2011年廣義相對論第一章

1、1第一章 仿射空間中的張量分析相對論研究對象：時空問：什么是時間？什么是空間？時空能看得見、摸得著嗎？物理語言：能測量嗎？狹義相對論定義的時空：(基于麥氏方程)洛倫茲變換兩個觀測者感知的時間不同、空間不同觀測者A的時空:觀測者B的時空:2基本數(shù)學概念: 一個坐標系對應了一個仿射空間(Affine Space) 絕對的“時空”相對的等價描述數(shù)學：集合仿射空間最簡單的物理現(xiàn)象 粒子在時空中的“運動軌跡”： 3物理量：四維速度（矢量）標量矢量張量(矢量的推廣)物理量都一般與坐標選擇有關。張量：研究物理量（數(shù)組）在坐標變換之間的關系.41.1 n維仿射空間中的張量仿射空間 affine space這里

2、僅理解為時空 維空間中的點用 個數(shù)組來描述，這組數(shù)叫點的坐標空間集合同一空間中坐標的選取方式是多樣的同一時空點5向量空間vector space線性空間在時空的每一點都可定義一線性空間例如：電場矢量時空點坐標微分也可看作矢量（具有方向性）張量的定義就是矢量同一矢量在不同坐標系下的表示?Vector: a directedline segment6兩組坐標 與 ( 取1至n) 的聯(lián)系叫坐標變換.（代表數(shù)組 ）坐標微分的變換公式：坐標微分的變換實際上反映該點鄰近點的坐標變換變換是線性的，但變換矩陣隨不同點而不同逆變換:條件:不同矢量的關系7方向矢量可看作基矢對四維時空中的一點定義四個基矢矢量空間任

3、意一個四維矢量均可展開為矢量的分量對比三維歐氏空間直角坐標系球坐標系物理量或矢量的表示8方向矢量可看作協(xié)變基矢方向矢量可看作逆變基矢協(xié)變矢量的分量逆變矢量的分量不同坐標系下基矢的變換規(guī)律二維歐氏空間9張量的定義:張量定義在線性空間，只需定義基矢一階逆變張量基矢一階協(xié)變張量基矢在集合（空間）中的每一點定義一線性空間（約定逆變張量有物理測量意義，為通常意義下矢量的推廣：如10零階張量（標量）（a）有 個分量在坐標 下它的值記為（b）當坐標從 變?yōu)?, 相應地變?yōu)?且其中 和 是同一點的兩組不同的坐標標量的值在坐標變換下保持不變一階逆變張量逆變矢量（a）有個分量在坐標下它的值記為（b）當坐標從變?yōu)椋?/p>

4、相應的變?yōu)?且11二階逆變張量(a）有 個分量在坐標下它的值記為（b）當坐標從 變?yōu)?, 相應的變?yōu)橐浑A協(xié)變張量：二階協(xié)變張量：符號上的區(qū)分：上標為逆變張量的指標下標為協(xié)變張量的指標.如12混合張量：二階混合張量變換規(guī)則為(p,q)階張量：一個張量有p個逆變指標，q個協(xié)變指標,逆變張量 ,協(xié)變張量張量定義的要點:一個數(shù)組是否構(gòu)成張量在于它們在坐標變換下的行為13Kroneker符號：證明該符號是一個(1,1)混合張量?由混合張量的變換式定義變換后的張量的運算: 由于決定張量變換行為的矩陣是隨不同點而不同的，所以必須在同一點上的兩個張量間進行運算，才能使運算后的量保持張量的性質(zhì)14張量的加減法定

5、義 （同階張量）張量的乘法叫外乘作業(yè)：直接驗證 是(2,1)階張量.解：由定義混合張量的縮并運算：標量15張量運算的商定理：如果且已知及 均 為張量，則 也是張量證明：由定義知是張量是張量即 也是張量. 證畢. 作業(yè)：161.2 張量的對稱性二階逆變張量 可以用矩陣表示對稱張量反稱張量張量的對稱性與坐標無關，因為圓括號表示對稱組合，方括號表示反對稱組合（混合張量不適用）17高階反稱張量：對任一對上標(或下標)都是反稱的（a）當任意兩個指標取相同值時，張量的該分量為零.（b）n維空間中最高階的反稱張量是n階的，這張量只 有一個獨立分量如：3維空間中的三階反稱張量 ,常記為偶排列奇排列其它n維空間

6、的體積元3維空間18度規(guī)張量 黎曼空間：空間任意兩相鄰點定義了距離。 距離ds與坐標系選取無關 度規(guī)張量： （對稱張量） 例：三維歐氏空間（黎曼空間的特例） 選笛卡爾坐標 選球坐標 19閔氏空間（黎曼空間特例，狹義相對論時空背景） 選笛卡爾坐標 定義逆變度規(guī)張量 閔氏空間存在坐標系使 張量指標的升降：建立協(xié)變與逆變張量的一一對應關系 定義矢量的長度 （內(nèi)積） 滿足201.3 矢量的平移和仿射聯(lián)絡提出問題：如何比較空間不同點的張量？空間不同點上的張量不能相減（基矢不同，只有給定基底，分量才有意義） 張量的平移：它能把 P點（坐標為 ）的張量平移至鄰近點Q（坐標為 ) 而變成Q點的張量不同點的標量

7、不同點的張量PQ21設P點協(xié)變矢量，平移至Q點后記為PQ約定的比例系數(shù) 就叫做P點的仿射聯(lián)絡聯(lián)絡：時空的一種結(jié)構(gòu)線性近似下，定義：平直空間，笛卡爾系，聯(lián)絡為零22在Q點的協(xié)變矢量：利用變換矩陣的微分關系泰勒展開后取線性近似在坐標系下，定義了則可求出下的時空結(jié)構(gòu)PQ23這里一切量的自變量都是P點的坐標，所以全部省略了將它們代回上式，略去坐標微分的二階小量利用變換矩陣的性質(zhì)24仿射聯(lián)絡的變換公式（不是張量）逆變矢量的平移操作標量的平移：自然的約定作業(yè)：約定2維歐氏空間笛卡爾坐標系下聯(lián)絡為零，求極坐標系下的聯(lián)絡笛卡爾坐標極坐標答案25仿射聯(lián)絡有以下幾點有用的性質(zhì)，它們都是直接由聯(lián)絡的變換公式得出的（

8、a）在同一仿射空間中引入兩種聯(lián)絡 , ,則它 們的差是（1,2)階張量 .（b）若聯(lián)絡 對 和 并不對稱，那么 也是一種聯(lián)絡.（c）聯(lián)絡 的對稱組合 也是一種聯(lián) 絡。它叫對稱聯(lián)絡，即對其下標是對稱的。(d）反稱聯(lián)絡: 它是一個對下標反稱的張量它叫仿射空間的撓率張量。 若撓率張量為零，則聯(lián)絡是對稱的（e）一個非對稱的聯(lián)絡總可以表為對稱聯(lián)絡和撓率張量 之和261.4 張量的協(xié)變微商對張量場求協(xié)變微商后得到的量將仍具有張量的性質(zhì).標量場的微商: 對 的普通微商用 表示.坐標變換后, 變?yōu)闃肆繄龅钠胀ㄎ⑸套詣泳哂袕埩康男再|(zhì)，所以將它定義為標量場的協(xié)變微商.協(xié)變微商:27協(xié)變矢量場 的微商.對 的普通微

9、商:不同地點的張量求和(差)之后,不再是張量.右邊兩項都不是張量,它們之差才是張量.對 的協(xié)變微商:28為了唯一地確定其它階張量的協(xié)變微商,要求協(xié)變微商滿足與普通微商一樣的乘法規(guī)則。即例如：求逆變矢量場 的協(xié)變微商代入( 由 是任意矢量)29規(guī)律：對每一個上標按逆變矢量的協(xié)變微商操作一 次， 對每一個下標按協(xié)變矢量的協(xié)變微商操作一 次。Kroneker 張量的協(xié)變微商后兩項對消零作業(yè)：證明的反稱組合為張量301.5 測地線方程直線定義線上任意兩點的切矢量都相互平行的曲線n維空間的曲線由n個參量式描述，是標量性的參量切矢量定義:是逆變矢量若曲線上任意兩相鄰點 和 的一切矢量滿足:則這曲線叫測地線

10、這里對比例因子按 作了展開，保留一級小量測地線的定義：31利用逆變矢量的平移公式:由切矢量的微分公式，又有略去 的高階量測地線的微分方程或簡稱測地線方程仿射參量形式參量變換32當采用仿射參量時,有f()=0 (從測地線方程簡化前后對比可知).此時的測地線條件:仿射參量并不唯一，仿射參量的變換只能是線性變換.Light travels along “straight” lines in a curved “space-time”測地線：“直線”仿射參量的兩點性質(zhì):33Black HolesMake the gravity stronger by cramming the mass into a smaller & smaller volume: eventually even light cannot escape!34 1.6 曲率張量聯(lián)絡不是張量撓率張量由聯(lián)絡可構(gòu)造出曲率張量取和的反稱組合,曲率張量35太陽系十大最寒冷地方