有限元講義彈性力學(xué)平面問(wèn)題有限單元法分析

1、有限元講義2.6四結(jié)點(diǎn)四邊形單元(Thefour-nodequadrilateralelement)前面介紹了四結(jié)點(diǎn)的矩形單元其位移函數(shù):UV12x3y4xy56x7y8xy為雙線(xiàn)性函數(shù)，應(yīng)力，應(yīng)變?cè)趩卧獌?nèi)呈線(xiàn)性變化，比常應(yīng)力三角形單元精度高。但它對(duì)邊界要求嚴(yán)格。本節(jié)介紹的四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元，它不只擁有較高的精度，而且其網(wǎng)格區(qū)分也不受邊界的影響。對(duì)隨意四邊形單元（圖見(jiàn)下面）若仍直接采用前面矩形單元的位移函數(shù)，在邊界上它便不再是線(xiàn)性的（因邊界不與x,y軸一致），這樣會(huì)使得相鄰兩單元在公共邊界上的位移可能會(huì)出現(xiàn)不連續(xù)現(xiàn)象（非協(xié)調(diào)元），而使收斂性受到影響。能夠考證，利用坐標(biāo)變換就能解決這個(gè)問(wèn)題，即能

2、夠經(jīng)過(guò)坐標(biāo)變換將整體坐標(biāo)中的四邊形（圖a）變換成在局部坐標(biāo)系中與四邊形方向無(wú)關(guān)的邊長(zhǎng)為2的正方形。正方形四個(gè)結(jié)點(diǎn)i,j,m,p按反時(shí)鐘次序?qū)?yīng)四邊形的四個(gè)結(jié)點(diǎn)ijmp。正方形的1和1二條邊界，分別對(duì)應(yīng)四邊形的i，j邊界和p,m邊界；=-1和=+1分別對(duì)應(yīng)四邊形的i，p邊界和j，m邊界。如果用二組直線(xiàn)平分四邊形的四個(gè)邊界限段，使四邊形繪成一個(gè)非正交網(wǎng)格，那么該非正交網(wǎng)格在正方形上對(duì)應(yīng)著一個(gè)等距離的規(guī)則網(wǎng)格（見(jiàn)圖a,b）。自然,局部坐標(biāo)上的A點(diǎn)與整體坐標(biāo)的A點(diǎn)對(duì)應(yīng)。1有限元講義一、四結(jié)點(diǎn)四邊形等參單元的形函數(shù)及坐標(biāo)變換由于能夠?qū)⒄w坐標(biāo)下的四邊形單元變換成局部坐標(biāo)下的正方形單元，關(guān)于這種正方形單元

3、，自然仍取形函數(shù)為：UV12325678引入邊界條件，即可得位移函數(shù)：UNiUiijmpVNiViijmp寫(xiě)成矩陣形式：feUNi0Np0eNdeV0Ni0dNp式中形函數(shù):Ni,11i1ii,j,m,p4按照等參元的定義,我們將坐標(biāo)變換式亦取為:xNixiNixiNjxjNmxmNpxpijmpyNiyiNiyiNjyjNmymNpyp261ijmp式中形函數(shù)N與位移函數(shù)中的完全一致。能夠考證，利用坐標(biāo)變換式(2-6-1)，能夠把整體坐標(biāo)系中的隨意四邊形單元（圖a）變換成在局部坐標(biāo)系中與四邊形對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)為的正方形。因此能夠?qū)⑸鲜鑫灰坪瘮?shù)和形函數(shù)用于隨意四邊形單元，并將形函數(shù)中的,理解為隨意四

4、邊形單元的局部坐標(biāo)。這樣由位移函數(shù)能夠獲得單元各點(diǎn)的位移。在四條邊界上分別有和，故邊界上的位移呈線(xiàn)性變化，位移的連續(xù)性可獲得保證。于是，我們能夠理解為：隨意四邊形單元是從基本的正方形單元變換過(guò)來(lái)的實(shí)際單元。因此又稱(chēng)正方形單元為母體單元，或基本單元。例題：為了加深理解，現(xiàn)考察實(shí)際單元為矩形單元的坐標(biāo)變換，在2.4節(jié)中，我們定義局部坐標(biāo)與整體坐標(biāo)的關(guān)系是：2有限元講義1xx01yy0ab式中(x0,y0)為局部坐標(biāo)原點(diǎn)。由上第一式1x0得：xaxax1xx1xx02ji2ij將其從頭組合：x11x11xj2i2111x111xj111xm111xp4i444比較2.4中的形函數(shù)表達(dá)式,便知:xNi

5、xiNjxjNmxmNpxp自然同理可得:yNiyiNjyjNmymNpyp由此知,矩形單元能夠看作是四結(jié)點(diǎn)四邊形單元的特例，自然，它也是等參元。有限元法概論（第二版）P172中，是這樣解釋等參元的基本觀(guān)點(diǎn)和推導(dǎo)方法的：圖形變換四結(jié)點(diǎn)正方形(母元)圖形變換四結(jié)點(diǎn)四邊形(等參元)(-平面內(nèi))(x,y平面內(nèi))進(jìn)行圖形變換的重點(diǎn)是進(jìn)行圖形結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間的變換：正方形結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)坐標(biāo)變換四邊形結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)(i,i)(x,y)i=i,j,m,pi=i,j,m,p為了實(shí)現(xiàn)上述結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)之間的變換，可利用母元的形函數(shù)，得出(,)和(x,y)之間的坐標(biāo)變換式。圖形變換擁有如下性質(zhì):母元中的坐標(biāo)線(xiàn)對(duì)應(yīng)于等參元的直線(xiàn)；四結(jié)點(diǎn)

6、正方形母元對(duì)應(yīng)于四個(gè)結(jié)點(diǎn)能夠隨意布置的直邊四邊形等參元；變換式(2-6-1)能保證相鄰等參元的邊界位移彼此協(xié)調(diào)。3有限元講義二、幾何矩陣B已知單元的應(yīng)變與結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系是:x00Np00Ni262yNi0dy0Npx形函數(shù)矩陣N只是局部坐標(biāo),的顯函數(shù),為求形函數(shù)對(duì)整體坐標(biāo)x,y的偏導(dǎo)數(shù)，必須用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式:NiNixNiyxyNiNixNiy263xyNiNi或?qū)懗桑篔x263aNiNiyxy式中:Jy263bxx稱(chēng)為雅可比矩陣，而把它的隊(duì)列式稱(chēng)為雅可比隊(duì)列式。把式(2-6-1)代入J得:JNixiNiNiNjNmNpxiyiyixjyjijmpijmpNixiNiNiNjNmNpxm

7、ymyixpypijmpijmp將形函數(shù)Ni141i1ii,j,m,p代入，分別對(duì),求偏導(dǎo)，即可得到四結(jié)點(diǎn)四邊形等參元的雅可比矩陣：J1143A2B65A24B式中常數(shù)記為:AiixiijmpixiijmpBiiyiijmpiyiijmp4有限元講義3ixi4iyiijmpijmp該雅可比矩陣的逆:114B2BJ4JAA31雅可比隊(duì)列式:J1A2A143161B1A2A4142316AB3能夠證明，如果四結(jié)點(diǎn)四邊形的四個(gè)內(nèi)角都小于180的話(huà)，雅可比隊(duì)列式|J|大于零，其逆陣J-1是存在的。換句話(huà)說(shuō)，為了使上述等參元能保持較好的精度，整體坐標(biāo)系下所劃分的隨意四邊形單元必須是凸四邊形，即隨意內(nèi)角都

8、不能大于180。四邊形也不能太歪斜，否則會(huì)影響其精度。利用雅可比的逆矩陣，即可求出整體坐標(biāo)系下形函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：NiNix1JiJ11Ni4iNiyi11i266i(i,j,m,p)求出全部偏導(dǎo)，即代回（2-6-2）右側(cè)，即可獲得幾何矩陣B,B是,的函數(shù),即:Ni0Nj0Np00 xxxxNiNjNpB0yN0y00yyyxNiNiNjNjNpNpyxyxyx將(2-6-6)代入即可獲得B,B是,的函數(shù)。三、單元?jiǎng)偠染仃嚝@得B后,便可由單剛的一般表達(dá)式:TKtBDBdxdy求出四結(jié)點(diǎn)四邊形的單元?jiǎng)偠染仃?。在按上述公式作積分運(yùn)算時(shí),必須把面積元dxdy變換成dd,圖a上的面積元abdc的面積等于矢

9、量ab與矢量ac的矢量積的模，5有限元講義即微元dAabacxy沿軸對(duì)應(yīng)于d的矢量增量是:abdidj沿軸對(duì)應(yīng)于的矢量增量是:acxdiydj式中i,j是坐標(biāo)x,y的單位矢,注意到:iijj0ij1則有:dAxdiydjxdiydjxyyxddijJdd因此剛度矩陣的積分式:11DJtddKBT26711在計(jì)算單元?jiǎng)偠染仃嘖中元素時(shí)，由于被積函數(shù)中出現(xiàn)了雅可比隊(duì)列式，使得它用解析法很難求其積分，故常采用高斯數(shù)值積分法.6有限元講義四、數(shù)值積分bd1一維數(shù)值積分Fa基本思想:結(jié)構(gòu)一個(gè)多項(xiàng)目式，使在i(i=1,2n)上有iFi，bd來(lái)近似原被積函數(shù)Fb然后用近似函數(shù)的積分a的積分Fd。i稱(chēng)為積a分

10、點(diǎn)或取樣點(diǎn)，積分點(diǎn)i的數(shù)值和地點(diǎn)決定了近似F的程度，亦即決定數(shù)值積分的精度。關(guān)于n個(gè)積分點(diǎn),按照積分點(diǎn)地點(diǎn)的不同選擇，平時(shí)采用兩種不同的數(shù)值積分方法，Newton-Cotes積分和高斯積分方案。二者方法基真相同，只是前者的積分點(diǎn)i是等間距散布,今后者不是等間距散布。高斯積分的積分點(diǎn)地點(diǎn)由下述方法確定：定義n次多項(xiàng)式P12n由下列條件確定n個(gè)積分點(diǎn)地點(diǎn)bia由上二式可見(jiàn)，Pd0i0,1n1有以下性質(zhì)：在積分點(diǎn)上Pi0；多項(xiàng)式P與0,1,2,.n1在（a,b）域內(nèi)正交。由此可見(jiàn)n個(gè)積分點(diǎn)的地點(diǎn)0,1,2,.n1正交的n次多項(xiàng)式P組成方程i是在求積域（a,b）內(nèi)與biPd0的解。a于是,被積函數(shù)F可

11、由2n-1次多項(xiàng)式來(lái)近似。nn1lin1FiiPi1i0llii1i2ni是n-1階Lagrange插值函數(shù)1nbb用ad近似aFd,并考慮上面確定n個(gè)積分點(diǎn)地點(diǎn)的約定條件得:7有限元講義bndHiFiRFai1bn1式中HilidaHi稱(chēng)為積分的權(quán)系數(shù)(加權(quán)系數(shù),權(quán))，可見(jiàn)加權(quán)系數(shù)H與被積函數(shù)F無(wú)關(guān)，只與積分i點(diǎn)個(gè)數(shù)和地點(diǎn)相關(guān)。為便于計(jì)算積分點(diǎn)地點(diǎn)i和加權(quán)系數(shù)Hi,常將上式中的積分限規(guī)格化，即令:a1b1由此計(jì)算出的i,Hi對(duì)應(yīng)于原積分域(a,b)的關(guān)系為:ababibaHi222關(guān)于多重積分，按重積分規(guī)則，計(jì)算內(nèi)層時(shí)，保持外層為常數(shù)，逐層計(jì)算即可。相關(guān)數(shù)值積分更詳細(xì)的資料可參閱其教科書(shū)。等

12、參元計(jì)算中數(shù)值積分階次的選擇數(shù)值積分中，怎樣選擇積分階次將直接影響計(jì)算精度、工作量，選擇不當(dāng)則有可能使計(jì)算失敗。選擇積分階次的原則首先是要保證積分的精度能知足所求問(wèn)題的要求。如一維問(wèn)題：設(shè)：插值函數(shù)中的多項(xiàng)式階數(shù)為p，微分算子中導(dǎo)數(shù)的最高階為m，則有限元獲得的近似能量是2(p-m)次多項(xiàng)式。若被積函數(shù)是2(p-m)次多項(xiàng)式，應(yīng)選高斯積分的階次為n=p-m+1。三結(jié)點(diǎn)三角形單元（線(xiàn)性單元）剛度矩陣中被積函數(shù)是常數(shù)，故只要一個(gè)積分點(diǎn)。雙線(xiàn)性單元22p-m+1=1,但插值函數(shù)將包含有二次項(xiàng)（,）中的項(xiàng)，所以要達(dá)到精準(zhǔn)積分應(yīng)采用22階的高斯積分。有的有限元書(shū)中列出了不同插值函數(shù)的高斯積分點(diǎn)數(shù)n及相應(yīng)積

13、分點(diǎn)坐標(biāo)i和權(quán)系數(shù)Hi的值，可供編寫(xiě)有限元程序時(shí)參照。五、四邊形等參元的荷載等效變換四邊形等參元等效結(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算，仍舊利用局部坐標(biāo)體系。1集中力PPx設(shè)在單元上隨意一點(diǎn)C作用有一集中力,根據(jù)荷載等效變換的一般公式，其等Py效結(jié)點(diǎn)荷載計(jì)算公式是：RNCTP式中，NTC是形函數(shù)N在集中力作用點(diǎn)C上的值。2體積力Wx設(shè)在單元上作用有單位體積力WWy，其等效結(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算公式是：8有限元講義11RNTWtJdd113散布力qx設(shè)單元的某一邊界上承受的散布表面力是qqy，其等效結(jié)點(diǎn)荷載的計(jì)算公式是，當(dāng)散布力作用在單元ij,mp邊界上時(shí)：RNTqt(x)2(y)2d11當(dāng)散布力作用在單元ij,mp邊界上

14、時(shí)：RNTqt(x)2(y)2d119有限元講義2.7八結(jié)點(diǎn)曲線(xiàn)四邊形等參元在常例有限元程序的單元庫(kù)內(nèi)，當(dāng)前工程上對(duì)平面問(wèn)題最合用的是八結(jié)點(diǎn)等參元。下面作一簡(jiǎn)要介紹。單元及結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖a所示，位移和力列向量仍采用與前面近似的排列方式。為了結(jié)構(gòu)其位移函數(shù)，按照前面等參元的觀(guān)點(diǎn)，可先結(jié)構(gòu)八結(jié)點(diǎn)正方形母體單元的位移函數(shù)（圖b），并取為雙二次插值位移函數(shù)：U222212345678V2222910111213141516代入邊界條件，獲得用結(jié)點(diǎn)位移d表示的位移場(chǎng):8Ui1NiUi2718NiVi1式中的形函數(shù):Ni11i1iii1i1,2,3,4427212222Nj11ij5,6,7,82jji按照

15、等參元的定義，實(shí)際單元映射成正方的母體單元的坐標(biāo)變換式與式2-7-2等同,得:8xNixii12738yNiyii110有限元講義前面我們?cè)谕茖?dǎo)單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)，都是假設(shè)單元結(jié)點(diǎn)編號(hào)從左下角開(kāi)始，逆時(shí)針編號(hào)。從有限元理論上說(shuō)，其編號(hào)應(yīng)當(dāng)是能夠隨意的。下面給出一種不同結(jié)點(diǎn)編號(hào)的例子。實(shí)際單元基本單元11有限元講義12有限元講義13有限元講義14有限元講義15有限元講義16有限元講義17有限元講義18有限元講義19有限元講義20有限元講義2.8幾個(gè)問(wèn)題的補(bǔ)充一、變厚問(wèn)題各單元取不同t。二、不同材料問(wèn)題各單元取不同E,三、平面應(yīng)力與平面應(yīng)變問(wèn)題在前面三角形單元的推導(dǎo)中，我們假設(shè)其為平面應(yīng)力問(wèn)題。工程中

16、，還有另一類(lèi)情形平面應(yīng)變狀態(tài)。比方，在對(duì)壩體或遂洞等長(zhǎng)柱體進(jìn)行解析時(shí)，如果取xoy坐標(biāo)平面與其橫截平面行,而Z軸與其長(zhǎng)度方向一致（如圖）那么，由于所考察物體在Z方向的尺寸很大，且又受到平行于xoy平面，且不沿長(zhǎng)度方向變化的荷載作用，便可認(rèn)為各個(gè)橫截面應(yīng)處于同樣的狀況，即近似認(rèn)為Z方向的位移分量W=0,(位移與Z無(wú)關(guān))于是，由彈性力學(xué)知，在六個(gè)應(yīng)力分量中也僅有三個(gè)獨(dú)立分量x,y和xy,而zxy不獨(dú)立。并可獲得平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程。1221xxy，yyxE1E1xy2xy1E112比較平面應(yīng)力問(wèn)題：11xy2xy(1)y，yyx，ExExEE得悉只要把應(yīng)力問(wèn)題中的E換成1，換成1即得應(yīng)變問(wèn)題。所

17、以在這類(lèi)問(wèn)題的程序設(shè)計(jì)中，平時(shí)能夠同時(shí)求解應(yīng)力和應(yīng)變問(wèn)題，只要設(shè)置一開(kāi)關(guān)變量便能夠?qū)崿F(xiàn)。四、各向異性材料在彈性矩陣D中反響。如正交各向異性時(shí)的彈性矩陣D為：21ExxEy有限元講義01xy1xyDxEyEy01xy01xyGxy（見(jiàn)凱維奇有限元法，中P102104，英P98109）五、設(shè)置不同種類(lèi)的單元在工程中，同一構(gòu)件經(jīng)常要用到一種以上材料。如利用角、槽鋼等在開(kāi)洞板內(nèi)作加強(qiáng)筋用。另一種情況是鋼筋混凝土構(gòu)件的全過(guò)程解析中，縱向受拉筋的單元區(qū)分，如圖。混凝土被劃成若干平面三角形單元，而將縱向受力鋼筋（或箍筋）看作線(xiàn)單元（圖中紅線(xiàn)所示），也可把鋼筋等效成與混凝土疊合的三角形單元，但此時(shí)均為兩種不同材料。有限元解析時(shí)，可認(rèn)為結(jié)構(gòu)是由若干（面）單元（三角形或矩形）和線(xiàn)（桿）單元（二力桿）共同組成，區(qū)分網(wǎng)格時(shí)，若遇到線(xiàn)單元，便將結(jié)點(diǎn)取在