空間點線面的位置關(guān)系及四個公理

1、高考專題：空間點、直線、平面的位置關(guān)系及四個公理一空間點、直線、平面的位置關(guān)系空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形/7/7A 7符號aba aa 月相交關(guān)系圖形符號a H b=Aa H a= AaH g=l異面或在內(nèi)關(guān)系圖形7符號a， b是異面直線a a2.異面直線所成的角 （1）定義：設(shè)a, b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa, bb,把a(bǔ)與b 所成的 銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.即，異面直線的平行線的 夾角就是兩異面直線所成的角。（2）范圍：（0, 2J- 3.異面直線判定定理：經(jīng)過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與這個

2、平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.即，若A aa, B ea, l ua, B wl則AB與l異面。4.異面直線所成的角的求解方法：方法一，定義法：異面直線所成的角，根據(jù)定義，以“運動”觀點，用“平移轉(zhuǎn)化”的方 法，使之成為兩相交直線所成的角，當(dāng)異面直線垂直時，應(yīng)用線面垂直定義或三垂線定理及逆定理判定所成的角為90。，也是不可忽視的方法。其求解步驟為：做平移找出或做出有關(guān)的角-證明它符合定義即認(rèn)定-通過解三角形求角。 簡言之，“一做，二證，三算”注意：第二步認(rèn)定的表述為：/A或其補(bǔ)角就是異面直線-與-所成的角。方法二，三弦公式法：如圖，已知pa與PB分別是平面a的垂線和斜線，在平面a內(nèi)過斜足B

3、 任意引一直線BC，設(shè)ZPBA = q,ZABC = 02,ZPBC = 0，有cos0 = cos01 -cos02。P【真題再現(xiàn)】1.（2014全國二）：正方體ABCD ABCD中，若E、F分別為AB和BB11111 11的中點，則AE與CF所成角的余弦值是2.（2017理科全國三）a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC 所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當(dāng)直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最大值為60；其中正確的是 .（填

4、寫所有正確結(jié)論的編號）推論：最小角定理：平面外的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角（即，線面角）是 這條斜線和平面內(nèi)所有直線所成的一切角中的最小角。【真題再現(xiàn)】（2018浙江8）已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是 線段AB上的點（不含端點），設(shè)SE與BC所成的角為* SE與平面ABCD所成的角為， 二面角S-AB-C的平面角為，則（）A. Qe,VQB.摭e,珥C. QVQVQD.成VQ們1一 2 33一 2一 11一 3 22一 3一 1方法三，空間向量法:建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，并設(shè)異面直線AB與CD所成的角為。，貝g cos貝g cos0 =AB CDa |cd

5、|【考點專練】L （09天津卷）在棱長為2的正方體ABCD-/RE中，是底面ABCD的中心，E、F分別是CR、AD的中點，那么異面直線OE和FD所成的角的余弦值等于（）v10A .15v10A .15B.4C. 52D,3132.在空間四邊形ABCD中，已知AD=1, BC=3且 AD 1 BC，對角線BD = -，AC=2.在空間四邊形ABCD中，已知AD=1, BC=33工占土一-，求AC和BD所成的角。已知異面直線a,b所成的角為60。，在過空間一定點P的直線中，與a,b所成的角均為60。的直線有多少條？過P與a,b所成角均為50。，與均為70。的直線又各有多少呢？兀已知兩異面直線所成的

6、角為耳，直線l與兩異面直線均成等角，則這個角。的取值范圍是5.線段AB夾在直二面角a-1-P內(nèi)，A ea, B e P，如果AB與平面a、P所成的角分別為0、中，那么0 +中應(yīng)滿足（）A .大于90。B,小于90。C .等于90。 D,小于或等于90。6.（08全國理）正六棱柱ABCDEF - BRR氣的底面邊長為1，側(cè)棱長為很，則這個棱柱的側(cè)面對角線E D與Bq所成的角為（）A .90。B .60。C .40。D .120。7.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線BR與EF所成的角的大小為（）A. 30B. 45 C. 60 D. 90解析

7、：C 連接B1D1 , D1C（圖略），則BflEF，故zD 為所求的角， 又 B1D1=B1C = D1C，.zD1B1C = 60.8.（2018-全國II卷理科）在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA=V3，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（）2D.M9.如圖，在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA=2AB=2,10.（2018-全國11卷文科）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與CD,10.（2018-全國11卷文科）在正方體ABCD-A1B1C1D1中，與CD所成角的正切值為（）A甦B?23E為棱CC1的中點c垂C.

8、2則異面直線AED.乎解析：C 如圖，因為AB（CD ,所以AE與CD所成的角為zEAB.在RtAABE中，設(shè)AB = 2 ,BC=CC1BC=CC1 = 1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（）D近D. 3E為AA1的中點云 B個12.已知正四棱柱ABCD-A1BlClDl中c遠(yuǎn)C. 5AA1 = 2AB，則異面直線BE與CD1BE岳5則BE = ：5 ,則tanzEAB=而二虧，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為云。11. （2017-全國II卷理科）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，匕ABC=120, AB=2,所成角的余弦值為（）A .端解析：D 連BA1 ,則在正四棱柱

9、中可得BAJICD ,.zABE即為異面直線BE與CD1所成 角（或其補(bǔ)角）.設(shè)AA1 = 2AB = 2 ,則在ME中，BE二& ,EA1 = 1,BA2=J5，由余弦定理6； 2）2 + （污）2 - 12 rT03 氣：10得coszABE= 2Xi*V5= ,.異面直線BE與CD1所成角的余弦值為當(dāng)蒞.13.如圖，E、F分別是三棱錐P-ABC的棱AP. BC的中點，PC=10, AB=6, EF=7，則異面直線AB與PC所成的角為 .答案：60解析：取AC的中點D，連接DE、DF則DE(PC , DF(AB，-EDF或其補(bǔ)角為異面直線AB與PC所成的角，利用余弦定理可求得zEDF=12

10、0，所以異面直線AB與PC所成的角為60,14.如圖，在長方體ABCD A BfR中。已知AB=4, AD=3, #=2，E、F分別是線段 AB、BC 上的點，且 EB=FB=1(1)求二面角C DE C1的正切值；(2)求直線Eq與Fq所成角的余弦值A(chǔ).DA.DFFDL15.如圖，在二面角 al P, A、B ea, C、D e l，ABCD 是矩形，P e P, PA a，且PA=AD，M、N依次是AB、PC的中點。證明：MN是異面直線AB和PC的公垂aAMNPC求異面直線PA與MN所成的角。aAMNPC16.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，/BAD = 90。

11、，AD/BC,AB=BC=a，AD=2a，且 PA 1 底面 ABCD，PD 與底面成30。角。若AE1PD, E為垂足，求證：BE 1PD；求異面直線AE與CD所成角的余弦大小。17. (2016-全國I卷)平面a過正方體ABCD-A1BClD1的頂點A，a平面CBfi，aC平面 ABCD=m，aC平面 ABB1A1=n，則 m，n 所成角的正弦值為()A?23 B.f C.*3 D.1解析：A 如圖所示，設(shè)平面CBDC平面ABCD = m1 ,因為a|平面CB1D1，所以mj|m，又平面ABCD平面A1B1C1D1 ，且平面 BDCC 平面 A1B1C1D1=B1D1，所以 B1D1|m1

12、，故 B1D1|m.因為平面ABBA |平面DCCD，且平面CB D C平面DCC D = CD，同理可證CD |n.1 11 1，1 11 11，1.故m，n所成角即直線B1D1與CD1所成角，在正方體ABCD - AfiCfl中，心是正三3 角形，故直線B1D1與CD1所成角為60，其正弦值為.18. 一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論:ABEF；AB與CM所成的角為60； EF與MN是異面直線；MNCD.以上四個命題中，正確命題的序號是解析：如圖，ABEF，正確；顯然ABICM，所以不正確；EF與MN是異面直線，所以正確；與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是

13、.答案：19.如圖所示，三棱柱ABC -A1B1C1,底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱AAL底面ABC, 點E, F分別是棱Cq, BB1上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.當(dāng)點M在何位置時，BM平面AEF?若BM平面AEF，判斷BM與EF的位置關(guān)系，說明理由；并求BM與EF所成的 角的余弦值.解：(1)法一：如圖所示，取AE的中點O，連接OF，過點O作OM1AC于點M.因為側(cè)棱AA1底面ABC，所以側(cè)面AACC1底面ABC.又因為 EC = 2FB = 2，所以 OMFBEC 且 OM=、EC 二 FB，所以四邊形OMBF為矩形，BM(OF.因為OFU平面AEF，BMG平面AEF

14、， 故BM|平面AEF，此時點M為AC的中點.法二：如圖所示，取EC的中點P，AC的中點Q，連接PQ，PB，BQ.因為 EC = 2FB = 2 聽以1、所以 PQAE , PBEF ,所以PQII平面AFE , PB|平面AEF ,因為PBQPQ = P , PB , PQU平面PBQ，所以平面PBQI平面AEF.又因為BQU平面PBQ，所以BQ|平面AEF.故點Q即為所求的點M,此時點M為AC的中點.(2)由(1)知，BM與EF異面，zOFE(或zMBP)就是異面直線BM與EF所成的角或其補(bǔ)角.易求 AF = EF = , MB = OF 二蕓,OF1AE ,所以cos，OFE = F=1

15、 ,所以BM與EF所成的角的余弦值為號5.二四個公理及其應(yīng)用：公理1、如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。公理的應(yīng)用：(1)證明直線在平面內(nèi)：(2)證明點在平面內(nèi)：公理2、過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論1、兩條平行直線確定唯一一個平面。推論2、一條直線及直線外一點確定唯一一個平面。推論3、兩條相交直線確定唯一一個平面。公理的應(yīng)用：確定平面或證明多點共面。公理3、如果有兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。簡言之，“面面相交成一線”。公理的應(yīng)用：（1）判斷兩平面是否相交：（2）畫相交兩平面的交線：（3）證明多點共線：（4）證明三

16、線共點：公理4 （平行公理）、平行于同一直線的兩直線平行。推論：等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角 相等或互補(bǔ). 公理的應(yīng)用：證明兩直線平行或證明角相等?！究键c專練】判斷下列說法是否正確，正確的在它后面的括號里打“”，錯誤的打“ X”.（1）兩個不重合的平面只能把空間分成四個部分.（） TOC o 1-5 h z （2）兩個平面ABC與DBC相交于線段BC.（）（3）已知a, b是異面直線，直線c平行于直線a,那么c與b不可能是平行直線.（）（4） 沒有公共點的兩條直線是異面直線.（）（5）如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.（）答案：（1）X （2）X （3）

17、V （4）X （5）X 在下列命題中，不是公理的是（）平行于同一個平面的兩個平面相互平行過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點都在此平面內(nèi)如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線解析：A A不是公理，是個常用的結(jié)論，需經(jīng)過推理論證；B , C , D是平面的基本性質(zhì)公理.（2019-貴陽調(diào)研）a是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若mGa，nUa，且AEm，AEa，則m，n的位置關(guān)系不可能是（）A.垂直B.相交 C.異面 D.平行解析：D 依題意 ,m A a = A , nUa，:.m 與 n 異

18、面、相交（垂直是相交的特例），一定不平行.4.已知直線a和平面a, &, aC=l, aS, a邛，且a在a, &內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是（）相交或平行 B.相交或異 C.平行或異面 D.相交、平行或異面解析：D 依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.5.過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A作直線1,使l與棱AB, AD, AA1所成的角都相等， 這樣的直線1可以作（）A. 1條 B. 2條C. 3條 D. 4條解析：D 如圖，連接體對角線Aq ,顯然AC1與棱AB,AD,AA所成的角都相等，所成 角的正切值都為也.聯(lián)想正方體的其他體對角線，如連接

19、BD1，則BD1與棱BC , BA , BB1 所成的角都相等.BB1|AA1 ,BC|AD ,.體對角線BD1與棱AB , AD , AA1所成的角都相等， 同理，體對角線A1C ,DB1也與棱AB ,AD ,AA1所成的角都相等，過A點分別作BD1 ,A1C , DB1的平行線都滿足題意，故這樣的直線1可以作4條.6.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E, F分別是AB和AA1的中點.求證:E BE B(1)E, C, D1, F 四點共面；(2)CE, D1F, DA 三線共點.:E , F分別是AB , AA1的中點，證明(1)如圖，連接:E , F分別是AB , AA1的中點，EF|BA.又 AB|DC , EF|CD1 , :E , C , D1 , F 四點共面.(2)：EF|CD , EF 1