)機(jī)床產(chǎn)品的質(zhì)量,分別用兩臺(tái)機(jī)床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品,產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計(jì)如下表:一級(jí)品二級(jí)品合計(jì)甲機(jī)床15050200乙機(jī)床12080200合計(jì)270130400(1)甲機(jī)床、乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率分別是多少?(2)能否有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異?附:K2=n(P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828 .命題意圖本題考查了統(tǒng)計(jì)與概率中的獨(dú)立性檢驗(yàn),考查數(shù)據(jù)分析與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.解(1)由表格

13、數(shù)據(jù)得甲機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為150200乙機(jī)床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級(jí)品的頻率為120200(2)由題意K2的觀測(cè)值k=n=40010.2566.635.所以有99%的把握認(rèn)為甲機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.18.(12分)(2021全國(guó)甲文18)記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,已知an0,a2=3a1,且數(shù)列Sn是等差數(shù)列.證明:an是等差數(shù)列命題意圖本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式,考查邏輯推理能力、數(shù)學(xué)的運(yùn)算求解能力.證明Sn是等差數(shù)列,a2=3a1S2即數(shù)列Sn的公差為aSn=S1+(n-1)即Sn=n2a1.當(dāng)n2時(shí),Sn=n2a1,Sn-1=(n-1)2a1,則an

14、=Sn-Sn-1=n2a1-(n-1)2a1=(2n-1)a1,當(dāng)n=1時(shí),由an=(2n-1)a1得a1=(21-1)a1=a1,an=(2n-1)a1,nN*,an是等差數(shù)列.19.(12分)(2021全國(guó)甲文19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點(diǎn),BFA1B1.(1)求三棱錐F-EBC的體積;(2)已知D為棱A1B1上的點(diǎn),證明:BFDE.命題意圖本題考查空間幾何體中線線垂直、空間幾何體的體積,考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.(1)解在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1A1B1,BFA1B1,BB1BF=B,BB

15、1,BF平面BCC1B1,A1B1平面BCC1B1.ABA1B1,AB平面BCC1B1,ABBC.AB=AC,AC=22+22CE=2=BE.CF=12CC1=12AB=1,V三棱錐F-EBC=13SEBCCF=13(2)證明如圖,連接A1E,取BC中點(diǎn)M,連接B1M,EM.E,M分別為AC,BC中點(diǎn),EMAB.又ABA1B1,A1B1EM,則點(diǎn)A1,B1,M,E四點(diǎn)共面,故DE平面A1B1ME.又在側(cè)面BCC1B1中,FCBMBB1,FBM=MB1B.又MB1B+B1MB=90,FBM+B1MB=90,BFMB1.又BFA1B1,MB1A1B1=B1,MB1,A1B1平面A1B1ME,BF平

16、面A1B1ME,BFDE.20.(12分)(2021全國(guó)甲文20)設(shè)函數(shù)f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,其中a0.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),求a的取值范圍.命題意圖本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.解(1)f(x)=a2x2+ax-3ln x+1,x(0,+),f(x)=2a2x+a-3=2aa0,x0,2ax+3當(dāng)x0,1a時(shí),f(x當(dāng)x1a,+時(shí),f(x)0,函數(shù)f(x)在0,1(2)y=f(x)的圖象與x軸沒(méi)有公共點(diǎn),函數(shù)f(x)在(0,+)上沒(méi)有零點(diǎn),由(1)可得函數(shù)f(x)在0,1a上單

17、調(diào)遞減,在1a,+上單調(diào)遞增,f1a=3-3ln1a=3+a1e,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是121.(12分)(2021全國(guó)甲文21)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O,焦點(diǎn)在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點(diǎn),且OPOQ,已知點(diǎn)M(2,0),且M與l相切.(1)求C,M的方程;(2)設(shè)A1,A2,A3是C上的三個(gè)點(diǎn),直線A1A2,A1A3均與M相切,判斷直線A2A1與M的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.命題意圖本題考查拋物線方程、直線與圓的位置關(guān)系,考查邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.解(1)由題意設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px,p0,當(dāng)x=1時(shí),y2=2p,y=2pOPOQ,2p=1,即2p=拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2

18、=x,M的方程為(x-2)2+y2=1.(2)設(shè)A1(a2,a),A2(b2,b),A3(c2,c).lA1A2:y-a=1即x-(a+b)y+ab=0,直線A1A2與M相切,|2+ab|1+(lA1A3:y-a=1a+c(x-a2)x-(a+c)y+ac=0,直線A1|2+ac|1+(b,c是方程|2+ax即(a2-1)x2+2ax-a2+3=0的兩根.又lA2A3:x-(圓心(2,0)到直線lA2A3的距離d=d與M的半徑相等,即直線A2A3與M相切.(二)選考題:共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.(10分)【選修44:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

19、(2021全國(guó)甲文22)在直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為=22cos .(1)將C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(1,0),M為C上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)P滿足AP=2 AM,寫(xiě)出P的軌跡C1的參數(shù)方程,并判斷C與命題意圖本題考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程、軌跡的參數(shù)方程,考查學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力.解(1)由2=22cos ,得x2+y2=22x,即(x-2)2+y2=2.(2)設(shè)P(x,y),M(x0,y0),由AP=2 AM,得(x-1,y)=2(x0-即x0=2x2+1-22,y0又點(diǎn)M在C上,所以22x-322+1

20、2+22y2=2,即(x+2-3)2+y則C1是以(3-2,0)為圓心,2為半徑的圓,所以C1的參數(shù)方程為x=3-2+2cos,y=2sin,02.兩圓的圓心分別為(2,0),(3-2,0),半徑分別為2和2,兩圓心的距離是3-22,半徑之差為2-2,所以兩圓內(nèi)含,兩圓沒(méi)有公共點(diǎn).23.(10分)【選修45:不等式選講】(2021全國(guó)甲文23)已知函數(shù)f(x)=|x-2|,g(x)=|2x+3|-|2x-1|.(1)畫(huà)出y=f(x)和y=g(x)的圖象;(2)若f(x+a)g(x),求a的取值范圍.命題意圖本題考查絕對(duì)值不等式,考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.解(1)f(x)=xg(x)=-(2)

21、取臨界狀態(tài),設(shè)Q(x,0),P12,4,令0-4x-12=1,解得x=-72,即過(guò)點(diǎn)P,Q的直線斜率是1.由函數(shù)f(x)=|x-2|知f(x+a)=|x+a-2|=|x-(2-a)|,函數(shù)f(x+a)=|x-(2-a)|的圖象的對(duì)稱(chēng)軸是直線x=2-a.當(dāng)2-a-72,即a112時(shí)所以a1122021年高考數(shù)學(xué)甲卷(文)查缺補(bǔ)漏表題型題號(hào)考查要點(diǎn)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)查缺補(bǔ)漏選擇題1集合的基本運(yùn)算(交集)、一元一次不等式的解法運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)運(yùn)算2利用頻率分布直方圖求頻率及估計(jì)樣本的平均數(shù)數(shù)據(jù)處理能力數(shù)據(jù)分析3復(fù)數(shù)的乘法、除法運(yùn)算運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)運(yùn)算4基本函數(shù)的圖象和單調(diào)性數(shù)形結(jié)合能力直觀想象5雙曲線

22、的幾何性質(zhì)及點(diǎn)到直線的距離運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)運(yùn)算6對(duì)數(shù)與指數(shù)的相互轉(zhuǎn)化運(yùn)算閱讀理解能力、運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)運(yùn)算7空間幾何體三視圖的正視圖與側(cè)視圖抽象概括能力、空間想象能力直觀想象8解三角形中余弦定理的應(yīng)用運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)運(yùn)算9等比數(shù)列求和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)運(yùn)算求解能力及探究創(chuàng)新能力數(shù)學(xué)運(yùn)算10古典概型的概率問(wèn)題分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算11同角三角函數(shù)關(guān)系及二倍角公式運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)運(yùn)算12抽象函數(shù)的奇偶性與周期性抽象思維能力、邏輯思維能力及運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理填空題13向量模的運(yùn)算運(yùn)算求解能力數(shù)學(xué)運(yùn)算14圓錐的體積與側(cè)面積空間想象能力、運(yùn)算求解能力直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算15三角函數(shù)的圖象及周期讀圖識(shí)圖能力、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算16橢圓的定義及幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)探究與創(chuàng)新能力、運(yùn)算求解能力直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算解答題17頻率及獨(dú)立性檢驗(yàn)數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算18Sn與an的關(guān)系及等差數(shù)列的判定推理論證能力、運(yùn)算能力邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算19空間幾何體的體積及線面垂直、線線垂直的證明空間想象能力、邏輯推理能力邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算20應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求參數(shù)的取值范圍數(shù)形結(jié)合能力、運(yùn)算求解能力邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算