普通物理學(xué)課件：第六章 機械波

1、第六章 機械波（課本下冊第十一章）振動在空間的傳播過程波動。不同種類的波其產(chǎn)生和傳播的機制不同，但有著波動的共性：有相似的波動方程，有反射、折射、干涉、衍射等波動性。機械振動在彈性介質(zhì)中的傳播機械波。電磁震蕩在空間的傳播電磁波。本章主要討論機械波。(1) 平面簡諧波方程（波函數(shù)）；(2) 波的能量和能流密度；(3) 波的干涉和駐波；(4) 多普勒效應(yīng)。主要內(nèi)容：6-1 機械波的產(chǎn)生和傳播 波源（振源）：波動的形式和能量的來源。1、產(chǎn)生機械波的必要條件： 彈性介質(zhì)：機械波只能在介質(zhì)（氣體、液體、固體）中傳播。介質(zhì)內(nèi)各質(zhì)元間當(dāng)有相對位移時，能互相施以彈性恢復(fù)力，使各質(zhì)元能在平衡位置附近按波源的形式

2、振動，并將波源的振動形式（和能量）傳播開去。2、橫波和縱波：橫波介質(zhì)中質(zhì)元的振動方向垂直于波的傳播方向。縱波介質(zhì)中質(zhì)元的振動方向平行于波的傳播方向。如：繩波如：聲波橫波（機械波）只能在固體中傳播。縱波可在任何介質(zhì)中傳播。水面波水表面除受張（壓）應(yīng)力外，還受重力和表面張力的作用。水面波為橫波和縱波的疊加。 波傳播的是振動的狀態(tài)和能量，而不是質(zhì)量。橫波演示縱波演示3、波線和波面：波線沿波的傳播方向所畫的射線。在各向同性的均勻介質(zhì)中，波線恒與波面垂直。波面介質(zhì)中振動相位相同的點所構(gòu)成的面。球面波傳到足夠遠(yuǎn)時，在一小范圍內(nèi)可看作平面波。（如：傳到地球上的太陽光波）波線波面（波陣面）波前波前波面（波陣面

3、）波線平面波球面波4、波長、周期、頻率、波速：波長 同一波線上相位差為2的兩質(zhì)元間的距離。周期T 波傳播一個波長的距離所需要的時間。頻率 單位時間內(nèi)傳出的完整波形的個數(shù)。波速（相速）u 單位時間內(nèi)，某振動狀態(tài)（相位）傳播的距離。波的周期、頻率和波源的相同。波速的大小決定于彈性介質(zhì)的性質(zhì)，與波源無關(guān)。波長、頻率和波速之間的關(guān)系個 當(dāng)波長遠(yuǎn)大于介質(zhì)分子間的距離時，宏觀上介質(zhì)可視為是連續(xù)的；若波長小到分子間距尺度時，介質(zhì)不再具備連續(xù)性，此時不能傳播彈性波。彈性波在介質(zhì)中傳播時存在一個頻率上限。固體中：軟繩或弦線中：波的頻率決定于波源，波速決定于介質(zhì)。所以：G：固體的切變彈性模量Y：固體的楊氏彈性模量

4、流體中：B：流體的容變彈性模量（體積模量）T：張力； 1：質(zhì)量線密度空氣中的聲波：同一列波在不同介質(zhì)中的波長不同。6-2 平面簡諧波及其波動方程 最簡單、最基本的波動形式稱為簡諧波。簡諧波：介質(zhì)中各質(zhì)元作余弦（或正弦）諧振動的波。任意復(fù)雜的波總可以表示為若干簡諧波的疊加。波面為平面且向前傳播的簡諧波稱為平面簡諧行波。本節(jié)討論均勻無限大、無吸收（沒有能量損失、各質(zhì)點振幅相等）介質(zhì)中平面簡諧波的表達式。yxo1、平面簡諧波方程：設(shè)平面簡諧波以波速 u 沿波線 x 傳播。波線上o點的振動方程為：波從o點傳到 p 點需要時間：即p點質(zhì)元t 時刻的振動狀態(tài)（相位）為o點質(zhì)元t-t時刻的振動狀態(tài)（相位）。

5、p點質(zhì)元的振動方程：稱為（沿x正向傳播的）平面簡諧波方程或波函數(shù)。upx若波沿x軸負(fù)方向傳播，則波函數(shù)為：若o點質(zhì)元振動初相位0，則波函數(shù)為：考慮到：和波函數(shù)還可寫成：2、對波函數(shù)的討論：(1) 當(dāng)x一定時，波函數(shù)為x1點處質(zhì)元的振動方程：式中：為x點處質(zhì)元的振動初相位。上式代表x1 處質(zhì)點在其平衡位置附近以角頻率w 作簡諧運動。而：為x點處振動落后于o點處振動的相位。時間軸上相鄰兩個同相位點的間隔即為周期T。ytoT(2) 當(dāng)t一定時，波函數(shù)為t1時刻各質(zhì)元的位移分布情況：波形圖上相鄰?fù)辔稽c的間隔為波長。同一時刻t1，同一波線上x1、x2兩點處振動的相位差：x = x2 - x1 稱為波程

6、差。yxoux2t1x1(3) 當(dāng)t、x都變化時，波函數(shù)表示波線上所有質(zhì)元的位移隨時間的變化情況。實線：t 時刻波形。虛線：時刻波形。整個波形隨時間向 x 正方向運動 行波yxoutt+T/4當(dāng)t=t1時，當(dāng)t= t1+t時， 在t1和t1+t時刻，對應(yīng)的傳播方向位移用x(1) 和x(2)表示： 令x(2)=x(1)+ut，得 在t 時間內(nèi),整個波形向波的傳播方向移動了x=x(2)-x(1)=ut，波速u 是整個波形向前傳播的速度。所以波速u 也稱相速度。例7-1例6-1：聲波： = 3000Hz，u=1560m/s，沿一波線從A傳播到B。x=AB=0.13m。求：(1) 波的周期和波長；(2

7、)B點振動比A點落后多少時間； (3) A、B兩點的相位差；(4)若波源振幅A=0.1mm,則波線上各質(zhì)元振動速度的最大值為多少？(1) 波的傳播速度與介質(zhì)中質(zhì)元的振動速度是兩個(2)(3)(4)不相同的概念。例7-2例6-2：沿x軸正向傳播的平面簡諧波：u=1.0m/s，x=0點處質(zhì)元的振動方程為 y0= 0.1cos(t+) (m)，t = 0 時，該質(zhì)元振動速度0= 0.1(m/s) 。求：(1) 波動表達式；(2) t = 1s 時， x 軸上各質(zhì)元的位移分布； (3) x = 0.5m 處質(zhì)元的振動方程。(1) x = 0 處質(zhì)元振動的速度：t = 0 時：x = 0 處質(zhì)元的振動方

8、程：波函數(shù)：(2) t = 1s 時：y/mx/mo0.1123(3) x = 0.5m 處質(zhì)元的振動方程：習(xí)題7-12例6-3：一正弦橫波沿一張緊的弦從左向右傳播，A=10cm, = 200cm, u = 100 cm/s。t = 0 時，弦左端經(jīng)平衡位置向下運動。求：(1) 弦左端振動方程；(2) 波函數(shù)；(3) x=150cm處質(zhì)元的振動方程；(4) 弦上質(zhì)點的最大振動速度；(5) t=3.25s時，x = 150cm 處質(zhì)元的位移和速度。(1) 設(shè)弦左端的振動方程為：由題設(shè)條件：所以：(2) 波函數(shù)：(3) x=150cm處質(zhì)元的振動方程為：(4) 弦上質(zhì)點的最大振動速度：(5) t=

9、3.25s，x = 150cm處質(zhì)元的位移和速度為：6-3 波的能量和能流密度1、波的能量、能量密度：設(shè)一列簡諧縱波沿均勻細(xì)桿傳播，波的表達式：細(xì)桿上任取體積元 V = Sx，其質(zhì)量為m = V。動能：勢能：機械能（不守恒）：波的能量密度：單位體積介質(zhì)內(nèi)的能量。波的平均能量密度：能量密度在一個周期內(nèi)的平均值。 Ek、Ep隨時間周期性變化且Ek=Ep。它們同時達到最大值(過平衡位置時) ；同時為零(最大位移時) ，介質(zhì)內(nèi)任一體積元的機械能不守恒。 E增大時，體積元從一側(cè)吸收能量； E減小時，從另一側(cè)輸出能量，從而實現(xiàn)能量的傳遞。2、波的能流、能流密度：Su能流：單位時間內(nèi)通過某一面積的波的能量。

10、平均能流：平均能流密度（波的強度）：通過垂直于波傳播方向單位面積的平均能流。單位：或：平面余弦行波振幅不變的意義: 若 ，有 。對于球面波， ， ，介質(zhì)不吸收能量時，通過兩個球面的總能流相等球面波表達式：式中A0為波在離波源r0處振幅的數(shù)值。 6-4 聲波聲 波頻率范圍：次聲波 f 20Hz （穿透力強） 聲 波 20 f 20000Hz傳播介質(zhì)廣（各種氣、液、固、等離子體)穿透力強（與原子、電子、空穴、位錯、 均作用）是探索物質(zhì)結(jié)構(gòu)三大技術(shù)之一 （聲學(xué) 電磁 粒子作用）與其它學(xué)科相互滲透，應(yīng)用面廣 超聲學(xué)、次聲學(xué)、語言聲學(xué)、生理聲學(xué)、噪聲學(xué) 技術(shù)應(yīng)用：次聲武器：與人體器官（固有頻率317Hz

11、）共振?？谡Z操縱機器人、聲紋測定、聲納、噪聲溫度計.既古老、又前沿的學(xué)科 媒質(zhì)中有聲波傳播時的壓力(壓強)與無聲波傳播時的靜壓力之差稱為聲壓。 稀疏區(qū)聲壓為負(fù)，稠密區(qū)聲壓為正值。 由于疏密的周期性，聲壓也是周期變化。設(shè)在彈性媒質(zhì)中有一平面余弦縱波，為密度, u 為聲速，平面波方程：1、聲壓：流體體變彈性模量 流體中有聲波傳播時，式中壓強增量 p就是聲壓p。 或?qū)τ谄矫娌?，?可推導(dǎo)出：為聲壓振幅。將聲壓表達式改寫為余弦形式：因此，聲壓波比位移波在相位上落后 。 2. 聲強 聲強級聲強是聲波的平均能流密度，即單位時間內(nèi)通過垂直于聲波傳播方向的單位面積的聲能量。 聲壓和聲強隨頻率增加而增大。 對于

12、每個可聞頻率，聲強有上下兩個限值。痛覺閾：恰好能引起痛覺的最低聲強。 聽覺閾：恰好能引起聽覺的最低聲強。聲強的上下限值隨頻率而異。 在1000Hz時，正常人聽覺的最高聲強為1W/m2,最低聲強為10-12W/m2。 將I 0= 10-12W/m2作為測定聲強的標(biāo)準(zhǔn)。聲強級 單位為貝爾（bel）。 若采用分貝（dB），聲強級公式為幾種典型聲音的聲強級：聚焦超聲波的聲強級210 dB炮聲的聲強級110 dB細(xì)語10 dB把加速度振幅am=A2 代入聲強表達式，得 對于極大的高頻聲強情形，聲壓振幅可達千百個大氣壓，獲得的加速度振幅可達重力加速度的數(shù)百萬倍。（見課本P75:例題11-6） 對于頻率極低

13、的次聲波，其波長很長，只有遇到非常大的障礙物或介質(zhì)分界面時，才會發(fā)生明顯的反射和折射。因此，次聲波的穿透力極強。 3. 超聲波、次聲波超聲波應(yīng)用次聲波應(yīng)用神經(jīng)型次聲槍210 MHz100 kHz6-5 惠更斯原理與波的傳播1. 惠更斯原理 波在彈性介質(zhì)中運動時,任一點P 的振動,將會引起鄰近質(zhì)點的振動。就此特征而言，振動著的 P 點與波源相比，除了在時間上有延遲外，并無其他區(qū)別。因此，P 可視為一個新的波源。1678年，惠更斯(Christiaan Huygens)總結(jié)出了以其名字命名的惠更斯原理： 波前上每一個點都可看作發(fā)射球面子波的波源，而后一時刻新的波前就是這些球面子波的包絡(luò)面。惠更斯障

14、礙物的小孔成為新的波源原波陣面新波陣面S1S2t 時刻t+Dt 時刻uDt惠更斯原理可用于定性解釋波的反射、折射和光在各向異性介質(zhì)中的傳播，但不能解釋：(1)子波為何不會向后傳；(2)波的強度分布問題。t +t 時刻波面平面波ut波傳播方向t 時刻波面球面波 tt + tad當(dāng)平面波在傳播過程中遇到障礙物時，波將改變傳播方向波的衍射。(1) 當(dāng)d 時，衍射不明顯，波仍沿原方向傳播；(2) 當(dāng)d 時，衍射較明顯；(3) 當(dāng)d 1時， n稱為倍頻。例題6-6：兩人各執(zhí)長為 l 的繩的一端, 以相同的角頻率和振幅在繩上激起振動，右端的人的振動比左端的人的振動相位超前，試以繩的中點為坐標(biāo)原點描寫合成駐

15、波。由于繩很長，不考慮反射。繩上的波速設(shè)為u。 解 左端的振動 右端的振動 右行波表達式：左行波表達式：當(dāng) 時，y1=Acos t，即 當(dāng) 時，y2=Acos( t+f )，即 右行波、左行波表達式：合成波 當(dāng) =0，x=0 處為波腹;當(dāng) = 時，x =0 處為波節(jié)。 6-7 多 普 勒 效 應(yīng)波源與觀察者相對靜止時，觀察者測得的頻率與波源相同；但當(dāng)波源和觀察者相對介質(zhì)運動時，觀察者測得的頻率與波源頻率不同。這種現(xiàn)象稱為多普勒效應(yīng)。以波源和觀察者沿兩者連線方向運動為例討論。設(shè)波源頻率為（與運動無關(guān)）；波相對介質(zhì)的傳播速度為u（與運動無關(guān)）；波源相對介質(zhì)的速度為源；觀察者相對介質(zhì)的速度為觀 。1、波源靜止、觀察者運動（ 源 = 0、觀 0 ）：(1) 觀察者向著波源運動：(2) 觀察者離開波源運動：（觀 u）觀波以u + 觀通過觀察者，波長不變。波以u 觀通過觀察者，波長不變。2、觀察者靜止、波源運動（ 觀 = 0 、源 0 ）：(1) 波源向著觀察者運動：(2) 波源離開觀察者運動：S源波速不變，波長變短：波速不變，波長變長：3、波源和觀察者同時運動（ 源 0 、 觀 0 ）： 波源、觀察者相互接近時，觀測頻率高于波源頻率；相互遠(yuǎn)離時，觀測頻率低于波源頻率。 波源運