2021-2022學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年河北省石家莊市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1已知為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A2BCD4D由實(shí)部為0且虛部不為0列式求得值，則答案可求【詳解】為純虛數(shù)，即復(fù)數(shù)的虛部為4故選：本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題2某校高一年級15個(gè)班參加朗誦比賽的得分如下：918990929487939691858993889893則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)、70%分位數(shù)分別為（）A90，94B91，93C90.5，93D90.5，94.2C【分析】將數(shù)據(jù)從小到大依次排列，而且1540%=6，1570%=10.5，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是第6、7個(gè)數(shù)的平均數(shù)，70%分位數(shù)是第

2、11個(gè)數(shù)【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大依次排列如下：85，87，88，89，89，90，91，91，92，93，93，93，94，96，98，而1540%=6，1570%=10.5，故這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)是，這組數(shù)據(jù)的70%分位數(shù)是93，故選：D3平面向量與的夾角為，則（）ABCDB【分析】計(jì)算出，利用平面向量的數(shù)量積可計(jì)算得出的值.【詳解】由已知可得，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，.故選：B.4定義：24小時(shí)內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個(gè)圓錐形容器接了24小時(shí)的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個(gè)等級（）A小雨B中雨C大雨D暴雨B【分

3、析】計(jì)算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.【詳解】由題意，一個(gè)半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨.故選：B.5已知在邊長為6的等邊三角形中，則（）A24B6C18DA【分析】由已知條件將用表示出來，然后再計(jì)算即可【詳解】因?yàn)?，所?所以因?yàn)檫吶切蔚倪呴L為6，所以，所以，故選：A6從四雙不同的鞋中任意取出只,事件“只全部不成對”與事件“至少有只成對”（）A是對立事件B不是互斥事件C是互斥但不對立事件D都是不可能事件A從雙不同的鞋中任意摸出只,可能的結(jié)果為:“恰有只成對”,“只全部成對”,“只都不成對”,即可求得答案.【詳解】從雙不同的鞋中

4、任意摸出只,可能的結(jié)果為:“恰有只成對”,“只全部成對”,“只都不成對”,故:事件“4只全部成對”的對立事件為“恰有只成對”+“只都不成對”“至少有兩只不成對”.事件“只全部不成對”與事件“至少有只成對”是:對立事件.故選:A.本題主要考查了判斷2個(gè)事件是否是對立事件,解題關(guān)鍵是掌握對立事件概念和結(jié)合實(shí)際問題具體分析,考查了分析能力,屬于基礎(chǔ)題.7圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長尺（稱為“圭”）當(dāng)正午太陽照射在表上時(shí)，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影

5、長度最短的那一天定為夏至圖2是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即）為，夏至正午太陽高度角（即）為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長）為a，則表高（即AC的長）為（）ABCDD先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.【詳解】，在中由正弦定理得：，即，所以，又因?yàn)樵谥?，所?故選：D本題主要考查了解三角形應(yīng)用舉例，考查了正弦定理，屬于中檔題.8我國古代九章算術(shù)中將上下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童如圖的芻童有外接球，且，平面與平面間的距離為1，則該童外接球的表面積為（）ABCDC【分析】設(shè)上底面中心為，下底面中心為，芻童外接球的球心為，則，共線，由已知

6、求出兩個(gè)長方形的對角線長，再由勾股定理列式求得芻童的外接球的半徑，則表面積可求【詳解】解：如圖，設(shè)上底面中心為，下底面中心為，芻童外接球的球心為，則，共線，連接，由已知可得，設(shè)該芻童的外接球的半徑為，則，聯(lián)立解得該芻童的外接球的表面積為故選：C.二、多選題9某保險(xiǎn)公司為客戶定制了5個(gè)險(xiǎn)種：甲，一年期短險(xiǎn)；乙，兩全保險(xiǎn)；丙，理財(cái)類保險(xiǎn)；丁，定期壽險(xiǎn)；戊，重大疾病保險(xiǎn)各種保險(xiǎn)按相關(guān)約定進(jìn)行參保與理賠該保險(xiǎn)公司對5個(gè)險(xiǎn)種的參?？蛻暨M(jìn)行抽樣調(diào)查，得出如下統(tǒng)計(jì)圖例，則以下四個(gè)選項(xiàng)正確的是（）A1829周歲人群參?？傎M(fèi)用最少B30周歲以上的參保人群約占參保人群的20%C54周歲以上的參保人數(shù)最少D丁險(xiǎn)種更

7、受參保人青睞CD【分析】根據(jù)選項(xiàng)逐一對相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)圖進(jìn)行分析判斷即可.【詳解】對A：由不同年齡段人均參保費(fèi)用圖可知，1829周歲人群人均參保費(fèi)用最少，但是這類人所占比例為20%，所以總費(fèi)用不一定最少，故A錯(cuò)誤；對B：由扇形圖可知，30周歲以上的參保人數(shù)約占總參保人數(shù)的80%，故B錯(cuò)誤；對C：由扇形圖可知，54周歲以上的參保人數(shù)最少，故選項(xiàng)C正確；對D：由柱狀圖可知，丁險(xiǎn)種參保比例最高，故選項(xiàng)D正確.故選：CD.10下列命題中，正確的是（）A在中，是的充要條件B在銳角中，不等式恒成立C在中，若，則是等腰直角三角形D在中，若，則是等邊三角形ABD【分析】對于A，應(yīng)用正弦定理及三角形中大邊對大角以及充

8、要條件的定義即可判斷正誤；對于B由銳角三角形易得，根據(jù)銳角正弦函數(shù)的大小關(guān)系及誘導(dǎo)公式即可判斷正誤；對于C由正弦定理邊角關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷內(nèi)角A、B的數(shù)量關(guān)系；對于D利用余弦定理，結(jié)合已知得，進(jìn)而判斷的形狀.【詳解】解：對于A：若，而，即，故，同理，若，即，而，故，所以是的充要條件，故A正確；對于B：由銳角知：，即，則，故B正確；對于C：由題設(shè)得，可得，又，則或，即或，故為等腰或直角三角形，故C錯(cuò)誤；對于D：由題設(shè)，即，又，所以，故，即，又，所以，故必是等邊三角形，故D正確.故選：ABD.11棱長為2的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列正確的是（）A的最大值為90BC三棱錐的體積為定值

9、D的最小值為4BC【分析】對A，令，在中，根據(jù)余弦定理求得，再在中根據(jù)余弦定理求解的表達(dá)式，判斷出當(dāng)時(shí)，即可；對B，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)與判定，證明平面即可；對C，根據(jù)體積公式結(jié)合長方體的性質(zhì)證明即可；對D，把與矩形展開在同一平面內(nèi)，再分析最小值即可【詳解】對A，在正方體中，連接，如圖，而，則，令，在中，由余弦定理得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有，則，中，當(dāng)時(shí)，即是鈍角，A不正確；對B，因平面，平面，則，正方形中，平面，于是得平面，又平面，因此，B正確；對C，由題意，到平面的距離為定值，故為定值，C正確；對D，把與矩形展開在同一平面內(nèi)，連接交于點(diǎn)，如圖，在中，由余弦定理得：，因點(diǎn)M在線段上，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M

10、與重合時(shí)取“=”，所以的最小值為，D錯(cuò)誤；故選：BC12著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理已知的外心為，垂心為，重心為，且，下列說法正確的是（）ABCDACD【分析】設(shè)是中點(diǎn)，由為垂心，得，判斷A；利用，計(jì)算數(shù)量積判斷B，再結(jié)合可判斷C，由重心性質(zhì)得，然后由向量的線性運(yùn)算判斷D【詳解】對于A選項(xiàng)，由垂心的性質(zhì)可知，則，A對；對于B選項(xiàng)，設(shè)為的中點(diǎn)，則，所以，所以，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，由外心的性質(zhì)可知，則，C對；對于D選項(xiàng)，由得，所以，因?yàn)?，所以，即，D對.故選：AC

11、D.三、填空題13已知向量，向量，若，則的值為_5【分析】由條件求得，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示求.【詳解】，兩邊平方后得，即，解得.故514如圖，在中，是上一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為_.【分析】根據(jù)條件化簡得，再根據(jù)B,P，N三點(diǎn)共線，得,求出t 值【詳解】因?yàn)?，所?則根據(jù)B,P，N三點(diǎn)共線，,則t=故答案為 在平面中，若P,A,B,C四點(diǎn)不共線，且 ,若A,B,C三點(diǎn)共線，則本題考查學(xué)生對向量中點(diǎn)共線問題的考察15甲、乙、丙三人向同一飛機(jī)射擊，設(shè)擊中的概率分別為0.4，0.5，0.8，若只有1人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.4，若2人擊中，則飛機(jī)被擊落的概率為0.7，若3人擊中則飛機(jī)一定被擊落，

12、求飛機(jī)被擊落的概率為_【分析】設(shè)甲、乙、丙三人擊中飛機(jī)為事件 依題意，相互獨(dú)立，故所求事件概率為 ，代入相關(guān)數(shù)據(jù)，即可得到答案.【詳解】設(shè)甲、乙、丙三人擊中飛機(jī)為事件 依題意，相互獨(dú)立，故所求事件概率為 故答案為.四、雙空題16某同學(xué)在解題中發(fā)現(xiàn)，以下三個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)（是虛數(shù)單位）；從三個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)為_；根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為一個(gè)復(fù)數(shù)恒等式_ 【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求得這個(gè)常數(shù)，再結(jié)合三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及計(jì)算結(jié)果得出推廣式，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，可得；根據(jù)三個(gè)式子的結(jié)構(gòu)特征及上式的計(jì)算結(jié)果，可以得到：，證明如下：由

13、.故； .五、解答題17在銳角三角形ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，向量，且(1)求角A(2)若c2，且ABC的面積為，求AC邊上的中線BM的大小(1)(2)【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)表示可得，再由正弦定理化角即可得解；（2）根據(jù)面積公式可得，在中再由余弦定理求解即可.【詳解】(1)因?yàn)?，所以由正弦定理得因?yàn)?，所以，所以因?yàn)?，所以?2)因?yàn)锳BC的面積為所以因?yàn)閏2所以在三角形ABM中，M為AC的中點(diǎn)，由余弦定理得所以18全國文明城市，簡稱文明城市，是指在全面建設(shè)小康社會中市民整體素質(zhì)和城市文明程度較高的城市全國文明城市稱號是反映中國城市整體文明水平的最高榮譽(yù)稱號為普及相關(guān)

14、知識，爭創(chuàng)全國文明城市，某市組織了文明城市知識競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取了甲、乙兩個(gè)單位各5名職工的成績（單位：分）如下表：甲單位8788919193乙單位8688919293(1)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，分別求出甲、乙兩個(gè)單位5名職工的成績的平均數(shù)和方差，并比較哪個(gè)單位的職工對文明城市知識掌握得更好；(2)用簡單隨機(jī)抽樣法從乙單位5名職工中抽取2人，求抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率(1),，甲單位的職工比乙單位的職工對環(huán)保知識掌握得更好(2)【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)求出根據(jù)均值、方差的實(shí)際意義作出判斷；（2）利用古典概型公式即可求出抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4的概率【詳解】(1)，

15、顯然，可知，甲單位的成績比乙單位穩(wěn)定，即甲單位的職工比乙單位的職工對環(huán)保知識掌握得更好.(2)從乙單位5名職工中隨機(jī)抽取2名，他們的成績組成的所有基本事件（用數(shù)對表示）為，共10個(gè).記“抽取的2名職工的成績差的絕對值不小于4”為事件，則事件包含的基本事件為，共5個(gè).由古典概型計(jì)算公式可知.19如圖，在直三棱柱中，為的中點(diǎn)(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值(1)證明見解析；(2).【分析】（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，由三角形中位線定理可證得，從而可得平面；（2）由可得為與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，解三角形可求得，即為所求【詳解】(1)證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，四邊形為正方形， 是

16、的中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，又平面，平面，平面(2)解：，為與所成的角（或其補(bǔ)角）在中，異面直線與所成角的余弦值為20“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳為主要內(nèi)容，立足全體黨員，面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動(dòng)態(tài)，緊跟時(shí)代脈搏的熱門APP，某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”了解國家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長，下圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖(1)根據(jù)上圖，求所有被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長和中位數(shù)；(2)宣傳部為了了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從和組中抽取50人了解情況，則兩

17、組各抽取多少人？再利用分層抽樣從抽取的50入中選5人參加一個(gè)座談會,現(xiàn)從參加座談會的5人中隨機(jī)抽取兩人發(fā)言，求小組中至少有1人發(fā)言的概率？(1)平均時(shí)長為，中位數(shù)為(2)在和兩組中分別抽取30人和20人，概率【分析】（1）由頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)，中位數(shù)的公式即可求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求出每一組抽取的人數(shù)，再列舉抽取總事件個(gè)數(shù)，從而利用古典概型概率計(jì)算公式即可求解【詳解】(1)解：（1）設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長為，中位數(shù)為，被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的時(shí)長中位數(shù)滿足，解得，即抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”的平均時(shí)長為6.8，中位數(shù)為(2)解：組的人數(shù)為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，組的人數(shù)

18、為人，設(shè)抽取的人數(shù)為，則，解得，所以在和兩組中分別抽取30人和20人，再利用分層抽樣從抽取的50入中抽取5人，兩組分別抽取3人和2人，將組中被抽取的工作人員標(biāo)記為，將中的標(biāo)記為，則抽取的情況如下：，共10種情況，其中在中至少抽取1人有7種，故所求概率21為迎接冬奧會，石家莊準(zhǔn)備進(jìn)行城市綠化升級，在矩形街心廣場中，如圖，其中，現(xiàn)將在其內(nèi)部挖掘一個(gè)三角形空地進(jìn)行盆景造型設(shè)計(jì)，其中點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，要求(1)若，判斷是否符合要求，并說明理由；(2)設(shè)，寫出面積的關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值(1)不符合要求，理由見解析.(2)（平方米）【分析】（1）由百米，得到百米，百米，求得，在中，由余弦定理求得的值，即可求解.（2）因?yàn)?，得到，進(jìn)而得出的面積，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(1)解：由題意，某城市有一矩形街心廣場，其中百米，百米，現(xiàn)將在其內(nèi)部挖掘一個(gè)三角形水池進(jìn)行盆景造型設(shè)計(jì)，其中點(diǎn)