拉普拉斯矩陣

1、拉普拉斯矩陣1矩陣基礎(chǔ)1.0理解矩陣如果對(duì)矩陣的概念已經(jīng)模糊，推薦國(guó)內(nèi)一人寫(xiě)的理解矩陣by孟巖系列，其中，拋出了很多有趣的觀點(diǎn)，我之前在閱讀的過(guò)程中做了些筆記，如下：“1、簡(jiǎn)而言之：矩陣是線性空間里的變換的描述，相似矩陣則是對(duì)同一個(gè)線性變換的不同描述。那，何謂空間？本質(zhì)而言，“空間是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象集合，而變換則規(guī)定了對(duì)應(yīng)空間的運(yùn)動(dòng)by孟巖。在線性空間選定基后，向量刻畫(huà)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)則通過(guò)矩陣與向量相乘來(lái)施加。然，到底什么是基？坐標(biāo)系也。2、有了基，那么在（1）中所言的則應(yīng)是：矩陣是線性空間里的變換的描述，相似矩陣則是對(duì)同一個(gè)線性變換在不同基（坐標(biāo)系）下的不同描述。出來(lái)了兩個(gè)問(wèn)題，一者何謂

2、變換，二者不同基（坐標(biāo)系）如何理解？事實(shí)上，所謂變換，即空間里從一個(gè)點(diǎn)（元素對(duì)象）到另一個(gè)（元素對(duì)象）的躍遷，矩陣用來(lái)描述線性變換?；?通過(guò)前面已知，矩陣無(wú)非不過(guò)就是用來(lái)描述線性空間中的線性變換的一個(gè)東西而已，線性變換為名詞，矩陣為描述它的形容詞，正如描述同一個(gè)人長(zhǎng)得好看可以用多個(gè)不同形容詞帥”靚”描述，同一個(gè)線性變換也可以由多個(gè)不同的矩陣來(lái)描述，而由哪一個(gè)矩陣描述它，則由基（坐標(biāo)系）確定。3、前面說(shuō)了基，坐標(biāo)系也，形象表述則為角度，看一個(gè)問(wèn)題的角度不同，描述問(wèn)題得到的結(jié)論也不同，但結(jié)論不代表問(wèn)題本身，同理，對(duì)于一個(gè)線性變換，可以選定一組基，得到一個(gè)矩陣描述它，換一組基，得到不同矩陣描述它，

3、矩陣只是描述線性變換非線性變換本身，類(lèi)比給一個(gè)人選取不同角度拍照。4、前面都是說(shuō)矩陣描述線性變換，然，矩陣不僅可以用來(lái)描述線性變換，更可以用來(lái)描述基（坐標(biāo)系/角度），前者好理解，無(wú)非是通過(guò)變換的矩陣把線性空間中的一個(gè)點(diǎn)給變換到另一個(gè)點(diǎn)上去，但你說(shuō)矩陣用來(lái)描述基:把一個(gè)坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系），這可又是何意呢？實(shí)際上，變換點(diǎn)與變換坐標(biāo)系，異曲同工！（坎兒井圍脖：矩陣還可以用來(lái)描述微分和積分變換。關(guān)鍵看基代表什么，用坐標(biāo)基就是坐標(biāo)變換。如果基是小波基或傅里葉基，就可以用來(lái)描述小波變換或傅里葉變換）5、矩陣是線性運(yùn)動(dòng)（變換）的描述，矩陣與向量相乘則是實(shí)施運(yùn)動(dòng)（變換）的過(guò)程，同一個(gè)變換在不同的坐標(biāo)系

4、下表現(xiàn)為不同的矩陣，但本質(zhì)/征值相同，運(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，對(duì)象的變換等價(jià)于坐標(biāo)系的變換，如點(diǎn)（1,1）變到（2,3）,者可以讓坐標(biāo)點(diǎn)移動(dòng)，二者可以讓X軸單位度量長(zhǎng)度變成原來(lái)1/2，讓Y軸單位度量長(zhǎng)度變成原來(lái)1/3,前后兩者都可以達(dá)到目的。6、Ma=b,坐標(biāo)點(diǎn)移動(dòng)則是向量a經(jīng)過(guò)矩陣M所描述的變換，變成了向量b;變坐標(biāo)系則是有一個(gè)向量，它在坐標(biāo)系M的度量下結(jié)果為a,在坐標(biāo)系I（I為單位矩陣，主對(duì)角為1,其它為0）的度量下結(jié)果為b,本質(zhì)上點(diǎn)運(yùn)動(dòng)與變換坐標(biāo)系兩者等價(jià)。為何？如（5）所述，同一個(gè)變換，不同坐標(biāo)系下表現(xiàn)不同矩陣，但本質(zhì)相同。7、Ib,I在（6）中說(shuō)為單位坐標(biāo)系，其實(shí)就是我們常說(shuō)的直角坐標(biāo)系，如M

5、a=Ib，在M坐標(biāo)系里是向量a,在I坐標(biāo)系里是向量b,本質(zhì)上就是同一個(gè)向量，故此謂矩陣乘法計(jì)算無(wú)異于身份識(shí)別。且慢,什么是向量？放在坐標(biāo)系中度量,后把度量的結(jié)果（向量在各個(gè)坐標(biāo)軸上投影值）按順序排列在一起,即成向量。8、b在I坐標(biāo)系中則是Ib,a在M坐標(biāo)系中則是Ma,故而矩陣乘法MxN,不過(guò)是N在M坐標(biāo)系中度量得到MN,而M本身在I坐標(biāo)系中度量出。故Ma=Ib,M坐標(biāo)系中的a轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)在I坐標(biāo)系中一量，卻成了b。如向量（x,y）在單位長(zhǎng)度均為1的直角坐標(biāo)系中一量，是（1,1）,而在X軸單位長(zhǎng)度為2.Y軸單位長(zhǎng)度為3量則是（2,3）。9、何謂逆矩陣?Ma=Ib，之前已明了坐標(biāo)點(diǎn)變換a-b等價(jià)于坐標(biāo)系

6、變換M-I,但具體M如何變?yōu)镮呢，答曰讓M乘以M的逆矩陣。以坐標(biāo)系2D為例，X軸單位度量長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的1/2,Y軸單位度量長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的1/3,即與矩陣相乘，便成直角坐標(biāo)系I。即對(duì)坐標(biāo)系施加變換，即讓其與變換矩陣相乘。”1.1一堆基礎(chǔ)概念根據(jù)Wikipedia的介紹，在矩陣中，單位矩陣如下圖所示：,h=1o01,h=-10o010nniTOC o 1-5 h z10-I） HYPERLINK l bookmark12010BB-單位向量又是什么呢？數(shù)學(xué)上，賦范向量空間中的單位向量就是長(zhǎng)度為1的向量。歐幾里得空間中，兩個(gè)單位向量的點(diǎn)積就是它們之間角度的余弦（因?yàn)樗鼈兊拈L(zhǎng)度都是1）。一個(gè)非零向量U

7、的正規(guī)化向量（即單位向量）U,就是平行于U的單位向量，記作:這里分母是U的范數(shù)（長(zhǎng)度）。何謂點(diǎn)積？點(diǎn)積又稱(chēng)內(nèi)積，兩個(gè)向量a=al,a2,.,an,b=bl,b2,.,bn的點(diǎn)積定義為:這里的S指示求和符號(hào)。例如，兩個(gè)三維向量1,3,-5和4,-2,-1的點(diǎn)積是：3.4-2=+=3使用矩陣乘法并把（縱列）向量當(dāng)作nx1矩陣，點(diǎn)積還可以寫(xiě)為：除了上面的代數(shù)定義外，點(diǎn)積還有另外一種定義：幾何定義。在歐幾里得空間中，點(diǎn)積可以直觀地定義:正交是垂直這一直觀概念的推廣，若內(nèi)積空間中兩向量的內(nèi)積（即點(diǎn)積）為0,則稱(chēng)它們是正交的，相當(dāng)于這兩向量垂直，換言之，如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直

8、。而正交矩陣Orthogonalmatrix）是一個(gè)元素為實(shí)數(shù)，而且行與列皆為正交的單位向量的方塊矩陣（方塊矩陣，或簡(jiǎn)稱(chēng)方陣，是行數(shù)及列數(shù)皆相同的矩陣。）和非零向量V滿足若數(shù)字At=Xv，則為的一個(gè)特征向量,是其對(duì)應(yīng)的特征值。換句話說(shuō)，在這個(gè)方向上，做的事情無(wú)非是把V沿其的方向拉長(zhǎng)/縮短了一點(diǎn)（而不是毫無(wú)規(guī)律的多維變換），則是表示沿著這個(gè)方向上拉伸了多少的比例。簡(jiǎn)言之,對(duì)v做了手腳，使得向量變長(zhǎng)或變短了，但V本身的方向不變。矩陣的跡是矩陣X%的對(duì)角線元素之和，也是其個(gè)特征值之和。更多矩陣相關(guān)的概念可以查閱相關(guān)Wikipedia，或矩陣分析與應(yīng)用。2拉普拉斯矩陣2.1Laplacianmatri

9、x的定義拉普拉斯矩陣（Laplacianmatrix），也稱(chēng)為基爾霍夫矩陣，是表示圖的一種矩陣。給定一個(gè)有n個(gè)頂點(diǎn)的圖1：=（V.L其拉普拉斯矩陣被定義為：L=D-Vr其中為圖的度矩陣，V為圖的鄰接矩陣。舉個(gè)例子。給定一個(gè)簡(jiǎn)單的圖，如下:七、f-把此“圖”轉(zhuǎn)換為鄰接矩陣的形式，記為V把IV的每一列元素加起來(lái)得到.V個(gè)數(shù)，然后把它們放在對(duì)角線上（其它地方都是零），組成一個(gè)WxN的對(duì)角矩陣，記為度矩陣D根據(jù)拉普拉斯矩陣的定義(200000030000002000000300000030，如下圖所示：-12.2拉普拉斯矩陣的性質(zhì)-1，可得拉普拉斯矩陣L為：其中,介紹拉普拉斯矩陣的性質(zhì)之前，首先定義兩個(gè)概念，如下:對(duì)于鄰接矩陣，定義圖中A子圖與B子圖之間所有邊的權(quán)值之和如下:定義為節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，如果兩個(gè)節(jié)點(diǎn)不是相連的，權(quán)值為零。與某結(jié)點(diǎn)鄰接的所有邊的權(quán)值和定義為該頂點(diǎn)的度d多個(gè)d形成一個(gè)度矩陣D（對(duì)角陣）拉普拉斯矩陣L具有如下性質(zhì)：