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文檔簡(jiǎn)介
1、問(wèn)題驅(qū)動(dòng):全球定位系統(tǒng)(GPS) 人類(lèi)對(duì)導(dǎo)航和定位的需求是伴隨著人類(lèi)整個(gè)文明歷史的進(jìn)步而發(fā)展的,中國(guó)古代“四大發(fā)明”之一的指南針是最早的定位儀器和系統(tǒng),其后還有經(jīng)緯儀以及近代的雷達(dá)。如圖5.1.1所示全球定位系統(tǒng)(GPS)是基于衛(wèi)星的導(dǎo)航系統(tǒng),最早最早由美國(guó)和前蘇聯(lián)分別在80年代研制,并于1993年正式投入使用。現(xiàn)代社會(huì)中全球定位系統(tǒng)越來(lái)越深入到人們生活的方方面面。例如市場(chǎng)上出售的手持型GPS,定位的精度可以達(dá)到10米以?xún)?nèi),這無(wú)疑給旅行者提供了方便;安裝有GPS的兒童手表,家長(zhǎng)在家里的計(jì)算機(jī)上可以追蹤到孩子的位置,防止兒童走失;安裝有GPS系統(tǒng)的汽車(chē)可以幫助新司機(jī)辨識(shí)道路等等。 1 引 言圖5
2、.1.1 衛(wèi)星定位示意圖 美國(guó)和前蘇聯(lián)的GPS都包括有24顆衛(wèi)星,它們不斷地向地球發(fā)射信號(hào)報(bào)告當(dāng)前位置和發(fā)出信號(hào)的時(shí)間, 衛(wèi)星分布如圖5.1.2所示。它的基本原理是:在地球的任何一個(gè)位置,至少同時(shí)收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號(hào)。發(fā)射的信號(hào), 設(shè)地球上一個(gè)點(diǎn)R,同時(shí)收到衛(wèi)星 假設(shè)接收的信息如表5.1.1所示。請(qǐng)?jiān)O(shè)法確定R點(diǎn)的位置。 圖5.1.2 衛(wèi)星分布圖表9.1.1GPS導(dǎo)航問(wèn)題可歸結(jié)為求解非線(xiàn)性代數(shù)數(shù)方程組 , 當(dāng) 時(shí)就是單個(gè)方程. .其中 可以是代數(shù)方程,也可以是超越方程。使 成立的x 值稱(chēng)為方程的根,或稱(chēng)為 的零點(diǎn)??茖W(xué)與工程計(jì)算中,如電路和電力系統(tǒng)計(jì)算、非線(xiàn)性力學(xué)、非線(xiàn)性微(積分)方程、非
3、線(xiàn)性規(guī)劃(優(yōu)化)等眾多領(lǐng)域中,問(wèn)題的求解和模擬最終往往都要解決求根或優(yōu)化問(wèn)題。前一種情形要求出方程(組)的根;后一種情形則要求找出函數(shù)取最大或最小的點(diǎn)。 即使是對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合或數(shù)值求解微分方程,也總是將問(wèn)題簡(jiǎn)化成上述兩類(lèi)問(wèn)題。上述除少數(shù)特殊方程外,大多數(shù)非線(xiàn)性代數(shù)方程(組)很難使用解析法求解精確解,一般需要通過(guò)一些數(shù)值方法逼近方程的解。這里主要介紹單個(gè)方程的數(shù)值解法,方程組也可以采用類(lèi)似的方法,將放在后面討論。1根的存在性。方程有沒(méi)有根?如果有,有幾個(gè)根?2根的搜索。這些根大致在哪里?如何把根隔離開(kāi)?3根的精確化。 f (x) = 0 (5.1.1)1.根的存在性定理1:設(shè)函數(shù) f (x)
4、 在區(qū)間a, b上連續(xù),如果f (a) f (b) 0打 印結(jié) 束否是繼續(xù)掃描例1:考察方程 x00.51.01.5f (x) 的符號(hào)ab或不能保證 x 的精度abx0 x1x*2 二 分 法 執(zhí)行步驟1計(jì)算f (x)在有解區(qū)間a, b端點(diǎn)處的值,f (a),f (b)。2計(jì)算f (x)在區(qū)間中點(diǎn)處的值f (x0)。3判斷若f (x0) = 0,則x0即是根,否則檢驗(yàn):(1)若f (x1)與f (a)異號(hào),則知解位于區(qū)間a, x0, b1=x0, a1=a;(2)若f (x0)與f (a)同號(hào),則知解位于區(qū)間x0, b, a1=x0, b1=b。反復(fù)執(zhí)行步驟2、3,便可得到一系列有根區(qū)間:4、
5、當(dāng)時(shí),停止;即為根的近似。當(dāng) 時(shí), ,即這些區(qū)間必將收縮于一點(diǎn),也就是方程的根。在實(shí)際計(jì)算中,只要 的區(qū)間長(zhǎng)度小于預(yù)定容許誤差就可以停止搜索,即 然后取其中點(diǎn) 作為方程的一個(gè)根的近似值。 注: 例1 證明方程 存在唯一的實(shí)根 用二分法求出此根,要求誤差不超過(guò) 。解:記 ,則對(duì)任意 ,因而, 是嚴(yán)格單調(diào)的, 最多有一個(gè)根,所以, 有唯一實(shí)根 又因?yàn)?用二分法求解,要使 ,只要 解得 ,取 。所以只要二等分7次,即可求得滿(mǎn)足精度要求的根。計(jì)算過(guò)程如表5.2.1所示 k f(ak)及符號(hào)f(xk)及符號(hào)f(bk)及符號(hào)01234 5670()0()0()0()0.0625()0.0625()0.07
6、8125()0.0859375()0.5(+)0.25(+)0.125(+)0.0625()0.09375(+)0.078125()0.0859375()1( + )0.5( + )0.25( + )0.125( + )0.125( + )0.09375( + )0.09375( + )0.09375( + )表5.2.1所以, 簡(jiǎn)單; 對(duì)f (x) 要求不高(只要連續(xù)即可) .無(wú)法求復(fù)根及偶重根 收斂慢 二分法的優(yōu)缺點(diǎn) 問(wèn)題 雖然二分法計(jì)算簡(jiǎn)單,能夠保證收斂,但是它對(duì)于方程單根存在區(qū)域信息要求太高,一般情況下很難實(shí)現(xiàn),并且不能求重根、復(fù)根和虛根。在實(shí)際應(yīng)用中,用來(lái)求解方程根的主要方法是迭代法
7、。使用迭代法求解非線(xiàn)性代數(shù)方程的步驟為:(1) 迭代格式的構(gòu)造;(2) 迭代格式的收斂性分析;(3) 迭代格式的收斂速度與誤差分析。 3 迭 代 法1簡(jiǎn)單迭代法f (x) = 0 x = (x)等價(jià)變換其中 (x)是連續(xù)函數(shù)。方程(5.3.1)稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn)方程,滿(mǎn)足(5.3.1)式的點(diǎn)稱(chēng)為不動(dòng)點(diǎn),這樣就將求 (5.3.1)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。稱(chēng)這種迭代格式為不動(dòng)點(diǎn)迭代。以不動(dòng)點(diǎn)方程為原型構(gòu)造迭代格式例3:求方程的一個(gè)根.構(gòu)造迭代格式x1 = 0.4771x2 = 0.3939x6 = 0.3758x7 =0.3758解:給定初始點(diǎn)xyy = xxyy = xxyy = xxyy =
8、xx*x*x*x*y= (x)y= (x)y= (x)y= (x)x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1x0p0 x1p1 定理2 如果 (x)滿(mǎn)足下列條件 (1)當(dāng)xa, b時(shí),(x)a, b (2)當(dāng)任意xa, b,存在0 L 1,使 則方程x = (x)在a, b上有唯一的根x*,且對(duì)任意初值 x0a, b時(shí),迭代序列xk+1= (xk) (k = 0, 1, )收斂于 x*,且有如下誤差估計(jì)式:(5.3.2)2迭代過(guò)程的收斂性與誤差估計(jì)停機(jī)準(zhǔn)則。(5.3.3) 求方程在內(nèi)的根例:。解:原方程可以等價(jià)變形為下列三個(gè)迭代格式由迭代格式 (1) 取初值得 結(jié)果是發(fā)散的?!由迭
9、代格式 (2) 取初值得 結(jié)果精確到四位有效數(shù)字,迭代到得到收斂結(jié)果。 十步才能得到收斂的結(jié)果! 由迭代格式(3) 取初值得 結(jié)果精確到四位有效數(shù)字,迭代到得到收斂結(jié)果。四步就能得到收斂的結(jié)果了!迭代格式(1)的迭代函數(shù)為 求導(dǎo)得 當(dāng)時(shí)故迭代格式(1)是發(fā)散的。分析:當(dāng) 時(shí), 迭代格式(2)的迭代函數(shù)為 由知當(dāng) 時(shí), 所以迭代格式(2)是收斂的。迭代格式(3)的迭代函數(shù)為當(dāng) 時(shí),由時(shí), 知當(dāng)所以迭代格式(3)也是收斂的。結(jié)論: 通過(guò)以上算例可以看出對(duì)迭代函數(shù)所得到的若小于1,則收斂;且上界越小收斂速度越快。求導(dǎo),的上界若是大于1,則迭代格式發(fā)散; 3. 加速收斂技術(shù) L越小迭代法的收斂速度越快
10、,因此,可以從尋找較小的L來(lái)改進(jìn)迭代格式以加快收斂速度。思路(1) 松弛法引入待定參數(shù) ,將 作等價(jià)變形為 (5.3.4) 將方程右端記為 ,則得到新的迭代格式 由定理2知 為了使新的迭代格式比原來(lái)迭代格式收斂得更快,只要滿(mǎn)足且 越小,所獲取的L就越小,迭代法收斂的就越快,因此我們希望 ??扇?,若記 則(5.3.4)式可改寫(xiě)為 稱(chēng)為松弛因子,這種方法稱(chēng)為松弛法。為使迭代速度加快,需要邊計(jì)算邊調(diào)整松弛因子。由于計(jì)算松弛因子需要用到微商,在實(shí)際應(yīng)用中不便使用,具有一定局限性。若迭代法是線(xiàn)性收斂的,當(dāng)計(jì)算 不方便時(shí),可以采用埃特金加速公式。 (2) 埃特金加速公式設(shè)迭代法是線(xiàn)性收斂,由定義知成立,
11、故當(dāng) 時(shí)有 由此可得 的近似值 (5.3.5) 由此獲得比 和 更好的近似值 ,利用(5.3.5)序列 的方法稱(chēng)為(3) Steffensen 加速法 將Aitken加速公式與不動(dòng)點(diǎn)迭代相結(jié)合,可得(5.3.6) 式構(gòu)造埃特金(Aitken)加速方法。利用(5.3.6)式構(gòu)造序列 的方法稱(chēng)為Steffensen加速方法。即每進(jìn)行兩次不動(dòng)點(diǎn)迭代,就執(zhí)行一次Aitken加速。 例2 試用簡(jiǎn)單迭代法和Steffensen加速法求方程在 附近的根,精確至四位有效數(shù)。 解:記 ,簡(jiǎn)單迭代法公式為: 計(jì)算得kxkkxkkxk00.570.55844140.5671210.6065380.56641150.
12、5671620.5452490.56756160.5671430.57970100.5669140.56006110.5672850.57117120.5670760.56486130.56719Aitken加速公式計(jì)算得所以, 。4迭代過(guò)程的局部收斂定義1: 若存在 的某一鄰域 ,迭代過(guò)程 對(duì)任意初值 均收斂,則 稱(chēng)迭代過(guò)程 在根 鄰近具有局 部收斂性。 定理3 設(shè) 為方程 的根, 在 的鄰近 連續(xù),且 ,則迭代過(guò)程 在 的鄰近具有局部收斂性。5迭代過(guò)程的收斂速度 設(shè)由某方法確定的序列xk收斂于方程的根x*,如果存在正實(shí)數(shù)p,使得(C為非零常數(shù))定義2則稱(chēng)序列xk收斂于x*的收斂速度是p階的
13、,或稱(chēng)該方法具有p 階收斂速度。當(dāng)p = 1時(shí),稱(chēng)該方法為線(xiàn)性(一次)收斂;當(dāng)p = 2時(shí),稱(chēng)方法為平方(二次)收斂;當(dāng)1 p 2或C=0,p=1時(shí),稱(chēng)方法為超線(xiàn)性收斂。 定理4 如果 在 附近的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有 ( )階 連續(xù)導(dǎo)數(shù),且則迭代格式 在 附近是 階局部收斂的,且有3 牛頓法一、牛頓法的迭代公式 考慮非線(xiàn)性方程 原理:將非線(xiàn)性方程線(xiàn)性化 Taylor 展開(kāi)取 x0 x*,將 f (x)在 x0 做一階Taylor展開(kāi):, 在 x0 和 x 之間。將 (x* x0)2 看成高階小量,則有:只要 f C1,且每步迭代都有 , 而且則 x*就是 f (x)的根。公式(9.4.1)稱(chēng)為牛頓迭代
14、公式。(9.4.1)構(gòu)造迭代公式x*x0 x1x2xyf(x)二、牛頓法的幾何意義三、牛頓法的收斂性定理4: 設(shè)f (x)在a, b上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且滿(mǎn)足下列條件:(1)f (a) f (b) 0則由(9.4.1)確定的牛頓迭代序列xk二階收斂于f (x)在a, b上的唯一單根x*。注:Newton法的收斂性依賴(lài)于x0 的選取。x*x0 x0 x0四. 牛頓迭代法的局部收斂性與收斂速度 ,,且 設(shè) 在包含 的一個(gè)區(qū)間二階連續(xù)可導(dǎo),則Newton迭代法至少二階收斂,即 值得注意的是,當(dāng) 充分光滑且 是 的重根時(shí),牛頓法在的附近是線(xiàn)性收斂的。且Newton迭代法在 上的收斂性依賴(lài)于初值的選取。即
15、初值 的選取充分靠近 時(shí),一般可保證Newton迭代法收斂。 并得出了 是該方程的一個(gè)根,無(wú)人知道他用什么方法得出的,在當(dāng)時(shí)這是一個(gè)非常有名的結(jié)果,試用牛頓法求出此結(jié)果。 解: 記則當(dāng) 時(shí), ,又所以 有唯一實(shí)根 ,并改寫(xiě) 例3 Leonardo于1225年研究了方程 用牛頓迭代格式所以, 。五、求m重根的牛頓法1、迭代格式(9.4.2)2、重?cái)?shù)m的確定3、迭代格式(9.4.2)的收斂階(至少2階收斂)由于Newton迭代法的收斂性依賴(lài)于初值 的選取,如果 離方程的根 較遠(yuǎn),則Newton迭代法可能發(fā)散。為了防止迭代發(fā)散,可以將Newton迭代法與下山法結(jié)合起來(lái)使用,放寬初值的選取范圍,即將(
16、9.4.1)式修改為: 其中, 稱(chēng)為下山因子,選擇下山因子時(shí),希望 滿(mǎn)足下山法具有的單調(diào)性,即這種算法稱(chēng)為Newton下山法。在實(shí)際應(yīng)用中,可選擇 。六、牛頓法的變形1、牛頓下山法牛頓下山法的計(jì)算步驟:(1)選取初始近似值x0;(2)取下山因子 = 1;(3)計(jì)算(4)計(jì)算f (xk+1),并比較 與 的大小,分以下二種情況1)若 ,則當(dāng) 時(shí),取x* xk+1,計(jì)算過(guò)程結(jié)束;當(dāng) 時(shí),則把 xk+1 作為新的 近似值,并返回到(3)。 2)若 ,則當(dāng)且|f(xk+1)| ,取x* xk,計(jì)算過(guò)程結(jié)束;否則若,而 時(shí),則把xk+1加上一個(gè)適當(dāng)選定的小正數(shù),即取xk+1+作為新的xk值,并轉(zhuǎn)向(3)
17、重復(fù)計(jì)算;當(dāng);且 時(shí),則將下山因子縮小一半,取/2代入,并轉(zhuǎn)向(3)重復(fù)計(jì)算。 例5:求方程f (x) = x3 x 1 = 0 的根。kxk010.611/251.14063211.36681311.32628411.32472牛頓下山法的計(jì)算結(jié)果:牛頓迭代法每迭代一次都需計(jì)算函數(shù)值 和導(dǎo)數(shù)值 計(jì)算量比較大;且迭代過(guò)程中計(jì)算 時(shí),僅利用了 點(diǎn)的信息,而沒(méi)有充分利用已經(jīng)求出的 ;在導(dǎo)數(shù)計(jì)算比較麻煩或難以求出時(shí), 迭代格式構(gòu)造 (2) 構(gòu)造方法:將Newton迭代格式中的導(dǎo)數(shù)用差商代替。 2、割線(xiàn)法:(1) 構(gòu)造思想:用割線(xiàn)的斜率代替牛頓迭代法中切線(xiàn)的斜率;設(shè)法避開(kāi)導(dǎo)數(shù)值的計(jì)算,因此可以采用離散
18、牛頓法(割線(xiàn)法)。 一個(gè)自然的想法就是在充分利用“舊信息”的同時(shí),割線(xiàn)法的幾何意義x0 x1切線(xiàn) 割線(xiàn) 切線(xiàn)斜率割線(xiàn)斜率x2割線(xiàn)法迭代格式:割線(xiàn)法的局部收斂性與收斂速度 設(shè) ,在 ,且 的某一鄰域 內(nèi)二階連續(xù)可微,當(dāng) 時(shí),由割線(xiàn)法產(chǎn)生的序列 收斂于 ,且收斂階至少為1.618。 3、 雙點(diǎn)弦截法 :切線(xiàn)斜率割線(xiàn)斜率初值 x0 和 x1。x0 x1x24 非線(xiàn)性方程組的數(shù)值解法(1) 構(gòu)造思想:用線(xiàn)性方程組近似非線(xiàn)性方程組,由線(xiàn)性方程組解得的向量序列,逐步逼近非線(xiàn)性方程組的解向量。 (2) 構(gòu)造方法:若記一、 非線(xiàn)性方程組的牛頓迭代法則非線(xiàn)性方程組其中 ,且 中至少有一個(gè)是 的非線(xiàn)性函數(shù)。類(lèi)似于
19、的情況,可將單變量方程求根的方法推廣到非線(xiàn)性方程組。若已給出方程組的一個(gè)近似根 。將函數(shù) 的分量 在 用多元函數(shù)泰勒展開(kāi),并取其線(xiàn)性部分可表示為 (9.5.1)令上式右端為零,得到線(xiàn)性方程組(9.5.2) 其中稱(chēng)為 的Jacobi矩陣,求解線(xiàn)性方程組(9.5.2),并記解為 ,則得 這就是解非線(xiàn)性方程組(9.5.1)的Newton迭代法。Newton迭代法具有二階的收斂速度,但對(duì)初值的要求很高,即充分靠近解 。圖9.5.1二、全球定位系統(tǒng)的求解:解:衛(wèi)星 的位置如圖9.5.1所示,假設(shè) 表示R的當(dāng)前位置,則它滿(mǎn)足方程組 其中,光速 ,上述方程組無(wú)疑是非線(xiàn)性的,但很容易將所有二次項(xiàng)都消去,從而得
20、到 由求解非線(xiàn)性方程組的Newton迭代法知迭代格式為其中, 使用Matlab求解得迭代4次就可以得到相當(dāng)精確的結(jié)果。 nxyzt00.00.00.010010.00716.3687270.374601-2.4039719.98521824.9840633.0182411.04630310000.26635.0001602.9998080.9995859999.99845.0000003.0000001.00000010000.000它的解是:歷史與注記 艾薩克牛頓(Isaac Newton 16421727) 牛頓是英國(guó)物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。1643年誕生于英格蘭林肯郡烏爾
21、索普鎮(zhèn)。1727年卒于倫敦。1665年他發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理,1669年擔(dān)任盧卡斯講座的教授,1696年牛頓任造幣廠(chǎng)監(jiān)督,1699年升任廠(chǎng)長(zhǎng),1705年因改革幣制有功受封為爵士,1672年起他被接納為皇家學(xué)會(huì)會(huì)員,1703年被選為皇家學(xué)會(huì)主席直到逝世。 牛頓是有史以來(lái)最偉大的科學(xué)家之一,他在力學(xué)、數(shù)學(xué)、光學(xué)、熱學(xué)、天文學(xué)和哲學(xué)方面都有突出的貢獻(xiàn)。他在數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)為:牛頓將古希臘以來(lái)求解無(wú)窮小問(wèn)題的種種特殊方法統(tǒng)一為兩類(lèi)算法:正流數(shù)術(shù)(微分)和反流數(shù)術(shù)(積分),與此同時(shí),他還在1676年首次公布了他發(fā)明的二項(xiàng)式展開(kāi)定理。并和G.W.萊布尼茨幾乎同時(shí)創(chuàng)立了微積分學(xué)。牛頓在數(shù)值計(jì)算上的主要貢獻(xiàn)有:牛頓插值法、牛頓積分法、牛頓迭代法等。 關(guān)于特殊的非線(xiàn)性方程求根問(wèn)題的迭代法最早出現(xiàn)在古希臘、巴比倫和印第安人的著作中。牛頓法的只有一部分屬于牛頓本人,1669年牛頓第一次提出了與現(xiàn)在牛頓法基本等價(jià)的方法,但令人驚訝的是該方法并沒(méi)有使用導(dǎo)數(shù),而是基于二項(xiàng)展開(kāi)式,因此只適用于多項(xiàng)式。1690年,拉弗森對(duì)牛頓法作了簡(jiǎn)化和改進(jìn),稱(chēng)為牛頓拉弗森法。在牛頓法中使用導(dǎo)數(shù)是由辛普森1740年首次提出的,并將其從
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