極坐標(biāo)系和常見(jiàn)曲線(xiàn)與參數(shù)方程習(xí)題

1、 .24/24極坐標(biāo)系和常見(jiàn)曲線(xiàn)與參數(shù)方程習(xí)題 HYPERLINK :/baike.baidu /view/418140.htm l 2 極坐標(biāo)系:在 HYPERLINK :/baike.baidu /view/425685.htm t _blank 平面取一個(gè)定點(diǎn)O， 叫極點(diǎn)，引一條 HYPERLINK :/baike.baidu /view/290246.htm t _blank 射線(xiàn)Ox，叫做 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1791279.htm t _blank 極軸，再選定一個(gè) HYPERLINK :/baike.baidu /view/531859.h

2、tm t _blank 長(zhǎng)度單位和角度的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1146596.htm t _blank 正方向（通常取逆時(shí)針?lè)较颍?。?duì)于平面任何一點(diǎn)M，用表示線(xiàn)段OM的長(zhǎng)度，表示從Ox到OM的角度，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序數(shù)對(duì) (,)就叫點(diǎn)M的極坐標(biāo),這樣建立的坐標(biāo)系叫做 HYPERLINK :/baike.baidu /view/132011.htm t _blank 極坐標(biāo)系。在極坐標(biāo)系中表示點(diǎn) HYPERLINK :/baike.baidu /picview/418140/418140/0/969cbf4495fe79c1b3b7dc2

3、a.html t _blank o 查看圖片 點(diǎn)(3,60) 和 點(diǎn)（4,210）在極坐標(biāo)中，x被cos代替，y被sin代替。=(x2+y2)0.5正如所有的二維坐標(biāo)系，極坐標(biāo)系也有兩個(gè)坐標(biāo)軸：r（半徑坐標(biāo)）和（角坐標(biāo)、極角或方位角，有時(shí)也表示為或t）。r坐標(biāo)表示與極點(diǎn)的距離，坐標(biāo)表示按逆時(shí)針?lè)较蜃鴺?biāo)距離0射線(xiàn)（有時(shí)也稱(chēng)作 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1791279.htm t _blank 極軸）的角度，極軸就是在平面直角坐標(biāo)系中的x軸正方向。 HYPERLINK :/baike.baidu /view/6814120.htm t _blank 比如，極坐標(biāo)中

4、的（3,60）表示了一個(gè)距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度、和極軸夾角為60的點(diǎn)。（3,240） 和（3,60）表示了同一點(diǎn)，因?yàn)樵擖c(diǎn)的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/54921.htm t _blank 半徑為在夾角射線(xiàn)反向延長(zhǎng)線(xiàn)上距離極點(diǎn)3個(gè)單位長(zhǎng)度的地方（240 180 = 60）。 HYPERLINK :/baike.baidu /view/132011.htm t _blank 極坐標(biāo)系中一個(gè)重要的特性是，平面直角坐標(biāo)中的任意一點(diǎn)，可以在極坐標(biāo)系中有無(wú)限種表達(dá)形式。通常來(lái)說(shuō)，點(diǎn)（r，）可以任意表示為（r， n360）或（r， (2n + 1)180），這里n是任意 H

5、YPERLINK :/baike.baidu /view/71484.htm t _blank 整數(shù)。7 如果某一點(diǎn)的r坐標(biāo)為0，那么無(wú)論取何值，該點(diǎn)的位置都落在了 HYPERLINK :/baike.baidu /view/251930.htm t _blank 極點(diǎn)上。思：平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？不唯一有多少種表示方法？ 2.坐標(biāo)不唯一不同是由誰(shuí)引起的？3.不同的極坐標(biāo)是否可以寫(xiě)出統(tǒng)一表達(dá)式？答案：1.極坐標(biāo)系的建立需確定幾條？ 極點(diǎn)；極徑；長(zhǎng)度單位和角度正方向。極坐標(biāo)系一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？無(wú)數(shù)種。是因?yàn)闃O角引起的。一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？有。兩坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換 HYPERLI

6、NK :/baike.baidu /view/132011.htm t _blank 極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo) r 和 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1539320.htm t _blank 直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值x = r*cos（），y = r*sin（），由上述二公式，可得到從 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1539320.htm t _blank 直角坐標(biāo)系中x 和 y 兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo)r = sqrt(x2 + y2),= arctan y/x在 x = 0的情況下：若 y 為正數(shù) = 90

7、（/2 rad); 若 y 為負(fù)，則 = 270 (3/2 rad)（rad表示弧度）圓在極坐標(biāo)系中 HYPERLINK :/baike.baidu /view/132011.htm t _blank 極坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)方程：=r(常量) 或者=e*p/(1-e*cos()。(e=0)。圓心在（r，） 半徑為 r 的圓的方程為=2rcos（-）另：圓心M(,) 半徑r 的圓的極坐標(biāo)方程為: ()2+2-2cos(-)=r2根據(jù)余弦定理可推得。方程為r（）=1的圓橢圓直角坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)方程：x2/a2+y2/b2=1。極坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn) HYPERLINK :/baike.baidu /view/5925.ht

8、m t _blank 方程：=e*p/(1-e*cos()。(0e1)拋物線(xiàn)直角坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=2*p*x(x=0)極坐標(biāo)系標(biāo)準(zhǔn)方程：=p/(1-cos()或=e*p/(1-e*cos()(e1)四葉草曲線(xiàn)直角坐標(biāo)系方程：暫無(wú) HYPERLINK :/baike.baidu /view/418140.htm t _blank 極坐標(biāo)線(xiàn)方程：=sin()*cos() 面積公式：無(wú)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的射線(xiàn)由如下 HYPERLINK :/baike.baidu /view/5925.htm t _blank 方程表示 = ，其中為射線(xiàn)的傾斜角度，若 m為 HYPERLINK :/baike.baid

9、u /view/1539320.htm t _blank 直角坐標(biāo)系的射線(xiàn)的斜率，則有 = arctan m。任何不經(jīng)過(guò)極點(diǎn)的直線(xiàn)都會(huì)與某條射線(xiàn)垂直。玫瑰線(xiàn)極坐標(biāo)的玫瑰線(xiàn)（polar rose）是 HYPERLINK :/baike.baidu /view/627248.htm t _blank 數(shù)學(xué)曲線(xiàn)中非常著名的曲線(xiàn)，看上去像花瓣，它只能用極坐標(biāo)方程來(lái)描述，方程如下：r（） = a*cos k 或r（） = a sin k，如果k是整數(shù)，當(dāng)k是 HYPERLINK :/baike.baidu /view/20853.htm t _blank 奇數(shù)時(shí)那么曲線(xiàn)將會(huì)是k個(gè)花瓣，當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)曲線(xiàn)將

10、是2k個(gè)花瓣。如果k為非整數(shù)，將產(chǎn)生圓盤(pán)（disc）狀圖形，且花瓣數(shù)也為非整數(shù)。注意：該方程不可能產(chǎn)生4的倍數(shù)加2（如2，6，10）個(gè)花瓣。變量a代表玫瑰線(xiàn)花瓣的長(zhǎng)度。玫瑰線(xiàn)是極坐標(biāo)方程=acosn或=asinn（02）所表示的曲線(xiàn)。例如，曲線(xiàn)=asin3是三葉玫瑰線(xiàn)，=acos2是四葉玫瑰線(xiàn)。三葉玫瑰線(xiàn) HYPERLINK :/baike.baidu /picview/418140/418140/0/504ec7f92b2b5e1a252df2e2.html t _blank o 查看圖片 方程為 r（） = 2 sin 4的玫瑰線(xiàn) HYPERLINK :/baike.baidu /picv

11、iew/418140/418140/0/3b6833f5a5f9a766bc3109ef.html t _blank o 查看圖片 阿基米德螺線(xiàn)定義：動(dòng)點(diǎn)沿一直線(xiàn)作等速移動(dòng)，而此直線(xiàn)又圍繞與其直交的軸線(xiàn)作等角速的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)在該直線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)平面上的軌跡。右圖為方程 r（） = for 0 0，另一條 0。兩條螺線(xiàn)在極點(diǎn)處平滑地連接。把其中一條翻轉(zhuǎn) 90/270得到其 HYPERLINK :/baike.baidu /view/3555.htm t _blank 鏡像，就是另一條螺線(xiàn)。一條阿基米德螺線(xiàn)它的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/418140.htm t _

12、blank 極坐標(biāo)方程為：r = a，這種螺線(xiàn)的每條臂的距離永遠(yuǎn)相等于 2a。笛卡爾坐標(biāo) HYPERLINK :/baike.baidu /view/71009.htm t _blank 方程式為：r=10*(1+t)x=r*cos(t * 360) y=r*sin(t *360)z=0阿基米德螺旋線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn) HYPERLINK :/baike.baidu /view/3550894.htm t _blank 極坐標(biāo)方程： r（）= a+ b（）在 HYPERLINK :/baike.baidu /view/132011.htm t _blank 極坐標(biāo)系與 HYPERLINK :/baike.

13、baidu /view/71628.htm t _blank 平面直角坐標(biāo)系（ HYPERLINK :/baike.baidu /view/968758.htm t _blank 笛卡爾坐標(biāo)系）間轉(zhuǎn)換： HYPERLINK :/baike.baidu /view/132011.htm t _blank 極坐標(biāo)系中的兩個(gè)坐標(biāo) r 和 可以由下面的公式轉(zhuǎn)換為 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1539320.htm t _blank 直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值由上述二公式，可得到從直角坐標(biāo)系中x 和 y 兩坐標(biāo)如何計(jì)算出極坐標(biāo)下的坐標(biāo)擺線(xiàn)(外擺線(xiàn)、擺線(xiàn))定義：在平面上，一個(gè)動(dòng)圓

14、（發(fā)生圓）沿著一條固定的直線(xiàn)（基線(xiàn)）或固定圓（基圓）作純滾動(dòng)時(shí)，此動(dòng)圓上一點(diǎn)的軌跡。一個(gè)圓在一條定直線(xiàn)上滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡。又稱(chēng)旋輪線(xiàn)。 HYPERLINK :/baike.baidu /view/2300579.htm t _blank 圓上定點(diǎn)的初始位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，定直線(xiàn)為x軸。當(dāng)圓滾動(dòng)j 角以后，圓上定點(diǎn)從 O 點(diǎn)位置到達(dá)P點(diǎn)位置。當(dāng)圓滾動(dòng)一周，即 j從O變動(dòng)2時(shí)，動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫(huà)出擺線(xiàn)的第一拱。再向前滾動(dòng)一周， 動(dòng)圓上定點(diǎn)描畫(huà)出第二拱，繼續(xù)滾動(dòng)，可得第三拱，第四拱，所有這些拱的形狀都是完全一樣的 ，每一拱的拱高為2a（即圓的直徑），拱寬為2a（即圓的周長(zhǎng)）。擺線(xiàn)有一個(gè)重要性質(zhì)，

15、即當(dāng)一物體僅憑重力從A點(diǎn)滑落到不在它正下方的B點(diǎn)時(shí)，若沿著A，B間的擺線(xiàn)，滑落所需時(shí)間最短，因此擺線(xiàn)又稱(chēng)最速降 HYPERLINK :/baike.baidu /view/400.htm t _blank 曲線(xiàn)。 HYPERLINK :/baike.baidu /picview/325126/325126/0/2cb4fefe59cd78265d600825.html t _blank o 查看圖片 擺線(xiàn)擺線(xiàn)具有如下性質(zhì)：1它的長(zhǎng)度等于旋轉(zhuǎn)圓直徑的 4 倍。尤為令人感興趣的是，它的長(zhǎng)度是 一個(gè)不依賴(lài)于的 HYPERLINK :/baike.baidu /view/1197.htm t _bla

16、nk 有理數(shù)2在 HYPERLINK :/baike.baidu /view/4369577.htm t _blank 弧線(xiàn)下的面積，是旋轉(zhuǎn) HYPERLINK :/baike.baidu /view/838503.htm t _blank 圓面積的三倍。3圓上描出擺線(xiàn)的那個(gè)點(diǎn)，具有不同的速度事實(shí)上，在特定的地方它甚至是靜止的。4當(dāng)彈子從一個(gè)擺線(xiàn)形狀的容器的不同點(diǎn)放開(kāi)時(shí)，它們會(huì)同時(shí)到達(dá)底部方程式：擺線(xiàn)的參數(shù)方程是xa（sin），ya（1cos）a為圓的半徑， 是圓的半徑所經(jīng)過(guò)的角度（滾動(dòng)角），當(dāng)由0變到2時(shí)，動(dòng)點(diǎn)就畫(huà)出了擺線(xiàn)的一支，稱(chēng)為一拱。外擺線(xiàn)在平面上，一個(gè)動(dòng)圓（發(fā)生圓）沿著一個(gè)固定圓（基

17、圓）的外側(cè)，作外切或切的純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓上任意一點(diǎn)的軌跡。極坐標(biāo)方程為：r=a（1+cos）心臟線(xiàn)是外擺線(xiàn)的一種，其 n 為 2。它亦可以 HYPERLINK :/baike.baidu /view/418140.htm t _blank 極坐標(biāo)的形式表示： r = 1 + cos 擺線(xiàn)在平面上，一個(gè)動(dòng)圓（發(fā)生圓）沿著一個(gè)固定的圓（基圓）的側(cè)作純滾動(dòng)時(shí)，此圓上一點(diǎn)的軌跡。擺線(xiàn)（圓螺線(xiàn)）是所有形式為x=cost+cos(nt)/ny=sint-sin(nt)/n的曲線(xiàn)，其中 n 為正實(shí)數(shù)。n=3四尖點(diǎn)星形線(xiàn) n=7圓錐曲線(xiàn)圓錐曲線(xiàn)方程如下：r = l / (1 + e*cos）其中l(wèi)表示 HYPE

18、RLINK :/baike.baidu /view/54921.htm t _blank 半徑，e表示離心率。如果e 1，則表示雙曲線(xiàn)。或者r=e*p/ (1 -e*cos）其中e表示 HYPERLINK :/baike.baidu /view/471443.htm t _blank 離心率，p表示焦點(diǎn)到 HYPERLINK :/baike.baidu /view/631558.htm t _blank 準(zhǔn)線(xiàn)的距離。雙紐線(xiàn)也稱(chēng)伯努利雙紐線(xiàn)，設(shè)定線(xiàn)段AB長(zhǎng)度為2a, 動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足MA*MB=a2那么M的軌跡稱(chēng)為雙紐線(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)歸納總結(jié)：1伸縮變換：設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換

19、的作用下，點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)到點(diǎn)，稱(chēng)為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡(jiǎn)稱(chēng)伸縮變換。2.極坐標(biāo)系的概念：在平面取一個(gè)定點(diǎn)，叫做極點(diǎn)；自極點(diǎn)引一條射線(xiàn)叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)與其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系。3點(diǎn)的極坐標(biāo)：設(shè)是平面一點(diǎn)，極點(diǎn)與點(diǎn)的距離 叫做點(diǎn)的極徑，記為；以極軸x為始邊，射線(xiàn)OM為終邊的XOM叫做點(diǎn)的極角，記為。有序數(shù)對(duì)叫做點(diǎn)的極坐標(biāo)，記為. 極坐標(biāo)與表示同一個(gè)點(diǎn)。極點(diǎn)O的坐標(biāo)為.4.若,則,規(guī)定點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即與表示同一點(diǎn)。如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示；同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的。5極

20、坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：6。圓的極坐標(biāo)方程：在極坐標(biāo)系中，以極點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ； 在極坐標(biāo)系中，以 (a0)為圓心， a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ；在極坐標(biāo)系中，以 (a0)為圓心，a為半徑的圓的極坐標(biāo)方程是 ；7.在極坐標(biāo)系中，表示以極點(diǎn)為起點(diǎn)的一條射線(xiàn)；表示過(guò)極點(diǎn)的一條直線(xiàn).在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)，且垂直于極軸的直線(xiàn)l的極坐標(biāo)方程是.8參數(shù)方程的概念：在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù) 并且對(duì)于t 的每一個(gè)允許值，由這個(gè)方程所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線(xiàn)上，那么這個(gè)方程就叫做這條曲線(xiàn)的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t 叫做參變數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)

21、參數(shù)。相對(duì)于參數(shù)方程而言，直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程。9圓的參數(shù)方程可表示為. 橢圓(ab0)的參數(shù)方程可表示為. 拋物線(xiàn)的參數(shù)方程可表示為.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)l的參數(shù)方程可表 示為（t為參數(shù)）。10在建立曲線(xiàn)的參數(shù)方程時(shí)，要注明參數(shù)與參數(shù)的取值圍。在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x,y的取值圍保持一致.切記1能在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置，理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；2能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形（如過(guò)極點(diǎn)的直線(xiàn)，過(guò)極點(diǎn)的圓或圓心在極點(diǎn)的圓）的方程，通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程。理解用方程表示平

22、面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義。3能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫(xiě)出直線(xiàn)，圓和圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程?；A(chǔ)知識(shí)歸納：1極坐標(biāo)的定義：2極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化：3直線(xiàn)的參數(shù)方程：4圓的參數(shù)方程：5橢圓的參數(shù)方程：6拋物線(xiàn)的參數(shù)方程：典型例題：例1（1）點(diǎn)的極坐標(biāo)為，則其直角坐標(biāo)為（2）已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的極坐標(biāo)為（ ）例2（1）的直角坐標(biāo)方程為（2）圓心為，半徑為的圓的極坐標(biāo)方程為例3在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)被曲線(xiàn)：所截得弦的中點(diǎn)的極坐標(biāo)為例4已知直線(xiàn)與圓，則上各點(diǎn)到的距離的最小值為_(kāi)例5橢圓為參數(shù)）的焦點(diǎn)坐標(biāo)為；若點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的圍是鞏固練習(xí)：1在極坐標(biāo)系中,與圓相切的一條直線(xiàn)方程為( )2兩圓,的公共部分面

23、積是3與曲線(xiàn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)鐵曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是4在極坐標(biāo)系中,過(guò)圓的圓心,且垂直于極軸的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為5在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的方程為，則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為6在極坐標(biāo)系中，圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的最小值是.7在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi).8在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)作圓的切線(xiàn)，則切線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是9在極坐標(biāo)系中，若過(guò)點(diǎn)且與極軸垂直的直線(xiàn)交曲線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，則10設(shè)是曲線(xiàn)（為參數(shù)）上任意一點(diǎn)，則的取值圍是11將參數(shù)方程為參數(shù))化為普通方程為12在極坐標(biāo)系中，是圓的極坐標(biāo)方程，則點(diǎn)A到圓心C的距離是13直線(xiàn) 為參數(shù))上與點(diǎn) 距離等于的點(diǎn)的坐標(biāo)是14設(shè)分別是曲線(xiàn)和上動(dòng)點(diǎn)，則兩點(diǎn)的最小距離是15在極坐標(biāo)系中，已

24、知直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且其向上的方向與極軸的正方向所成的最小正角為，則直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為16直線(xiàn)為參數(shù)）被圓為參數(shù)）所截得的弦長(zhǎng)為極坐標(biāo)與參數(shù)方程參考答案例1（1） （2）例2（1） （2）例3 例4 例5 ，鞏固練習(xí)：12345261789101112131415 166 極坐標(biāo)高考題的幾種常見(jiàn)題型和直角坐標(biāo)系一樣,極坐標(biāo)系是常用的一種坐標(biāo)系,極坐標(biāo)是歷年理工類(lèi)高考必考的容,隨著新課程改革的深入,在2007年4個(gè)省市新課標(biāo)高考試題中有3個(gè)省市考查了極坐標(biāo).涉與較多的是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化與簡(jiǎn)單應(yīng)用.多以選擇題、填空題形式出現(xiàn),以考查基本概念,基本知識(shí),基本運(yùn)算為主,一般屬于容易題.一、極坐標(biāo)方程與直

25、角坐標(biāo)方程的互化互化條件：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，長(zhǎng)度單位一樣.互化公式： 或 的象限由點(diǎn)(x,y)所在的象限確定.例1(2007)O1和O2的極坐標(biāo)方程分別為，(I)把O1和O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(II)求經(jīng)過(guò)O1，O2交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程解：以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，兩坐標(biāo)系中取一樣的長(zhǎng)度單位 (I)，由得所以即為O1的直角坐標(biāo)方程同理為O2的直角坐標(biāo)方程(II)解法一:由解得，即O1，O2交于點(diǎn)(0,0)和(2,2)過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為y=x解法二: 由,兩式相減得4x-4y=0,即過(guò)交點(diǎn)的直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程為y=x評(píng)述:本

26、題主要考查曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法與兩圓公共弦所在直線(xiàn)方程的求法.例2(2003全國(guó))圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是 (A) (B) (C) (D)解:由去分母后兩邊同時(shí)乘以得:,所以x2=8y ,其準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=,在極坐標(biāo)系中方程為,故選C.例3(1998年)以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸 建立極坐標(biāo)系,若橢圓兩焦點(diǎn)的極坐標(biāo)分別是(1,),(1,),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,則此 橢圓的直角坐標(biāo)方程是_. 解：由已知條件知橢圓兩焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b2=a2-c2=3, 故所求橢圓的直角坐標(biāo)方程為=1評(píng)述：點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方

27、程與直角坐標(biāo)方程的 互化要熟練掌握.類(lèi)題:1(1995年)把直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,并且在兩種坐標(biāo)系中取一樣的長(zhǎng)度單位.若曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是,則它的直角坐標(biāo)方程是_. (答案:3x2-y2=1)2(1998年全國(guó))曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程=4sin化成直角坐標(biāo)方程為 (A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4 (C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4 (答案:B)3(2002)已知某曲線(xiàn)的參數(shù)方程是(為參數(shù))若以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,長(zhǎng)度單位不變，建立極坐標(biāo)系，則該曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是(A) (B) (C) (D) (答案:D)

28、二、已知曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程,判斷曲線(xiàn)類(lèi)型 常見(jiàn)的直線(xiàn)和圓的極坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)不變性: 1、直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程(a0) (1)過(guò)極點(diǎn),并且與極軸成角的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程:=; (2)垂直于極軸和極點(diǎn)間的距離為a的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程:cos=a; (3)平行于極軸和極軸間的距離為a的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程:sin=a; (4)不過(guò)極點(diǎn),和極軸成角,到極點(diǎn)距離為a的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程:sin(-)=a.2、圓的極坐標(biāo)方程(a0) (1)圓心在極點(diǎn),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程:=a; (2)圓心在(a,0),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程:=2acos; (3)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程:=; (4)

29、圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程:=2asin; (5)圓心在(a,),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程:=; (6)圓心在(a,0),半徑為a的圓的極坐標(biāo)方程:=2acos(-0).3、極坐標(biāo)系中的旋轉(zhuǎn)不變性: 曲線(xiàn)f(,+)=0是將曲線(xiàn)f(,)=0繞極點(diǎn)旋轉(zhuǎn)|角(時(shí),按順 時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),時(shí),按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn))而得到.例4(1990年全國(guó))極坐標(biāo)方程4sin2=5所表示的曲線(xiàn)是 (A)圓 (B)橢圓 (C)雙曲線(xiàn)的一支 (D)拋物線(xiàn)解:由已知極坐標(biāo)方程與三角公式得:2(1-cos)=5,2=2cos+5,由互化公式得2=2x+5,平方整理得 y2=5(x+),方程表示的曲線(xiàn)是拋物線(xiàn),故選D.

30、評(píng)述:對(duì)于給出的極坐標(biāo)方程相對(duì)于極坐標(biāo)系而言不是標(biāo)準(zhǔn)的,一般將其等價(jià)轉(zhuǎn) 化為直角坐標(biāo)方程來(lái)判斷其曲線(xiàn)類(lèi)型.類(lèi)題:1(1991年三南)極坐標(biāo)方程4sin2=3表示的曲線(xiàn)是 (A)二條射線(xiàn) (B)二條相交直線(xiàn) (C) 圓 (D) 拋物線(xiàn) (答案:B) 2(1987年全國(guó))極坐標(biāo)方程=sin+2cos所表示的曲線(xiàn)是 (A)直線(xiàn) (B)圓 (C)雙曲線(xiàn) (D) 拋物線(xiàn) (答案:B) 3(2001年、)極坐標(biāo)方程2cos2=1所表示的曲線(xiàn)是(A)兩條相交直線(xiàn) (B)圓 (C)橢圓 (D)雙曲線(xiàn) (答案:D)4(2003)極坐標(biāo)方程表示的曲線(xiàn)是(A)圓 (B)橢圓 (C)拋物線(xiàn) (D)雙曲線(xiàn) (答案:D)

31、例5(1994年全國(guó))極坐標(biāo)方程=cos(-)所表示的曲線(xiàn)是 (A) 雙曲線(xiàn) (B)橢圓 (C)拋物線(xiàn) (D)圓 解:曲線(xiàn)=cos(-)=cos(-)是把圓=cos繞極點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐?轉(zhuǎn)而得,曲線(xiàn)的形狀仍然是一個(gè)圓,故選D評(píng)述:把曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程較為麻煩,利用旋轉(zhuǎn)不變性則更容易得出答案.方程cos(-0)=0表示一條直線(xiàn),方程=acos(-0)表示半徑為, 圓心為(,0)的圓,要注意兩者的區(qū)別.1x01x01x01x01x01x0 x01(A) (B) (C) (D)解:圓=2sin(+)是把圓=2sin繞極點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)而得,圓心的極坐標(biāo)為(1,),故選C. 類(lèi)題:1(

32、2002)極坐標(biāo)方程與=的圖形是00 x0 x0 x0 x (A) (B) (C) (D)(答案:B)2(2004春)在極坐標(biāo)系中，圓心在(且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為(A)(B) (C)(D)(答案:B)三、判斷曲線(xiàn)位置關(guān)系例7(2000年京皖春)直線(xiàn)=和直線(xiàn)sin(-)=1的位置關(guān)系 (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合 解:直線(xiàn)sin(-)=1是把直線(xiàn)sin=1繞極點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角 而得, 從而兩直線(xiàn)平行,故選B. 評(píng)注:對(duì)直線(xiàn)sin(-)=1與直線(xiàn)sin=1的關(guān)系要十分熟悉.四、根據(jù)條件求直線(xiàn)和圓的極坐標(biāo)方程例8(2002春)在極坐標(biāo)系中,如果一個(gè)圓的方程是=4c

33、os+6sin，那么過(guò)圓心且與極軸平行的直線(xiàn)方程是(A) sin=3 (B) sin = 3 (C) cos =2 (D) cos = 2解:將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程得:x2+y2=4x+6y,即(x-2)2+(y-3)2=13.圓心為(2,3),所求直線(xiàn)方程為y=3,即sin=3,故選A. 評(píng)述:注意直線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程極易求出. 類(lèi)題:1(1992年)在極坐標(biāo)方程中,與圓=4sin相切的一條直線(xiàn)的方程是 (A) sin=2 (B)cos=2 (C)cos= 4 (D)cos=- 4(答案:B) 2(1993年)在極坐標(biāo)方程中,過(guò)點(diǎn)M(2,)且平行于極軸的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程是_. (答案

34、: sin=2)3(1994年)已知點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(1,),那么過(guò)點(diǎn)P且垂直于極軸的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為 (A)=1 (B)=cos (C)= (D)=(答案:C) 4(2000年全國(guó))以極坐標(biāo)系中點(diǎn)(1,1)為圓心,1為半徑的圓的方程是(A)=2cos(-) (B)=2sin(-)(C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1) (答案:C)五、求曲線(xiàn)中點(diǎn)的極坐標(biāo)例9(2003)在極坐標(biāo)系中，定點(diǎn)A(1,),點(diǎn)B在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線(xiàn)段AB最短時(shí)，點(diǎn)B的極坐標(biāo)是_.解:在直角坐標(biāo)系中,A點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),B在直線(xiàn)x+y=0上, AB最短,則B為,化為極坐標(biāo)為.例10(1999年)極坐標(biāo)方程52

35、cos2+2-24=0所表示的曲線(xiàn)焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為_(kāi). 解:由52cos2+2-24=0得52(cos2-sin2)+2-24=0化為直角坐標(biāo)方程得,該雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(,0)與(-,0),故所求 焦點(diǎn)的極坐標(biāo)為(,0)、(,). 評(píng)述:本題考查圓錐曲線(xiàn)極坐標(biāo)方程的基礎(chǔ)知識(shí),掌握點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo) 的對(duì)應(yīng)關(guān)系極為有用.例11(2001年京皖蒙春)極坐標(biāo)系中,圓=4cos+3sin的圓心的坐標(biāo)是 (A) (,arcsin) (B)(5,arcsin) (C)(5,arcsin) (D)(,arcsin)解:由= 4cos+3sin=5(cos+sin)=5cos(-)(其中sin=) 所

36、以所求圓心坐標(biāo)為(,arcsin),故選A.類(lèi)題：(2002)若A、B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)為A(4,),B(6,0),則AB中點(diǎn)的極坐標(biāo)是_.(極角用反三角函數(shù)值表示). 答案.()六、求距離例12(2007文)在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)的方程為sin=3，則點(diǎn)(2,)到直線(xiàn)的距離為_(kāi).解: 將直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程sin=3化為直角坐標(biāo)系方程得:y=3,點(diǎn)(2,)在直角坐標(biāo)系中為(,1),故點(diǎn)(2,) 到直線(xiàn)的距離為2.評(píng)注：本題主要考查極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的互化.例13(1992年全國(guó)、1996年)極坐標(biāo)方程分別是=cos和=sin的兩個(gè)圓的圓心距是 (A) 2 (B) (C) 1 (D) 解法一:兩圓的圓

37、心坐標(biāo)分別為(,0)與(,),由此求得圓心距為,選D.解法二:將極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程得(x-)2+y2=與x2+(y-)2=, 由此求得圓心距為,選D.評(píng)述:本題考查對(duì)極坐標(biāo)的理解,理解深刻者可在極坐標(biāo)系上畫(huà)出簡(jiǎn)圖直接求解,一般理解者,化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程也能順利得到正確答案.例14(1997年全國(guó))已知直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為sin(+)=,則極點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離是_. 解法一:化直線(xiàn)方程為=,根據(jù)極坐標(biāo)的概念極點(diǎn)到該直線(xiàn)的距離等于這個(gè)函數(shù)的最小值,當(dāng)sin(+)=1時(shí),取最小值即為所求.解法二:對(duì)極坐標(biāo)欠熟悉時(shí),可把直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程x+y=1, 應(yīng)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式得

38、原點(diǎn)到此直線(xiàn)的距離為.類(lèi)題:1(2000年)在極坐標(biāo)系中,若過(guò)點(diǎn)(3,0)且與極軸垂直的直線(xiàn)交曲線(xiàn)= 4cos于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=_. (答案:2)2(2004)在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)M(4,)到直線(xiàn):的距離d=_. (答案:)七、判定曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性 例15(1999年全國(guó))在極坐標(biāo)系中,曲線(xiàn)= 4sin(-)關(guān)于 (A) 直線(xiàn)=軸對(duì)稱(chēng) (B)直線(xiàn)=軸對(duì)稱(chēng) (C) 點(diǎn)(2, )中心對(duì)稱(chēng) (D)極點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)解:把圓= 4sin繞極點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)便得到曲線(xiàn)= 4sin(-)=, 知其圓心坐標(biāo)為(2,),故圓的對(duì)稱(chēng)軸為=,應(yīng)選B. 評(píng)述:方程表示的曲線(xiàn)是圓,為弄清軸對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題,關(guān)鍵是求出其 圓心的坐標(biāo).八、求三角形面積ABOx例16(2006)在極坐標(biāo)系中,O是極點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A(4,)，B(5,)，則OAB的面積是ABOx解:如圖所示,在OAB中，評(píng)述:本題考查極坐標(biāo)與三角形面積公式.直線(xiàn)的參數(shù)方程，圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程與其應(yīng)用一. 教學(xué)容：直線(xiàn)的參數(shù)方程，圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程與其應(yīng)用，極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程與其應(yīng)用。基本知識(shí)點(diǎn)（1）直線(xiàn)的參數(shù)方程 標(biāo)準(zhǔn)形式： 一般形式（2）參數(shù)t的幾何意義與其應(yīng)用標(biāo)準(zhǔn)形式：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交