初三向量知識(shí)點(diǎn)概括

1、平面向量的線性運(yùn)算目標(biāo)導(dǎo)航經(jīng)過(guò)向量加法的研究，掌握向量加法看法，結(jié)合物理學(xué)實(shí)質(zhì)理解向量加法的意義。能熟練地掌握向量加法的平行四邊形法規(guī)和三角形法規(guī)，并能作出已知兩向量的和向量。在應(yīng)用活動(dòng)中，理解向量加法滿足交換律和結(jié)合律及表述兩個(gè)運(yùn)算律的幾何意義。掌握有特別地址關(guān)系的兩個(gè)向量的和，比方共線向量、共起點(diǎn)向量、共終點(diǎn)向量等。經(jīng)過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，認(rèn)識(shí)事物之間的互相轉(zhuǎn)變，培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)企圖識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)在生活中的作用。培養(yǎng)類比、遷移、分類、歸納等能力。經(jīng)過(guò)研究活動(dòng)，掌握向量減法看法，理解兩個(gè)向量的減法就是轉(zhuǎn)變成加法來(lái)進(jìn)行，掌握相反向量。學(xué)會(huì)解析問(wèn)題和創(chuàng)立性地解決問(wèn)題。能熟練地掌握用三角形法規(guī)和平行四邊形法規(guī)

2、作出兩向量的差向量。經(jīng)過(guò)經(jīng)歷研究數(shù)乘運(yùn)算法規(guī)及幾何意義的過(guò)程，掌握實(shí)數(shù)與向量積的定義，理解實(shí)數(shù)與向量積的幾何意義，掌握實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律。理解兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件，能夠運(yùn)用兩向量共線條件判斷兩向量可否平行。經(jīng)過(guò)研究，領(lǐng)悟類比遷移的思想方法，浸透研究新問(wèn)題的思想和方法，培養(yǎng)創(chuàng)新能力和積極進(jìn)步精神。經(jīng)過(guò)解決詳盡問(wèn)題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)在生活中的重要作用。重難點(diǎn)打破向量加法的運(yùn)算及其幾何意義。對(duì)向量加法定義的理解。向量的減法運(yùn)算及其幾何意義。對(duì)向量減法定義的理解。實(shí)數(shù)與向量積的意義。實(shí)數(shù)與向量積的運(yùn)算律。兩個(gè)向量共線的等價(jià)條件及其運(yùn)用。對(duì)向量共線的等價(jià)條件的理解運(yùn)用。每課一記一、求若干個(gè)向量的和的模(或最

3、值)的問(wèn)題平時(shí)按以下步驟進(jìn)行：搜尋或構(gòu)造平行四邊形，找出所求向量的關(guān)系式；用已知長(zhǎng)度的向量表示待求向量的模，有時(shí)還要利用模的重要性質(zhì)。二、1.向量的加法定義向量加法的定義：如圖3，已知非零向量A.b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作AB=a，BC=b，則向量AC叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=AB+BC=AC。求兩個(gè)向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法。向量加法的法規(guī)：1）向量加法的三角形法規(guī)在定義中所給出的求象量和的方法就是向量加法的三角形法規(guī)。運(yùn)用這一法規(guī)時(shí)要特別注意“首尾相接”，即第二個(gè)向量要以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，則由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn)的向量即為和向量。零位移的合成能夠看作向量

4、加法三角形法規(guī)的物理模型。2）平行四邊形法規(guī)向量加法的平行四邊形法規(guī)如圖4，以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是a與b的和。我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法規(guī)。向量a，b的加法也滿足交換律和結(jié)合律：對(duì)于零向量與任向來(lái)量，我們規(guī)定a+0=0+a=a。兩個(gè)數(shù)相加其結(jié)果是一個(gè)數(shù)，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)；在數(shù)軸上的兩個(gè)向量相加，它們的和仍是一個(gè)向量，對(duì)應(yīng)于數(shù)軸上的一條有向線段。當(dāng)a，b不共線時(shí)，|a+b|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊)；當(dāng)a，b共線且方向相同時(shí)，|a+b|=|a|+|b|；當(dāng)a，b共線且方向相反時(shí)，|a+b

5、|=|a|-|b|(或|b|-|a|)。其中當(dāng)向量a的長(zhǎng)度大于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|a|-|b|；當(dāng)向量a的長(zhǎng)度小于向量b的長(zhǎng)度時(shí)，|a+b|=|b|-|a|。一般地，我們有|a+b|a|+|b|。如圖5，作AB=a，AD=b，以AB.AD為鄰邊作ABCD，則BC=b，DC=a。由于AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，因此a+b=b+a。如圖6，由于AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，因此(a+b)+c=a+(b+c)。綜上所述，向量的加法滿足交換律和結(jié)合律。特別與一般，歸納與類比，數(shù)形結(jié)合，分

6、類談?wù)?，特別是經(jīng)過(guò)知識(shí)遷移類比獲得新知識(shí)的過(guò)程與方法。三、用向量法解決物理問(wèn)題的步驟為：先用向量表示物理量，再進(jìn)行向量運(yùn)算，最后回扣物理問(wèn)題，解決問(wèn)題。四、向量也有減法運(yùn)算。由于方向反轉(zhuǎn)兩次仍回到原來(lái)的方向，因此于是-(-a)=a。我們規(guī)定，零向量的相反向量仍是零向量任向來(lái)量與其相反向量的和是零向量，即因此，若是a、b是互為相反的向量，那么1.平行四邊形法規(guī)a和-a互為相反向量。.a+(-a)=(-a)+a=0。a=-b，b=-a，a+b=0。圖1如圖1，設(shè)向量AB=b，AC=a，則AD=-b，由向量減法的定義，知AE=a+(-b)=a-b。又b+BC=a，因此BC=a-b。由此，我們獲得a-

7、b的作圖方法。圖2三角形法規(guī)如圖2，已知a、b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OA=a，OB=b，則BA=a-b，即a-b能夠表示為從b的終點(diǎn)指向a的終點(diǎn)的向量，這是向量減法的幾何意義。（1）定義向量減法運(yùn)算從前，應(yīng)先引進(jìn)相反向量。與數(shù)x的相反數(shù)是-x近似，我們規(guī)定，與a長(zhǎng)度相等，方向相反的量，叫做a的相反向量，記作-a。2）向量減法的定義。我們定義a-b=a+(-b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。規(guī)定：零向量的相反向量是零向量。向量的減法運(yùn)算也有平行四邊形法規(guī)和三角形法規(guī)，這也正是向量的運(yùn)算的幾何意義所在，是數(shù)形結(jié)合思想的重要表現(xiàn)。五、我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做

8、向量的數(shù)乘，記作a，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定以下：(1)|a|=|a|；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反。由(1)可知，=0時(shí)，a=0。依照實(shí)數(shù)與向量的積的定義，我們能夠考據(jù)下面的運(yùn)算律。實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律設(shè)、為實(shí)數(shù)，那么(a)=()a;(2)(+)a=a+a;(a+b)=a+b.特別地，我們有(-)a=-(a)=(-a)，(a-b)=a-b。向量共線的等價(jià)條件是：若是a(a0)與b共線，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使b=a。共線向量可能有以下幾種狀況：有一個(gè)為零向量；兩個(gè)都為零向量；同向且模相等；同向且模不等；反向且模相等；反向且模不等。數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量，向量的

9、方向由實(shí)數(shù)的正負(fù)及原向量的方向確定，大小由|a|確定。它的幾何意義是把向量a沿a的方向或a的反方向放大或減小。向量的平行與直線的平行是不相同的，直線的平行是指兩條直線在同一平面內(nèi)沒(méi)有公共點(diǎn)；而向量的平行既包含沒(méi)有交點(diǎn)的狀況，又包含兩個(gè)向量在同一條直線上的狀況。向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。對(duì)于任意向量a、b，以及任意實(shí)數(shù)、1、2，恒有(1a2b)=1a2b。經(jīng)典例題例1化簡(jiǎn)：BC+ABDB+CD+BCAB+DF+CD+BC+FA解：BC+AB=AB+BC=ACDB+CD+BC=BC+CD+DB=(BC+CD)+DB=BD+DB=0(3)AB+DF+CD+BC+FA=AB+BC+C

10、D+DF+FA=AC+CD+DF+FA=AD+DF+FA=AF+FA=0解析：要善于運(yùn)用向量的加法的運(yùn)算法規(guī)及運(yùn)算律來(lái)求和向量。例2若AC=a+b，DB=a-b當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，a+b與a-b垂直？當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，|a+b|=|a-b|？當(dāng)a.b滿足什么條件時(shí)，a+b均分a與b所夾的角？a+b與a-b可能是相等向量嗎？解析：如圖6，用向量成立平行四邊形，其中向量AC、DB恰為平行四邊形的對(duì)角線。由平行四邊形法規(guī)，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b。由此問(wèn)題即可變換為：當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線互相垂直？(|a|=|b|)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線相等？(

11、a.b互相垂直)當(dāng)邊AB、AD滿足什么條件時(shí)，對(duì)角線均分內(nèi)角？(a.b相等)a+b與a-b可能是相等向量嗎？(不能能，由于對(duì)角線方向不相同)解析：靈便的構(gòu)想，獨(dú)到巧妙，數(shù)形結(jié)合思想獲得充分表現(xiàn)。由此我們能夠想到在解決向量問(wèn)題時(shí)，能夠利用向量的幾何意義構(gòu)造幾何圖形，轉(zhuǎn)變成平面幾何問(wèn)題。練習(xí)題1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB=a，AC=c，BC=b，則|a+b+c|為()。A.0B.32D.222.設(shè)a=(AB+CD)+(BC+DA)，b是任一非零向量，則以下結(jié)論中正確的為()。ab；a+b=a；a+b=b；|a+b|a|+|b|；|a+b|=|a|+|b|。以低等式中，正確的個(gè)數(shù)是()。a

12、+b=b+aa-b=b0-a=-a-(-a)=aa+(-a)=0A.5B.4C.3D.24.如圖7，D、E、F分別是ABC的邊AB、BC、CA的中點(diǎn)，則AF-DB等于()。FDFCFEBE以下式子中不能夠化簡(jiǎn)為AD的是()。A.(AB+CD)+BCB.(AD+MB)+(BC+CM)C.MBADBMD.OC-OA+CD已知A.B.C三點(diǎn)不共線，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，若OA+OB+OC=0，則O是ABC的()。重心垂心內(nèi)心外心117.32(2a+8b)-(4a-2b)等于()。A.2a-bB.2b-aC.b-aD.a-b設(shè)兩非零向量e1、e2不共線，且ke1+e2與e1+ke2共線，則k的值為()。A

13、.1B.-1C.1D.09.若向量方2x-3(x-2a)=0，則向量x等于()。6a5B.-6aC.6aD.-6a5設(shè)向量a，b都不是零向量：(1)若向量a與b同向，則a+b與a的方向_，且|a+b|_|a|+|b|；(2)若向量a與b反向，且|a|b|，則a+b與a的方向_，且|a+b|_|a|-|b|。11.如圖17所示，已知正方體ABCDA1B1C1D1，設(shè)AB=a，AD=b，AA1=c，則AC1=_。(用A、B、C表示)112.在ABC，AE=5AB，EFBC，EF交AC于F，設(shè)AB=a，AC=b，則BF用a、b表示的形式是BF=_。在ABC，M、N、P分別是AB、BC、CA邊上的湊近A、B、C的三均分點(diǎn)，O11是ABC平面上的任意一點(diǎn)，若OA+OBOC=3e1-2e2，則OMONOP=_。某人在靜水中游泳，速度為43km/h，若是他徑直游向?qū)Π?，水流速度?km/h，則他實(shí)質(zhì)以多大的速度沿何方向游?在中心為O的正八邊形A1A2A8中，a0=A8A1，ai=AiAi1(i=1，2，7)，bj=OAj(j=1，2，8)，試化簡(jiǎn)a2+a5+b2+b5+b7已知ABC為直角三角形，A