專題02 直線與橢圓方程（教師版）-【高考總復習】2022高考數(shù)學滿分突破之解析幾何篇VIP

1、專題02 直線與圓錐曲線方程【突破滿分數(shù)學之秒殺技巧與答題模板】：第一步：代入消元，聯(lián)立 化簡：第二步：計算判別式；可直接利用結論：（范圍、最值問題）第三步：根與系數(shù)關系表達式； ，第四步：利用 ，計算第五步：利用，計算 第六步：利用，計算弦中點第七步：利用,計算弦長和的面積進而計算原點到直線的距離第八步:利用,，計算第九步：利用,計算 【考點精選例題精析】：例1.（2021江西高安中學高二期中（理）直線被橢圓截得最長的弦為（ ）ABCD【答案】B【分析】聯(lián)立直線方程和橢圓方程，解方程可得兩根，運用弦長公式，結合配方法，以及二次函數(shù)的最值求法，可得答案【詳解】解：聯(lián)立直線和橢圓，可得，解得或，

2、則弦長，令，則，當，即，取得最大值，故選：B例2（2021江西南昌十中高二月考（文）已知直線與橢圓恒有公共點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）AB或C且D且【答案】C【分析】由直線，可得直線恒過定點，轉化為只需點在橢圓的內部或在橢圓上，結合橢圓的性質，即可求解.【詳解】由題意，直線，可得直線恒過定點，要使得直線與橢圓恒有公共點，只需點在橢圓的內部或在橢圓上，可得，即實數(shù)的取值范圍為且.故選：C.例3（2021全國高三其他模擬（文）已知為橢圓的右焦點，直線與橢圓交于，兩點.若，則實數(shù)的值為_.【答案】【分析】依題意聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點坐標，即可得到，再根據(jù)，則，即可得到方程，解得即可；【詳解】解

3、：依題意聯(lián)立直線與橢圓方程，消去并整理得，解得或，不妨取，則，所以，又，所以，因為，所以，即，即所以，解得故答案為：例4（2020江蘇高二專題練習）若直線與橢圓無公共點，則的取值范圍為_.【答案】【分析】聯(lián)立直線與橢圓方程，得到關于的一元二次方程，根據(jù)求解出的取值范圍.【詳解】解析：由得，整理得，所以，解得或，即，故答案為：.【點睛】方法點睛：直線與橢圓的交點個數(shù)判斷方法：聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到關于的一元二次方程，根據(jù)與的大小關系判斷直線與橢圓的交點個數(shù)：當時，有兩個交點；當時，有一個交點；當時，沒有交點.例5（2020安徽省宣城市第三中學高二月考（文）若曲線C：和直線l：只有一個公共點

4、，那么k的值為（ ）A或B或C或D或【答案】D【分析】將直線方程與曲線的方程聯(lián)立得到關于的一元二次方程，然后根據(jù)求解出的值.【詳解】聯(lián)立直線與曲線的方程，所以，所以，所以，所以，故選：D.【點睛】思路點睛：直線與橢圓方程聯(lián)立，可通過所得的一元二次方程的與的大小關系判斷直線與橢圓的交點個數(shù)：當時，直線與橢圓有兩個交點；當時，直線與橢圓有一個交點；當時，直線與橢圓沒有交點.例6（2021全國高三專題練習（文）已知是橢圓外一點，經(jīng)過點的光線被軸反射后，所有反射光線所在直線中只有一條與橢圓相切，則橢圓的離心率為（ ）ABCD【答案】B【分析】由題知反射光線經(jīng)過點，設反射光線方程為：，代入橢圓方程，消后

5、得，則，化簡得，討論此方程有唯一解，即可得值，從而算出離心率.【詳解】由題知反射光線經(jīng)過點，設反射光線方程為：，代入橢圓方程，消后得，則，化簡得，當即時，此方程有唯一解，所以，則離心率為；當時，則，所以此方程有兩個不同的解，不滿足題意，故舍去.故選：B【點睛】關鍵點睛：關鍵是能夠分類討論方程有唯一解的情況. 例7（2020安徽省淮北市高三一模（理）已知橢圓過點離心率為.（1）求的方程；（2）如圖，若菱形內接于橢圓，求菱形面積的最小值.【答案】（1）；（2）4【解析】（1）由題意得又解得，.所以的方程為 （2）當與軸或軸重合時，可求菱形的面積為；當為時，為，由得，所以由弦長公式得，同理可得所以菱

6、形的面積為，當且僅當時取等號.菱形面積的最小值為4。例8（2020安徽六安市立人中學高二期末（文）已知橢圓過點（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點交于兩點，求直線的方程【答案】（1）；（2）.【分析】（1）運用代入法進行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得到一個一元二次方程，結合平面向量數(shù)量積的坐標表示公式、一元二次方程根與系數(shù)的關系進行求解即可.【詳解】解析：（1）由題意可得，橢圓的方程為（2）當直線斜率不存在時，由橢圓的方程可知：橢圓的右焦點坐標為：，所以直線方程為：，代入橢圓方程中，得，不妨設，不合題意；設直線，由得：，即解得，直線的方程為例9

7、（2021上海市松江二中高二月考）已知曲線，直線與曲線交于A，D兩點，A，D兩點在x軸上的射影分別為點B，C.記OAD的面積S1，四邊形ABCD的面積為.（1）當點B坐標為時，求k的值；（2）求的最小值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意得出點的橫坐標為，代入曲線求出點的縱坐標；把點的坐標代入直線方程即可求出.（2）由題意可求出的取值范圍；把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理及弦長公式可求，從而求出；利用直角梯形的面積公式可求；由的范圍，即可求出的最小值.【詳解】（1）當點B坐標為時，點的橫坐標為 ，把代入曲線得，即，又因為點在直線上，所以，即.所以k的值為.（2）由，得，當直線過

8、橢圓的左右頂點時， 因為直線與曲線有兩個交點，所以，即，設，則，所以，又原點到直線的距離為，所以，又因為，所以，因為，所以，所以的最小值為.例10（2021安徽華星學校高二期中（理）已知橢圓的焦距為4，過焦點且垂直于軸的弦長為（）求橢圓的方程；（）過橢圓右焦點的直線交橢圓于點，設橢圓的左焦點為，求的取值范圍【答案】（）；（）【分析】（）根據(jù)題意運用橢圓的定義進行求解即可；（）根據(jù)直線是否存在斜率分類討論，結合一元二次方程根與系數(shù)關系、平面向量數(shù)量積的坐標表示公式進行求解即可.【詳解】解：()橢圓的焦距是，所以焦點坐標是，由題可得，橢圓過點，橢圓的方程是()由題易得，左焦點右焦點坐標為若直線垂直

9、于軸，則點若直線不垂直于軸，可設的方程為設點將直線的方程代入橢圓的方程得到則.，的取值范圍是【點睛】關鍵點睛：根據(jù)直線是否存在斜率分類討論，利用一元二次方程根與系數(shù)關系是解題的關鍵. 【達標檢測】：1（2020河北高三其他模擬（文）已知直線與橢圓交于點，與軸交于點，若，則實數(shù)的值為（ ）ABCD【答案】C【分析】設，的坐標，由題意可得的坐標，再由向量的關系求出，的坐標的關系，將直線與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，與，的坐標聯(lián)立求出的值.【詳解】解：設，由題意可得，聯(lián)立，整理可得：，因為，則，可得，將其代入可得，可得，將，代入可得：，解得：，即，故選：C.【點睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要

10、注意：(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題2（2019象州縣中學高二月考（文）直線與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）ABCD【答案】C【分析】求得直線恒過定點，由題意可得在橢圓內或橢圓上，注意，可得所求范圍【詳解】解：直線恒過定點，焦點在軸上的橢圓，可得，由直線與焦點在軸上的橢圓總有公共點，可得在橢圓上或橢圓內，即有，解得，由可得故選：C3（2021保定市第二中學高二期末）過橢圓的左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于兩點，設O為坐標原點，

11、則等于（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)題意求出直線的方程，設，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系可得，再計算的值即可.【詳解】由可得，可得，即，所以左焦點，且直線斜率為，所以直線的方程為，設，由 可得，可得，所以，故選：C.4（2021河南高二月考（理）已知橢圓上存在兩個不同的點，關于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【分析】設出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關系求出中點坐標代入直線，列出方程，并利用判別式求出實數(shù)的取值范圍【詳解】依題意，設直線的方程是，代入橢圓方程化簡得，設，的中點是，則，解得，又，所以，.因為的中點在直線上，所以，所以，所以，

12、解得.故選：D.5（2020安順經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)大洋實驗學校高二期中（文）如圖，已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點，設過點F且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍（ ）A-1，1BCD(-1，0)【答案】B【分析】欲求點橫坐標的取值范圍，從函數(shù)思想的角度考慮，先將其表示成某一變量的函數(shù)，后求函數(shù)的值域，這里取直線的斜率為自變量，通過解方程組求得點橫坐標（用表示），再求其取值范圍【詳解】解：設直線的方程為，代入，整理得直線過橢圓的左焦點，方程有兩個不等實根記，中點，則，的垂直平分線的方程為令，得，點橫坐標的取值范圍為故選：B【點睛】本小

13、題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力，直線與圓錐曲線的位置關系問題，通常是先聯(lián)立組成方程組，消去（或，得到（或的方程我們在研究圓錐曲線時，經(jīng)常涉及到直線與圓錐曲線的位置關系的研究主要涉及到：交點問題、弦長問題、弦中點（中點弦）等問題，常用的方法：聯(lián)立方程組，借助于判別式，數(shù)形結合法等6（2019福建南平市高二月考（文）經(jīng)過橢圓的一個焦點作傾斜角為45的直線，交橢圓于兩點設為坐標原點，則等于（ ）ABC或D【答案】B【分析】由方程可求橢圓的焦點為，先不妨設所作直線過右焦點，于是得到直線方程為與橢圓方程聯(lián)立后可求得點的坐標，然后由可得所

14、求【詳解】由 ，得 ，焦點為 設直線過右焦點，傾斜角為 ，直線的方程為 代入得 即 設 則 同理當直線過左焦點時，故選：B【點睛】關鍵點睛：本題考查直線與橢圓的位置關系，直線方程與橢圓方程聯(lián)立韋達定理的應用，解答本題的關鍵是方程聯(lián)立由韋達定理得到再由數(shù)量積得出，將韋達定理代入即可，屬于基礎題.7（2020江西南昌十中高二月考（理）直線與橢圓總有公共點，則的取值范圍是（ ）AB或C或D且【答案】D【分析】求出直線恒過的定點，根據(jù)題意，該定點必在橢圓內或橢圓上，根據(jù)點與橢圓的位置關系，代入點的坐標，即可求得結果.【詳解】由于直線ykx1恒過定點(0，1)，且直線ykx1與橢圓總有公共點，所以點(0

15、，1)必在橢圓內或橢圓上，則且m5，解得m1且m5.故選：D.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系，關鍵在于直線恒過的點在橢圓上或橢圓的內部，屬于中檔題.8（2021四川省內江市第六中學高二月考（文）已知直線，橢圓，則直線與橢圓的位置關系是（ ）A相交B相切C相離D相切或相交【答案】C【分析】將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，解方程組，由解的個數(shù)即可判斷直線與橢圓的位置關系【詳解】解：由，得，化簡得，因為，所以方程無解，所以直線與橢圓的位置關系是相離，故選：C9（2020河南高二月考（理）直線與橢圓的位置關系為（ ）A相交B相切C相離D不確定【答案】A【分析】求得直線恒過的定點，判斷定點與橢圓的位置關

16、系，由此可得直線與橢圓的位置關系.【詳解】直線可化為，所以直線恒過點，又，即在橢圓的內部，直線與橢圓的位置關系為相交.故選：A.10（2020金華市曙光學校高二月考）無論k為何值，直線和曲線交點情況滿足（ ）A沒有公共點B一個公共點C兩個公共點D有公共點【答案】D【分析】分析直線所過的定點，然后根據(jù)定點與橢圓的關系確定出直線與橢圓的關系.【詳解】因為過定點，且橢圓的上頂點也為，所以當直線的斜率為時，此時直線與橢圓相切，僅有一個公共點，當直線的斜率不為零時，此時直線與橢圓有兩個交點，所以無法確定直線與橢圓的公共點是一個還是兩個，故選：D.【點睛】本題考查分析直線與橢圓的位置關系，涉及直線過定點問

17、題，對學生的分析能力要求較高，難度一般.11（2020黑龍江哈師大附中高二月考（理）已知斜率為的直線過橢圓的下焦點，交橢圓于兩點，為坐標原點，則的面積是（ ）ABCD【答案】D【分析】求出直線方程，代入橢圓方程，求得交點的坐標，然后求解OAB的面積.【詳解】橢圓的下焦點坐標為 ,斜率為1的直線過橢圓的下焦點，可得直線方程為，代入橢圓方程可得，或，的面積：，故選：D【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系的應用，三角形的面積的求法，屬于基礎題.12（2020江蘇姜堰中學高二月考）如圖，過，斜率為的直線交橢圓于兩點，為點關于軸的對稱點，直線交軸于點，則_【答案】8【分析】寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立解

18、得坐標，得坐標設，由三點共線求得得結論【詳解】由題意直線方程為，由，解得或，即，所以，設，則，所以故答案為：813（2021深州長江中學）已知橢圓：()的離心率為，直線：與橢圓交于，兩點，若直線，的斜率之和為4，其中為坐標原點，則橢圓的方程為_.【答案】【分析】設，由、的斜率之和為4，得到，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，再代入，即可求出，最后根據(jù)離心率及求出，即可得解；【詳解】解：設，則，因為， 即，所以聯(lián)立直線與橢圓方程消去得，所以，所以，解得因為離心率且即，解得，所以橢圓方程為故答案為：14（2021浦東新上海師大附中高三月考）如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線P

19、A、PB，斜率分別為、，若為定值，則_【答案】【分析】根據(jù)題意，設過點的切線方程為，聯(lián)立切線與橢圓的方程，由結合韋達定理表示出，根據(jù)為定值，找出比例關系即可求解.【詳解】設點，則，設過點的切線方程為，其中，聯(lián)立 ，得，由得，又因，所以，化簡得，故，又因為定值，所以，即.故答案為：.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值15（2021峨山彝族自治縣第一中學（理）已知橢圓的右焦點為，上頂點為，直線與橢圓交于，兩點，且的重心恰為點，則直線斜率為_.【答案】【分析】由右焦點的坐標及a、b、

20、c的關系求出m的值即可寫出橢圓的方程，設直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出兩根之和，進而求出弦MN的中點的坐標，由F為的重心可得，將點的坐標代入可得直線MN的斜率.【詳解】由橢圓的右焦點為知，則，設直線MN的方程為，設，將直線MN的方程與橢圓的方程聯(lián)立，整理可得，所以，所以MN的中點，因為F為的重心，所以，即，所以，即，兩式相比可得.故答案為：【點睛】直線與橢圓的綜合問題：（1）解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x（或y）建立一元二次方程，然后借助求根公式，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系；（2）涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊

21、情況；（3）弦長問題，利用根與系數(shù)的關系，弦長公式求解；（4）中點弦或弦的中點，一般利用點差法求解，注意判斷直線與方程是否相交；（5）與向量結合的問題，通常利用向量的坐標運算即可.16（2020全國）若直線與橢圓有且只有一個交點，則斜率的值是_.【答案】【分析】由方程聯(lián)立可得，根據(jù)條件有，從而可得答案.【詳解】已知直線與橢圓有且只有一個交點，由消去并整理，得，由題意知，解得：.故答案為： 17（2021合肥百花中學高二期末（理）已知焦點在x軸上的橢圓C的長軸長為，離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左，右焦點分別為，點P在C上，且位于第一象限，的面積為1，求點P的坐標【答案】（1

22、）；（2）.【分析】（1）由離心率求出，然后可得，從而得橢圓標準方程；（2）由三角形面積求出點縱坐標后再得橫坐標【詳解】解：（1）由得，所以，所以橢圓的標準方程為（2）設，因為點P在C上，且位于第一象限，所以，由（1）得，且，得，所以，故 因為，解得所以點的坐標.18（2021江西南昌市高三開學考試（理）己知橢圓，分別為橢圓的左右焦點，O為坐標原點，P為橢圓上任意一點.（1）若，求的面積；（2）斜率為1的直線與橢圓相交于A，B兩點，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由橢圓的定義求出，由勾股定理判斷出，即可求出的面積；（2）直線斜率為1，設直線方程，用“設而不求法”表示出，由

23、，求出，均滿足，即可得到直線方程.【詳解】（1）由題意，解得，又，所以，即，所以；（2）直線斜率為1，設直線方程，由，消元得，得又，知，即而所以，得，均滿足，所以直線的方程或.19（2022廣西柳州市高三開學考試（文）已知動點P到點的距離與到點的距離之和為，若點P形成的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過作直線l與曲線C分別交于兩點M，N，當最大時，求的面積.【答案】【分析】(1)根據(jù)橢圓的定義可得動點P的軌跡是以為焦點的橢圓，求出a、b的值即可得出結果.(2)對直線l的斜率分類討論，若斜率不存在，直接求出和的值；若斜率不存在，設直線方程和點M、N坐標，聯(lián)立方程組并消元得到一元二次方程

24、，根據(jù)韋達定理表示出，進而表示出，化簡求值即可得出結果.【詳解】(1)動點P到兩定點的距離之和為，所以，則動點P的軌跡是以為焦點的橢圓，所以，即，所以曲線C的方程為：；(2)當直線l的斜率不存在時，x=-1，則，此時，;當直線l的斜率存在時，設為，聯(lián)立方程，所以，有，綜合可得，當直線l：x=-1時取得最大值，所以.20（2021北京高三開學考試）已知橢圓：，直線經(jīng)過橢圓的左焦點與其交于點，.（1）求橢圓的方程和離心率；（2）已知點，直線，與直線分別交于點，若，求直線的方程.【答案】（1），；（2）或.【分析】（1）由題設得，所以，可得橢圓方程和離心率；（2）設，當直線無斜率時，方程為，由平面幾何知識可以得到不合題意；當直線有斜率時，設與橢圓方程聯(lián)立，直線的方程為，求出點的縱坐標、點的縱坐標，由利用韋達定理得可得答案.【詳解】（1）由題設得，又，所以，所以橢圓的方程為，所以橢圓的離心率為.（2）依題意，設，.當直線無斜率時，方程為，所以，由平面幾何知識可以得到，不合題意，當直線有斜率時，設，由得，則，直線的方程為，令，得點的縱坐標，同理可得點的縱坐標，解得或，所求直線的方程為或.21（2020廣東高三期中（文）已知橢圓E的長軸的一個端點是拋物線的焦點，離心率是（1）求橢圓E的標準方程；（2）設O為坐標原點，直線與橢圓E相交于A、B點，若直線、的斜