熱點問題3不等式(含多元變量)(教師版)

1、熱點問題3不等式(含多元變量)(教師版)熱點問題3不等式(含多元變量)(教師版)6/6熱點問題3不等式(含多元變量)(教師版)蘇州市高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料熱點問題熱點問題3基本不等式(含多元變量)一、填空題1已知f(x)log2(x2)，若實數(shù)m,n滿足f(m)f(2n)3，則mn的最小值為_【剖析】由f(m)f(2n)3可得log2(m2)log2(2n2)3，則(m2)(n1)4，其中（m2,n1），由基本不等式(m2)(n1)m2n1,即mn7,2當(dāng)且僅當(dāng)m4,n3時，取“=”因此mn的最小值為72設(shè)實數(shù)x,y滿足x22xy10，則x2y2的最小值是_【剖析】因為x22xy10，則y1x2

2、1(1x)，2x2x因此x2y2x21(1x)25x21151，4x44x222當(dāng)且僅當(dāng)x25時，取“=”5因此x2y2的最小值為5123已知x,y為正實數(shù)且滿足xy1,則111的最小值為_xy【剖析】因為(1y1)(xy1)y1x157,4x14xy44因此117y71)7,4xy14（x1)4(18當(dāng)且僅當(dāng)x2,y1時，取“=”33因此111的最小值為7xy84若不等式x22xya(x2y2)關(guān)于所有正數(shù)x，y恒成立，則實數(shù)a的最小值為_-1-蘇州市高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料熱點問題x22xy1（y）【剖析】因為x22xya(x22y2)可得ayyxx22(21)x令yt，則a2t1（t0），令

3、2t1u，xt21則2t1u4451,t21(u121522522)u2u當(dāng)且僅當(dāng)u5時，即51t時，取“=”2因此x22xy的最大值為51，即a51x2y2225設(shè)mR，過定點A的動直線xmy0和過定點B的動直線mxym30交于點P(x,y)，則PAPB最大值是_【剖析】由題意：A(0,0),B(1,3)，又兩直線互相垂直，因此點P的軌跡是以AB為直徑的圓，則PA2PB210，因此PAPBPA2PB25,2當(dāng)且僅當(dāng)PAPB5時，取“=”因此PAPB的最大值是56國際上鉆石的重量計量單位為克拉已知某種鉆石的價值V美元與其重量克拉的平方成正比，若把一顆鉆石切割成重量分別為m，n(mn)的兩顆鉆石

4、，且價值損失的百分率為原有價值現(xiàn)有價值原有價值100%(切割中重量耗費不計)，則價值損失的百分率的最大值為_【剖析】因為V與的平方成正比，因此設(shè)Vk2，則原有價值V0k(mn)2，現(xiàn)有價值VV1V2km2kn2，因此價值損失的百分率V0Vkmn2km2kn2100%，V0kmn2而kmn2km2kn22mn22mn1，當(dāng)且僅當(dāng)mn時取等號2kmnmn4mn2故價值損失的百分率的最大值為50%-2-蘇州市高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料熱點問題7已知x0,y0，且滿足xyxy，則x4y的最小值為_x4y【剖析】由xyxy可得x4yxy11,x4yxyxy（2114yxx）(x4y)()59,xyxy當(dāng)且僅當(dāng)

5、x1,y1時，取“=”2因此x4y的最小值為38已知a,b,c為正實數(shù)且滿足bca,則bc的最小值為_cab【剖析】由bca可得bcbbcbb1，cabcccb12c令bt，則t0，2t10，c則bact2t11(2t1)11121，cb122t22當(dāng)且僅當(dāng)t21時,取“=”2因此bac的最小值為21cb2二、解答題9已知x0,y0且滿足xyxy8，求xy的最小值變式1已知x0,y0且滿足xyxy8，求xy的取值范圍變式2已知x0,y3且滿足xyxy8，求xy的最小值【剖析】法1：因為xyxy8，則y8x，x1由x0,y0可得0 x8，因此xyx8xx192，x1x14當(dāng)且僅當(dāng)x2時，等號成立

6、法2：由xyxy8可得xy8(xy)(xy)2，解得xy4也許xy4，2-3-蘇州市高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料熱點問題又由x0,y0可得xy4變式因為xyxy8，則8x，1y1x由x0,y0可得x1，即x10，因此xyx8xx192(x1)92-8，x1x1(x1)當(dāng)且僅當(dāng)x4時，等號成立變式2因為xyxy88x，則y，x1由x0,y3可得0 x5，4因此xyx8xx192在x5上單調(diào)遞減，x1x10，4因此xy17410已知函數(shù)f(x)cos2x2，可否存在正整數(shù)m，使得f(x)mf(x)f(0)對任意的2x0,恒成立?若存在，求出m的值，若不存在，說明原由2【剖析】由f(x)mf(x)f(0)可

7、得2cos2xm(cosx2)1，2即m1cos2x22cos2x0,恒成立，2cosx2對任意的xcosx2令2cosxt1,2，則22cos2x22(2t)28(2t6)843,2cosxtt當(dāng)且僅t3時，等號成立，22cos2x843，因此的最小值為2cosx因此m843，-4-蘇州市高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料熱點問題因此存在正整數(shù)m1，使得f(x)mf(x)f(0)對任意的x0,恒成立2211有一座大橋既是交通擁擠地段，又是事故多發(fā)地段，為了保證安全，交通部門規(guī)定：大橋上的車距dm與車速vkm/h和車長lm的關(guān)系滿足dkv2ll(k為正的常數(shù))假定車身長為24m，當(dāng)車速為60km/h時，車距

8、為2.66個車身長1）寫出車距dm關(guān)于車速vkm/h的函數(shù)關(guān)系式；2）應(yīng)規(guī)定怎樣的車速，才能使大橋上每小時經(jīng)過的車輛最多？剖析】（1）由題意，當(dāng)v60時，d2.66l，12.66l2l2.16因此k220.0006，60l60因此d0.0024v222）設(shè)每小時經(jīng)過的車輛數(shù)為Q，則Q1000v，d41000v1000即Q0.0024v266，0.0024vv66因為0.0024v20.0024v024，vv因此Q100012500，當(dāng)且僅當(dāng)0.0024v6，即v50時，Q取最大值12500，0.243v3故當(dāng)車速為50km/h時，大橋上每小時經(jīng)過的車輛最多12已知數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn2an2（1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)bnlog2an，cn1，記數(shù)列cn的前n項和Tn若對nN，Tnk(n4)bnbn1恒成立，求實數(shù)k的取值范圍【剖析】（1）當(dāng)n1時，a2，1當(dāng)n2時，anSnSn12an2(2an12)，即an2，an1因此數(shù)列an為以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，-5-蘇州市高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)資料熱點問題因此an2n（2