新高二2022年暑假講義第7講 直線的交點坐標與距離公式（解析版）

1、第7講 直線的交點坐標與距離公式新課標要求1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標。2.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。知識梳理一、直線的交點與直線的方程組解的關(guān)系1兩直線的交點幾何元素及關(guān)系 代數(shù)表示點AA(a，b)直線l1l1：A1xB1yC10點A在直線l1上 A1aB1bC10直線l1與l2的交點是A(l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20)2.兩直線的位置關(guān)系一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行二、兩點間的距離公式條件點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)結(jié)論|P1

2、P2|eq r(（x2x1）2（y2y1）2)特例點P(x，y)到原點O(0，0)的距離|OP|eq r(x2y2)三、點到直線的距離1概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離，就是該點到直線的距離2公式：點P(x0，y0)到直線l：AxByC0的距離deq f(|Ax0By0C|,r(A2B2)四、兩平行直線間的距離1概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離2公式：兩條平行直線l1：AxByC10與l2：AxByC20之間的距離deq f(|C1C2|,r(A2B2)名師導(dǎo)學(xué)知識點1 兩直線的交點問題【例1-1】（宜昌期末）已知兩直線，則與的交點坐標為【分析】

3、聯(lián)立，解得即可解：聯(lián)立，解得與的交點坐標為故【例1-2】（雅安期末）過直線與直線的交點，且過原點的直線方程為ABCD【分析】聯(lián)立，求出兩條直線與直線的交點利用兩點式方程能求出過點且過原點的直線方程解：聯(lián)立，解得兩條直線與直線的交點過點且過原點的直線方程為：，即故選：【例1-3】（蕪湖期末）若三條直線，和交于一點，則的值為ABC2D【分析】通過解方程組可求得其交點，將交點坐標代入，即可求得的值解：依題意，解得，兩直線和的交點坐標為直線，和交于一點，故選：【變式訓(xùn)練1-1】（閻良區(qū)期末）直線與直線的交點坐標是ABCD【分析】聯(lián)立，能求出直線與直線的交點坐標解：聯(lián)立，得，直線與直線的交點坐標是故選：

4、【變式訓(xùn)練1-2】（安慶期末）直線與直線的交點在A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限【分析】聯(lián)立，解得，即可判斷出結(jié)論解：聯(lián)立，解得，交點在第二象限故選：【變式訓(xùn)練1-3】（廬江縣期中）直線和直線的交點在軸上，則的值為AB24C6D【分析】聯(lián)立，由直線和直線的交點在軸上，得到，由此能求出解：聯(lián)立，解得，直線和直線的交點在軸上，解得故選：知識點2 直線過定點問題【例2-1】（宿遷期末）設(shè)直線過定點，則點的坐標為ABCD【分析】對于任意實數(shù)，直線恒過定點，則與的取值無關(guān)，則將方程轉(zhuǎn)化為讓的系數(shù)和常數(shù)項為零即可解：解：方程可化為，對于任意實數(shù)，當(dāng)時，直線恒過定點，由當(dāng)，得，故定點坐標是故選：【例

5、2-2】（江陰市期中）直線必過定點ABCD【分析】由已知可得直線過兩直線與的交點，聯(lián)立求解得答案解：由直線，得，解得直線必過定點故選：【變式訓(xùn)練2-1】（黃浦區(qū)期末）已知，若不論為何值時，直線總經(jīng)過一個定點，則這個定點的坐標是ABCD【分析】先變形解析式得到關(guān)于的不定方程，由于有無數(shù)個解，則且，然后求出和的值即可得到定點坐標解：由直線，知不論為何值時，直線總經(jīng)過一個定點，即有無數(shù)個解，且，這個定點的坐標是故選：【變式訓(xùn)練2-2】（慈溪市期末）直線為常數(shù)）經(jīng)過定點ABCD【分析】令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得、的值，可得結(jié)論解：對于直線，令，可得，可得它經(jīng)過的定點坐標為，故選：知識點3 兩點間距離公式

6、的應(yīng)用【例3-1】（南充期末）已知點，0，與點 ，則A2BC3D【分析】根據(jù)題意，由點的坐標結(jié)合空間兩點間距離的計算公式計算可得答案解：根據(jù)題意，點，0，與點 ，則；故選：【例3-2】（臨川區(qū)校級一模）已知的三個頂點的坐標分別為，則這個三角形是A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰直角三角形【分析】由三角形的三個頂點的坐標分別求出三邊長，再由勾股定理的逆定理能得到這個三角形是直角三角形解：的三個頂點的坐標分別為，是直角三角形故選：【變式訓(xùn)練3-1】（瓊山區(qū)校級期末）已知的頂點坐標為，則邊上的中線的長為A8B13CD【分析】由中點坐標公式求得中點的坐標，再由兩點間的距離公式求得的長解：由，得

7、，即坐標為又，故選：【變式訓(xùn)練3-2】（雁江區(qū)校級月考）如圖，已知等腰梯形，用坐標法證明：【分析】根據(jù)題意，建立坐標系，設(shè)出、的坐標，分析可得、的坐標，由兩點間距離公式計算、的值，分析可得答案證明：根據(jù)題意，如圖以為的軸建立坐標系，的中點為坐標原點建立坐標系，設(shè)，則，則，則有知識點4 點到直線的距離【例4-1】（金鳳區(qū)校級期末）已知點（1）若一條直線經(jīng)過點，且原點到直線的距離為2，求該直線的一般式方程；（2）求過點且與原點距離最大的直線的一般式方程，并求出最大距離是多少？【分析】（1）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，直接寫出直線方程；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，即由點到直線的距離公式求得值，則直線方程可求；（2）由

8、題意可得過點與原點距離最大的直線是過點且與垂直的直線，求出所在直線的斜率，進一步得到直線的斜率，得到直線的方程，再由點到直線的距離公式得最大距離解：（1）當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為；當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，即由點到直線距離公式得，；得故所求的方程為： 或；（2）由題意可得過點與原點距離最大的直線是過點且與垂直的直線，由，得，由直線方程的點斜式得，即即直線是過點且與原點距離最大的直線，最大距離為【例4-2】（韶關(guān)期末）已知點和點到直線的距離相等，且過點，則直線的方程為A或B或CD【分析】先求出直線的斜率，由點和點到直線的距離相等，且過點，得到直線與直線平行，且直線過點，或直線的方程為，由此能求出直線

9、的方程解：點和點，點和點到直線的距離相等，且過點，直線與直線平行，且直線過點，或直線的方程為，直線的方程為：，或，整理得：或故選：【變式訓(xùn)練4-1】（保山期末）若直線過點，傾斜角為，則點到直線的距離為ABCD【分析】先求出直線的斜率，再利用點斜式求直線的方程，點到直線的直線間的距離公式求得結(jié)果解：直線過點，傾斜角為，故直線的斜率為，故直線的方程為，即則點到直線的距離為，故選：【變式訓(xùn)練4-2】（新課標）點到直線距離的最大值為A1BCD2【分析】直接代入點到直線的距離公式，結(jié)合基本不等式即可求解結(jié)論解：因為點到直線距離；要求距離的最大值，故需；可得；當(dāng)時等號成立；故選：知識點5 兩平行線間距離公

10、式及其應(yīng)用【例5-1】（張家界期末）直線與直線平行，則它們的距離為ABCD2【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)求得，再利用兩條平行直線間的距離公式，求得它們的距離解：直線，即，它與直線平行，求得，則它們的距離，故選：【例5-2】（廣州期末）若兩平行直線與之間的距離是，則A0B1CD【分析】兩直線與平行，可得，解得，再利用平行線之間的距離公式即可得出解：兩直線與平行，解得又兩平行直線與之間的距離是，解得故選：【變式訓(xùn)練5-1】（靖遠縣期末）已知直線與直線平行，則它們之間的距離為ABCD【分析】根據(jù)題意，由直線平行的判斷方法可得的值，進而由平行線間距離公式計算可得答案解：根據(jù)題意，直線與直線平行

11、，則有，則兩直線的方程為與直線，則它們之間的距離；故選：【變式訓(xùn)練5-2】（連云港期末）兩條平行直線與的距離是ABCD【分析】把已知兩直線方程變形，再由兩平行線間的距離公式求解解：由，得，由，得，則兩條平行直線與的距離是故選：【變式訓(xùn)練5-3】（廣東期末）已知直線與，若，則實數(shù)的值為A2或B1C1或D【分析】由，解得經(jīng)過驗證即可得出解：由，解得或經(jīng)過驗證可得：時重合，舍去故選：【變式訓(xùn)練5-4】（崇左期末）已知直線，互相平行，且，之間的距離為，則A或3B或4C或5D或2【分析】由，解得利用平行線之間的距離公式即可得出解：由，解得滿足的方程為，有，則，解得或，故故選：知識點6 運用距離公式解決最

12、值問題【例6-1】（北碚區(qū)校級期末）已知的三個頂點，若夾在兩條斜率為1的平行直線之間，則這兩條平行直線的距離的最小值是ABCD【分析】分別過、三個點，作斜率為1的三條直線，再利用兩條平行直線間的距離公式，求得結(jié)果解：分別過、三個點，作斜率為1的三條直線：，即，即，即顯然，夾在兩條斜率為1的平行直線 和之間，且直線 和之間的距離為，故選：【例6-2】（鼓樓區(qū)校級期中）已知直線和，直線分別與，交于，兩點，則線段長度的最小值為【分析】利用平行線之間的距離公式即可得出解：由題知，兩直線間的距離，故【變式訓(xùn)練6-1】（閔行區(qū)校級模擬）過點且與原點的距離最大的直線方程是 【分析】過點且與原點的距離最大的直

13、線滿足：則，即可得出解：過點且與原點的距離最大的直線滿足：，直線的方程 為：，化為故【變式訓(xùn)練6-2】（和平區(qū)校級期末）已知點和點，點在軸上，若的值最小，則點的坐標為 【分析】點關(guān)于軸的對稱點為，直線的方程為得，令，解得即可得出解：點關(guān)于軸對稱的點，連接與軸交于點，此時的值最小，設(shè)直線的解析式得，即，令，得，所以故名師導(dǎo)練A組-應(yīng)知應(yīng)會1（遼源期末）點到直線的距離是ABCD【分析】根據(jù)題意，由點到直線的距離公式計算可得答案解：根據(jù)題意，點到直線的距離；故選：2（寧波期末）直線與間的距離為A1B3CD【分析】由題意利用兩條平行直線直線間的距離公式，求得結(jié)果解：直線與間的距離為，故選：3（內(nèi)江期末

14、）已知點到直線的距離等于1，則實數(shù)等于ABCD【分析】根據(jù)題意，由點到直線的距離公式可得，解可得的值，即可得答案解：根據(jù)題意，點到直線的距離等于1，則有，解可得；故選：4（興慶區(qū)校級期末）設(shè)有直線，當(dāng)變動時，所有直線都經(jīng)過定點ABCD【分析】根據(jù)直線恒過定點的求法，直接求出定點解：當(dāng)時，不論為何值，即過，故選：5（沙坪壩區(qū)校級期中）已知直線與平行，則與的距離為ABCD【分析】直線與平行，即可得到，然后利用平行線之間的距離公式求解即可解：直線與平行，可得，則由兩平行直線的距離公式可得，則與的距離為，故選：6（包頭期末）點在直線上，是坐標原點，則的最小值是A1BC2D【分析】的最小值是點到直線的距

15、離，利用點到直線的距離公式能求出的最小值解：點在直線上，是坐標原點，的最小值是點到直線的距離，則的最小值是故選：7（河池期末）點到直線的距離的最小值為A4BCD【分析】利用點到直線的距離公式可得：點到直線的距離，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出解：點到直線的距離故選：8（江陰市期中）直線過，且，到的距離相等，則直線的方程是ABC或D或【分析】由條件可知直線平行于直線或過線段的中點，當(dāng)直線時，利用點斜式求出直線方程；當(dāng)直線經(jīng)過線段的中點時，易得所求的直線方程解：設(shè)所求直線為，由條件可知直線平行于直線或過線段的中點，（1）的斜率為，當(dāng)直線時，直線的方程是，即，（2）當(dāng)直線經(jīng)過線段的中點時，的斜率為，

16、直線的方程是，即，故所求直線的方程為，或故選：9（平頂山期末）已知，直線若點到直線的距離等于點到直線的距離，則A或6BCD或【分析】由已知結(jié)合點到直線的距離公式即可求解解：由題可知，解得或故選：10（昆山市期中）已知，點在軸上，且使得取最小值，則點的坐標為AB，C，D【分析】根據(jù)點、在軸的同側(cè)，求出點關(guān)于軸的對稱點，得出的最小值是，再利用直線求得點的坐標解：點，在軸的同側(cè)，如圖所示；則點關(guān)于軸的對稱點的坐標為，此時的值最小，此時直線的方程為，令，解得，所以取最小值時，點，故選：11（寶安區(qū)校級模擬）已知，且則的最小值為ABC2D【分析】本題要根據(jù)表達式的特點聯(lián)系兩點間的距離公式，然后運用數(shù)形結(jié)

17、合法可得到取最小的點的情況，即可計算出的最小值解：根據(jù)題意，可知表示點與點，的距離；表示點與點的距離；表示點與點，的距離；表示點與點，的距離表示點到、四個點的距離的最小值則可畫圖如下：的最小值是點在線段上，同理，的最小值是點在線段上，點既在線段上，又在線段上，點即為圖中點的最小值為故選：12（多選）（江陰市期中）若兩條平行直線與之間的距離是，則的可能值為A3BCD17【分析】利用兩條直線平行的性質(zhì)求出，再利用兩條平行直線間的距離求出，可得的值解：直線與平行，則，解得；所以；所以直線與間的距離是，所以，解得或；當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的可能值為3或故選：13（多選）（山東模擬）若三條直線，不能圍成三

18、角形，則的取值為ABCD【分析】和平行，或和平行，和平行以及三線交于同一個點，分類討論，利用兩條直線平行的條件分別求得的值，綜合可得結(jié)論解：由于的斜率，的斜率為，則由題意可得和平行，或和平行，和平行若和平行，則，求得；若和平行，則，求得若和平行，則，求得當(dāng)三條直線，交于同一個點時，；綜上可得，實數(shù)所有可能的值為，1，故選：14（田家庵區(qū)校級期末）原點到直線的距離是【分析】由題意利用點到直線的距離公式，求得結(jié)果解：原點到直線的距離是，故15（尖山區(qū)校級期末）兩條平行直線與之間的距離為 【分析】利用平行線，求解，然后利用平行線之間的距離公式求解即可解：兩條平行直線與，可得，所以，所以兩條平行直線與

19、之間的距離為：故16（嘉興期末）直線與直線平行，則 ；與之間的距離為【分析】由題意利用兩條直線平行的性質(zhì)求出的值，再利用兩條平行直線間的距離公式，求得結(jié)果解：直線與直線平行，則且它們之間的距離為，故1；17（金華期末）已知直線，則當(dāng)時，直線的傾斜角為；當(dāng)變化時，直線過定點【分析】取化簡直線方程，求得直線的斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求直線的傾斜角；利用直線系方程的逆用求直線所過定點解：當(dāng)時，直線化為，直線的斜率，設(shè)傾斜角為，由，得；化直線為聯(lián)立，解得當(dāng)變化時，直線過定點故；18（鎮(zhèn)江期末）已知直線與直線之間的距離為，則實數(shù)的值為【分析】利用平行線之間的距離公式即可得出解：由題意可得：，解得

20、故19（珠海期末）已知平面直角坐標系中，點，點，直線，則直線與直線的交點坐標為 【分析】先利用兩點式方程求出直線的方程，再聯(lián)立方程組能求出兩直線的交點坐標解：平面直角坐標系中，點，點，直線，直線的方程為：，整理得：，聯(lián)立，得直線與直線的交點坐標為，故，20已知，兩點分別在兩條互相垂直的直線和上，且線段的中點為，則 【分析】由兩直線互相垂直可得，為直角三角形的斜邊，直角三角形斜邊的中線的長為斜邊的一半，且，由此能求出解：由已知兩直線互相垂直可得：，解得，線段中點為，且為直角三角形的斜邊，聯(lián)立，得，直角三角形斜邊的中線的長為斜邊的一半，且，故21（昆山市期中）在平面直角坐標中，已知，平面內(nèi)的點滿足

21、，則點的坐標為 【分析】設(shè)出點，利用兩點間的距離公式列方程求出、的值解：設(shè)點，由，得，化簡得，解得，所以點的坐標為故22（新余期末）已知直線過一、三、四象限，其中，則點到直線的距離為 【分析】由直線過一、三、四象限得到，又，所以，所以直線的方程為：，即，再利用點到直線距離公式即可求出結(jié)果解：直線過一、三、四象限，又，直線的方程為：，即，點到直線的距離為：，故23（樂山期末）已知兩條直線和（1）當(dāng)時，求的值；（2）在（1）的條件下，求、間的距離【分析】（1）根據(jù)題意，分析可得，解可得，分別驗證和時，兩直線是否平行，即可得答案；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合平行線間距離公式計算可得答案解：（1）根據(jù)題

22、意，直線和若，必有，解可得，當(dāng)時，直線，直線，兩直線平行，符合題意，當(dāng)時，直線，直線，兩直線重合，不符合題意，故；（2）由（1）的結(jié)論，直線，直線，直線、間的距離24（寧德期末）已知直線與軸的交點為，且點在直線上（1）若，求直線的方程；（2）若點到直線的距離等于2，求直線的方程【分析】（1）求出的坐標，求出直線的斜率，從而求出直線的方程即可；（2）通過討論直線的斜率是否存在，結(jié)合點到直線的距離公式，求出直線方程即可解：（1）依題意得，若，則，直線的方程為，即（或（2）當(dāng)直線斜率不存在時，符合題意，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)其方程為，點到直線的距離等于2，解得：，綜上，所求直線方程為或25（新都區(qū)期末

23、）已知的三個頂點坐標為，（1）求邊的中線所在直線方程的一般式方程；（2）求的面積【分析】（1）利用中點坐標公式、兩點式即可得出（2）三角形的面積公式即可計算得解解：（1）設(shè)的中點的坐標為，所以，即點的坐標為由兩點式得：所以邊的中線所在直線方程的一般式方程為：；（2）直線的方程為：，26（沭陽縣期中）已知直線（1）求證：不論為何實數(shù)，直線恒過一定點；（2）過定點作一條直線，使夾在兩坐標軸之間的線段被點平分，求直線的方程【分析】（1）根據(jù)題意，將直線的方程整理得：，令，解可得、的值，即可得直線恒過定點的坐標，分析可得答案；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，與軸的交點為，與軸的交點為，分析可得為的中點，由中點坐標公式分析的坐標，進而分析可得答案解：（1）證明：直線整理得：，令解得：，則無論為何實數(shù)，直線恒過定點，（2）根據(jù)題意，設(shè)直線，與軸的交點為，與軸的交點為，過定點作一