廣義力與廣義力矩求解

1、二、基本形式的拉格朗日方程現(xiàn)在我們從達(dá)朗伯一拉格朗日方程出發(fā)，把各并不彼此 獨(dú)立的坐標(biāo)頁用各彼此獨(dú)立的廣義坐標(biāo)（仇= l,2，.f） I重新表述，從而導(dǎo)出適用于受理想約束的完整力學(xué)系所遵守的 動力學(xué)方程一拉格朗日方程，設(shè)個(gè)質(zhì)點(diǎn)受上個(gè)約束，因是完整約束，體系的自由度數(shù) 應(yīng)為s-3fi-k.以廣義坐標(biāo)r.表出則 死=筍兒+碧5.+榮林=很膈代入達(dá)朗伯一拉格朗LI方程支定機(jī)=0i： 1口： 1。Q.an .,一$ A 亍肖婦a qa上式中的兩個(gè)取和號互不相關(guān)，故可以互易，則r.-VaJI df 3q”顯然7是體系的動能.則有p3T“ d，3 qa 9 qaI即= g # = 1,2,這就是著名的拉格

2、朗h方程，也稱基本形式的拉格朗n 方程（或稱第I :類拉格朗日方程）其中廣義坐標(biāo)曲=彼0, 所以上式是以，為自變量的廣義坐標(biāo)知的個(gè)I階常微分方程 組。只要我們能寫出以為變量時(shí)體系的動能丁和廣義力 0, Q，0，就N以代入上式，從們得到體系的動力學(xué) 方程紙，再求解，就可得到體系的運(yùn)動方程。三、廣義動量與廣義力的計(jì)算對于單個(gè)質(zhì)點(diǎn)來說，動能對某速度分量的導(dǎo)數(shù)是對應(yīng)的動量分量dT d P 12 22 -=頃哲+吼+切 =m Vxdvx dvx L2 J3T與此類比，可以定義廣義動量Pa為 曲 =Pa注意：廣義動量可以是線動量，也可以是角動量等等， 視廣義坐標(biāo)的選擇而定。而廣義力：單廣義力可以是力，也可

3、以是力矩等，視廣義坐標(biāo)的選擇而 定。計(jì)算廣義力的方法可以有兩種：一種方法是從上定義式直 接計(jì)算，另種方法是從主動力所作的虛功來計(jì)算。因粒子數(shù)=1,則例3計(jì)算一自由質(zhì)點(diǎn)取 平血極坐標(biāo)的廣義力。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)P受力，廣義坐標(biāo) 們=廠，q2=0 o與此兩 廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力為 。和o 用兩種方法。解方法一：從定義式計(jì)算。將定義式用于極坐標(biāo),又因 x= r cosft y=r sinff=Fx cos 0 + F sin 0 = Fr可見廣義力的徑向分量就是的徑向分量，說明0是一個(gè)力。另外3 x.八 M八= -rsin 0. =r cos 0 30de0 二+ f =(F sin 8+ F cos 0)上式括號中的第-項(xiàng)為玲在.7方向的投影，第二項(xiàng)是氣在J方向的投影，所以兩者之和就是戶在了方向的投影因此。尸rF& （是力矩）可見廣義力的橫向分量Qe是力矩。方法二：從主動力所作的虛功來計(jì)算8X- -rsm3 33 + cos0 S r8 y r cos 83 r8Wr 0$ r=(月，。蹄=0= (F0 x+MQrd r = Fx cos 6 S r + Fy sin 6 d r貝 ij Q,=普=Fvcos6 + Fv sin。=