3.5函數的極值與最大值最小值

1、二、最大值最小值問題一、函數的極值及其求法3.5 函數的極值與最大值最小值高等The extremum, maximum value and minimum value of function 數學安徽財經大學 Anhui University of Finance& Economics1959編高等數學2.2、閉區(qū)間最值的求法二、最大值最小值問題2.1、最值的問題與定義1.3、函數極值充分條件1.1、函數極值的定義一、函數極值及其求法1.2、函數極值點必要條件2.3、實際問題最值求法三、小結練習：第162頁 1；2；4；6。思考題下命題正確嗎？作業(yè)：第162頁 1;4;8;10;15。3.5

2、 函數的極值與最大值最小值課前練習課前練習課前練習課前練習課前練習一、函數的極值及其求法極值點:使函數取得極值的點x0。注：極大值點與極小值點不唯一。極值是局部性的，在定義域內未必為最值。對一個函數而言, 極小值可能比極大值大。1.1、函數極值的定義極值:函數的極大值與極小值的統稱。極值是內部性的，不考慮端點。一、函數的極值及其求法例如：一、函數的極值及其求法定理(極值的必要條件)注1:1.2、函數極值點的必要條件注2:駐 點 不可 導點極值點例如：注3:例如：一、函數的極值及其求法1.3、函數極值的充分條件定理(極值的第一判別法)利用函數的單調性和極值的概念即可證明.一、函數的極值及其求法(

3、導數改變符號, 是極值點情形)(導數不改變符號, 非極值點情形)求極值的步驟:一、函數的極值及其求法例1解列表討論極大值極小值圖形如右一、函數的極值及其求法一、函數的極值及其求法例2解例3解一、函數的極值及其求法1.3、函數極值的充分條件定理(極值的第二判別法)證: 同理可證.一、函數的極值及其求法例4解:注意:一、函數的極值及其求法例5解函數的圖形如右注意:一、函數的極值及其求法例6解一、函數的極值及其求法例7解注3：函數的不可導點,也可能是函數的極值點。一、函數的極值及其求法關于隱函數的極值解:例8一、函數的極值及其求法關于隱函數的極值解:例9一、函數的極值及其求法關于隱函數的極值一、函數

4、的極值及其求法二、最大值最小值問題2.1、最值的問題與定義最值問題： 在工農業(yè)生產、工程技術和科學實驗中,常會遇到一定條件下,怎樣使“成本最低” ,“利潤最大”, “用料最省” 等,這類問題一般可化為求某一函數(稱為目標函數)的最大值或最小值問題。最值定義：函數的最大值與最小值統稱最值，使函數取得最值的點稱為最值點。最值與極值的區(qū)別：極值具有局部性,最值具有整體性.極值只能在區(qū)間內取,最值可在端點或區(qū)間內取.閉區(qū)間連續(xù)函數最值存在從以上幾段曲線可以看出：最值可以在開區(qū)間(a,b)內點處取得，即極值點，也就是有限個駐點與導數不存在的點，同時最值也可以在整個區(qū)部的端點處取得。由此可按以下方法進行求

5、最值。二、最大值最小值問題閉區(qū)間連續(xù)函數最值的求法:2.2、最值的求法f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),按以下步驟求其最值:求出f在(a,b)內的駐點與不可導點x1,x2,xn;計算函數值:f(a), f(x1), f(x2), f(xn), f(b); 通過比較確定f在a,b上的最值: ymax=maxf (a), f(x1), f(x2), f(xn), f(b); ymin=minf (a), f(x1), f(x2), f(xn), f(b).二、最大值最小值問題應用舉例例1解二、最大值最小值問題關于最值的兩個特例二、最大值最小值問題例2解計算比較得二、最大值最小值問題例1 邊長為a的正方

6、形，四個角裁去面積相等的四個小正方形，做成一個無蓋的盒子。問小正方形邊長為多少可使盒子容積最大？合理下料問題;2.3、最值的應用題二、最大值最小值問題解：設小正方形邊長為x，盒子容積為V則令二、最大值最小值問題例2 做一容積為V的圓柱狀密封容器，問如何設計尺寸，才能使所用的材料最省?解: 設圓柱的底面半徑為r,高為h，則全表面積為二、最大值最小值問題例2 做一容積為V的圓柱狀密封容器，問如何設計尺寸，才能使所用的材料最省?此時直徑為在容積一定的前提下，當底面直徑與高相等時，所做成的圓柱狀密封容器用料最省。二、最大值最小值問題(2)經濟利潤問題解:總成本函數:例3 某工廠生產某產品,固定成本為4

7、00(百元),且每生產1臺產品總成本增加10(百元).若該產品需求量x(單位:臺)是價格p(單位:百元/臺)的函數:則在產銷平衡的條件下,生產多少臺時所獲利潤最大?最大利潤是多少?收益函數:利潤函數:二、最大值最小值問題解:利潤函數:二、最大值最小值問題(3)經濟批量問題; 生產（或銷售）要分批進行; 批次進貨次數； 批量每次進貨的數量; 過程均勻：平均庫存量為批量的一半。二、最大值最小值問題例4 商店每年銷售某商品a件,每次購進的手續(xù)費為b元,而每件的年庫存費為c元,假定銷售過程均勻(此時平均庫存量為批量的一半),問商店應分幾批購進商品,可使手續(xù)費與庫存費之和最省?此時批量為多少?解:設分x批進貨，則批量為二、最大值最小值問題解:二、最大值最小值問題改例4 商店每年銷售某商品a件,每次購進的手續(xù)費為b元,而每件的年庫存費為c元,假定銷售過程均勻(此時平均庫存量為批量的一半),問商店每次批量為多少時,可使手續(xù)費與庫存費之和最省?解:設批量為x ，則批次為二、最大值最小值問題例5 某商品進貨價為12元/件,若售價定為14元/件, 則可售出200件；若售價每降低0.1元，均可多售出50件，問應批進多少件，每件售價多少,可獲得最大利