數(shù)字信號(hào)處理第六章資料

1、第6章 無限(wxin)脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 6.1 數(shù)字濾波器的基本概念6.2 模擬濾波器的設(shè)計(jì)6.3 用脈沖響應(yīng)不變法(bin f)設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器6.5 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì)6.6 IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法共一百九十四頁(yè)數(shù)字(shz)濾波器：是指輸入輸出均為數(shù)字信號(hào)，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號(hào)所含頻率成分(chng fn)的相對(duì)比例或者濾除某些頻率成分(chng fn)的器件。 高精度、穩(wěn)定、體積小、重量輕、靈活，不要求阻抗匹配，可實(shí)現(xiàn)特殊濾波功能優(yōu)點(diǎn)：6.1 數(shù)字濾波器的基本概念共一百九十四頁(yè) 1、數(shù)字(sh

2、z)濾波器的分類 經(jīng)典(jngdin)濾波器：現(xiàn)代濾波器：選頻濾波器維納濾波器卡爾曼濾波器自適應(yīng)濾波器等共一百九十四頁(yè)圖6.1.1 按功能分類(fn li)：理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅度特性 共一百九十四頁(yè)數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)(shxin)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者從單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FIR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為： (6.1.1) (6.1.2) 共一百九十四頁(yè)用一個(gè)因果穩(wěn)定的離散LSI系統(tǒng)(xtng)的系統(tǒng)(xtng)函數(shù)H(z)逼近此性能指標(biāo)按設(shè)計(jì)任務(wù)(rn wu)，確定濾波器性能要求，制定技術(shù)指標(biāo)利用有限精度算法實(shí)現(xiàn)此系統(tǒng)函數(shù)：如運(yùn)算結(jié)

3、構(gòu)、字長(zhǎng)的選擇等實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)：軟件法、硬件法或DSP芯片法共一百九十四頁(yè)2、數(shù)字濾波器的技術(shù)(jsh)要求選頻濾波器的頻率響應(yīng)(pn l xin yn)： 為幅頻特性：表示信號(hào)通過該濾波器后 各頻率成分的衰減情況 為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器 后在時(shí)間上的延時(shí)情況共一百九十四頁(yè)圖6.1.2 低通濾波器的技術(shù)(jsh)要求阻帶(z di)：過渡帶：通帶：共一百九十四頁(yè) 通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減(shui jin)一般用dB數(shù)表示，通帶內(nèi)允許的最大衰減用p表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用s表示，p和s分別定義為：(6.1.3) (6.1.4) 對(duì)單調(diào)下降(xijing)幅頻特性，且|H(ej0

4、)|歸一化為1，(6.1.3)和(6.1.4)式則表示成：(6.1.5) (6.1.6) 共一百九十四頁(yè)當(dāng) 時(shí)，稱 為3dB通帶截止頻率共一百九十四頁(yè) 3. 數(shù)字(shz)濾波器設(shè)計(jì)方法概述 IIR濾波器和FIR濾波器的設(shè)計(jì)方法是很不相同的。IIR濾波器設(shè)計(jì)方法有兩類：直接法和間接法。后者指的是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法進(jìn)行的。其設(shè)計(jì)步驟是：先設(shè)計(jì)模擬濾波器得到傳輸函數(shù)Ha(s)，然后將Ha(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。直接法指直接在頻率域或者時(shí)間域中進(jìn)行設(shè)計(jì)，要解聯(lián)立方程，需采用計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)。 FIR濾波器不能采用間接法，常用的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法、Cheb

5、yshev等波紋逼近法等。 本章主要介紹IIR的間接設(shè)計(jì)法。共一百九十四頁(yè)6.2 模擬(mn)濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Ellipse)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等，這些濾波器都有嚴(yán)格的設(shè)計(jì)公式、現(xiàn)成的曲線和圖表供設(shè)計(jì)人員(rnyun)使用。 共一百九十四頁(yè) 圖6.2.1 各種( zhn)理想濾波器的幅頻特性 共一百九十四頁(yè) 1.模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法 模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有p, p,s和s。其中p和s分別稱為通帶

6、截止頻率和阻帶截止頻率，p是通帶(=0p)中的最大衰減系數(shù)，s是阻帶s的最小衰減系數(shù)，p和s一般用dB數(shù)表示。對(duì)于單調(diào)下降(xijing)的幅度特性，可表示成：(6.2.1) (6.2.2) 共一百九十四頁(yè) 如果=0處幅度已歸一化到1，即|Ha(j0)|=1,p和s表示(biosh)為 以上技術(shù)指標(biāo)用圖6.2.2表示。圖中c稱為3dB截止頻率，因 (6.2.3) (6.2.4) 共一百九十四頁(yè)圖6.2.2 低通濾波器的幅度(fd)特性共一百九十四頁(yè) 濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)Ha(s)，希望(xwng)其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo)p和s，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此(

7、6.2.6) Ha(s)必須是因果穩(wěn)定系統(tǒng)，因此其所有極點(diǎn)(jdin)必須落在s平面的左半平面。共一百九十四頁(yè) 2.巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)方法 巴特沃斯低通濾波器的幅度平方(pngfng)函數(shù)|Ha(j)|2用下式表示：(6.2.7) 圖6.2.3 巴特沃斯幅度(fd)特性和N的關(guān)系共一百九十四頁(yè) 3dB不變性 通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，單調(diào)減小 過渡帶及阻帶內(nèi)快速單調(diào)減小 當(dāng) （阻帶截止頻率）時(shí)，衰減 為阻帶最小衰減共一百九十四頁(yè) 用s替換j, 將幅度(fd)平方函數(shù)|Ha(j)|2寫成s的函數(shù)： (6.2.7) 此式表明幅度平方(pngfng)函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：(6

8、.2.8) 共一百九十四頁(yè)圖6.2.4 三階(sn ji)巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布共一百九十四頁(yè) 為形成(xngchng)穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)。 Ha(s)的表示式為設(shè)N=3，極點(diǎn)(jdin)有6個(gè)，它們分別為共一百九十四頁(yè)取s平面左半平面的極點(diǎn)(jdin)s0,s1,s2組成Ha(s)： 共一百九十四頁(yè) 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有(suyu)的頻率歸一化。這里采用對(duì)3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 令，ps/c=+j。 令=/c，稱為歸一化頻率；p稱為歸一化復(fù)變量，這樣

9、歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為(6.2.10) (6.2.11) 共一百九十四頁(yè) 式中，pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示： 將極點(diǎn)表示式(6.2.12)代入(6.2.11)式，得到(d do)的Ha(p)的分母是p的N階多項(xiàng)式，用下式表示： (6.2.12) 將=s代入(6.2.6)式中，再將|Ha(js)|2代入(6.2.4)式中，得到(d do)：(6.2.14) (6.2.15) 同理：共一百九十四頁(yè) 由(6.2.14)和(6.2.15)式得到(d do)：令,則N由下式表示(biosh)： (6.2.16) 上式所求出的N不一定是整數(shù)，應(yīng)取大于或等于N的最小整數(shù)。共一百九十四頁(yè)關(guān)于3dB截止頻

10、率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有(mi yu)給出，可以按照(6.2.14)式或(6.2.15)式求出，由(6.2.14)式得到： 或由(6.2.15)式得到(d do)： (6.2.17)(6.2.18) 共一百九十四頁(yè) 總結(jié)以上，低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟(bzhu)如下： (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s，用(6.2.16)式求出濾波器的階數(shù)N。 (2)按照(6.2.12)式，求出歸一化極點(diǎn)pk，將pk代入(6.2.11)式，得到歸一化傳輸函數(shù)Ga(p)。也可直接查表得到 pk (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。 共一百九十四頁(yè)表6.2

11、.1 巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù)(cnsh) 共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè) 例6.2.1 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按照(nzho)以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。 解 (1) 確定階數(shù)N。 共一百九十四頁(yè) (2) 按照(nzho)(6.2.12)式，其極點(diǎn)為按照(6.2.11)式，歸一化傳輸(chun sh)函數(shù)為共一百九十四頁(yè) 上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起(yq)，形成因式分解形式。這里不如直接查表6.2.1簡(jiǎn)單，由N=5，直接查表得到： 極點(diǎn)：-0.3090

12、j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000 式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361共一百九十四頁(yè) (3) 為將Ga(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c。 按照(nzho)(6.2.17)式，得到：將c代入(6.2.18)式，得到(d do)：將p=s/c代入Ga(p)中得到：共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè) 3.切比雪夫?yàn)V波器的設(shè)計(jì)方法 我們這里僅介紹切比雪夫型濾波器的設(shè)計(jì)方法。圖6.2.5分別(fnbi)畫出階數(shù)N為奇數(shù)與偶數(shù)時(shí)的切比雪夫型濾波器幅頻特性。其幅度平方函數(shù)用A2()表示： (6.2.19) 共一百九

13、十四頁(yè)N：濾波器的階數(shù)幅度(fd)平方函數(shù)： ：截止頻率，不一定(ydng)為3dB帶寬 ，表示通帶波紋大小， 越大，波紋越大 ：N階Chebyshev多項(xiàng)式共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè)當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1；當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x2-1；當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x 3-3x。由此可歸納(gun)出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x) (6.2.20) 共一百九十四頁(yè) 圖6.2.6示出了階數(shù)N=0,4,5時(shí)的切比雪夫多項(xiàng)式特性。 由圖可見： (1)切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在|x|1的范圍內(nèi)； (2)當(dāng)|x|1時(shí)

14、，|CN(x)|1,在|x|1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)(hnsh)，隨x單調(diào)上升。 N等于(dngy)通帶內(nèi)最大值和最小值個(gè)數(shù)的和共一百九十四頁(yè)圖6.2.6 N=0,4,5切比雪夫多項(xiàng)式曲線(qxin)共一百九十四頁(yè) 1）幅度函數(shù)(hnsh)特點(diǎn)： 通帶外：迅速單調(diào)下降趨向0N為偶數(shù)N為奇數(shù) 通帶內(nèi)：在1和 間等波紋起伏 共一百九十四頁(yè) ：通帶截止頻率，給定(i dn) ：表征通帶內(nèi)波紋大小N：濾波器階數(shù)，等于(dngy)通帶內(nèi)最大最小值的總數(shù)由通帶衰減決定阻帶衰減越大所需階數(shù)越高為阻帶截止頻率共一百九十四頁(yè) 圖6.2.7 切比雪夫型與巴特沃斯低通的A2()曲線(qxin)注意這里是平方共一

15、百九十四頁(yè) 設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(pnl)(阻帶截止頻率)用s表示，在s處的A2(s)用(6.2.19)式確定： (6.2.23) 令s=s/p，由s1，有(6.2.24) (6.2.25)可以(ky)解出 共一百九十四頁(yè) 3dB截止頻率用c表示(biosh)，按照(nzho)(6.2.19)式，有通常取c1，因此上式中僅取正號(hào)，得到3dB截止頻率計(jì)算公式： (6.2.26) 共一百九十四頁(yè) 以上p,和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ga(p)，p=s/p。求解的過程請(qǐng)參考(cnko)有關(guān)資料。下面僅介紹一些有用的結(jié)果。 設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=i+ji，可以證明： (6.2.27) 式

16、中 (6.2.28) 共一百九十四頁(yè) (6.2.28)式是一個(gè)橢圓(tuyun)方程，長(zhǎng)半軸為pch(在虛軸上)，短半軸為psh(在實(shí)軸上)。令bp和ap分別表示長(zhǎng)半軸和短半軸，可推導(dǎo)出： (6.2.29) (6.2.30) (6.2.31) 式中 共一百九十四頁(yè)圖6.2.8 三階(sn ji)切比雪夫?yàn)V波器的極點(diǎn)分布p共一百九十四頁(yè) 設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖6.2.8所示(極點(diǎn)用叉“X”表示)。為穩(wěn)定，用左半平面(pngmin)的極點(diǎn)構(gòu)成Ga(p)，即(6.2.32) 式中c是待定系數(shù)。根據(jù)(gnj)幅度平方函數(shù)(6.2.19)式可導(dǎo)出：c=2 N-1，代入(6.2.32)式，得

17、到歸一化的傳輸函數(shù)為(6.2.33a) 共一百九十四頁(yè) 按照以上(yshng)分析，下面介紹切比雪夫型濾波器設(shè)計(jì)步驟。1) 確定技術(shù)要求p,p,s和sp是=p時(shí)的衰減系數(shù)，s是=s時(shí)的衰減系數(shù)，它們?yōu)?去歸一化后的傳輸(chun sh)函數(shù)為(6.2.33b) (6.2.34) (6.2.35) 共一百九十四頁(yè) 這里p就是前面(qin mian)定義的通帶波紋，見(6.2.21)式。歸一化頻率 2) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù) 由(6.2.19)式，得到： 共一百九十四頁(yè) 將以上(yshng)兩式代入(6.2.41)式和(6.2.42)式，得到： 令 (6.2.36) (6.2.37)則 共一百九十

18、四頁(yè) 這樣，先由(6.2.36)式求出k-11，代入(6.2.37)式，求出階數(shù)N，最后取大于等于(dngy)N的最小整數(shù)。 按照(6.2.27)式求，這里p=。 2=10 0.1-1 3) 求歸一化傳輸函數(shù)Ga(p) 為求Ga(p)，先按照(6.2.46)式求出歸一化極點(diǎn)pk,k=1,2,N。 共一百九十四頁(yè) 將極點(diǎn)(jdin)pk代入(6.2.39)式，得到： 4) 將Ga(p)去歸一化，得到(d do)實(shí)際的Ha(s)，即 (6.2.38) (6.2.39) 共一百九十四頁(yè) 例6.2.2設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減p=0.1dB，阻帶(z di)截

19、止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=60dB。 解 (1) 濾波器的技術(shù)要求： 共一百九十四頁(yè) (2) 求階數(shù)N和：共一百九十四頁(yè) (3) 求Ga(p):由(6.2.46)式求出N=5時(shí)的極點(diǎn)(jdin)pi，代入上式，得到： (4)將Ga(p)去歸一化，得到(d do)：共一百九十四頁(yè)模擬高通, 帶通, 帶阻濾波器設(shè)計(jì)(shj)流程4. 模擬(mn)高通、帶通及帶阻濾波器的設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器G(p)給定高通、帶通或帶阻的技術(shù)指標(biāo)頻率轉(zhuǎn)換低通濾波器技術(shù)指標(biāo)得到高通、帶通或帶阻濾波器H(s)頻率轉(zhuǎn)換共一百九十四頁(yè)想辦法實(shí)現(xiàn)(shxin)高通到低通的轉(zhuǎn)換： 低通幅頻高通幅頻給定(i dn)

20、高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：先作頻率歸一化：4.1 模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)共一百九十四頁(yè)或共一百九十四頁(yè)由：如何：？（HP）實(shí)現(xiàn)：設(shè)計(jì)出（LP）歸一化高通濾波器的復(fù)變量(虛軸上）歸一化低通濾波器的復(fù)變量(虛軸上）共一百九十四頁(yè)得：于是可得到模擬高通濾波器的轉(zhuǎn)移(zhuny)函數(shù) 后面(hu mian)帶通、帶阻濾波器和低通濾 波器的轉(zhuǎn)換過程大體相同。共一百九十四頁(yè) 模擬高通濾波器具體的設(shè)計(jì)步驟如下： (1)確定高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶邊界頻率p，阻帶邊界頻率s，通帶最大衰減(shui jin)p，阻帶最小衰減s，并對(duì)p進(jìn)行歸一化處理。 (2)確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)：按照公式 將高通濾波器的邊界

21、頻率轉(zhuǎn)換成低通濾波器的邊界頻率，各項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)為： 低通濾波器通帶截止頻率p=1/p； 低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s； 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。共一百九十四頁(yè) (3)設(shè)計(jì)(shj)歸一化低通濾波器G(p)。 (4)求模擬高通的H(s)。將G(p)按照公式H(q)=1/ G(p) ，轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，再對(duì)頻率去歸一化，即將q=s/p代入H(q)中，得 例6.2.3 設(shè)計(jì)高通濾波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。(6.2.42) 共一百九十四頁(yè) 解 高通技術(shù)(jsh)要求： fp=200Hz,p=3

22、dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率低通技術(shù)(jsh)要求：共一百九十四頁(yè) 設(shè)計(jì)(shj)歸一化低通G(p)。采用巴特沃斯濾波器，故共一百九十四頁(yè) 求模擬(mn)高通H(s)： 共一百九十四頁(yè)對(duì)帶通濾波器，如何(rh)實(shí)現(xiàn)頻率的歸一化？定義(dngy)：有 ：用帶寬歸一化4.2 模擬帶通濾波器的設(shè)計(jì)然后要實(shí)現(xiàn)帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)到低通的轉(zhuǎn)換。關(guān)鍵問題是找到 對(duì)應(yīng)關(guān)系： 定義 中心頻率：共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè)圖6.2.10 帶通與低通濾波器的幅度(fd)特性 表6.2.2 與的對(duì)應(yīng)(duyng)關(guān)系 共一百九十四頁(yè) 由與的對(duì)應(yīng)(duyng)關(guān)系，得到：(6.2.53) (6.2

23、.53)式稱為低通到帶通的頻率(pnl)變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率(pnl)轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率(pnl)。下面推導(dǎo)由歸一化低通到帶通的轉(zhuǎn)換公式。由于 共一百九十四頁(yè) 將(6.2.43)式代入上式，得到(d do)：將q=j代入上式，得到(d do)：為去歸一化，將q=s/B代入上式( ) ，得到：(6.2.44) (6.2.45)共一百九十四頁(yè)上式就是由歸一化低通直接轉(zhuǎn)換成帶通的計(jì)算公式。下面總結(jié)模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟。(1)確定(qudng)模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，即：帶通上限頻率u，帶通下限頻率l下阻帶上限頻率 s1 ,上阻帶下限頻率 s2 通帶中心頻率20=lu，通帶寬度B=u-

24、l與以上邊界頻率對(duì)應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：共一百九十四頁(yè) (2) 確定歸一化低通技術(shù)要求： s與-s的絕對(duì)值可能(knng)不相等，一般取絕對(duì)值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。 (3) 設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。 (4) 由(6.2.55)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)。 共一百九十四頁(yè) 例6.2.4 設(shè)計(jì)模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2200rad/s，中心頻率0=21000rad/s，通帶(tn di)內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻帶最小衰減s=15dB。 解 (1) 模擬帶通的技術(shù)要求

25、： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6共一百九十四頁(yè) (2) 模擬歸一化低通技術(shù)(jsh)要求： 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)設(shè)計(jì)模擬(mn)歸一化低通濾波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有共一百九十四頁(yè) 取N=3，查表6.2.1，得(4) 求模擬(mn)帶通H(s)： 共一百九十四頁(yè) 3) 模擬(mn)帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖6.2.11所示。 圖6.2.11 低通與帶阻濾波器的幅頻特性共一百九十四頁(yè) 圖中，l和u分

26、別是下通帶截止頻率和上通帶截止頻率，s1和s2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，0為阻帶中心頻率，20=ul，定義阻帶帶寬為B=u-l，B作為歸一化參考(cnko)頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表6.2.3 與的對(duì)應(yīng)(duyng)關(guān)系 共一百九十四頁(yè) 根據(jù)(gnj)與的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得到： 且ul=1，p=1，(6.2.46)式稱為低通到帶阻的頻率變換公式。將(6.2.46)式代入p=j，并去歸一化，可得 上式就是直接由歸一化低通轉(zhuǎn)換成帶阻的頻率變換公式。 (6.2.46) (6.2.47) (6.2.48) 共一百九十四頁(yè)下面

27、總結(jié)設(shè)計(jì)帶阻濾波器的步驟：(1)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率l,上通帶截止頻率u阻帶(z di)下限頻率s1，阻帶上限頻率s2阻帶中心頻率02=ul，阻帶寬度B=u-l它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。 共一百九十四頁(yè) (2) 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即： 取s和-s的絕對(duì)值較小的s；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。 (3) 設(shè)計(jì)(shj)歸一化模擬低通G(p)。 (4) 按照(6.2.48)式直接將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。共一百九十四頁(yè) 例6.2.5 設(shè)計(jì)模

28、擬(mn)帶阻濾波器，其技術(shù)要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： l=2905,u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=421000025, B=u-l=2200; 共一百九十四頁(yè) l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=25 (2) 歸一化低通的技術(shù)(jsh)要求：(3)設(shè)計(jì)(shj)歸一化低通濾波器G(p):共一百九十四頁(yè) (4

29、) 帶阻濾波器的H(s)為共一百九十四頁(yè)用模擬(mn)濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)(shj)思想： s 平面 z 平面模擬系統(tǒng) 數(shù)字系統(tǒng)H(z) 的頻率響應(yīng)要能模仿 Ha(s) 的頻率響應(yīng)，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓因果穩(wěn)定的 Ha(s) 映射到因果穩(wěn)定的 H(z) ，即 s 平面的左半平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內(nèi) |z| 1共一百九十四頁(yè)設(shè)計(jì)(shj)方法：- 沖激響應(yīng)不變法(bin f)- 階躍響應(yīng)不變法- 雙線性變換法共一百九十四頁(yè)五、脈沖響應(yīng)不變法(bin f)數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)1、變換(binhun)原理T抽樣周期

30、共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè)2、混迭失真(sh zhn)僅當(dāng)數(shù)字濾波器的頻響在折疊頻率內(nèi)重現(xiàn)模擬(mn)濾波器的頻響而不產(chǎn)生混迭失真：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓，周期為 共一百九十四頁(yè) 實(shí)際系統(tǒng)不可能嚴(yán)格限帶，都會(huì)混迭失真，在 處衰減越快，失真越小當(dāng)濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以數(shù)字域頻率 給定時(shí)，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現(xiàn)象共一百九十四頁(yè)3、模擬(mn)濾波器的數(shù)字化方法共一百九十四頁(yè)系數(shù)相同：極點(diǎn)：s 平面 z 平面穩(wěn)定性不變：s 平面 z 平面共一百九十四頁(yè)當(dāng)T 很小時(shí)，數(shù)字(shz)濾波器增益很大，易溢出，需修正令：則：共一百九十四頁(yè) 例6.3.1 已知模擬(mn)濾

31、波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)(jdin)為那么H(z)的極點(diǎn)為共一百九十四頁(yè)按照(6.3.4)式，并經(jīng)過(jnggu)整理，得到 設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則 轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接按照(nzho)(6.3.11),(6.3.12)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.12)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=1j1,則共一百九十四頁(yè)再按照(nzho)(6.3.14)式，H(z)為共一百九十四頁(yè)試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：

32、據(jù)題意，得數(shù)字(shz)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：設(shè)T = 1s，則共一百九十四頁(yè)模擬(mn)濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字(shz)濾波器的頻率響應(yīng)：共一百九十四頁(yè)4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)(yudin)：缺點(diǎn)(qudin)：保持線性關(guān)系：線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混迭只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)時(shí)域逼近良好共一百九十四頁(yè)雙線性變換法1、變換(binhun)原理使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬(mn)濾波器的頻率響應(yīng)相似。沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時(shí)域模仿逼近缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè)為使模擬(mn)濾波器某

33、一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，引入系數(shù) c共一百九十四頁(yè)2、變換常數(shù)(chngsh)c的選擇2）某一特定頻率嚴(yán)格相對(duì)應(yīng)：1）低頻處有較確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格(yng)相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置共一百九十四頁(yè)3、逼近(bjn)情況1）s平面虛軸z平面單位圓2）左半平面單位圓內(nèi)s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上共一百九十四頁(yè)4、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)(yudin)：避免(bmin)了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換共一百九十四頁(yè)缺點(diǎn)(qudin)： 除了零頻率附近， 與 之間嚴(yán)重非線性2）要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段(fn dun)常數(shù)型，不然會(huì)產(chǎn)生畸

34、變1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器分段常數(shù)型模擬濾波器經(jīng)變換后仍為分段常數(shù)型數(shù)字濾波器，但臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生畸變共一百九十四頁(yè)預(yù)畸變(jbin)給定數(shù)字濾波器的截止頻率 ，則按 設(shè)計(jì)模擬濾波器，經(jīng)雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數(shù)字濾波器共一百九十四頁(yè)6、模擬(mn)濾波器的數(shù)字化方法共一百九十四頁(yè)可分解成級(jí)聯(lián)的低階子系統(tǒng)可分解成并聯(lián)(bnglin)的低階子系統(tǒng)共一百九十四頁(yè) 例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字(shz)濾波器。 解 首先按照?qǐng)D6.4.4寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 利用(lyng)脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，

35、數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為 共一百九十四頁(yè) 利用(lyng)雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為 H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別(fnbi)如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5 例6.4.1圖H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1(z); (b)H2(z) 共一百九十四頁(yè) 下面我們總結(jié)利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶(z di)截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（脈沖響應(yīng)不變法）。 如果(rgu)采用雙線性變換法，邊

36、界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為共一百九十四頁(yè) (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面(pngmin)轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 例6.4.2 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2 rad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。共一百九十四頁(yè) 用雙線性變換法設(shè)計(jì)(shj)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為共一百九十

37、四頁(yè) 設(shè)計(jì)(shj)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下： 取N=6。為求c,將s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)(zhbio)已經(jīng)超過。共一百九十四頁(yè) 根據(jù)N=6，查表6.2.1得到(d do)的歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)， 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：共一百九十四頁(yè)用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)(shj)IIR數(shù)字低通濾波器 模擬濾波器按雙線性變化法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器，采用的函數(shù)為 Bz, Az = bilinear (B, A, F

38、s) 其中B和A分別為模擬濾波器沖激響應(yīng)函數(shù)H(s)的分子和分母(fnm)系數(shù)向量，F(xiàn)s為采樣頻率，Bz和Az分別對(duì)應(yīng)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母系數(shù)向量。共一百九十四頁(yè)6.5 數(shù)字(shz)高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 例如高通數(shù)字濾波器等。具體設(shè)計(jì)(shj)步驟如下： (1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (2) 將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為 共一百九十四頁(yè) (3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換(zhunhun)公式參考本章6.2節(jié))。 (4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。 (5)將模擬低通通過頻率變

39、換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 (6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。共一百九十四頁(yè) 例6.5.1 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減(shui jin)不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB共一百九十四頁(yè) (2) 模擬(mn)高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下： 令T=1，則有(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算(j sun)如下：共一百九十四頁(yè) 將p和s對(duì)3dB截止頻率c歸一化，這

40、里c=p, (4)設(shè)計(jì)歸一化模擬(mn)低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：共一百九十四頁(yè) 查表6.2.1，得到歸一化模擬(mn)低通傳輸函數(shù)G(p)為 為去歸一化，將p=s/c代入上式得到(d do)： (5) 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： 共一百九十四頁(yè) (6)用雙線性變換法將模擬(mn)高通H (s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并(hbng)成一步，即共一百九十四頁(yè) 例6.5.2設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4rad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad

41、以上(yshng)為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為 通帶上截止頻率 u=0.4rad 通帶下截止頻率 l=0.3rad共一百九十四頁(yè) 阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶下截止頻率 s1=0.2rad 通帶(tn di)內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。 共一百九十四頁(yè) (2) 模擬(mn)帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下： 設(shè)T=1，則有(通帶中心(zhngxn)頻率) (帶寬) 共一百九十四頁(yè) 將以上(yshng)邊界頻率對(duì)帶寬B歸一化，得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498;

42、 0=2.804 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)： 歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率p=1p=3dB,s=18dB共一百九十四頁(yè) (4) 設(shè)計(jì)(shj)模擬低通濾波器：查表6.2.1，得到(d do)歸一化低通傳輸函數(shù)G(p),共一百九十四頁(yè) (5) 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面(xi mian)將(5)、(6)兩步合成一步計(jì)算：共一百九十四頁(yè) 將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換(zhunhun)公式，得將上面(shng min)的p等式代入G(p)中，得 共一百九十四頁(yè)6.3 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)(shj)IIR數(shù)字低

43、通濾波器 為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出(t ch)兩點(diǎn)要求： (1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。s平面的左半平面映射到z平面的單位圓內(nèi)。 (2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。共一百九十四頁(yè) 設(shè)模擬(mn)濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t) 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母(fnm)多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： (6.3.1) 式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得到ha(t)：

44、(6.3.2) 共一百九十四頁(yè) 式中u(t)是單位(dnwi)階躍函數(shù)。對(duì)ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： (6.3.3)對(duì)上式進(jìn)行(jnxng)Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： (6.3.4)設(shè)ha(t)的理想采樣信號(hào)用 表示，共一百九十四頁(yè) 對(duì) 進(jìn)行拉氏變換(binhun)，得到: 式中ha(nT)是ha(t)在采樣點(diǎn)t=nT時(shí)的幅度(fd)值，它與序列h(n)的幅度值相等，即h(n)=ha(nT)，因此得到: (6.3.5) 共一百九十四頁(yè) 上式表示(biosh)采樣信號(hào)的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 我們知道模擬信號(hào)ha(t)的傅里葉

45、變換Ha(j)和其采樣信號(hào) 的傅里葉變換 之間的關(guān)系滿足(1.5.5)式，重寫如下：(6.3.6) 共一百九十四頁(yè)將s=j代入上式，得由(6.3.5)式和(6.3.8)式得到(d do):(6.3.7) (6.3.8) (6.3.9) 共一百九十四頁(yè) 上式表明將模擬信號(hào)ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按照(6.3.6)式映射關(guān)系，映射到z平面上，就得到H(z)。(6.3.6)式可稱為標(biāo)準(zhǔn)(biozhn)映射關(guān)系。下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)按照(nzho)(6.3.6)式，得到:因此得到:(6.3.10) 共一百九十四頁(yè) 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另

46、外，注意到z=esT是一個(gè)(y )周期函數(shù)，可寫成為任意(rny)整數(shù)共一百九十四頁(yè)圖6.3.1 z=esT,s平面(pngmin)與z平面之間的映射關(guān)系共一百九十四頁(yè)圖6.3.2 脈沖響應(yīng)不變法的頻率(pnl)混疊現(xiàn)象共一百九十四頁(yè) 假設(shè) 沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足(mnz) 按照(6.3.9)式，并將關(guān)系式s=j代入，=T，代入得到： 令共一百九十四頁(yè) 一般(ybn)Ha(s)的極點(diǎn)si是一個(gè)復(fù)數(shù)，且以共軛成對(duì)的形式出現(xiàn)，在(6.3.1)式中將一對(duì)復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)(jdin)為(6.3.11) 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本

47、節(jié)(只有實(shí)數(shù)乘法)的形式為 (6.3.12) 共一百九十四頁(yè) 例6.3.1 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 解 首先將Ha(s)寫成部分(b fen)分式：極點(diǎn)(jdin)為那么H(z)的極點(diǎn)為共一百九十四頁(yè)按照(6.3.4)式，并經(jīng)過(jnggu)整理，得到 設(shè)T=1s時(shí)用H1(z)表示，T=0.1s時(shí)用H2(z)表示，則 轉(zhuǎn)換時(shí)，也可以直接(zhji)按照(6.3.11),(6.3.12)式進(jìn)行轉(zhuǎn)換。首先將Ha(s)寫成(6.3.12)式的形式，如極點(diǎn)s1,2=1j1,則共一百九十四頁(yè)再按照(nzho)(6.3.14)

48、式，H(z)為共一百九十四頁(yè)圖6.3.3 例6.3.1的幅度(fd)特性不同采樣頻率對(duì)轉(zhuǎn)換結(jié)果的影響共一百九十四頁(yè)6.4 用雙線性變換法設(shè)計(jì)(shj)IIR數(shù)字低通濾波器 為消除頻譜混疊現(xiàn)象，用正切變換實(shí)現(xiàn)(shxin)頻率壓縮： (6.4.1) 式中T仍是采樣間隔，當(dāng)1從-/T經(jīng)過0變化到/T時(shí)，則由-經(jīng)過0變化到+，實(shí)現(xiàn)了s平面上整個(gè)虛軸完全壓縮到s1平面上虛軸的/T之間的轉(zhuǎn)換。這樣便有(6.4.2) 共一百九十四頁(yè) 再通過(tnggu) 轉(zhuǎn)換到z平面上，得到：(6.4.3) (6.4.4) 共一百九十四頁(yè) 下面(xi mian)分析模擬頻率和數(shù)字頻率之間的關(guān)系。 圖6.4.1 雙線性變換

49、法的映射(yngsh)關(guān)系共一百九十四頁(yè) 令s=j,z=e j，并代入(6.4.3)式中，有(6.4.5) 圖6.4.2 雙線性變換法的頻率(pnl)變換關(guān)系共一百九十四頁(yè)圖6.4.3 雙線性變換法幅度和相位特性(txng)的非線性映射共一百九十四頁(yè) 設(shè) 將上面第二式整理成第三式當(dāng)階數(shù)較高時(shí)是件比較困難的事，當(dāng)階數(shù)較低時(shí)，可以查詢已有的表格(biog)。如下：共一百九十四頁(yè) 表6.4.1 系數(shù)(xsh)關(guān)系表 共一百九十四頁(yè)共一百九十四頁(yè) 例6.4.1試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將圖6.4.4所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 解 首先按照?qǐng)D6.4.4寫出該濾波器的傳輸(chun

50、sh)函數(shù)Ha(s)為 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字(shz)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H1(z)為 共一百九十四頁(yè) 利用(lyng)雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為 H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別(fnbi)如圖6.4.5(a),(b)所示。圖6.4.5 例6.4.1圖H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (a)H1(z); (b)H2(z) 共一百九十四頁(yè) 下面我們總結(jié)利用模擬(mn)濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟。 (1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。 (2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（

51、脈沖響應(yīng)不變法）。 如果采用(ciyng)雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為共一百九十四頁(yè)圖6.4.6例6.4.1 圖數(shù)字(shz)濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性及T的影響 共一百九十四頁(yè) (3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。 (4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換(zhunhun)到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。 例6.4.2 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2 rad時(shí)，容許幅度誤差在1dB以內(nèi)；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定模擬濾波器采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。共一百九十四

52、頁(yè) 解 (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字(shz)低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB共一百九十四頁(yè) 設(shè)計(jì)(shj)巴特沃斯低通濾波器。先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率c。 共一百九十四頁(yè) 取N=6。為求3dB截止頻率c,將p和p代入(6.2.17)式，得到c=0.7032rad/s，顯然此值滿足通帶技術(shù)要求，同時(shí)給阻帶衰減留一定余量(y lin)，這對(duì)防止頻率混疊有一定好處。 根據(jù)階數(shù)N=6，查表6.2.1，得到歸一化傳輸函數(shù)為 為

53、去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)中，得到實(shí)際(shj)的傳輸函數(shù)Ha(s), 共一百九十四頁(yè) 用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)轉(zhuǎn)變成部分分式，并按照(6.3.11)式、(6.3.12)式，或者(huzh)(6.3.13)式和(6.3.14)式，得到：共一百九十四頁(yè)圖6.4.7 例6.4.2圖用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字低通濾波器的幅度(fd)特性共一百九十四頁(yè) (2) 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字(shz)低通濾波器。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為共一百九十四頁(yè) 設(shè)計(jì)(shj)巴特沃斯低通濾波

54、器。階數(shù)N計(jì)算如下： 取N=6。為求c,將s和s代入(6.2.18)式中，得到c=0.7662rad/s。這樣阻帶技術(shù)指標(biāo)滿足要求，通帶指標(biāo)(zhbio)已經(jīng)超過。共一百九十四頁(yè) 根據(jù)N=6，查表6.2.1得到的歸一化傳輸(chun sh)函數(shù)Ha(p)與脈沖響應(yīng)不變法得到的相同。為去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)， 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：共一百九十四頁(yè)圖6.4.8 例6.4.2圖用雙線性變換法設(shè)計(jì)(shj)的數(shù)字低通濾波器的幅度特性共一百九十四頁(yè)6.5 數(shù)字(shz)高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) 例如高通數(shù)字(shz)濾波器等。具體設(shè)計(jì)步

55、驟如下： (1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。 (2) 將所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成所需類型模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為 共一百九十四頁(yè) (3)將所需類型模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)(具體轉(zhuǎn)換公式參考(cnko)本章6.2節(jié))。 (4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。 (5)將模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 (6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。共一百九十四頁(yè) 例6.5.1 設(shè)計(jì)(shj)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾