數(shù)值分析2016上機(jī)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、序言數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的范疇，有時(shí)也稱(chēng)它為計(jì)算數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、數(shù)值方法等， 其研究對(duì)象是各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法的設(shè)計(jì)、分析及其有關(guān)的數(shù)學(xué)理論和具體實(shí) 現(xiàn)的一門(mén)學(xué)科，它是一個(gè)數(shù)學(xué)分支。是科學(xué)與工程計(jì)算（科學(xué)計(jì)算）的理論支持。 許多科學(xué)與工程實(shí)際問(wèn)題（核武器的研制、導(dǎo)彈的發(fā)射、氣象預(yù)報(bào)）的解決都離不 開(kāi)科學(xué)計(jì)算。目前，試驗(yàn)、理論、計(jì)算已成為人類(lèi)進(jìn)行科學(xué)活動(dòng)的三大方法。數(shù)值分析是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要部分，計(jì)算數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)科學(xué)的一個(gè)分支，它研究 用計(jì)算機(jī)求解各種數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法及其理論與軟件實(shí)現(xiàn)?，F(xiàn)在面向數(shù)值分 析問(wèn)題的計(jì)算機(jī)軟件有：C,C+,MATLAB,Python,Fortran等。MATLA

2、B是matrix laboratory的英文縮寫(xiě)，它是由美國(guó)Mathwork公司于1967 年推出的適合用于不同規(guī)格計(jì)算機(jī)和各種操縱系統(tǒng)的數(shù)學(xué)軟件包，現(xiàn)已發(fā)展成為一 種功能強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，特別適合用于科學(xué)和工程計(jì)算。目前，MATLAB應(yīng)用非 常廣泛，主要用于算法開(kāi)發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)值計(jì)算和數(shù)據(jù)分析等，除具備卓越的 數(shù)值計(jì)算能力外，它還提供了專(zhuān)業(yè)水平的符號(hào)計(jì)算，文字處理，可視化建模仿真和 實(shí)時(shí)控制等功能。本實(shí)驗(yàn)報(bào)告使用了 MATLAB軟件。對(duì)不動(dòng)點(diǎn)迭代，函數(shù)逼近（lagrange插值， 三次樣條插值，最小二乘擬合），追趕法求解矩陣的解，4RungeKutta方法求解，歐 拉法及改進(jìn)歐拉法等算法

3、做了簡(jiǎn)單的計(jì)算模擬實(shí)踐。并比較了各種算法的優(yōu)劣性， 得到了對(duì)數(shù)值分析這們學(xué)科良好的理解，對(duì)以后的科研數(shù)值分析能力有了極大的提 高。目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark1 o Current Document 序言1 HYPERLINK l bookmark11 o Current Document 問(wèn)題一非線(xiàn)性方程數(shù)值解法3 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 1.1計(jì)算題目3 HYPERLINK l bookmark17 o Current Document 1.2迭代法分析3 HYPERLINK l bo

4、okmark28 o Current Document 1.3計(jì)算結(jié)果分析及結(jié)論4 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 問(wèn)題二追趕法解三對(duì)角矩陣5 HYPERLINK l bookmark37 o Current Document 2.1問(wèn)題5 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 2.2問(wèn)題分析（追趕法）6 HYPERLINK l bookmark55 o Current Document 2.3計(jì)算結(jié)果7 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 問(wèn)題三函

5、數(shù)擬合7 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 計(jì)算題目7 HYPERLINK l bookmark81 o Current Document 題目分析7 HYPERLINK l bookmark158 o Current Document 3.3結(jié)果比較12 HYPERLINK l bookmark161 o Current Document 問(wèn)題四 歐拉法解微分方程14 HYPERLINK l bookmark164 o Current Document 4.1計(jì)算題目14 HYPERLINK l bookmark175 o Current D

6、ocument 方程的準(zhǔn)確解14 HYPERLINK l bookmark178 o Current Document Euler 方法求解14 HYPERLINK l bookmark184 o Current Document 4.2.3改進(jìn)歐拉方法16 HYPERLINK l bookmark187 o Current Document 問(wèn)題五四階龍格-庫(kù)塔計(jì)算常微分方程初值問(wèn)題17 HYPERLINK l bookmark190 o Current Document 5.1計(jì)算題目17 HYPERLINK l bookmark193 o Current Document 5.2四階龍格

7、-庫(kù)塔方法分析185.3程序流程圖18 HYPERLINK l bookmark217 o Current Document 5.4 標(biāo)準(zhǔn)四階 Runge-Kutta 法 Matlab 實(shí)現(xiàn)19 HYPERLINK l bookmark220 o Current Document 5.5計(jì)算結(jié)果及比較20 HYPERLINK l bookmark229 o Current Document 問(wèn)題六舍入誤差觀察22 HYPERLINK l bookmark232 o Current Document 計(jì)算題目22計(jì)算結(jié)果22 HYPERLINK l bookmark235 o Current D

8、ocument 結(jié)論23 HYPERLINK l bookmark238 o Current Document 7總結(jié)24附錄問(wèn)題一非線(xiàn)性方程數(shù)值解法1.1計(jì)算題目編寫(xiě)不動(dòng)點(diǎn)迭代法求根程序:把方程X3 +機(jī)2一10 = 0寫(xiě)成至少四種x=g(x) 的形式，取初值x0 = 1.5，進(jìn)行不動(dòng)點(diǎn)迭代求根，并比較收斂性及收斂速 度。1.2迭代法分析將方程f(X)=0改寫(xiě)成其等價(jià)形式X =4 (X)取方程根的某一近似值X0作為初始點(diǎn)，由函數(shù)X1 =4 (X0)可計(jì)算出X如 此下去，設(shè)當(dāng)前點(diǎn)為xk，有4 (x)計(jì)算出xk+1，即x 1 =4(xk=0,1，.稱(chēng)為迭代公式。(收斂條件)設(shè)4(x)在a，b上有

9、連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，并滿(mǎn)足：Vx e a, b,有a 4 (x) b;4(x)| L 1, Vx ea,b.則有函數(shù)巾(x)在區(qū)間a,b上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)(方程的根)x*;對(duì)任何 x0屬于a,b，可由迭代公式得到序列xk均收斂到方程的根x*。設(shè)上述 條件成立時(shí)，算法的中止條件為：L-X * 1 - L 1Lk-X * 1 - L k+1現(xiàn)將方程X3 + 4X2 -10 = 0改寫(xiě)成如下四種x=e（x）形式并計(jì)算收斂性。X+ 1|10-X3/2計(jì)算得巾(x0)不收斂X = 310 -4X2計(jì)算得巾(X0)不收斂k+1x =一10一計(jì)算得巾(x0)不收斂k +1 X2 + 4 XX = ：計(jì)算得巾(x

10、0)收斂 k+1X + 41.3計(jì)算結(jié)果分析及結(jié)論yk=StablePoint(1.5,func)在 command 窗 口輸入 func=inline( 巾(x)； 函數(shù)相對(duì)誤差為1*10-3。計(jì)算結(jié)果如下表1-1：從計(jì)算結(jié)果看到，迭代法 （2） （3）均不收斂，因?yàn)樗麄儾粷M(mǎn)足局部收斂條件，而迭代法（4）比 迭代法（1）收斂快，只需要四步就可以計(jì)算得到近似值。在做不動(dòng)點(diǎn)迭代時(shí)，為使誤差盡可能小且數(shù)據(jù)穩(wěn)定。由局部收斂性定理，在將函數(shù)f（x）化作x=e（x ）時(shí)，應(yīng)盡可能構(gòu)造函數(shù)使巾（x）收斂。表1-1迭代法計(jì)算結(jié)果k 1(x)2(x)3(x)M(x)01.5000001.5000001.500

11、0001.50000011.2869530.3333331.2121211.34839921.4025403.1851851.5828481.36737631.345458-10.19381.1316301.36495741.375170-135.2201.7220261.36526451.360094-24375.91.01486961.367846.1.96485371.363887.0.85323781.365916.2.41489591.364878.0.645523101.365410.3.334673 問(wèn)題二 追趕法解三對(duì)角矩陣21問(wèn)題編寫(xiě)有效程序解線(xiàn)性方程組Ax=b，其中，5 1

12、)-1 5 -1-1 5 -1A =-1 5 -1 -1 5 /為50 x50的三對(duì)角矩陣，向量b分別取(L2 . .，50)氣(2& . ,50,1)孔 (34,. 50,1,2)孔2.2問(wèn)題分析(追趕法)我們利用矩陣的直接三角分解法來(lái)推導(dǎo)三對(duì)角的計(jì)算公式，由系數(shù)矩陣 A的特點(diǎn)，可以將方程分解為兩個(gè)三角矩陣的乘積，即A=LU。其中L 為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣。用追趕法求解嚴(yán)格占優(yōu)矩陣Ax=f 等價(jià)于解兩個(gè)三角方程組：Ly=f，求y。Ux=y，求x。從而得到解 三對(duì)角方程組的追趕法公式：計(jì)算Bi的遞推公式B 1=c1/b1，Bi=ci/ (bi-aiBi-1)，i=2,3,4, n-1

13、；解 Ly=fy1=f1/b1,Yi=(fi-aiyi-1)/(bi-aiBi-1)，i=2,3，.，n；3)解 Ux=yXn=yn,Xi=yi-B ixi+1, i=n-1, n-2, ., 2,12.3計(jì)算結(jié)果當(dāng) b= (1,2,3,4,5, ., 50) T 時(shí)，即初始值為 matrix=1:1:50，計(jì)算得 x= (0.3333,0.6667, ., 13.1186)。只需要不斷更換matrix控制輸入b向量，就可以得到解x。MATLAB程序?yàn)楦戒洺?序2。問(wèn)題三函數(shù)擬合3.1計(jì)算題目對(duì)函數(shù) f (x) =1 在區(qū)間-1,1上取 xi=-1+0.2i(i=0.1.，10)1 + 25

14、x 2對(duì)函數(shù)做多項(xiàng)式插值和三次樣條插值，并畫(huà)出插值函數(shù)及f(x)的函數(shù)；對(duì)函數(shù)求其三次擬合曲線(xiàn)并畫(huà)出擬合曲線(xiàn)的圖像，與(a)中結(jié)果進(jìn)行比較。3.2題目分析3.2.1Lagrange插值對(duì)于插值函數(shù)中(X)，我們通?？梢赃x擇多種不同的函數(shù)類(lèi)型，但由于代數(shù)多項(xiàng) 式具有簡(jiǎn)單和一些良好的特性，我們常選用代數(shù)多項(xiàng)式作為插值函數(shù).首先我們來(lái)看這樣一個(gè)問(wèn)題：給定兩個(gè)插值點(diǎn)(x , y ),(xy ),其中x ox ,怎樣 001, 101做通過(guò)這兩點(diǎn)的一次插值函數(shù)？過(guò)兩點(diǎn)作一條直線(xiàn)，這條直線(xiàn)就是通過(guò)這兩點(diǎn)的一次多項(xiàng)式插值函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)線(xiàn) 性插值.下面先用待定系數(shù)法構(gòu)造插值直線(xiàn).設(shè)直線(xiàn)方程為L(zhǎng) (x) = a +

15、 ax,將(x , y ),(x y )分別代入直線(xiàn)方程L (x)， TOC o 1-5 h z 101001, 11得r .1a + a x = y ,，一1 x 01 00 ,當(dāng)x 。x 時(shí)，因0。0a + a x = y011 x偵 01 111所以方程組有解，且解唯一.這也表明，平面上兩個(gè)點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)通過(guò)， 用待定系數(shù)法構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法簡(jiǎn)單直觀，容易看到解的存在性和唯一性，但 要解一個(gè)方程組才能得到插值函數(shù)的系數(shù)，因工作量大且不便向高階推廣，故這種 構(gòu)造方法不宜采用.當(dāng)x0。氣時(shí)，若用兩點(diǎn)式表示這條直線(xiàn)，則有：L ( ) x - x* x - xx - x 0 x - x 1

16、 TOC o 1-5 h z 0110這種形式稱(chēng)為L(zhǎng)agrange插值多項(xiàng)式.T TV V一. 記 l(x) =,l(x)=,l(x),l(x)稱(chēng)為插值基函數(shù)，計(jì)算 l(x),l(x),的0 x - x 1 x - x 0101值,可知l (x ) = 6i j ij1, i = j0, i 豐 j在Lagrange插值多項(xiàng)式中，可將L (x)看作兩條直線(xiàn)土土y與，y的疊 1x - x 0 x - x 10110加，并可看到兩個(gè)插值點(diǎn)的作用和地位是平等的。如果我們給定三個(gè)插值點(diǎn)(xf (x),i = 0,1,2，其中x,互不相等，那么該怎樣構(gòu)造函數(shù)f (x)的二次(拋物線(xiàn))插值多項(xiàng)式呢？仿照線(xiàn)

17、性插值的Lagrange插值，我們可設(shè)001122 il f 3 ) + l (X) f (X ) + l (X) f 3 ), l (X)為二次函數(shù)。對(duì)l (x)來(lái)說(shuō)，要求x ,X是它的零點(diǎn)，因此可設(shè)l(x) = A(X - x )(X - X ),同理 012012l1( X), 12( X)也有相應(yīng)形式。. L (x) = A(x 一 x )(X 一 x ) f (X ) + B(x 一 x )(X 一 x ) f (x ) + C(X 一 x )(x 一 x ) f (x ),2120021012將X = X , X , X分別代入，可得 012(X - X )(X 一 X )(X -

18、 X )(X 一 X )(X - X )(X 一 X )有 L (X) = (X X1)(X X2)f (X ) + (X X0)(X 一)f (X ) + (X X0)( X F f (X )2(X 一 X )(X 一 X )0(X 一 X )(X 一 X )1(X 一 X )(X 一 X )2010210122021一般地，當(dāng)給定n+1個(gè)互不相同的插值節(jié)點(diǎn)時(shí)，就可得出函數(shù)的n次插值多項(xiàng)式：Ln (x)=if ( x )=i ii = 0f ( x )ii=0(X - X )(x - X )(X - X )(x - X )0i-1i+n(X - X )(x - X )(X - X )(x -

19、 X )i 0ii-1ii+1i n下面我們以定理的形式來(lái)給出Lagrange插值多項(xiàng)式的誤差估計(jì)。設(shè)f (X)在區(qū)間a,b上有直到n+1階導(dǎo)數(shù)，x ,X，,X是a,b上n+1個(gè)互異節(jié) 01nf (n+1) (6 )R (X) = MF nU點(diǎn)，P (X)滿(mǎn)足pn (x,) = f (x,)的n次插值多項(xiàng)式，則對(duì)Vx ela, b，有i=0其中(x) =H (x-x.),6 e (a,b)，且依賴(lài)于 X.。3.2.2三次樣條插值所謂三次樣條插值多項(xiàng)式Sn(x)是一種分段函數(shù)，它在節(jié)點(diǎn)x (a = x x .x x = b)分成的每個(gè)小區(qū)間x ,x 上是3次多項(xiàng)式，其在此i0 1n 1ni 1

20、i區(qū)間上的表達(dá)式如下:S3) = 土(尤x)3M+(x x )3M + (y 生M )i + (y 生M )三二氣 1，6h iii-1八“h i 6 i hx e x, ,x, i = 1,2,n.因此，只要確定了 Mi的值，就確定了整個(gè)表達(dá)式，Mj的計(jì)算方法如下:令：h，人 =i+1 = 1 xi h + h i/” y y yd =(i+i ir-ti h + h hii+1i+1hLX = ii h + hii+16h )= 6 f (、,氣，%+1) i則M滿(mǎn)足如下n-1個(gè)方程:ii i+1對(duì)于第一種邊界條件下有Mn 16( f 廣 f 七)hn16(x , x - f)100h0如

21、果令x= 1, d =6( f氣,號(hào)一廣0010-h06( f舟21,那么解就可以hn-1n-12人Mn-1M )ndn-1I d )3.2.3曲線(xiàn)擬合由已知的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)選擇與實(shí)驗(yàn)點(diǎn)誤差最小的曲線(xiàn)S (x) = a 0甲0 (x) + a1% (x) +. + af n (x)稱(chēng)為曲線(xiàn)擬合的最小二乘法。若記m的 j,%)=乙 e 冷 j e)% e),i=0(f,甲)=芝 3 (x )f (x 帥(x )三 dki i k i ki=0上式可改寫(xiě)為 (氣,中.)a. =dk；(k-0,1,.,n)這個(gè)方程成為法方程，可寫(xiě)成距陣形式 j=oGa = d其中 a = (a , a，,a )t ,

22、d = (d , d，,d )t , 01 n01(甲 0, %)(平，甲)n(甲0,%)(平，甲)11(%,平)(平甲”)1 n的n&1)(平，甲)n n10m它的平方誤差為：II6 |2 =乙(x,)S(xt)- f (xt)2. i=03.3結(jié)果比較圖3.1三次樣條插值圖3.2拉格朗日插值圖3.1最小二乘擬合曲線(xiàn)問(wèn)題四歐拉法解微分方程4.1計(jì)算題目考慮微分方程(i) y= x2y ,(ii) y= 2(x +1)y,給定初始條件y(0)=1，求方程的準(zhǔn)確解；在區(qū)間0,1上，分別取步長(zhǎng)為0.1,0.005,0.025,用Euler方法求出數(shù)值解，并作圖與準(zhǔn)確解進(jìn)行比較；在區(qū)間0,1上，分別

23、取步長(zhǎng)為0.1,0.005,0.025,用改進(jìn)的Euler方法求出數(shù)值解，并作圖與準(zhǔn)確解進(jìn)行比較；4.2.1方程的準(zhǔn)確解方程的準(zhǔn)確解為：y =辦3，(ii)y=Lx+1)2e4.2.2 Euler方法求解Euler單步法求解微分方程的迭代格式為y = y + hf (x , y ) n=0,1，.相應(yīng)的Matlab程序在附錄程序4.從對(duì)比圖可以看出步長(zhǎng)取的越小，實(shí)際值與近似值的相對(duì)誤差越小。圖4.2.1步長(zhǎng)為0.1圖4.2.2步長(zhǎng)為0.05圖4.2.3步長(zhǎng)為0.01圖4.2.4步長(zhǎng)0.1圖4.2.5步長(zhǎng)0.05圖4.2 .6步長(zhǎng)0.05結(jié)論：從圖片來(lái)看，當(dāng)步長(zhǎng)取的越小，計(jì)算結(jié)果就越接近實(shí)際值。

24、4.2.3改進(jìn)歐拉方法如果在計(jì)算中，先用Euler公式求得一個(gè)初步的近似值yn+1 （稱(chēng)為預(yù)測(cè) 值），再用梯形公式將它校正一次，就稱(chēng)為預(yù)測(cè)-校正公式，即改進(jìn)的Euler 方法，其迭代格式為預(yù)測(cè)：七+j七十可（Xn七）校正：h 一、-n+1= 2 f （Xn，n 頊 n+1, *+/微分方程一：圖4.2.8步長(zhǎng)0.1圖4.2.7 步長(zhǎng)0.05微分方程二：圖4.2.10步長(zhǎng)取0.05圖4.2.11步長(zhǎng)取0.1圖4.2.12步長(zhǎng)取0.01問(wèn)題五四階龍格-庫(kù)塔計(jì)算常微分方程初值 問(wèn)題5.1計(jì)算題目給定初值問(wèn)題:y = -50 y + 50 尤 2 + 2 x,0 x 1y(0)=土用經(jīng)典的四階Rung

25、e-Kutta方法求解，步長(zhǎng)分別取h=0.1,0.025, 0.01計(jì) 算并打印x=0.1i(i = 0,1,.,.10)各點(diǎn)的值，并與準(zhǔn)確值心)=13 e -50X + x2 做 比較。5.2四階龍格-庫(kù)塔方法分析由拉格朗日微分中值定理y(Xn+1) = y (x) + y(& )(x+1 - x)= y (x) + hf (&, y (&)記 k* = hf (6, y(6)，則得到 y(x) = y(x ) + k*這樣，只要給出了k的一種算法，就得到求解微分方程初值問(wèn)題的一種 計(jì)算公式。四階Runge-Kutta法就是用kkk k的加權(quán)平均值來(lái)近似k*，相應(yīng)的方法12 3 4稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)四

26、階Runge-Kutta法，最常見(jiàn)為如下公式1 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark199 o Current Document y = y + (k + 2k + 2k + k )n+1n 6 123 4匕=hf (xn, y)k = hf (x + h, y + k )J n2n21k = hf (x +1 h, y +1 k )n2n22k = hf ( x + h, y + k )nn 3輸入微分方程，求解的自變量范圍，初值，步長(zhǎng)等信息 TOC o 1-5 h z y = y +L(k + 2k + 2k + k )n+1n 6 123 4匕=hf (x

27、y)k = hf (x + h, y + k )Jn2n2 1k = hf (x + h, y + k )Jn2n2 2k = hf (x + h, y + k )nn 3結(jié)束5.4標(biāo)準(zhǔn)四階Runge-Kutta法Matlab實(shí)現(xiàn)functionx,y=Runge_Kutta(ydot_fun,x0,y0,h,N)%ydot_fun為一階微分方程的函數(shù)；% x0,y0為初始條件%h為區(qū)間步長(zhǎng)%N為區(qū)間的個(gè)數(shù)%x為Xn構(gòu)成的向量%y為Yn構(gòu)成的向量x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0;for n=1:Nx(n+1)=x(n)+h;k1=h*f

28、eval(ydot_fun,x(n),y(n);k2=h*feval(ydot_fun,x(n)+1/2*h,y(n)+1/2*k1);k3=h*feval(ydot_fun,x(n)+1/2*h,y(n)+1/2*k2);k4=h*feval(ydot_fun,x(n)+h,y(n)+k3);y(n+1)=y(n)+1/6*(k1+2k2+2k3+k4);End計(jì)算題目初值程序在附錄1程序清單5。5.5計(jì)算結(jié)果及比較運(yùn)行程序程序附錄1-5并計(jì)算了 100個(gè)值。步長(zhǎng)分別取h=0.1,0.025,0.01 打印 x=0.1i(i = 0,1,.,.10)各點(diǎn)的值，如表 5-1,：表5-1kXx*

29、0.00.33330.33330.10.20240.20230.20.12310.12300.30.07540.07530.40.04680.04670.50.02990.02990.60.02020.02020.70.01500.01500.80.01250.01250.90.01180.01181.00.01230.0123可見(jiàn)RungeKutta方法在第6項(xiàng)的時(shí)候就與真實(shí)值保持了一致。四階龍格 庫(kù)塔方法是基于泰勒展開(kāi)方法，這個(gè)方程式的解必須具有良好的光滑性 質(zhì)，才能使龍格庫(kù)塔方法有很好的應(yīng)用。于是描繪函數(shù)的曲線(xiàn)與近似值 的比較，如圖5.1.四階經(jīng)典R-K；去解常微分方程II|i,iII一

30、淮確值一 ：四階經(jīng)典R-K法10.4D.20。0.20.30l40.50.60.70.80.910.6圖5.1經(jīng)典R-K方法準(zhǔn)確值與近似值比較問(wèn)題六舍入誤差觀察6.1計(jì)算題目編程芝上，其中c = 4.4942*10307，給出并觀察計(jì)算結(jié)果，若有問(wèn)題，分析之。 cnn =1要求逐項(xiàng)相加編程求解，不允許使用Matlab中的現(xiàn)有函數(shù)由于計(jì)算機(jī)不能做無(wú)限次的累加和，并且10的307次方數(shù)據(jù)特別大，程序就以計(jì)算前100項(xiàng)累加和，先觀察數(shù)據(jù)結(jié)果。表6-1只列出了前8項(xiàng)的和。表6-1Nsum12.22509011614970e-30823.33763517422456e-30834.07933187960

31、779e-30844.63560440864522e-30855.08062243187516e-30865.45147078456678e-30875.76934080115959e-30886.04747706567830e-3086.3結(jié)論由題目分析，認(rèn)為10的307次方數(shù)據(jù)非常大，計(jì)算機(jī)在做逐項(xiàng)相加的 時(shí)候會(huì)產(chǎn)生的很大的舍入誤差。但是從實(shí)際的計(jì)算結(jié)果來(lái)看，MATLAB 應(yīng)該是對(duì)數(shù)據(jù)的和式做了優(yōu)化。比如提出因子C使計(jì)算的舍入誤差盡可 能的減小。7總結(jié)本學(xué)期學(xué)習(xí)了數(shù)值分析這門(mén)課，并且用MATLAB方法完成了上述六 道計(jì)算實(shí)踐題。第一道題是對(duì)不動(dòng)點(diǎn)迭代法的計(jì)算，關(guān)鍵在于迭代形式 x=g（x）

32、的形式，用到了局部收斂定理判斷收斂性及收斂速度。有的形 式不收斂，會(huì)導(dǎo)至數(shù)值的不穩(wěn)定性，最后產(chǎn)生巨大的誤差。然后值得注 意的是，盡管可能有多種形式是收斂的，但是最好也要判斷其收斂速度， 并選用收斂最快的算法解決問(wèn)題。第二題用了追趕法解三對(duì)角矩陣，用 到了嚴(yán)格占優(yōu)矩陣的性質(zhì)。第三題是問(wèn)題是函數(shù)擬合，可以看到三次樣 條插值具有最好的特性，但是要求做的函數(shù)，二階連續(xù)可導(dǎo)。第四題關(guān) 于歐拉法解一階線(xiàn)性微分方程。比較了歐拉法與改進(jìn)歐拉法。第五題采 用的是4階的Runge-Kutta法，該方法具有比較高的精度，算法的實(shí)現(xiàn)相對(duì)比較簡(jiǎn) 單。關(guān)于h值的選取，可以采用試的辦法，只要保證方程的解最終收斂即可。最后

33、一題是判斷計(jì)算機(jī)的舍入誤差。當(dāng)數(shù)值特別大的時(shí)候，計(jì)算機(jī)可能算不出來(lái)，會(huì)產(chǎn) 生巨大的舍入誤差。經(jīng)過(guò)一學(xué)期的數(shù)值分析課程學(xué)習(xí)，我學(xué)到了很多對(duì)科研有巨大幫助的數(shù)值分析 方法。猶如數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊粯?，?duì)待科研的也是如此。在處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)時(shí)，必須一 絲不茍，找到一種最好的方法去接近真理。最后，真誠(chéng)的感謝趙老師這一學(xué)期的授課，收獲頗豐，受益良多。附錄程序1%初始迭代量：x0?%根的精度：tol?%函數(shù)：func%迭代步數(shù)：MaxIterfunction y = StablePoint(x0,func,tol,MaxIter)if nargin 4MaxIter = 100;endif nargin tol)x

34、np1 = func(xn);criterion = abs(xnp1-xn);xn = xnp1;Iter = Iter + 1;fprintf(Iter %2.0d: %16.14fn,Iter,xnp1);if Iter=MaxIterbreak;endendy = xnp1;end程序2Trid.mfunction x=Trid(A,d)%追趕法求解三對(duì)角的線(xiàn)性方程組 Ax=d% b為主對(duì)角線(xiàn)元素，a，c分別為次對(duì)角線(xiàn)元素，d為右端項(xiàng)% A= al cl% b2 a2 c2%.%b(n-l) a(n-l) c(n-l)% a=al.a(n)% b=0 b2.b(n)b(n) a(n)

35、%把系數(shù)矩陣的三對(duì)角轉(zhuǎn)變成3個(gè)列向量%不足的元素用0代替 % c=cl.c(n-l) 0 n=size(A,l); % n為系數(shù)矩陣的行數(shù) a(l)=A(l,l);b(1)=0 ;c(1)=A(1,2);for i=2:n-1a(i)=A(i,i);b(i)=A(i,i-1);c(i)=A(i,i+1);enda(n)=A(n,n) b(n)=A(n,n-1) c(n)=0l(1)=a(1);%開(kāi)始求解 L，Um(1)=0;for i=2:nm(i)=b(i)%求得 m(i)u(i-1)=c(i-1)/l(i-1);%求得 u(i)l(i)=a(i)-b(i)*u(i-1);%求得 l(i)end u(n)=0;y(1)=d(1)/l(1);for i=2:ny(i)=d(i)-m(i)*y(i-1)/l(i);%求得 y(i)end x(n)=y(n);for i=n-1:-1:1x(i)=y(i)-u(i)*x(i+1);%求得 x(i)endx=x;%將x轉(zhuǎn)置，變?yōu)榱邢蛄縨ain.m%A matrix=diag(repmat(5, 1, 50)+diag(repmat(-1, 1, 49), 1)+diag(repmat(-1, 1, 49),