圓的有關概念及圓的確定-知識講解

1、圓的有關概念及圓的確定一知識講解【學習目標】知識目標：理解圓的描述概念和圓的集合概念；理解半徑、直徑、弧、弦、弦心距、圓心角、同心圓、等圓、等弧的概念；經歷探索點與圓的位置關系的過程，會運用點到圓心的距離與圓的半徑之間的數(shù)量關系判斷點與圓的位置關系；了解不在同一直線上的三點確定一個圓，了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的外接三角形的概念能力目標：能應用圓半徑、直徑、弧、弦、弦心距的關系，進行計算或證明；會過不在同一直線上的三點作圓情感目標：在確定點和圓的三種位置關系的過程中體會用數(shù)量關系來確定位置關系的方法，逐步學會用變化的觀點及思想去解決問題，養(yǎng)成學生之間發(fā)現(xiàn)問題、探討問題、解決問題的習慣

2、【要點梳理】要點一、圓的定義圓的描述概念如圖，在一個平面內，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑.以點0為圓心的圓，記作“O0”讀作“圓0.要點詮釋：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可;圓是一條封閉曲線.圓的集合概念圓心為0,半徑為r的圓是平面內到定點0的距離等于定長r的點的集合.平面上的一個圓，把平面上的點分成三類：圓上的點，圓內的點和圓外的點圓的內部可以看作是到圓心的距離小于半徑的的點的集合；圓的外部可以看成是到圓心的距離大于半徑的點的集合.要點詮釋：定點為圓心

3、，定長為半徑；圓指的是圓周，而不是圓面；強調“在一個平面內”是非常必要的，事實上，在空間中，至U定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.要點二、點與圓的位置關系點和圓的位置關系有三種：點在圓內，點在圓上，點在圓外若O0的半徑為r，點P到圓心0的距離為d，那么：點P在圓內二dvr；點P在圓上：二d=r；點P在圓外二dr.二”讀作等價于”，它表示從左端可以推出右端，從右端也可以推出左端要點詮釋：點在圓上是指點在圓周上，而不是點在圓面上;要點三、與圓有關的概念弦弦：連結圓上任意兩點的線段叫做弦直徑：經過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.要點詮釋：直徑是圓中通過圓心的特殊

4、弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑為什么直徑是圓中最長的弦？如圖，AB是O0的直徑，CD是OO中任意一條弦，求證：ABCD.證明：連結OG0D/AB=A0+0B=C0+30GD（當且僅當CD過圓心0時，取“=”號）二直徑AB是O0中最長的弦.一二，讀作“圓弧AB或“弧AB.弧半圓優(yōu)弧劣弧要點詮釋:圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓;大于半圓的弧叫做優(yōu)??；小于半圓的弧叫做劣弧.弧:圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.以A、B為端點的弧記作半圓是弧，而弧不一定是半圓；無特殊說明時，弧指的是劣弧.等弧在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.要點詮釋：等弧

5、成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視;圓中兩平行弦所夾的弧相等.同心圓與等圓圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓TOC o 1-5 h z圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓要點詮釋：同圓或等圓的半徑相等圓心角頂點在圓心的角叫做圓心角要點詮釋：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，反之也成立要點四、確定圓的條件經過一個已知點能作無數(shù)個圓；經過兩個已知點AB能作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在線段AB的垂直平分線上；(3)不在同一直線上的三個點確定一個圓(4)經過三角形各個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做圓的內接三角形如圖：OO是厶ABC的外接

6、圓，ABC是OO的內接三角形，點0是厶ABC的外心外心的性質：外心是ABC三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形的三個頂點的距離相等要點詮釋：(1)不在同一直線上的三個點確定一個圓“確定”的含義是“存在性和唯一性”(2)只有確定了圓心和圓的半徑，這個圓的位置和大小才唯一確定【典型例題】類型一、圓的定義(2014秋？邳州市校級月考)如圖所示，BD,CE是厶ABC的高，求證：E,B,C,D四點在同一個圓上.B【思路點撥】要證幾個點在同一個圓上，就是證明這幾個點到同一點的距離都相等即可【答案與解析】證明：如圖所示，取BC的中點F,連接DF,EF./BD,CE是厶ABC的高，BCD和厶BCE都是直角三角

7、形.DF,EF分別為RtBCD和RtBCE斜邊上的中線,DF=EF=BF=CF.E,B,C,D四點在以F點為圓心，BC為半徑的圓上.2【總結升華】要證幾個點在同一個圓上，只能依據(jù)圓的定義，去說明這些點到平面內某一點的距離相等舉一反三：【變式】平行四邊形的四個頂點在同一圓上，則該平行四邊形一定是()A.正方形B.菱形C.矩形D.等腰梯形【答案】C.爆破時，導火索燃燒的速度是每秒0.9cm，點導火索的人需要跑到離爆破點120m以外的安全區(qū)域.這個導火索的長度為18cm,那么點導火索的人每秒鐘跑6.5m是否安全？【思路點撥】計算在導火索燃燒完的時間內人跑的距離與120m比較.【答案與解析】18導火索

8、燃燒的時間為=20(s)0.9相同時間內，人跑的路程為20X6.5=130(nr)人跑的路程為130m120m,點導火索的人安全.【總結升華】爆破時的安全區(qū)域是以爆破點為圓心，以120m為半徑的圓的外部，如圖所示.安全區(qū)域類型二、圓的有關計算V3.已知，點P是半徑為5的OO內一點，且OP=3在過點P的所有的OO的弦中，弦長為整數(shù)的弦的條數(shù)為()A.2B.3C.4D.5【思路點撥】在一個圓中，過一點的最長弦是經過這一點的直徑，最短的弦是經過這一點與直徑垂直的弦.【答案】C.【解析】作圖，過點P作直徑AB,過點P作弦&，連接OC則0C=5CD=2PC由勾股定理，得一-CD=2PC=8又TAB=10

9、,過點P的弦長.的取值范圍是丄山，C弦長.的整數(shù)解為8,9,10,根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，所以弦長為整數(shù)的弦共4條.故選C.【總結升華】利用垂徑定理來確定過點P的弦長的取值范圍根據(jù)圓的對稱性，弦長為9的弦有兩條，容易漏解舉一反三:【變式】平面上的一個點到圓的最小距離是4cm,最大距離是9cm則圓的半徑是(A.2.5cmB.6.5cmC.2.5cm或6.5cmD.5cm或13cm【答案】C.類型三、確定圓的條件的有關作圖與計算C已知：不在同一直線上的三點A、BC,求作:O0使它經過點A、BC.【思路點撥】作圓的關鍵是找圓心得位置及半徑的大小，經過兩點的圓的圓心一定在連接這兩點的線段的

10、垂直平分線上，進而可以作出經過不在同一直線上的三點的圓【解析】作法：1、連結AB,作線段AB的垂直平分線MN2、連接AC,作線段AC的垂直平分線EF,交MN于點03、以0為圓心，0B為半徑作圓.所以OO就是所求作的圓.N【總結升華】通過這個例題的作圖可以作出銳角三角形的外心（圖一）角三角形的外心（圖三）.探究各自外心的位置.（圖一）（圖二），鈍【變式】（2015?江干區(qū)二模）給定下列圖形可以確定一個圓的是（）A.已知圓心B.已知半徑C.已知直徑D.不在同一直線上的三個點【答案】D.提示：A、已知圓心只能確定圓的位置不能確定圓的大小，故錯誤;（圖三）BC、已知圓的半徑和直徑只能確定圓的大小并不能確定圓的位置，故錯誤;D不在同一直線上的三點確定一個圓，故正確，故選D.【思路點撥】求出符合條件的OP的最大值與最小值那么OP的長的取值范圍是【答案】3WOPC5.【解析】OP最長邊應是半徑長，為5;根據(jù)垂線段最短，可得到當OPLAB時，OP最短.直徑為10,弦AB=8/OP