中考復習講義一元二次方程的解法、判別式和韋達定理(含參考答案)

1、一元二次方程的解法、判別式和韋達定理中考說明知識點基本要求略局要求較局要求F二次方程了解一元二次方程的概念，會將一元二次方 程化為一般形式，并指 出各項系數(shù)；了解一元 二次方程的根的意義能由一元二次方程的概念確定二次項系數(shù)中所含字母的取值范圍；會由方程的根求方程中待定系數(shù)的值一元二次方程的 解法理解配方法，會用直接 開平方法、配方法、公 式法、因式分解法解簡 單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程，理解各種解 法的依據(jù)能選擇恰當?shù)姆椒ń庖辉畏匠?；會用方程的根的判別式判別方程根的情況能利用根的判別式說明含后字母系 數(shù)的一元一次方程根的情況及由方 程根的情況確定方程中待定系數(shù)的 取值范圍；會用配方法對代數(shù)

2、式做簡 單的變形；會應用一元二次方程解決簡單的實際問題自檢自查必考點一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.元二次方程的一般形式：ax2 bx c 0 (a 0), a為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.元二次方程的識別：要判斷一個方程是否是一元二次方程，必須符合以下三個標準：一元二次方程是整式方程，即方程的兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式.一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一個未知數(shù).一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知數(shù)的最高次數(shù)是2.任何一個關(guān)于x的一元二次方程經(jīng)過整理都可以化為一般式ax2 bx c 0 a 0 . .、一 .2.、 一

3、 .、一.要特別注意對于關(guān)于 x的方程ax bx c 0,當a 0時，方程是一元二次方程；當 a 0且b 0時,方程是次方程.A中考必做題題型一、一元二次方程的定義：關(guān)于一元二次方程的定義考查點有三個：二次項系數(shù)不為0;最高次數(shù)為2;整式方程【例1】關(guān)于x的方程（a2 1）x2 2ax 6 0是一元二次方程，則 a的取值范圍是（）A. a 1B. a 0C. a為任何實數(shù)D.不存在【解析】a2 1恒大于0【答案】C【鞏固】已知關(guān)于x的方程（a 2）x2 ax x2 1是一元二次方程，求 a的取值范圍.【解析】整理方程得：（a 3）x2 ax 1 0,當a 3時，原方程是一元二次方程.【答案】a

4、 3【例2】若（m 3）xn 2 3nx 3 0是關(guān)于x的一元二次方程，則 m、n的取值范圍是（）A. m0、n3 B. m3、n4 C. m 0, n 4 D. m3、n0 【答案】B【例3】 若x2a b 3xa b 1 0是關(guān)于x的一元二次方程，求 a、b的值. 【答案】分以下幾種情況考慮： 2ab 2 , a b 2 ,此時 a 4 , b 2 ;33b 0 ;b 1x的一元二次方程，求 a、b的值.b 2a b 1b 1 a b 22a b2a b【鞏固】已知方程1,2,此時a2xaab0是關(guān)于【答案】本題有3種情況:3212題型二:次方程根的考察關(guān)于一元二次方程根的考查就是需要將根

5、代入方程得到一個等式，然后再考察恒等變換。（將根代入方程，這是很多同學都容易忽略的一個條件）【例4】關(guān)于x的一元二次方程（a 1）xa x a2 1 0的一個根是0,則a的值為（.八.1A. 1B. 1C.1 或 1D.-2【答案】B【例5】若m是方程3x2 2x 2 0的一個根，那么代數(shù)式 解得bm2 m 1的值為22239【斛析】m是方程3x 2x 2 0的一個根，3m 2m 2 0即一m m 1 ,2，代數(shù)式2m m 1 2 （像這樣的恒等變形，很多學生掌握都不是很熟練）2【答案】2【鞏固】若兩個方程x2 ax b 0和x2 bx a 0只有一個公共根，則（）A. a bB. a b 0

6、C.a b 1D. a b 1【解析】先確定方程的公共根，再將這個公共根代入某一方程，即可得 a、b滿足的關(guān)系式22【答案】設(shè)兩方程的公共根為m,則m am b 0，m bm a 0，-得，（a b）m b a 0 ,，（a b）m a b,解得 m 1將m 1代入得a b 1 0 a b 1選D【例6】一元二次方程（a 1） x2 ax a2 1 0的一個根為0,則a ?！敬鸢浮?題型三：“降次”思想【例7】已知a是方程x2 3x 1 0的一個根，則代數(shù)式a1 m 1 =1m m 10a 2的值為【解析】本題難度對于現(xiàn)在學生來講，稍微有一點大，但是還是建議學生能夠?qū)W習和掌握。我們都知道解一元

7、二次方程最根本的思想就是降次，因此我們在處理高次代數(shù)式求值的時候的基本方法就是降次”，通過 降次”將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為我們所熟知的內(nèi)容，因此本題的主要考查點有二個：根的考查；恒等變形2【答案】:a是萬程x 3x 1 0的一個根 TOC o 1-5 h z .22 a 3a 1 0 ,即 a 1 3a322a3 a a2 a（1 3a） a 3a2 a 3（1 3a） a 3 9a 10a 332006 的值m 1a 10a 2 （10a 3） 10a 21【鞏固】已知m是方程x2 2006x 1 0的一個根，試求 m2 2005m【解析】本題方法很多，但基本思路一樣【答案】 m是方程x2 2006x

8、 1 0的一個根1r 22006m 1 0 ,則 m 2006m 1(2006 m1) 2005m2006(2006 m 1) 1(2006 m 1) 1m1 2006 1 2005【例8】已知a2a 3,求(a 1)(a 1) (a 3)的值.【答案】解:(a 1)(a 1) (a 3)a2 1 a 32=a a 2-2A. (x 2)1-2A. (x 2)12a2 a 3原式=a2 a 2 = 5【鞏固】已知a2+ 2a 3,求代數(shù)式2a(a 1) (a 2)2的值.【答案】解：2a(a 1) (a 2)2 TOC o 1-5 h z 22=2a2a(a4a4)- 2-2.2=2a 2a

9、a 4a 4 =a 2a 4 a2 2a 3，原式二3 41【例9】已知a2 2a 2【答案】原式=(a 1) 1 a 10,求代數(shù)式(1 ) 丁?的值.a 1 a 2a 13aa2 2a39aa (a 1)22 = 3a 1 a 1 aa 12- a當 a2 2a 2 0 時，a2 2a 2原式二a2a【鞏固】已知2x2 7x 10,求代數(shù)式(x 1)(3x 2) (x 3)2 1的值.題型四：一元二次方程的解法【例10解關(guān)于x的方程：2x 3 2 3x 2 TOC o 1-5 h z 【答案】為1 , %1【鞏固】解方程：x2 6x 9 (5 2x)2【解析】把方程左邊化成一個完全平方式，

10、那么將出現(xiàn)兩個完全平方式相等，則這兩個式子相等或互為相反數(shù)，據(jù)此即可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程即可求解.【答案】x12, x283【例11】用配方法解下列方程 x2 6x 4 0,、一 一，、211一(y1)(y 3)5 0 x-x -063 2y2 4y 1，八一 2一_2x 3x 5 4 6x【答案】x1癡3, x2相3 ； y12. 24, y2 2；y2x1一 2D. (x 2)5【例12】用配方法把代數(shù)式x2 4x 5變形，所得結(jié)果是(_ 2_ 2B.(x 2)9C.(x 2)1【答案】A13173174，解得x1*24【答案】A13173174，解得x1*24【鞏固】將方程2x1進行配

11、方，可得（A. (x1)2B. (x 2)2C. (x1)2D. (x1)2若把代數(shù)式2x23化為(x m)k的形式，其中k為常數(shù)，則m【例13】【例14】用公式法解下列方程2x2 x(6xx1x1解關(guān)于【解析】換元法【答案】設(shè)4x整理得3x 1 0，一、2 3x 6x1) 4x3 .萬419712x的方程:2(2xx2x2(4x12)17(4) 3x2 2x4197121)2 3(1x1x14x)1 a ,則原方程可變形為(a 4)(a 1)4時,1時,【例15】解分式方程:整理得:經(jīng)檢驗得3a4x4x2a2x22(x1)x 16(x1)x2 1則原方程可變形為7a 6 0 ,解得3a 3或

12、a 2均為方程2x21x2a2a3,整理得:2-22x 3x 1 03 .332.26x22a2a經(jīng)檢驗，Xi 317, X2 3_27均為原方程的解 442當a 2時，則土2,整理得：x2 2x 1 0 x 1解得：X3 1點，X4 1夜經(jīng)檢驗，X3 1 夜，X4 1 。2均為原方程的解 TOC o 1-5 h z ，原方程的解為X137,X23-7,X3172,X4172【例16解無理方程(換元法)2x2 3x 5 2x2 3X 9 3 0【答案】令V2x23X9a,則2x23x 9a2 ,2x23xa29則原方程變形為a2 9 5a 3 0,整理得a2 5a 6 0解得 a11 , a2

13、 6 72x23x 9 a 0 a 6則,2x2 3x 9 6,整理得 2x2 3x 27 0,解得 x1 3 , x2-2經(jīng)檢驗X1 3, x29均為原方程的解2原方程的解為x1 3, X292【例17】已知關(guān)于x的方程a 1 x2 2x a 1 0的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)a有幾個?【解析】對二次項系數(shù)進行分類討論【答案】當a 1 0時，a 1 ,解得x 1,符合題意要求。當 a 1 0時，則 a 1,整理得(a 1)x a 1 (x 1) 0a 1解得X1 , X2 1 ,因為原方程的兩個根均為整數(shù)a 1a 12 X1a1也為整數(shù)，因此a 11或a 12a 1 a 1a 0或2或3

14、或1綜上所述，整數(shù)a的值有5個，分別為 1, 0, 1, 2, 3題型五：根的判別式?定義:運用配方法解一元二次方程過程中得到(xTb)22a,2/b 4ac2-4a顯然只有當b2 4ac 0時，才能直接開平方得:bx 一b2 4ac4a2也就是說，一 實數(shù)根.這里b27L二次方程ax2 bx c 0（a 0）只有當系數(shù)a、b、c滿足條件b2 4ac 0時才有4ac叫做7L二次方程根的判別式.?判別式與根的關(guān)系在實數(shù)范圍內(nèi), 否有實數(shù)根）由7Lb2二次方程ax2bx c 0（a 0）的根由其系數(shù)a、b、c確定，它的根的情況（是次方程為4ac確定.2 ax bxc 0（a 0）,其根的判別式為:

15、b2 4ac 貝 U方程2 axbx0(a0）有兩個不相等的實數(shù)根xl,2b b 4ac2a方程2 axbx0(a0）有兩個相等的實數(shù)根Xix2b2a方程2 axbx0(a【例18】不解方程，判別次方程A.有兩個不相等的實數(shù)根 C.有兩個相等的實數(shù)根0）沒有實數(shù)根.2x2 6x 1的根的情況是（B.沒有實數(shù)根D.無法確定A若方程 （m 2）x2 2（mA.沒有實數(shù)根C.有2個相等的實數(shù)根C1)x0只有一個實數(shù)根，那么方程B.有2個不同的實數(shù)根D.實數(shù)根的個數(shù)不能確定(m1)x22mx m 20 ().【解析】.方程(m2)x22(m1)x方程（m1)x22mxm方程（m1)x22mxmm22特

16、別注意方程（m2)x20只有一個實數(shù)根，m 20 ,即為方程 x2 4x 4 0 ,0,得m424 ( 1) ( 4)0.【例19】2(m等或不相等），要么沒有實數(shù)根.0有2個相等的實數(shù)根.故選 C.1）x m 0只有一個實數(shù)根.若m 2條件指明，該方程只有1個實數(shù)根，則方程要么有2個根（相所以m 2 0,且m 1 0 .如果關(guān)于A. kC由題可得所以k次方程B. k2kx06x 9 0有兩個不相等的實數(shù)根，那么 k的取值范圍是（C. k 1 且 k 0D. k 136 36k0若關(guān)于x的二次方程（m注意二次項系數(shù)不為02 L ,m 一且 m 13【例20】關(guān)于x的二次方程1)x22mx m2

17、 0有兩個不相等的實數(shù)根， 則m的取值范圍是3x m0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為【鞏固】若關(guān)于x的二次方程,2kx 2x 10有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是0, k【例21】關(guān)于x的二次方程(1 2k)x2 2, k1x 10有兩個不相等的實數(shù)根，求 k的取值范圍.4(k 1) 4(1 2k)【解析】由題意，得 k112k解得1【答案】1 k 2且k【例22當m為何值時,12關(guān)于x的方程2(m、2-，4)x2(m1)x【解析】題設(shè)中的方程未指明是次方程，還是次方程,1 0有實根.所以應分【例23】3a【答案】【例24】情形討論.2當m 4 = 0即m 2時，2(m

18、1)wQ萬程為方程有根的條件是：22= 2(m 1)4(m2 4)綜上所述：當m 已知關(guān)于x的方程2b0,即2b次方程，總有實根；當2m 4 wo即 m 2 時,8m 20 Q解得2時,2時,方程有實根.方程有實根.12b x b 2b 120有兩個相等的實數(shù)根，且b為實數(shù)，則b22b10有兩個相等的實數(shù)根.2 b22b0,2b1.1當a、b為何值時，方程x2a x 3a24ab4b2【解析】要使關(guān)于x的二次方程3a24ab2 0有實根？24b 2 0有實根，則必有0,即得a 2b又因為a4 3a22 a22b所以a22b題型六：韋達定理【例25若關(guān)于x的,2 一4ab 4b 221 020,

19、0,得a.次方程的兩個根為1, x2則這個方程是(2-A. x 3x 2 02C. x 2x 3 0【答案】BB.D.2x 3x2x 3x【鞏固】已知m,n是方程x211x 1 0的兩實數(shù)根，則一一的值 m n【例26】【答案】【例27】方程x2 (m 6)m20有兩個相等的實數(shù)根，且滿足XiX2XiX2 ,則m的值是2設(shè)方程24x7x0的兩個根為Xi、X2,不解方程求下列各式的值:(Xi3)(X23)二XiXiX2 1 X1x2【答案】由韋達定理得XiX2XiX2(Xi 3)(X23)X1X2 3(X|X2)9 3;xXi1X2 1X2(X2 1) X1(X1(Xi 1)(X2i)i)(Xi

20、X2)22XIX2(X1X2 )X1X2XiX2110132(Xi X2)2 (X,2)X2) 4XiX23、 97.一),- Xi X2416974【解析】不解方程，即利用韋達定理將XiX2、XiX2的整體構(gòu)造出來【例28】已知是方程x2 5x 2一的值.0的兩根，求【解析】注意均為負數(shù)，很多學生求出的結(jié)果均為負值【答案】由韋達定理可得,【例29】若方程 (1PX22 a0-2_2_2()252，【解析】部分學生喜歡將【答案】設(shè)方程的另一根為。的一個根為1 V2 ,則它的另一根等于1 夜代入原方程，求p的數(shù)值，然后再求方程另外一個根，此方法較慢。X2,根據(jù)題意得X2X2p 22【例30】設(shè)x

21、1、x2是方程x2 2 k 1 x 是.【解析】易忽略0k20的兩個不同的實根，且X| 1X2【答案】由韋達定理得XiX22即 k 2 2(kXiX22(k 1) k2 2Xi1 x2 18 x1 x2XiX21)18,整理得2k 3 0,解得k3或k 12 v2 9y n (T)【例31】已知方程組 x y 2x 0( x、y為未知數(shù))kx y k 0求證：不論k為何實數(shù)，方程組總有兩個不同的實數(shù)解設(shè)方程組的兩個不同的實數(shù)解為x x1和x x2y yiy y2求證：(xi x2)2 (yi y2)2是一個常數(shù)【解析】代入消元【答案】由得，y kx k，將代入得，x2 (kx k)2 2x 0

22、整理得，(k2 1)x2 2(k2 1)x k2 0 TOC o 1-5 h z 2222 _2一4(k1) (k 1) k 4(k1) 0，無論k為何實數(shù)，方程組總有兩個不同的實數(shù)解x xx x方程組的兩個不同的實數(shù)解為xx1和xx2y1kx1k,y2kx2ky y1y y2xi x2 2由韋達定理可得k2 ,為x2 尸二k 1222_2222 (Xx2)(y1y2)(x2x1x2x2)(kx1k)(kx2k) (k 1) (x1x2)4x1x222k(k 1) (4 4 )4k 1【例32】已知關(guān)于x的方程x22mx 3m0的兩個實根是X、x2且(Xx2)216。如果關(guān)于x的另個方程x2

23、2mx 6m 9 0的兩個實數(shù)根都在 X、x2之間，求m的值【答案】解：x1 x2是方程的兩個實數(shù)根，x1 x2 2m, x1 x2 3m又(xi x2)2 16 /.(為 x2)2 4xIx2 162-4m 12m 16 ,解得 mb1、m2 4當m1時，方程為x2 2x 3 0 ,解得X 3, x2 1；方程為x2 2x 15 0解得x 5或x 3,而5、3兩數(shù)均不在 3與1之間，m1不符合題意，舍去當m 4時，方程為x2 8x 12 0,解得x1 2 , x2 6 ,方程為x2 8x 15 0解得x 3或x 5,由于2 3 5 6,，方程的兩根都在方程 的兩個根之間，m 4綜合得m的值是

24、4【解析】韋達定理的應用與分類討論的思想【例33設(shè)m是不小于 1的實數(shù)，使得關(guān)于x的方程x22( m 2) xm2 3m 3 0有兩個不相等的實數(shù)根%, x2.(1)若1 1 ,求一1一的值;X x23 2m(2)mx11 Xmx21 x22 .一 .m的最大值【答案】.方程有兩個不相等的實數(shù)根,3m 3) 4m 40,b2 4ac 4( m 2)2 4( m2 m 1, 結(jié)合題意知：1 m 1 .2m 3m 3(1)x1 x22( m 2) , x1x2144或【答案】解：(2x 1)(x 1) (x-2)22 .144或【答案】解：(2x 1)(x 1) (x-2)22 .11x1 x2X

25、iX2X1X2解得:mi1 .52,ml21.522m23B. 3b2(m 1)2 30)的一個根是另一個根的 3倍，則a、b、c的關(guān)系是()2A. 3b 16ac【解析】韋達定理【答案】不妨設(shè)方程2_16ac C.16b 3ac_2D.16b 3ac一X1X2【題2】A.同為正【題3】【題4】2ax bxb4a將X2次方程2 ax韋達定理的應用設(shè) ax2 bx c二次方程4X20的兩個根為X1、X2 , bab 、一 2H代入方程ax24abx c 0 中,B.同為負0的兩個實數(shù)根為(m 1)x2已知X1、X2是方程x韋達定理的應用【答案】根據(jù)題意得,X2X1X12X1X22X23x3,(X

26、1X1X2且 X1 3X2bX0整理，即可得AC.X1X2X,、X2 ,則5m2 5mx m4 0的兩個根,X1 x24x2)2 2x1 x2X1X2令x2X1X1X2則k - kKX2解之得4, k217414整理得4 k2X2的值為X1【題5】 已知x2+5x+4=0 ,求代數(shù)式(2x 1)(x0,則兩個根的符號D.同號兩個根同為正0有兩個相等的實數(shù)根，則 m*2不解方程，求一的值X117417k1) (x-2)2 2 的值. TOC o 1-5 h z _ 2 _, , 2 .、一=2x +2x-x 1 (x -4x 4) 2 .22=2x x 1 x +4x 4 2.2=x +5x 7

27、 .當 x2+5x+4=0 時，原式二-4 711 .22【題6】 已知m是萬程x2 x 2 0的一個實數(shù)根，求代數(shù)式(m m)(m 1)的值.m【答案】m是方程x2 x 2 0的一個根，-2 m m2 0.2c2 c m m 2 , m 2 m .2, 國_2 m 2一原式=(mm)( 1)m=2 (m 1) =2 2=4. m【題7】已知a、b、c是三角形的三邊長，求證：b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0沒有實數(shù)根【答案】(b2 c2 a2)2 4b2c2 TOC o 1-5 h z (b2c2 a22bc)(b2c2a22bc)2222(bc)2 a2(bc)2a2(bc a)(bca)(bca)(bca).a、b、c是三角形三邊長(bc a)(bca)(bca)(bca) 0，方程b2x2 (b2 c2 a2)x c2 0沒有實數(shù)根【題8】已知m、n是一元二次方程x2 3x 1 0的兩根，那么代數(shù)式 2m2 4n2 6n 1999的值為22222【答案】原式 2(m n ) 2(n3n) 1999 2(m n) 2mn 2(n3n) 1999 20