東華理工大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計練習(xí)冊答案-

1、- - 第一章 概率論的基本概念一、選擇題1答案：（B）2. 答案：（B）3答案：（C）4. 答案：（C） 注:C成立的條件:A與B互不相容.5. 答案：（C） 注:C成立的條件:A與B互不相容,即.6. 答案：（D） 注:由C得出A+B=.7. 答案：（C）8. 答案：（D） 注：選項B由于9.答案：（C） 注：古典概型中事件A發(fā)生的概率為.10.答案：（A）解：用A來表示事件“此個人中至少有某兩個人生日相同”，考慮A的對立事件“此個人的生日各不相同”利用上一題的結(jié)論可知，故.11.答案：（C）12.答案：（B）解：“事件A與B同時發(fā)生時,事件C也隨之發(fā)生”，說明，故；而故.13.答案：（D

2、）解：由可知故A與B獨立.14.答案：（A）解：由于事件A,B是互不相容的，故，因此P(A|B)=.15.答案：（D）解：用A表示事件“密碼最終能被譯出”，由于只要至少有一人能譯出密碼，則密碼最終能被譯出，因此事件A包含的情況有“恰有一人譯出密碼”，“恰有兩人譯出密碼”，“恰有三人譯出密碼”，“四人都譯出密碼”，情況比較復(fù)雜，所以我們可以考慮A的對立事件“密碼最終沒能被譯出”，事件只包含一種情況，即“四人都沒有譯出密碼”，故.16.答案：（B）解：所求的概率為注：.17.答案：（A）解：用A表示事件“取到白球”，用表示事件“取到第i箱”，則由全概率公式知.18.答案：（C）解：用A表示事件“取

3、到白球”，用表示事件“取到第i類箱子”，則由全概率公式知.19.答案：（C）解：即求條件概率.由Bayes公式知.二、填空題1.（正，正，正），（正，正，反），（正，反，反），（反，反，反），（反，正，正），（反，反，正），（反，正，反），（正，反，正）2.或30.3，0.5解：若A與B互斥，則P（A+B）=P（A）+P（B），于是P（B）=P（A+B）-P（A）=0.7-0.4=0.3；若A與B獨立，則P（AB）=P（A）P（B），于是由P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=P（A）+P（B）-P（A）P（B），得.4.0.7解：由題設(shè)P（AB）=P（A）P（B|A）=0.4，于是P

4、（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.5+0.6-0.4=0.7.5.0.3解：因為P（AUB）=P（A）+P（B）-P（AB），又，所以.6.0.6解：由題設(shè)P（A）=0.7，P（）=0.3，利用公式知=0.7-0.3=0.4，故.7.7/12解：因為P（AB）=0，所以P（ABC）=0，于是.8.1/4解：因為由題設(shè)，因此有，解得P（A）=3/4或P（A）=1/4，又題設(shè)P（A）1/2,故P（A）=1/4.9.1/6解：本題屬抽簽情況，每次抽到次品的概率相等，均為1/6，另外，用全概率公式也可求解.10.解：這是一個古典概型問題，將七個字母任一種可能排列作為基本事件，則全部事件數(shù)

5、為7！，而有利的基本事件數(shù)為，故所求的概率為.11.3/7解：設(shè)事件A=抽取的產(chǎn)品為工廠A生產(chǎn)的，B=抽取的產(chǎn)品為工廠B生產(chǎn)的，C=抽取的是次品，則P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（C|A）=0.01，P（C|B）=0.02，故有貝葉斯公式知.12.6/11解：設(shè)A=甲射擊，B=乙射擊，C=目標(biāo)被擊中，則P（A）=P（B）=1/2，P（C|A）=0.6，P（C|B）=0.5，故.四、 。解：由由乘法公式，得由加法公式，得第二章 隨機(jī)變量及其分布一、選擇題1.答案：（B）注：對于連續(xù)型隨機(jī)變量X來說，它取任一指定實數(shù)值a的概率均為0，但事件X=a未必是不可能事件.2.答案：（B）解：由于X

6、服從參數(shù)為的泊松分布，故.又故，因此.3.答案：（D）解：由于X服從上的均勻分布,故隨機(jī)變量X的概率密度為.因此，若點，則.，.4 答案：（C）解：由于故由于而，故只有當(dāng)時，才有；正態(tài)分布中的參數(shù)只要求，對沒有要求.5.答案：（A）解：由于，故，而，故；由于，故.6.答案：（B）解：這里，處處可導(dǎo)且恒有，其反函數(shù)為，直接套用教材64頁的公式（5.2），得出Y的密度函數(shù)為.7.答案：（D）注：此題考查連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的性質(zhì).見教材51頁.8.答案：（C）解：因為，所以，.9.答案：（B）解：由于，所以的概率密度函數(shù)為偶函數(shù)，其函數(shù)圖形關(guān)于y軸對稱，因此隨機(jī)變量落在x軸兩側(cè)關(guān)于原點對稱

7、的區(qū)間內(nèi)的概率是相等的，從而馬上可以得出.我們可以畫出函數(shù)的圖形，借助圖形來選出答案B.也可以直接推導(dǎo)如下：，令，則有10.答案：（A）解：.11.答案：（B）解：.12.答案：（D）解：對任意的；選項C描述的是服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量的“無記憶性”；對于指數(shù)分布而言，要求參數(shù).13.答案：（A）解：選項A改為，才是正確的；.14.答案：（B）解：由于隨機(jī)變量X服從(1,6)上的均勻分布,所以X的概率密度函數(shù)為.而方程有實根，當(dāng)且僅當(dāng)，因此方程有實根的概率為.二、填空題1.2.解：由規(guī)范性知.3.解：由規(guī)范性知.4.解：因為，所以只有在F（X）的不連續(xù)點（x=-1,1,2）上PX=x不為0,且P

8、（X=-1）=F（-1）-F（-1-0）=a，PX=1=F（1）-F（1-0）=2/3-2a，PX=2=F（2）-F（2-0）=2a+b-2/3,由規(guī)范性知1=a+2/3-2a+2a+b-2/3得a+b=1,又1/2=PX=2=2a+b-2/3，故a=1/6，b=5/6.5.解：由于，所以X的概率密度為，故.6.；7.解：.8.解:由.90解：故.第三章 多維隨機(jī)變量及其分布一、選擇題1.答案：（A）解：要使是某個隨機(jī)變量的分布函數(shù),該函數(shù)必須滿足分布函數(shù)的性質(zhì)，在這里利用這一性質(zhì)可以得到，只有選型A滿足條件.2.答案：（A）解：由可知，故又由聯(lián)合分布律與邊緣分布律之間的關(guān)系可知：故.3.答案

9、：（D）解：聯(lián)合分布可以唯一確定邊緣分布，但邊緣分布不能唯一確定聯(lián)合分布，但如果已知隨機(jī)變量X與Y是相互獨立的，則由X與Y的邊緣分布可以唯一確定X與Y的聯(lián)合分布.4.答案：（A）解：由問題的實際意義可知，隨機(jī)事件與相互獨立，故；，而事件又可以分解為15個兩兩不相容的事件之和，即故.5.答案：（B）解：當(dāng)時，且X和Y相互獨立的充要條件是；單由關(guān)于S和關(guān)于T的邊緣分布，一般來說是不能確定隨機(jī)變量S和T的聯(lián)合分布的.6.答案：（C）解：（方法1）首先證明一個結(jié)論，若，則.證明過程如下（這里采用分布函數(shù)法來求的概率密度函數(shù)，也可以直接套用教材64頁的定理結(jié)論（5.2）式）：由于故這表明也服從正態(tài)分布，

10、且.所以這里.再利用結(jié)論：若與相互獨立，且，則.便可得出；;.（方法2）我們還可以證明：有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，且若，則故；;.7.答案：（A）解：由于，所以，故，而，所以.8.答案：（D）解：由聯(lián)合概率密度函數(shù)的規(guī)范性知.9.答案：（A）解：.10.答案：（）解：由聯(lián)合概率密度函數(shù)的規(guī)范性知12.答案：（C）解：用D表示以(0,0),(0,2),(2,1)為頂點所形成的三角形區(qū)域，用G表示矩形域，則所求的概率為.13.答案：（B）解：利用結(jié)論：有限個相互獨立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，且若，則因此；.令，由教材64頁定理結(jié)論中的（5.2）式可知，

11、Z的概率密度函數(shù)為，故.二、填空題1.F（b,c）-F(a,c);F(a,b);F(+,a)-F(+,0);F(+,b)-F(a,b).2.3.解：，故.4.05.解：P（X=Y）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（X+Y=0）= P（X=-1, Y=1）+ P（X=1, Y=-1）= P（X=-1）（Y=1）+ P（X=1）P（Y=-1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2;P（XY=1）=P（X=-1, Y=-1）+ P（X=1, Y=

12、1）= P（X=-1）P（Y=-1）+ P（X=1）P（Y=1）=(1/2)(1/2)+ (1/2)(1/2)=1/2.三、設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）概率密度為（1）確定常數(shù)k。（2）求P X1, Y3（3）求P (X1.5（4）求P (X+Y4分析：利用P (X, Y)G=再化為累次積分，其中解：（1），（2）（3）（4）四、設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為（1）試確定常數(shù)c。（2）求邊緣概率密度。解: l= 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、選擇題1答案：（D）解：由于，所以，故. 2.答案：（D）解： 3.答案：（D）解：，故；，故；，故；，但不能說明X與Y獨立. 4.答案：（C）解：由于X,

13、Y獨立，所以2X與3Y也獨立，故. 5.答案：（C）解：當(dāng)X,Y獨立時，；而當(dāng)X,Y獨立時，故；. 6.答案：（C）解：，當(dāng)X,Y獨立時，可以得到而，即X,Y不相關(guān)，但不能得出X,Y獨立；，故；，故. 7.答案：（D）解：，即X,Y不相關(guān). 8.答案：（A）解：，即X,Y不相關(guān). 9.答案：（C）解：成立的前提條件是X,Y相互獨立；當(dāng)X,Y相互獨立時，有，即成立的充分條件是X,Y相互獨立；而即X,Y不相關(guān)，所以成立的充要條件是X,Y不相關(guān)；. 10.答案：（D）解：由；.11.答案：（B）解：由；是一個確定的常數(shù)，所以.12.答案：（D）解：13.答案：（B）解：，故.14.答案：（C）解：.

14、15.答案：（B）解：由于當(dāng)時，故這里.16.答案：（A）解：由于，所以，又因為，所以，而與的獨立性未知，所以的值無法計算，故的值未知.17.答案：（C）解：由于(X,Y)服從區(qū)域上的均勻分布，所以(X,Y)的概率密度為，則.18.答案：（D）解：令，則有，但不一定有.19.答案：（A）解：由題意知，故Y服從參數(shù)為3和1/4的二項分布，即，因此.20.答案：（D）解：，只有當(dāng)X與Y獨立時，才有.二、填空題1.解：由題設(shè)=，故.2.解：假設(shè)P（X=-1）=a，P（X=0）=b，P（X=1）=c,則a+b+c=1,-a+0+c=,a+c=,故a=0.4,b=0.1,c=0.5,即的概率分布是P（X

15、=-1）=0.4，P（X=0）=0.1，P（X=1）=0.5.3. ,;,0, 1.4.解：由題設(shè)，故的概率密度函數(shù)為.5.解：由題設(shè).6.解：=0+1/6+1/3+1/4+1=7/4；=0+1/6+4/6+9/12+16/4=67/12；=-=67/12-49/16=121/48；=-2+E（1）=-7/2+1=-5/2.7.解：.8.解：由于X服從n=10，p=0.4的二項分布，根據(jù)二項分布的性質(zhì)，EX=np=4，DX=np（1-p）=2.4，故E（）= DX+（EX）=18.4.三、設(shè)隨機(jī)變量X的分布為X202Pk0.40.30.3求 E (X)，E (3X2+5)解：E (X)= (2

16、)0.4+00.3+20.3=0.2E (X2)= (2)20.4+020.3+220.3=2.8E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4四、設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為求（1）Y=2X（2）Y=e2x的數(shù)學(xué)期望。解：（1） （2） 五、設(shè)隨機(jī)變量X1，X2的概率密度分別為求（1）E (X1+X2)，E (2X13)；（2）又設(shè)X1，X2相互獨立，求E (X1X2)解：（1） = （2） = （3）六、設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布為：XY1011001驗證：X和Y不相關(guān)，但X和Y不是相互獨立的。證：P X=1 Y=1=P X=1= P Y=1= P X=1 Y=1

17、P X=1 P Y=1 X，Y不是獨立的又E (X )=1+0+1=0 E (Y )=1+0+1=0 COV(X, Y )=EXE (X )YE (Y )= E (XY )EXEY = (1)(1) +(1)1+1(1)+11=0 X，Y是不相關(guān)的七、設(shè)隨機(jī)變量（X1，X2）具有概率密度。，0 x2,0y2求E (X1)，E (X2)，COV（X1，X2），解： D (X1+X2)= D (X1)+ D (X2)+2COV(X1, X2) =第五章 大數(shù)定理及中心極限定理一、選擇題1.（A）2.（C）3.（C）解:設(shè)X:炮彈命中的數(shù)量，則，由中心極限定理，因此4.（C）注：不意味服從正態(tài)分布，

18、不要只看符號形式5.（B） 解:因為服從參數(shù)為2的指數(shù)分布,故有令,由獨立同分布的中心極限定理有二、填空題1. ，2.0三、據(jù)以往經(jīng)驗?zāi)撤N電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布，現(xiàn)在隨機(jī)的抽取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨立的，求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率。解：設(shè)第i只壽命為Xi，（1i16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,16).依本章定理1知 從而四、某種電子器件的壽命（小時）具有數(shù)學(xué)期望（未知），方差2=400 為了估計，隨機(jī)地取幾只這種器件，在時刻t=0投入測試（設(shè)測試是相互獨立的）直到失敗，測得其壽命X1，Xn，以作為的估計，為使

19、問n至少為多少？解：由中心極限定理知，當(dāng)n很大時 = 所以查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知即n至少取1537。第六章 樣本及抽樣分布一、選擇題1. ( C )2.（C） 注：統(tǒng)計量是指不含有任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)3.（D）注：當(dāng)總體服從正態(tài)分布時D才成立，當(dāng)然在大樣本下，由中心極限定理有近似服從4.（B）5.（D）對于答案D,由于，且相互獨立，根據(jù)分布的定義有6(C) 注： 才是正確的.7.(D)8.(C) 注：，才是正確的9.(B) 根據(jù)得到10.(A) 解：， 由分布的定義有二、填空題1與總體同分布，且相互獨立的一組隨機(jī)變量2.代表性和獨立性3.，4.，5. 0.16.7.8.三、在總體N（52，6.

20、32）中隨機(jī)抽一容量為36的樣本，求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。解：四、設(shè)X1，X2，Xn是來自泊松分布 ( )的一個樣本，S2分別為樣本均值和樣本方差，求E (), D (), E (S 2 ).解：由X ( )知E (X )= ，E ()=E (X )= , D ()=第七章 參數(shù)估計一、選擇題1.答案： D.解因為，所以2.答案： D. 解 因為，所以，.3. 答案 A . 解似然函數(shù)，由，得.4. 答案 C. 解在上面第5題中用取代即可.5. 答案 A. 解求解同填空第7題.6. 答案 B. 解求解同填空第9題.7. 答案 C. 解因為，且，.8.答案 B. 解求解同上面

21、第9，10題.9答案 D. 解求解同第12題.10.答案 B. 解 的最大似然估計量是.11.答案 A. 解提示：根據(jù)置信區(qū)間的定義直接推出.12.答案 D. 解同填空題25題.13.答案 B. 解同填空題第28題.14. 答案 A.解因為，所以選A.二、填空題1. 矩估計和最大似然估計；2.，；3. ，；解 （1）矩估計因為=，所以，即的矩估計量.（2）最大似然估計因為，對其求導(dǎo)：.4. , ；解 （1）的矩估計為：樣本的一階原點矩為：所以有：（2）的最大似然估計為：得：.5. ； 解 因為所以極大似然函數(shù)，.6. ，； 解 （1） 矩估計：，樣本的一階原點矩為：所以有：.（2）極大似然估計

22、：似然函數(shù)，則 .7. ，；解因為，所以令則，.8. ，；9. 數(shù)學(xué)期望E(X)； 解 10. ； 解.11. ； 解 ，所以；12. 14.754，15.146；解 這是方差已知，均值的區(qū)間估計，所以有：置信區(qū)間為： 由題得： 代入即得：所以為：13. 0.15，0.31； 解 由得：，所以的置信區(qū)間為：， ，將，代入得 ，.三、設(shè)X1，X1，Xn是來自參數(shù)為的泊松分布總體的一個樣本，試求的極大似然估計量及矩估計量。解：（1）矩估計 X ( )，E (X )= ，故=為矩估計量。（2）極大似然估計，為極大似然估計量。（其中四、設(shè)總體X具有分布律X123Pk22(1)(1) 2其中(0 D (

23、T2)所以T2較為有效。六、 設(shè)某種清漆的9個樣品，其干燥時間（以小時計）分別為6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0。設(shè)干燥時間總體服從正態(tài)分布N （，2），求的置信度為0.95的置信區(qū)間。（1）若由以往經(jīng)驗知=0.6（小時）（2）若為未知。解：（1）的置信度為0.95的置信區(qū)間為（），計算得（2）的置信度為0.95的置信區(qū)間為（），計算得，查表t0.025(8)=2.3060.第八章 假設(shè)檢驗一、選擇題1.B 2.B 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B 8.D二、填空題1. 2. 1.176三、某批礦砂的5個樣品中的鎳含量，經(jīng)測定為（%）3.25 3.2

24、7 3.24 3.26 3.24。設(shè)測定值總體服從正態(tài)分布，問在 = 0.01下能否接受假設(shè)：這批礦砂的含鎳量的均值為3.25.解：設(shè)測定值總體XN（， 2）， 2均未知步驟：（1）提出假設(shè)檢驗H：=3.25; H1：3.25（2）選取檢驗統(tǒng)計量為（3）H的拒絕域為| t |（4）n=5, = 0.01，由計算知查表t0.005(4)=4.6041, （5）故在 = 0.01下，接受假設(shè)H0四、要求一種元件使用壽命不得低于1000小時，今從一批這種元件中隨機(jī)抽取25件，測得其壽命的平均值為950小時，已知這種元件壽命服從標(biāo)準(zhǔn)差為 =100小時的正態(tài)分布。試在顯著水平 = 0.05下確定這批元件

25、是否合格？設(shè)總體均值為。即需檢驗假設(shè)H0：1000，H1：1000。解：步驟：（1）1000；H1：0.005（2）H0的拒絕域為（3）n=9， = 0.05，S=0.007，由計算知查表（4）故在 = 0.05下，拒絕H0，認(rèn)為這批導(dǎo)線的標(biāo)準(zhǔn)差顯著地偏大。東華理工大學(xué)20102011學(xué)年第二學(xué)期概率論與數(shù)理統(tǒng)計期末考試試卷（A1）一、填空題：（本大題共7小題，每小題3分，共21分）-1 1 30.5 0.3 0.2(1) 3 （2） （3） 5 （4） （5）(6) （9.9902， 10.0098）(7) 二、選擇題：(本大題共7小題，每小題2分，共14分)三、一座20層的高樓的底層電梯上了10位乘客，乘客從第3層起開始離開電梯，每一名乘客在各層離開電梯是等可能的，求沒有兩位乘客在同一層離開的概率。（7分）