高中數(shù)學(xué)競賽專題之?dāng)?shù)列

1、高中數(shù)學(xué)競賽專題之?dāng)?shù)列一、數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列與等比數(shù)列是中學(xué)階段的兩種重要數(shù)列，也是各年高考、競賽的重點，現(xiàn)將它們的主要性質(zhì)及內(nèi)容對照討論如下：性質(zhì)1 ：右a1，a2,，an, 是等差（等比）數(shù)列，那么ai, ai+,，a瓶， 仍是等差（等比）數(shù)列。 TOC o 1-5 h z kkkk性質(zhì)2：若an為等差數(shù)列，且 Z il j，那么Z ailajl （腳標和相同則對應(yīng)的1 l 4l 1l 1kkkk項的和相同）；若an為等比數(shù)列，且 il = jl ,那么a ai =冗aj （腳標和相同則對-pljl應(yīng)的項的積相同）。kkk性質(zhì)3：若an為等差數(shù)列，記Si = ai,S2= ai*，Sm=

2、ai*m）k,，那么 i 1i 1i=1kkkSm仍為等差數(shù)列,an為等比數(shù)列,記F1=ai,P2=.aiL,Pm=Nai啜m）k，那么Pm仍為等比數(shù)列。性質(zhì)4：若an為等比數(shù)列，公比為 q,且|q|1,則lim Sn =。n F二 1 _ qSc 2n例1、若an、bn為等差數(shù)列，其前n項和分別為Sn,Tn ,若n =,Tn3n 1an,、624則 ljm= （） A.1B.C. D.例2、等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,則它的前3m項的和為（）A.130B. 170C. 210D.260例3、an、bn為等差數(shù)列，其前n項和分別為Sn ,，若= 3十Tn31n 3（1）求

3、 星的值， （2）求使b為整數(shù)的所有正整數(shù) noa28an例4、在等差數(shù)列an中，若a10 =0,則有等式 ai +a2+十a(chǎn)n =a1十a(chǎn)?十+a9_n,(n 19,n w N)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b9 =1,則有等式 成立。例5、一個正數(shù)，其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其本身成等比數(shù)列，則該數(shù)為 。例6、設(shè)M n=(十進制)n純小數(shù)O.a0an值只取0或1,i=1,2,n,an=1,Tn一一S是M n的元素個數(shù)，Sn是所有元素的和，則lim n =。例7、設(shè)A=1,2,n, Sn是A的所有非空真子集元素的和，Bn表示A的子集個數(shù)，求S.lim Sn的值。n-n2Bn例8

4、、設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn =2an 1,(n=1,2,)，數(shù)列bn滿足b1 =3,bk+=ak +bk,(k =1,2,)，求數(shù)列bn的前 n項和。方法：首先找出an的通項式，在找出bn的通項式2 .2 .2.、例9、僅an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，且b= a，bz= a2, b3= a3, (a1 a22 a23 a2na n1 , an2 , an3，ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有的公比相等，已知一1 -3a24 1, a42 , a43 ,求 a11 + a22 + a33 4+ ann 的值。816作業(yè)：1、將正奇數(shù)集合1, 3, 5,由小到大按n

5、組有(2n-1)個奇數(shù)進行分組：1、3, 5, 7、9 , 11, 13, 15, 17.，則 1991 位于組中。2、在等差數(shù)列an中，公差d*0, 22是為與24的等比中項，已知數(shù)列a1,a3,ak1,ak2,，akn,成等比數(shù)列，求數(shù)列kn的通項公式。3、設(shè)正數(shù)數(shù)列an滿足2西 =an +1,bn = an+2an+3, (1)求數(shù)列an的通項公式， 2222(2)設(shè) m =am +bn +m +n -2(ambn + mn),試求 M 的取小值。二、數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法在一定程度上考察了以下能力：(1)從整體上直接領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對象本質(zhì)的能力；(2)從數(shù)學(xué)問題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系中洞察對象本

6、質(zhì)的能力；(3)從解題思路和問題結(jié)果中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。第一數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)T(n)是一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，滿足以下條件：(1) T(1)是成立的,(2)假設(shè)T(k)成立能推出T(k+1)成立，則命題對一切自然數(shù) n都成立。第二數(shù)學(xué)歸納法：設(shè)T(n)是一個關(guān)于自然數(shù) n的命題，滿足以下條件：(1) T(1)是成立的,(2)假設(shè)T(1), T(2),T(k)成立能推出T(k+1)成立，則命題對一切自然數(shù) n都成立。解題思維過程：嘗試一一觀察一一歸納、猜想一一證明，即從特殊關(guān)系中概括一般規(guī)律， 建立猜想，給出嚴格證明。解題策略：從數(shù)學(xué)問題、數(shù)式結(jié)構(gòu)、數(shù)式關(guān)系、解題思路和問題結(jié)果等特征去思考問題。

7、 TOC o 1-5 h z nn例1、已知對任意自然數(shù) n,有an A0且z a； =( a)2,求證an = n (1989年高中)j 4j 1n1 n例2、用Sn表示1,2,3，2n的各數(shù)的最大奇數(shù)因子之和，求證： Sn = (4n + 2)31一一例3、設(shè)an是正數(shù)數(shù)列且滿足 Sn = 一 (an+),求數(shù)列an的通項公式。an方法：嘗試一一觀察一一歸納、猜想一一證明例4、已知數(shù)列xn滿足：x1 =1,當(dāng)n21時，有 4(XXn +2x2Xn+3x；Xn/ + + nXn X)= (n + 1)( X1 X2 +X2X3+XnXn 書)，試求數(shù)列Xn的通項公式。方法：嘗試一一觀察一一歸

8、納、猜想一一證明52一一例5、一個數(shù)列Vn定義如下：Vo =2,V1 =5,Vn書=Vn(Vn2)M,(n至1),證明: 212n4)n對于自然數(shù)n,有Vn=23。這里Vn表示不超過Vn的最大整數(shù)。(IMO18-6)方法：變化形式一 . 、1例6、設(shè)數(shù)列an滿足：a1 =1 +a, an書=+ a ,這里0 a 1。(1977年加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克)例7、已知aaz,an是n個正數(shù)且滿足a1a2an=1,求證：(2+a) -(2+a2)(2+an)之 3n一 , 一、，一11,、 一“ 例8、已知a, b是正實數(shù)，且滿足+ =1，試證：對每一個自然數(shù)n,有a b(a b)n -an -bn -2

9、2n -2n 1三、遞推數(shù)列，熱點問題是求遞推數(shù)列的通項公式1、轉(zhuǎn)化：最常見的轉(zhuǎn)化為等差(等比)數(shù)列的通式和求和類型：an =aan1+b,化歸成an +九=a(an十九)型；an書=can +d bn,化歸成 an + 九bn =c(an+ 九bn)型；an =can+d bn + r,化歸成 an + 九bn + u =c(an+ W + u)型；an = pan+cn + d ,化歸成 an +九n + u = pan+兒(n -1) +u型；an =上工，化歸成上二,+9型； danj can anj can = pan-+qan/型例1、已知數(shù)列xn滿足：x1 =1 , xn xn,

10、且4xnxn書=(xn +xn書-1)2，試求數(shù)列xn 的通項公式。方法：開方轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列的形式例2、設(shè)數(shù)列an滿足：a1=1,an書=3an +4,求an的通項公式。1例 3、設(shè)數(shù)列an滿足：a =a2 =1,an% =+ an,(n=1,2,)，求 22004。an 1例 4、設(shè)數(shù)列an滿足：a1 =1, (n +1)an書=an + n ,求 a2005。2、變換(代換)：三角代換、代數(shù)代換一 1 a例1、已知ao =V2,an = n ,求an。方法：觀察特點，聯(lián)想到正切公式1 - an例 2、數(shù)列an滿足：a1 =1,an由=工(1 +4an 十)1 十 24an),求 an16方

11、法：含根式，通過代換轉(zhuǎn)化為不含根式的遞推式n 1例 3、設(shè) a1,a2,an滿足關(guān)系式(3 an書)(6 + an) =18，且a0 =3,貝U 1 =i =0 a.方法：倒數(shù)關(guān)系不易求解，通過代換轉(zhuǎn)化為熟悉的形式例4、給定正整數(shù)n和正數(shù)M,對于滿足條件：a12十a(chǎn)3 w M的所有等差數(shù)列a1,a2，an， 77n試求S=an書+an關(guān)+a2n書的最大值。方法：根據(jù)特點，三角代換3、特征方程及特征根求解遞推式對于二階線性遞推數(shù)列數(shù)列 xn滿足：xn卡+axn書+bxn =0. （1）其中a,b為常數(shù)，若有等比數(shù)列xn滿足等式（1）,則x必滿足相應(yīng)的方程：f（x） = x2+ax + b = 0

12、.（2）,稱此方程（2）為（1）的特征方程。數(shù)列乂0的通項公式與特征方程的根有如下關(guān)系：當(dāng)a2 4b0時，方程（2）有兩個不相同的實數(shù)根 qi,q2 ,則數(shù)列q、q?”均是（1）的解，并且對任意常數(shù) q,C2有Gq+c2q；也是（1）的解（通解），c1，C2由初值確定。當(dāng)a2 4b=0時，方程 有兩個相同的實數(shù)根 q1 =q2,則數(shù)列q、nq均是（1）的解，并且對任意常數(shù) g ,c2有c1q1n+c2nq；也是（1）的解（通解），G,c2由初值確定。當(dāng)a2 4b M。時，方程（2）有兩個共軻復(fù)根q1，q2 ,則數(shù)列q、q2）均是（1）的解，并且對任意常數(shù)c1，c2有g(shù)q十c2qn也是（1）的解

13、（通解），G,c2由初值確定。例1、 求斐波那鍥數(shù)列xn的通項公式：x0 =x1 =1, xn42 = xn書+ xn。方法：利用特征方程求解注：設(shè)數(shù)列xn是k階線性遞推數(shù)列，其特征方程為f （x） =0，設(shè)其前n項的和Sn,則&是k+1階線性遞推數(shù)列，其特征方程為（x-1） f（x） =0例2、已知數(shù)列xn滿足：x1 =1,x2 =7,xn =2xn,+3xnq,（n之3）,求此數(shù)列的前 n項 和。,一、an. =7an +6bn -3、例 3、設(shè)數(shù)列an、bn滿足：a0 =1,b0 =0 且 3 n4n n (n0),R書=8an+7bn - 4求證：an是完全平方數(shù)(n=0,i,2,)方

14、法：將其轉(zhuǎn)化為只與an有關(guān)的遞推式4、利用函數(shù)不動點原理求解數(shù)列通項公式定理1 ：設(shè)f (x) =ax +b, (a *0,1),數(shù)列an由初始值a0豐f (x0)及an = f (an)確定,那么當(dāng)且僅當(dāng)x0是f (x)的不動點時，數(shù)列% -x。是公比為a的等比數(shù)列。ax，b ,te理2：設(shè)f(x)=(c#0,ad bc#0)數(shù)列an由遞推關(guān)系an = f(an/)確定，cx d設(shè)函數(shù)f(x)有兩個不動點x1,x2,則：(1)當(dāng)xi #x2時，則數(shù)列亙=4是等比數(shù)列，公比為_a二生；an - x2a - cx2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark38 o C

15、urrent Document 12c(2)當(dāng)x1 =x2時，則數(shù)列是等差數(shù)列，公差為 。an - x1a d例 1、設(shè)數(shù)列an滿足：(2 an)an4 =1, (n w N),求證：lim an =1。 n )二二例2、設(shè)數(shù)列an滿足：3an書+an =4,(n上1),a1 =9,前n項和為Sn ,則滿足不等式1 ，一，| Sn -n -6|n。0定理2：數(shù)列an是m階等差數(shù)列的充要條件是 an是一個關(guān)于n的m次多項式。定理3、數(shù)列an是m階等差數(shù)列，它的前 n項之和為Sn ,則Sn是m+1階等差數(shù)列，m：H且 Sn = CnL a1 i 1例3、求 k4的求和公式，并給出證明。 k=1定理

16、4 :給定現(xiàn)，且an =-an + f (n), (n21),其中九#0, f (n)為關(guān)于n的函數(shù)，則此一階非線性齊次遞推數(shù)列所確定的數(shù)列的通項公式為：a n =短“ a1 + Kn 坐)kT ,例4、已知數(shù)列an滿足：a1 =1,an =2an7+n-2,(n之2),求數(shù)列an的通項公式。例5、已知數(shù)列an滿足：a1 =1,an=2an + n2 ,求數(shù)列an的通項公式。四、數(shù)列的性質(zhì)(反證法、周期性、有界性、整數(shù)性)1、數(shù)列中的反證法問題例1、設(shè)等差數(shù)列an包含1和22,證明：數(shù)列an中任意三項均不構(gòu)成等比數(shù)列。例2、設(shè)f(n)是定義在自然數(shù)集且取自然數(shù)值的嚴格遞增函數(shù)，f(2)=2 ,

17、當(dāng)m, n互質(zhì)時,有f (mn) = f (m) f (n),求證：對任意自然數(shù) n,都有f (n) = n。例3、數(shù)列 為正數(shù)數(shù)列，滿足條件(ak書+k)ak =1,k=1,2,，求證：對一切自然數(shù)k, ak為無理數(shù)。2、數(shù)列的周期性例1、已知整數(shù)數(shù)列an滿足an =anJ -an(n 3),如果前1492項之和為1985,而前1985項之和為1492,則該數(shù)列前2006項之和是多少？ 方法：考察數(shù)列的周期性例2、設(shè)數(shù)列an滿足an =n(n+1)(n+2)(n豈1) , bn為an的個位數(shù),1992求S1992 = bk的值。 方法：考察數(shù)列的周期性 k 1例3、已知數(shù)列an滿足：ai =1,a2 =2,an書5an+ -3an,當(dāng)anan書為偶數(shù)時,求證:an卡-an,當(dāng)anan中為奇數(shù)時對一切自然數(shù)n,有an #