二重積分的計(jì)算(1)課件

1、 二重積分的計(jì)算 兩類區(qū)域上二重積分的計(jì)算 一般區(qū)域上二重積分的計(jì)算 交換累次積分的次序二、二重積分的一般變量代換一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分三、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù).X型一、利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得如果積分區(qū)域?yàn)椋篩型 X型區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).若區(qū)域如圖，在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式則必須分割.解解解積分區(qū)域如圖解積分區(qū)域如圖解原式結(jié)論3：如果積分區(qū)域D關(guān)于坐

2、標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱，則其中結(jié)論4：如果積分區(qū)域D關(guān)于直線yx對(duì)稱，則在第一象限部分, 則有定積分換元法二、二重積分換元法 滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式則定理:變換:證: 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆. 用平行于坐標(biāo)軸的 直線分割區(qū)域 任取其中一個(gè)小矩形, 其頂點(diǎn)為通過變換T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊形, 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則同理得當(dāng)h, k 充分小時(shí),曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形, 故其面積近似為因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式: 例如, 直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí), 例1. 計(jì)算其中D 是 x 軸 y 軸和直線所圍成的閉域. 解: 令則例2. 計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域

3、D 的面積 S .解: 令則三、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分極坐標(biāo)下的面積元素注意：將直角坐標(biāo)系的二重積分化為極坐標(biāo)系下的二重積分需要進(jìn)行“三換”：區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖2. 原點(diǎn)在區(qū)域的邊界上極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積區(qū)域特征如圖3. 原點(diǎn)在區(qū)域的內(nèi)部若 f 1 則可求得D 的面積思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn),試答: 問 的變化范圍是什么?(1)(2)解解解由上題結(jié)論 解解解解例8. 求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解: 設(shè)由對(duì)稱性可知二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）Y型X型四、小結(jié)思考題思考題解答則1. 一般換元公式且則2. 極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下小結(jié):3. 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式思考與練習(xí)1. 設(shè)且求提示:交換積分順