線性代數(shù)各章課件第三章3

1、引例 線性方程組 ,記作又 可逆， ，則有思考 矩陣的初等變換與矩陣乘法有何關(guān)系？3.5 初等矩陣 1.定義 由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等行(列)變換得到的方陣稱為初等矩陣.三種初等變換對(duì)應(yīng)著三種初等方陣.一、初等矩陣的概念及性質(zhì)對(duì)調(diào)E的第 i, j 兩行或第 i , j兩列,得到初等矩陣E(i,j)以數(shù)k0乘單位矩陣E的第i行(列), 得到初等矩陣E(i(k)得到初等矩陣E(i, j(k)例1 判斷如下矩陣是否為初等矩陣是不是2. 初等矩陣的性質(zhì) (1) 初等矩陣轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣(2) 初等矩陣都可逆 ，且其逆矩陣仍為初等矩陣.初等變換初等矩陣初等逆變換初等逆矩陣初等變換的逆變換仍為初等變換,

2、且變換類型相同逆變換逆變換逆變換例2 計(jì)算定理1 設(shè)A為mn階矩陣，則 (1) 對(duì)A施以一次初等行變換，相當(dāng)于用同種m階初等矩陣左乘矩陣A;(2) 對(duì)A施以一次初等列變換，相當(dāng)于用同種n階初等矩陣右乘矩陣A.證明 為 的第i行的行向量. 則有二、初等變換與初等矩陣的關(guān)系一般記法E(i, j)A 表示 A 的第 i 行與第 j 行對(duì)換； AE(i, j) 表示 A 的第 i 列與第 j 列對(duì)換.2. E(i(k)A 表示 A 的第 i 行乘以數(shù) k； AE(i(k)表示A的第 i 列乘以數(shù) k .3. E(i, j(k)A 表示 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行上； AE(i, j(k)

3、 表示 A 的第 i 列的 k 倍加到第 j 列上.例3 設(shè)則（ ）成立.A. B. C. D.C例4 (1) 設(shè)初等矩陣解解定理2 設(shè)矩陣 的秩為r，則存在m階初等矩陣 和n階初等矩陣 , 使得 A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型定理3 n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可以表示成一系列初等矩陣的乘積.推論 若n階矩陣A可逆, 則其等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型為同階單位矩陣E, 即可逆矩陣A可經(jīng)過(guò)若干次初等變換化為單位矩陣.【注】如果B可由A經(jīng)過(guò)一系列初等變換得到，則稱矩陣 A與B等價(jià). 則任意矩陣與其等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型等價(jià). 特別地, 可逆矩陣A與E等價(jià).1求逆矩陣 初等行變換求逆矩陣保證A，E作相同的初等行變換即三、利用初等變換求逆矩

4、陣、解矩陣方程行變換求逆矩陣的方法： 構(gòu)造 n2n 矩陣 ( A E )； 對(duì) ( A E ) 連續(xù)施以初等行變換, 使 A 化為單位矩陣 E , 此時(shí) E 對(duì)應(yīng)部分就化為了 A-1. 例5 求 的逆矩陣.求逆時(shí),若用初等行變換必須堅(jiān)持始終,不能夾雜任何 列變換.【注】如果不知矩陣A是否可逆，也可按上述方法，只要n2n矩陣的左邊子塊有一行(列)的元素全為0, 則A的行列式等于0, 故A不可逆.初等列變換求逆矩陣即保證A，E作相同的初等列變換例5 求 的逆矩陣.2解矩陣方程若矩陣A可逆,則即初等行變換例6解方法1 先求出 ，再計(jì)算 .方法2 利用初等行變換直接求 . 若矩陣A可逆,則即初等列變換1. 單位矩陣 初等矩陣.一次初等變換2. 利用初等變換求逆陣的步驟:【小結(jié)】作業(yè)：P135 45(3)(4), 46(2)(4), 48, 50解法1可以看成是由3階單位矩陣 經(jīng)4次初等變換,而得.而這4