利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性題型全歸納

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單一性題型全概括一.求單一區(qū)間二.函數(shù)單一性的判斷與逆用.利用單一性求字母取值范圍四.比較大小五.證明不等式.求極值七.求最值八.解不等式.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）十.研究函數(shù)圖像一.求單一區(qū)間例1.已知函數(shù)f(x)axx2xlna(a0,a1)，求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間解：f(x)axlna+2xlna2x+(ax1)lna.則令g(x)f(x)，由于當(dāng)a0,a1，因此g(x)2axln2a0因此f(x)在R上是增函數(shù),又f(0)0,因此不等式f(x)0的解集為(0,+),故函數(shù)f(x)的單一增區(qū)間為(0,+)減區(qū)間為：(，0)變式：已知f(x)exax，求f(x)的單一區(qū)

2、間解：f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)單一遞加當(dāng)a0時(shí)，由f(x)exa0得：xlna，f(x)在(lna,)單一遞加由f(x)exa0得：xlna，f(x)在(，lna)單一遞加綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單一遞加區(qū)間為：（，），無單一遞減區(qū)間當(dāng)a0時(shí)，f(x)的單一遞加區(qū)間為：(lna,)，遞減區(qū)間為：(，lna)二.函數(shù)單一性的判斷與逆用例2.已知函數(shù)f(x)x3ax22x5（11也不是單一遞減，）上既不是單一遞加函數(shù)，在32a的取值會(huì)合函數(shù)，求正整數(shù)解：f(x)3x22ax2由于函數(shù)f(x)x3ax22x（11，）上既不是單一遞加函數(shù)，也不是單一遞減函數(shù)5在3211因此

3、f(x)3x22ax2=0在（3，）上有解2因此f(1)f(1)0又aN*，解得：5a5因此正整數(shù)a的取值會(huì)合232，42，三.利用單一性求字母取值范圍例3.已知函數(shù)fx=x-ax，若函數(shù)y=f(x)1+?）上是減函數(shù)，務(wù)實(shí)數(shù)a的()lnx在（，最小值.解：由于f(x=x-ax1+?）上是減函數(shù))lnx在（，因此f(x)=lnx-1-a?0在（1，+?）上恒建立，即a3lnx-1在（1，+?）上恒建立(lnx)2(lnx)2令t=lnx,(x1)，則t0，h(t)=t-1則a3h(t)maxt2(t0)，由于h(t)=t-21=-(1)2+1=-(1-1)2+1因此h(t)max=h(2)=1

4、因此a31tttt24，4，4變式：若函數(shù)1312f(x)=x-ax+(a-1)x+1在區(qū)間（1,4）(6,+?)32上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)，試務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：f(x)=x2-ax+a-1由于函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間(6,+?)上為增函數(shù)（1,4）?f(x)?0，因此?f(x)?0,x?(1,4)x?(6,?)2-ax+a-1?0，x?(1,4)?x?恒建立，即?2-ax+a-1?0,x?(6,?)?x2-1?x?a?x-1?因此2?x-1?a?x-1?四.比較大小x+1,x?(1,4)1?a?4?因此5a7因此?1，x+1,x?(6,?)?a?6，例4.設(shè)a為實(shí)

5、數(shù)，當(dāng)aln2-1且x0時(shí)，比較ex與x2-2ax+1的大小關(guān)系.解：令f(x)=ex-x2+2ax-1(x0)，則f(x)=ex-2x+2a令g(x)=f(x)則g(x)=ex-2，令g(x)=0得：x=ln2當(dāng)xln2時(shí)，g(x)0；當(dāng)xln2時(shí)，g(x)ln2-1，因此g(x)=f(x)0，因此f(x)在（0，+?）上單一遞加因此f(x)f(0)=0，即ex-x2+2ax-10，因此exx2-2ax+1變式：對(duì)于R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)，若滿足(x-3)f(x)0，比較f(1)+f(11)與2f(3)的大小關(guān)系.解：由于(x-3)f(x)0因此當(dāng)x3時(shí)，f(x)0，f(x)單一遞加，故

6、f(11)f(3)當(dāng)x3時(shí)，f(x)0，f(x)單一遞減，故f(1)f(3)因此f(1)+f(11)2f(3)五.證明不等式例5.已知函數(shù)f(x)|lnx|，g(x)k(x1)(kR).證明：當(dāng)k1時(shí)，存在x01，使得對(duì)隨意的x(1,x0)，恒有f(x)g(x).證明：令G(x)|lnx|k(x1)=lnxk(x1),x(1,)則有G(x)1k1kx,x(1,)xx當(dāng)k0或k1時(shí)，1G(x)0，故G(x)）上單一遞加，G(x)G(1)0.故任在（，意實(shí)數(shù)x(1,)均滿足題意.當(dāng)0k1時(shí)，令G(x)=0，得x11.1k1當(dāng)x(1,)時(shí)，G(x)0，故G(x)在(1,)上單一遞加kk當(dāng)x(1，)時(shí)

7、，G(x)0，故G(x)在(1，)上單一遞減kk取x01，對(duì)隨意x(1,x0)，有G(x)0，故G(x)在(1,x0)上單一遞加k因此G(x)G(1)0即f(x)g(x)綜上所述：當(dāng)k1時(shí)，存在x01，使得對(duì)隨意的x(1,x0)，恒有f(x)g(x).，變式：已知對(duì)于x的方程(1x)exax2a有兩個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)根x1、x2.求證：x1+x20證明：由于(1x)exax2a，因此a(1x)ex令f(x)(12x)exx21，x1則f(x)x(x22x3)exx(x1)22ex22（x22（x1）1）當(dāng)x0時(shí)f(x)0，f(x)單一遞減，當(dāng)x0時(shí)f(x)0，f(x)單一遞加由于對(duì)于x的方程(1x

8、)exax2a有兩個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)根x1、x2因此不如設(shè)x1(,0),x2(0,)，要證：x1+x20，只需證：x2x1由于x2x1（0，），且函數(shù)f(x)在（0，）上單一遞減因此只需證：f(x2)f(x1)，又由于f(x2)=f(x1)，因此只需證：f(x1)f(x1)(1x)ex1(1x)ex1即證：11x121x121即證：(1x)ex(1x)ex0對(duì)x（，0）恒建立令g(x)(1x)ex(1)x，x（，0），則g(x)(xex)xexe由于x（，0）因此exex0，因此g(x)x(exex)0恒建立因此g(x)(1x)ex(1x)ex在（，0）上單一遞減，因此g(x)g(0)0綜上所述：

9、x1+x20六.求極值例6.已知函數(shù)2xf(x)(xaxa)e，能否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)的極大值為3？若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明原由.解：f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex=(xa)(x2)ex令f(x)=0得：xa或x2當(dāng)a2時(shí)，f(x)0恒建立，無極值，舍去當(dāng)a2時(shí)，a2x（，-2）2(2,a)a（a，）f(x)00f(x)遞加極大值遞減極小值遞加由表可知：f(x)極大值=f(2)(42aa)e23解得：a43e22當(dāng)a2時(shí)，a2x（，-a）a(a,2)2（2，）f(x)00f(x)遞加極大值遞減極小值遞加由表可知：f(x)極大值=f(a)(a

10、2a2a)ea3，即aea3，因此：a=3ea令g(a)3eaa(a2)，則g(a)3ea13e210因此yg(a)在（2，）上單一遞加，又g(2)3e220因此函數(shù)yg(a)在上無零點(diǎn)，即方程a=3a無解（2，）e綜上所述：存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f(x)的極大值為3，此時(shí)a43e2七.求最值例7.已知函數(shù)f(x)axx2xlna(a0,a1)，若存在x1,x21,1,使得f(x1)f(x2)e1（此中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),務(wù)實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由于存在x1,x21,1,使得f(x1)f(x2)e1建立,而當(dāng)x1,1時(shí),f(x1)f(x2)f(x)maxf(x)min,因此只需f(x)maxf

11、(x)mine1即可又由于x,f(x),f(x)的變化狀況以下表所示:x(,0)0(0,+)f(x)0+f(x)減函數(shù)極小值增函數(shù)因此f(x)在1,0上是減函數(shù),在0,1上是增函數(shù),因此當(dāng)x1,1時(shí),fx的最小值fxminf01,fx的最大值fxmax為f1和f1中的最大值.由于f(1)f(1)(a+1lna)(1+1+lna)a12lna,aa令g(a)a12lna(a0),由于g(a)1+12(11)20,aa2aa因此g(a)a12lna在a0,上是增函數(shù).a而g(1)0,故當(dāng)a1時(shí),ga0,即f(1)f(1);當(dāng)0a1時(shí),ga0,即f(1)f(1)因此,當(dāng)a1時(shí),f(1)f(0)e1,

12、即alnae1,函數(shù)yalna在a(1,)上是增函數(shù),解得ae;當(dāng)0a1時(shí),f(1)f(0)e1,即1lnae1,函數(shù)y1lna在a(0,1)上是減aa函數(shù),解得0a1.e綜上可知,所求a的取值范圍為a(0,1Ue,+)e變式：已知函數(shù)f()exaln(xa)(a0)在區(qū)間上的最小值為，務(wù)實(shí)數(shù)a的x（0，）1值.解：f(x)=exa1令g(x)f(x)，則g(x)=exa120 xa，(xa）因此yg(x)在區(qū)間（0，）單一遞加，因此存在獨(dú)一的x0（，），使得0g(x0)ex0a1a0即ex0a=x01ax0，因此當(dāng)x(0,x0)時(shí)，g(x)f(x)0，yf(x)單一遞減當(dāng)x(x0，)時(shí)，g(

13、x)f(x)0，yf(x)單一遞加因此f(x)minf(x0)ex0aln(x0a)，由ex0a=1得：x0a=ln(x0a)x0a因此f(x)minf(x0)ex0aln(x0a)=1x0ax0a1(x0a)2a=ax021(x0a)2ax0a22a當(dāng)且僅當(dāng)1=x0a即x0a=1，f(x)minf(x0)22ax0a由22a=1得a11a12，此時(shí)x0=，滿足條件，因此2八.解不等式2例8.函數(shù)f(x)(xR)，f(0)2，對(duì)隨意xR，f(x)f(x)1，解不等式：exf(x)ex1解：令g(x)x(x)x則g()x()x()xx(f(x)f()1)efe，xefxefxeex由于對(duì)隨意xR

14、，f()f()1因此g(x)0，xx，因此yg(x)為R上的單一遞加函數(shù)，又g(0)f(0)11因此當(dāng)exf(x)ex1即exf(x)ex1，因此g(x)g(0)，因此x0即不等式：exf(x)ex1的解集為（0，）變式：已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)滿足f(x)1-3m，求m的取值范圍.解：令g(x)f(x)x，則g(x)f(x)1，由于f(x)1-3m，得：f(1-2m)-（1-2m)f(m)-m即g(12m)g(m)，因此12mm，即m13九.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）例9.已知f(x)2ln(xa)x2x在x0處獲得極值.若對(duì)于x的方程f(x)b0在區(qū)間1,1上恰有兩個(gè)不一樣的

15、實(shí)數(shù)根，務(wù)實(shí)數(shù)b的取值范圍.解：f(x)22x1由于f(x)2ln(xa)x2x在x0處獲得極值xa，因此f(0)21=0，即a2，檢驗(yàn)知a2切合題意.a令g(x)f(x)b2ln(x2)x2xb，x1,1g(x)2x2xg(x)g(x)因此g(x)極大值2x(x5)2x12(1x1)x2-1（1,0）0（0,1）10b遞加極大值遞減2ln32b=g(0)2ln2b由于方程f(x)b0在區(qū)間1,1上恰有兩個(gè)不一樣的實(shí)數(shù)根g(1)0b0因此g(0)0，即2ln2b0解得：2ln2b22ln3g(1)02ln32b0因此實(shí)數(shù)b的取值范圍是：（2ln2，22ln3變式：已知函數(shù)y=f(x)是R上的可

16、導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x10時(shí)，有f(x)+f(x)0，判斷函13x數(shù)F(x)=xf(x)+的零點(diǎn)個(gè)數(shù)x解：當(dāng)x10時(shí)，有f(x)+f(x)0即xf(x)+f(x)0 x，x令g(x)xf(x)，則g(x)=xf(x)+f(x)因此當(dāng)x0時(shí)，yg(x)0g(x)=xf(x)+f(x)0，函數(shù)）單一遞加在（，且g(x)g(0)=0，因此當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)=xf(x)+130恒建立，函數(shù)y=F(x)無零點(diǎn)x當(dāng)x0時(shí)，(x)+f(x)0，函數(shù)yg(x)在（-，0）單一遞減g(x)=xf且g(x)g(0)=0恒建立因此F(x)=xf(x)+13在（-，0）上為單一遞減函數(shù)x0，因此F(x)?13且當(dāng)x0時(shí)，xf(

17、x)?0時(shí)，1?x當(dāng)x0，因此F(x)?xf(x)0 x13因此F(x)=xf(x)+在（-，0）上有獨(dú)一零點(diǎn)x13綜上所述：F(x)=xf(x)+（-，0）U（0,+）x在上有獨(dú)一零點(diǎn)十.研究函數(shù)圖像例10.設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖像以以下圖，則導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖像可能為以下圖像的.解：由yf(x)的圖像可判斷出：f(x)在(,0)遞減，在(0，)上先增后減再增（1）（2）（4）(x)0，再有f(x)0.因此在(,0)上f(x)0，在(0，)上先有f(x)0，后有f因此圖（4）切合.變式：已知函數(shù)f(x)ln(2x)，若對(duì)于x的不等式f2(x)af(x)0只有兩個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.x解：f(x)=1ln(2x)，令f(x)=0得xex22因此當(dāng)0 xe(x)0,f(x)單一遞加時(shí)，fe2當(dāng)x0,f(x)