沒有數(shù)學(xué)天分學(xué)高數(shù)的方法

1、本文整理于網(wǎng)絡(luò)，僅供閱讀參考沒有數(shù)學(xué)天分學(xué)高數(shù)的方法沒有數(shù)學(xué)天分學(xué)高數(shù)的方法一、背數(shù)學(xué)我曾經(jīng)有一位學(xué)生數(shù)學(xué)成績一塌糊涂，甚至都想放棄數(shù)學(xué)， 去參加不要求數(shù)學(xué)成績的院校招生。直至一天他想到“背數(shù)學(xué)” 的學(xué)習(xí)方法，他寫到：這個技巧是：不懂的問題，直接看解答，先背起來再說。如 此一來，一題一般只要 5分鐘便背下來，從量來看，可以追趕得 上成績好的同學(xué)。各位猜猜看看，從開始背數(shù)學(xué)后，她的成績變好了嗎？結(jié)果是, 她的成績進步神速，高中三年級時，數(shù)學(xué)模擬考試成績還進入全 國排名，弁應(yīng)屆考上東京大學(xué)醫(yī)學(xué)院。比她小一歲的弟弟采用了 此方法，也成為該校創(chuàng)校以來第二位應(yīng)屆考入東京大學(xué)文學(xué)院的 學(xué)生。無獨有偶，19

2、95年北京市文科狀元、北京大學(xué)段楠同學(xué)，也 有類似的經(jīng)歷。她在北京四中讀書時，高二第一學(xué)期期末考試只 列上第30名，而且數(shù)學(xué)還沒及格。那么，她是如何把數(shù)學(xué)成績提 上來的呢？她說：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一個自己的小竅門，不一定對每個人有用，說出 來僅供參考：如果能學(xué)好數(shù)學(xué)是背例題背出來。 不采用題海戰(zhàn)術(shù)， 但是從每種類型的題中找出一兩道典型題“背”過一兩次，理解 之后，再看到難題就會拿著例題往里套了。二、教材試卷化，試卷教材化之前有位學(xué)生成績一直很穩(wěn)定， 但拔不了尖。為了她很苦惱， 不知道怎么做才能打破這一局面。直至有一天她忽然想到把試卷 和教材來個角色互換，具體做法：試卷和教材“角色互換”步驟如下：第一步

3、，把試卷依照教材的順序清理好，弁編上序號。因為 試卷基本都是按教材走的，清理起來弁不費勁。第二步，在試卷的開始處寫上一段“導(dǎo)語” O主要內(nèi)容有：一 是此試卷考什么，二是與考試有關(guān)的知識要點。第三步，在試卷結(jié)尾處，寫上一段“小結(jié)”，總結(jié)自己考試情 況，寫出自己在知識上的缺陷。她說，將這些試卷裝訂起來，反復(fù)閱讀，實在比看教材過癮。再說教材與試卷的“角色互換” O這位同學(xué)的做法如下：第一步，認真閱讀教材。第二步，閱讀一段，就用若干問題以考題形式總結(jié)出來。第三步，將問題和參考答案寫在一個本上，至此，教材試卷 化工作即已完成。她說，教材上每一節(jié)或每一章往往也有思考題，但教材試卷 化時，要比教材更細，可以

4、一小段就出一道題。三、回過來做課本上的題老師有個建議：索性先回過頭來，老老實實地、認認真真地 把課本上的題全做一遍。這么做的原因有：第一：課本上的習(xí)題，是編教材的老師費盡心思、反復(fù)考慮 才挑選出來，是最具代表性的題，是最具代表性的題，是最好的題，值得去做。第二：一般來講，課本上的習(xí)題，尤其注意與概念、公式、 定律的聯(lián)系，而數(shù)學(xué)成績不太穩(wěn)定的同學(xué)的一大通病，就是基礎(chǔ) 不勞，概念、公式、定律等掌握得不是很好，為此也值得去做課 本上的題。第三：課本上的習(xí)題，有的老師講過，有的教參書上有比較 詳細的講解，比較容易做對，從而增強自己的信心。以優(yōu)異成績考入中山大學(xué)的 2001級本碩連讀班的的洪偉雄同 學(xué)也

5、有同感。他說：“第一，做題應(yīng)先做課本上的題。第二，做題 還有個“適度”問題?！彼?、做數(shù)學(xué)題時，先求快，再求準做數(shù)學(xué)題的兩個基本指標是快和準。老師認為，在解決快和 準這一對矛盾時，不妨先求快，再求準。他寫道，自己計時做題， 要求在規(guī)定時間內(nèi)完成，然后自我改卷平分。先求“快”，力求做完，再求“準”。很多高考數(shù)學(xué)做不完，就是平時缺少這種高強度 訓(xùn)練的結(jié)果。要知道，在高考中，“時間就以為著勝利” o把“快”列為優(yōu)先、第一位的因素的理由有：第一，如上所述，現(xiàn)在的考試，是將熟練程度列入考察因素。 要想拿高分，就必須保持一定的解題速度。第二，從學(xué)習(xí)心理學(xué)講，做完一件事 （盡管不完善）會使人有 種成就感。先有

6、了這種成就感，再去追求完美感 （少錯），是符合 人的學(xué)習(xí)心理的。沒有數(shù)學(xué)天分學(xué)高數(shù)的建議第一，要具備不卑不亢的心態(tài)數(shù)學(xué)弁非難，只是它的表述體系和思維要求，對于多數(shù)中國 學(xué)生比較陌生。要把它當(dāng)作全新的東西來認識，就跟學(xué)習(xí)一門新 語言一樣。以前自己學(xué)的東西，包括高中知識和ap數(shù)學(xué)等，記住概念即可，思維推導(dǎo)不要沿用。然后嚴格按照老師講的思維方式， 不厭其煩的推導(dǎo)和證明，慢慢一回生二回熟。幾年前華人數(shù)學(xué)天 才陶哲軒給ucla本科生講honor analysis(榮譽數(shù)學(xué)分析)的時候, 上來進度非常慢，前一個月都在證明皮亞諾公理、集合論和基本 的映射理論，但后來可以越學(xué)越快，而且學(xué)生越學(xué)越hi。拳不離手

7、，曲不離口，學(xué)語言要勤動口和動筆，學(xué)數(shù)學(xué)也要沒事常動腦。就算文科生一樣可以學(xué)好數(shù)學(xué)：20世紀俄羅斯數(shù)學(xué)學(xué)派掌門 人、莫斯科國立大學(xué)數(shù)學(xué)系主任柯莫高(kolmogorov,又譯柯爾莫格洛夫)大一是讀歷史的。美國人魏愛華(edward witten)更奇葩， 本科四年讀的都是歷史和語言學(xué)，博士申請uwm的經(jīng)濟學(xué)博士，讀了半年退學(xué)，自修數(shù)學(xué)和物理，23歲考進princeton ,碩轉(zhuǎn)博再 同時搞數(shù)學(xué)和物理。16年后，他站在菲爾茲獎的領(lǐng)獎臺上。我說過了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)其實是哲學(xué)，而哲學(xué)算文科還是理科都有 道理。另一方面，國內(nèi)就算奧賽摘金奪銀，到美國也要扎扎實實 的學(xué)。因為奧賽國際金牌在歐美的精英面前多數(shù)是渣：

8、俄羅斯蓋 芳德(gelfand)15 歲讀完代數(shù)幾何教父高探蝶 (grothendieck) 的 名著ega(代數(shù)幾何原理)，這套書讓北大博士去讀都夠嗆。我們石 溪的米糯教授本科大一在數(shù)學(xué)年鑒上發(fā)論文，這是數(shù)學(xué)界最 高學(xué)術(shù)期刊，每年中國大陸都很難有一篇文章發(fā)表。這里特別要說一下美國數(shù)學(xué)教學(xué)的二段教學(xué)法：不同于俄羅 斯和中國上來就是帶證明的數(shù)學(xué)分析和高等代數(shù)，美國的教學(xué)更為親民：上來先是微積分和不帶證明的線性代數(shù)，內(nèi)容比較簡單，作業(yè)和考試很多中國學(xué)生可以依靠高中基礎(chǔ)秒殺之。但不少人練 習(xí)不夠，很多知識沒搞透，方法技巧也不夠熟練。然后到了第二 段，數(shù)分和高代一開，很多人欲哭無淚。這就要求第一階段，

9、哪 怕覺得這些題再傻，一本書一道不落地做完是很有必要的。然后第二段就要細讀書，多問老師。在美國基礎(chǔ)數(shù)學(xué)能學(xué)好的中國人， 要么是自己天才，要么就把教授辦公室的椅子坐穿。第二，保證數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)時間要是天才弁且喜歡數(shù)學(xué)，那你自然會給數(shù)學(xué)大量時間。如果是為了將來勝任其他領(lǐng)域而學(xué)數(shù)學(xué)，要記住大一大二對于打好數(shù) 學(xué)基礎(chǔ)是最寶貴的。所以，建議每天先完成其他學(xué)科的作業(yè)，然 后把大塊時間分配給數(shù)學(xué)的看書做題細琢磨。我目前主要是修各種數(shù)學(xué)課和一門應(yīng)用數(shù)學(xué)的概率論，每天時間大體是這樣分割的：睡覺 6小時，吃飯包括飯后的休息 2小 時，健身和洗澡2小時，交通1小時，個人愛好1小時（抄抄四書 五經(jīng)，讀讀文藝的歌詞，主要是

10、墨明棋妙的還有林夕的），機動時間1小時，剩下11小時是聽課和課下學(xué)習(xí)。周末多用兩小時坐校 車去買個菜，路上一直思考，也相當(dāng)于最終學(xué)習(xí)10小時。誰說數(shù)學(xué)天才每天悠哉游哉？那么最年輕的菲爾茲獎得主，27 歲得獎的賽赫（jean-pierre serre）夠天才了吧？他自述道：習(xí)慣帶著數(shù)學(xué)題入夢，醒來往往有思路。故我用最愛的紅樓夢第 一回作為他的雅號：“夢幻通靈”賽赫（與“造化陰陽”高探蝶，“迷 津慈航艾抵涯（sir michael atiyah ,英國皇家學(xué)會會長，敕封 爵士）弁列20世紀世界第一的數(shù)學(xué)家）。數(shù)學(xué)多好算好？別說拿a, 滿分都是不夠的。一本書讀完，知識和方法不超綱的題目要難不 住你（

11、by ”現(xiàn)代微分幾何之父”陳省身）。一本書讀完，同一領(lǐng)域 下一階段的書要能自通 30%（by菲爾茲獎得主curtis mcmullen的 導(dǎo)師dennis sullivan ,石溪數(shù)學(xué)四大導(dǎo)師之蘇立文）。校內(nèi)傳的 什么每天學(xué)習(xí)八小時那是給別的學(xué)科的。沒有數(shù)學(xué)天分學(xué)高數(shù)的技巧（1）數(shù)學(xué)思維的三個方面任何數(shù)學(xué)的定義、定理說透了也就三部分：第一是它本身的文字和（或）符號、公式內(nèi)容；第二是它在數(shù)學(xué)知識體系中的位置，與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容的邏輯關(guān)系，包括由什么可以推出來該定義或定理，它又可以（與其它定理一起）推出些什么；第三是它所涉及的范疇有什么具體實例 （比如循環(huán)群就有旋 轉(zhuǎn)圖形、整數(shù)加群和同余模加群等例子

12、），這些例子又有何作用， 能否在數(shù)學(xué)中或數(shù)學(xué)外（典型的如幾何和物理）取得應(yīng)用。這就分別是數(shù)學(xué)對象的本體論、方法論和目的論。柯莫高說：”的確學(xué)生對數(shù)學(xué)的適應(yīng)性存在差異，這種適應(yīng)性表現(xiàn)在：1、算法能力，也就是對復(fù)雜式子作高明的變形，以解決標準 方法解決不了的問題的能力。2、幾何直觀的能力，對于抽象的東西能把它在頭腦里像圖畫 一樣表達出來，弁進行思考的能力。3、一步一步進行邏輯推理的能力。這些對應(yīng)的就是掌握數(shù)學(xué)概念的三方面需要什么能力。提高算法能力最好多做題，幾何直觀除了做題還要平時多留意，多聯(lián) 系生活實際；邏輯推理這個往往是中國學(xué)生的弱項，畢竟我們母語的方塊字二維畫面性遠遠超過西方拼音文字，而一維

13、線形（邏輯鏈的內(nèi)在屬性）卻不足。漢字個個如畫，橫豎左右寫均可，而西方拼 音文字就得一條路從左往右，上下寫都夠嗆。故邏輯推理要特別 練習(xí)。練習(xí)邏輯推理的方法關(guān)鍵在定理的證明，下面會詳述。（2）如何課前預(yù)習(xí)一開始微積分可以多做一點，而數(shù)分和高代等帶證明的預(yù)習(xí) 下一節(jié)課內(nèi)容即可。先回顧上堂課所學(xué)知識，再看新章節(jié)內(nèi)容： 先略讀本章節(jié)，看清有幾個定義（definition） ,幾個定理（theorem） 和弓I理（lemma）,有哪些例子（example）和注釋（remark）。如果把 數(shù)學(xué)比作一門語言，定義就是名詞，定理和引理是句子，而例子 和注釋相當(dāng)于古文經(jīng)典中的注和疏。定義一定要自己品味，比較 長

14、的拆開句子成分慢慢看，不行就抄。日本第一個菲爾茲獎小平 邦彥大學(xué)時抄過整本 van de warden的代數(shù)，咱們抄書不丟人。 定 義要么是全新的，這個不急著理解，往后看看；要么是基于以前內(nèi)容的，這個不妨回顧一下相關(guān)內(nèi)容再繼續(xù)看。遇到定理就要注意，課本的證明不要先看，自己理解定理內(nèi) 容后，把定理當(dāng)作習(xí)題徒手證一遍， 寫下來，再與課本原文比較， 查找二者的不同：自己的證明是不是漏某條件或者把某需要說明 的當(dāng)做顯然了（初學(xué)者常犯錯誤），是不是有多余的語句，是不是 有地方用錯了。凡是不同處，都要重點思考，這樣進步就快了。 如果實在想不起來，就看看書本怎么證的。對于自己的不足，要 整理到上述公式、邏輯

15、或幾何三個大類中，弁提醒自己注意（如國內(nèi)分析教材從羅爾定理證明拉格朗日中值定理，很多人不會把一 般的函數(shù)構(gòu)造成符合羅爾定理條件的函數(shù)，這個就牽涉到公式變形能力和邏輯能力)。引理也是這么證。別小看引理，朗蘭茲猜想中的基本引理之 一，吳寶珠證出來就是一個菲爾茲獎。 至于例子，也是不要先看， 自己看了定理，自己想至少兩個例子，一個是典型的，一個是退 化的極限情況(by halmos,我要做數(shù)學(xué)家和希爾伯特空間習(xí) 題集的作者，芝加哥大學(xué)鼎盛時期和陳省身等共事的數(shù)學(xué)家)例如高中解析幾何的雙曲線，分母的 a八2, bA2當(dāng)然大于零，可以 找出來一個例子。如果其中一項等于零，就退化成兩條直線，這 就是退化的

16、極限情況。不要小看退化，這正是跟以前知識的聯(lián)系。 自己想了例子，其實潛意識中，注釋的內(nèi)容已經(jīng)過了一遍。然后 不必太早做習(xí)題，再回顧一下整個思維過程有沒有需要看課本提 示的地方，有沒有自己能看懂但是跟以往慣性思維相悖的地方， 有沒有突然頓悟的地方。這都要記下來，上課等老師講到這里時 要格外留心。(3)聽課美國的數(shù)學(xué)教授基本還是寫黑板，而且不會太快。上課公式 一寫幾黑板的那是應(yīng)用數(shù)學(xué)教授，嘛嘛啪啪打幻燈的在石溪一定 不是數(shù)學(xué)或物理教授。所以，有時間記筆記。但不必全記住，把預(yù)習(xí)的成果調(diào)動起來，老師講的時候跟自己腦中的備份隨時印證 弁修正。就一個建議，教授不停嘴，學(xué)生不動筆。真正聽好了， 上課一字不寫

17、又何妨 ？課下完全可以輕松補全弁注上自己的心得 見解。(4)課下先整理筆記，一定有自己的見解，全抄老師的對于學(xué)應(yīng)數(shù)是有用的，對于學(xué)數(shù)學(xué)則是浪費時間。數(shù)學(xué)界的師生關(guān)系往往很融 治，但思維上絕對是批判繼承和啟發(fā)繼承，學(xué)我者昌，似我者亡。然后是定義再品味一下，定理和引理自己再證一遍，比較老師的 證明、課本的證明和自己當(dāng)初的證明， 這次不僅要能說出哪個好， 還要能說出為什么好。然后是做題了。除了開始的微積分要刷書，帶證明的課，課 本做好作業(yè)題就夠了，因為老師選的可能不是經(jīng)典教材(經(jīng)典的往 往比較難，很多美國學(xué)生受不了 )。但每個題要做精，做完一題回 顧自己的思路歷程，弁對其中的公式變形、邏輯推理和幾何直觀 進行歸類。實在做不出來，畫個記號，改天再看，兩天都做不出 來才可以看解答。對于解答中自己想不到的，要特別標注，常常 回顧。然后就是選一本這一門課比較經(jīng)典的書，按照上文預(yù)習(xí)和 做題的路子走一遍。經(jīng)典教材的知識點和思路要自己總結(jié)，每過 一兩章節(jié)，找一張大的紙畫下來本章定理的邏輯體系圖。經(jīng)典教 材的題目最好都做，做不出來，offic