2020-2021學(xué)年四川省涼山彝族自治州西昌市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題解析

1、試卷第 =page 2 2頁(yè)，共 =sectionpages 4 4頁(yè)第 Page * MergeFormat 18 頁(yè) 共 NUMPAGES * MergeFormat 18 頁(yè)2020-2021學(xué)年四川省涼山彝族自治州西昌市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1給出下列命題：（1）概率為1的事件為必然事件；（2）因?yàn)閽仈S一枚質(zhì)地均勻硬幣正面向上概率為，所以拋擲相同硬幣10次一定有5次正面向上；（3）事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比A與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大；（4）將空間中所有單位向量起點(diǎn)都平移到同一點(diǎn)O，則這些單位向量終點(diǎn)位于半徑為1的球面上其中假命題的個(gè)數(shù)是（）A4個(gè)B3個(gè)

2、C2個(gè)D1個(gè)【答案】B【分析】對(duì)四個(gè)說(shuō)法一一判斷：對(duì)于（1）：幾何概型中，舉一個(gè)反例：在0和5之間隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)數(shù)不等于3.5概率是1，否定結(jié)論；對(duì)于（2）：利用概率的意義直接判斷；對(duì)于（3）：舉反例事件A,B互斥，否定結(jié)論；對(duì)于（4）：利用單位向量的定義及球的定義即可判斷.【詳解】對(duì)于（1）：幾何概型中，這種說(shuō)法不成立.舉一個(gè)反例：在0和5之間隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù),這個(gè)數(shù)不等于3.5概率是1,但不是必然事件.在這里,把無(wú)限接近1視為1,把無(wú)限接近0視為0.但1不等于必然,0不等于不可能.故（1）錯(cuò)誤；對(duì)于（2）：拋擲一枚質(zhì)地均勻硬幣正面向上概率為，概率的意義為：“拋擲一枚質(zhì)地均勻硬幣正面向上

3、的可能性為，不能肯定的說(shuō)拋擲相同硬幣10次一定有5次正面向上.故（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3）：若事件A,B互斥，則事件A與事件B中至少有一個(gè)發(fā)生的概率和A與B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率相同.故（3）錯(cuò)誤；對(duì)于（4）：將空間中所有單位向量起點(diǎn)都平移到同一點(diǎn)O，則這些單位向量終點(diǎn)位于半徑為1的球面上故（4）正確.故選：B2一個(gè)不透明袋子中裝有大小和質(zhì)地完全相同的2個(gè)紅球和2個(gè)白球，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個(gè)球則下列事件中互斥而不對(duì)立的是（）A“第一次摸到紅球”與“第二次摸到紅球”B“至少摸到一次紅球”與“至少摸到一次白球”C“兩次都摸到紅球”與“兩次都摸到白球”D“兩次都摸到紅球”與“至少摸到一次白球”【

4、答案】C【分析】根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的定義判斷【詳解】A. “第一次摸到紅球”與“第二次摸到紅球”可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件；B. “至少摸到一次紅球”與“至少摸到一次白球”可以同時(shí)發(fā)生（兩球一紅一白時(shí)）不是互斥事件；C. “兩次都摸到紅球”與“兩次都摸到白球”，不可以同時(shí)發(fā)生，但可以同時(shí)不發(fā)生，互斥但不對(duì)立；D. “兩次都摸到紅球”與“至少摸到一次白球”不可以同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)會(huì)發(fā)生，對(duì)立事件故選：C3對(duì)于任意空間向量，下列說(shuō)法正確的是（）A若且，則BC若，且，則D【答案】B【分析】根據(jù)空間向量共線的定義判斷A，由數(shù)量積的運(yùn)算律判斷BCD【詳解】若，則由且，不能得出，A錯(cuò)；由數(shù)量積對(duì)向

5、量加法的分配律知B正確；若，則，當(dāng)時(shí)就成立，不一定有，C錯(cuò)；是與平行的向量，是與平行的向量，它們一般不相等，D錯(cuò)故選：B4已知，則滿足概率是（）ABCD【答案】A【分析】先由求出的范圍，再根據(jù)幾何概型的概率公式求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，解得或，因?yàn)椋曰?，所以滿足概率為，故選：A5設(shè)直線m，n方向向量分別記作，表示兩個(gè)平面，若，則“”是“”（）A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既非充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合線面垂直的判定可得結(jié)論【詳解】當(dāng)，時(shí)，直線與平面平行，所以當(dāng)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B6已知

6、平面ABCD外任意一點(diǎn)O滿足，則取值是（）ABCD【答案】A【分析】利用向量共面定理列方程直接求得.【詳解】由向量共面定理可知：，解得：.故選：A7如圖在三棱錐PABC中，點(diǎn)G是ABC的重心，點(diǎn)E為線段PA中點(diǎn)，設(shè)，則（）ABCD【答案】A【分析】由空間向量的線性運(yùn)算求解【詳解】G是ABC的重心，則，所以，所以，故選：A8不定項(xiàng)選擇題是高中物理選擇題中必考題型之一，正確答案為A、B、C、D四個(gè)選項(xiàng)中的一個(gè)或多個(gè)，假設(shè)某考生對(duì)A、B、C、D選項(xiàng)正確與否完全不知道，則該考生猜對(duì)答案概率是（）ABCD【答案】C【分析】由列舉法結(jié)合古典概型概率公式求解即可.【詳解】所有的情況如下：，共15種，則該考生

7、猜對(duì)答案概率是.故選：C9已知，求的值是（）ABC1D1【答案】D【分析】在二項(xiàng)展開(kāi)式中分別令和，可得展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和的和與差，然后由因式分解思想求值【詳解】在中，令得，令得，故選：D10在棱長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到各頂點(diǎn)之距離均不小于1的概率是（）ABCD【答案】B【分析】先以正方體各頂點(diǎn)為球心，作半徑為1的球，可得球區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)存在到某個(gè)頂點(diǎn)的距離小于等于1，從而可求出點(diǎn)到正方體八個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的所在區(qū)域的體積，然后利用幾何概型的概率公式求解即可【詳解】由題意得，正方體的體積為，以正方體各頂點(diǎn)為球心，作半徑為1的球，則球區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)存在到某個(gè)頂點(diǎn)的距離小

8、于等于1，點(diǎn)到正方體八個(gè)頂點(diǎn)的距離都不小于1的所在區(qū)域?yàn)?，所以點(diǎn)P到各頂點(diǎn)之距離均不小于1的概率是，故選：B112021年3月19日西昌市發(fā)布森林草原防滅火橙色預(yù)警，某校派遣3位行政領(lǐng)導(dǎo)和6位普通教師到安哈鎮(zhèn)3個(gè)不同執(zhí)勤點(diǎn)執(zhí)勤要求：每個(gè)執(zhí)勤點(diǎn)需要1名行政領(lǐng)導(dǎo)帶領(lǐng)2名普通教師參與執(zhí)勤，則共多少種不同的分配方案？（）A90B540C1620D3240【答案】B【分析】先分配領(lǐng)導(dǎo)，再分配教師，最后總計(jì)，即可得到答案.【詳解】利用兩個(gè)基本原理：先分配領(lǐng)導(dǎo)有：種；再分配教師有：種，所以一共有：種.故選：B12在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則滿足條件的概率是（）ABCD【答案】D【分析】將化簡(jiǎn)，作出其表示

9、的平面區(qū)域，再求出符合題意要求的區(qū)域面積，根據(jù)幾何概型的概率公式，求得答案.【詳解】即 ，作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖示：圖中陰影部分為在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，則滿足條件的區(qū)域，面積為 ，正方形的面積為 ，故所求概率為： ，故選：D二、填空題13展開(kāi)式中系數(shù)是_（用數(shù)字作答）【答案】56【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)公式，確定所在項(xiàng)數(shù)，可得其系數(shù)【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)公式為，令，所以所求系數(shù)為故答案為：14中國(guó)古代幾何中的勾股容圓，是闡述直角三角形中內(nèi)切圓問(wèn)題此類問(wèn)題最早見(jiàn)于九章算術(shù)“勾股”章，該章第16題為：“今有勾八步，股十五步，間勾中容圓，徑幾何？”意思是“直角三角形的兩條直角邊分別為8

10、和15，則其內(nèi)切圓直徑是多少？”若向上述直角三角形內(nèi)隨機(jī)拋擲140顆米粒(大小忽略不計(jì)，取)，落在三角形內(nèi)切圓內(nèi)的米粒數(shù)大約是_【答案】63【分析】由題意畫(huà)出圖形，利用等面積法求出三角形內(nèi)切圓的半徑，再由與面積相關(guān)的幾何概型即可計(jì)算【詳解】如圖，設(shè)，可得，設(shè)其內(nèi)切圓的半徑為，則由等面積法，可得，解得，則其內(nèi)切圓的直徑為6；現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機(jī)投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓內(nèi)的概率是，則14063.故答案為：63.15如圖，在平行六面體中，ABAD2，點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，則異面直線與DE所成角余弦值是_【答案】【分析】以為空間向量的一組基底，用基底表示向量，根據(jù)向量間的夾角公式計(jì)算即可求解.【詳解】

11、由題意，ABAD2，且, ，又,設(shè)異面直線與DE所成角為，則.故答案為：16用一個(gè)平面去截棱長(zhǎng)為2的正方體所得截面形狀為正六邊形時(shí)，正方體各個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離是_【答案】或【分析】先作出六邊形EFGHMN，再用等體積法分別求出各個(gè)頂點(diǎn)到面EFGHMN的距離.【詳解】如圖示，取正方體各邊中點(diǎn)E、F、G、H、M、N，依次連結(jié)，下面證明六邊形EFGHMN為正六邊形.由EF/AC,MH/A1C1,而AC/A1C1,可得EF/MH,且.同理可證：FG/MN,NE/GH,且.所以六邊形EFGHMN為正六邊形.設(shè)A到面EFGHMN的距離為d，則A到面EFN的距離為d，利用等體積法可得：,所以，解得：.即A到

12、面EFGHMN的距離為.同理可求：B、C、A1、C1、D1到面EFGHMN的距離均為.設(shè)D到面EFGHMN的距離為h，則D到面EFN的距離為h，利用等體積法可得：,所以，解得：.即D到面EFGHMN的距離為.同理可求：B1到面EFGHMN的距離均為.故答案為：或三、解答題17某校準(zhǔn)備施行“禁止智能手機(jī)進(jìn)校園”有關(guān)規(guī)定，為進(jìn)一步了解同學(xué)們對(duì)此項(xiàng)規(guī)定的支持程度，學(xué)校在全校隨機(jī)抽取了130名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，其中男生比女生多10人，表示反對(duì)規(guī)定的30人中有10人是女生(1)完成下列表格，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為“規(guī)定是否被支持與性別有關(guān)”；支持規(guī)定反對(duì)規(guī)定合計(jì)男生女生10合計(jì)30130(2)從被調(diào)查

13、的“反對(duì)規(guī)定”的同學(xué)中，采取分層抽樣方法抽取6名同學(xué)，再?gòu)倪@6名同學(xué)中任意抽取2名，求抽取的2人中有女生的概率參考公式：.0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8425.0246.6357.87910.828【答案】(1)表格見(jiàn)解析，沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“規(guī)定是否被支持與性別有關(guān)”(2)【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）把所抽取的6人（4男2女）編號(hào)，用列舉法寫(xiě)出任取2人的所有基本事件，得出2人中有女生的基本事件，計(jì)數(shù)后可計(jì)算出概率【詳解】(1)列聯(lián)表如下：支持規(guī)定反對(duì)規(guī)定合計(jì)男生502070女生501060合計(jì)1

14、0030130，所以沒(méi)有99%的把握認(rèn)為“規(guī)定是否被支持與性別有關(guān)”；(2)因?yàn)榉磳?duì)規(guī)定的男生有20人，女生有10人，所以抽取6人中男生4人，可記為a，b，c，d，女生2人，記為A、B，則從6人中抽取2名同學(xué)有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15個(gè)結(jié)果，其中有女生的有aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB，AB，共9個(gè)結(jié)果，則抽取2人中有女生的概率為.18如圖，在正四棱錐PABCD中，側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為2點(diǎn)E，F(xiàn)分別CD，BC中點(diǎn)求證：(1)PAEF；(2)平面PAB平面PCD【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】建

15、立如圖的空間直角坐標(biāo)系，（1）由兩直線的方向向量的數(shù)量積為0證明線線垂直；（2）由兩平面的法向量的數(shù)量積為0可得證面面垂直【詳解】(1)連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO，由正四棱錐性質(zhì)OA，OB，OP兩兩互相垂直，以O(shè)A，OB，OP分別為x，y，z軸建系如圖易得，即PAEF；(2)設(shè)平面PAB，平面PCD法向量分別為，取，則，取，則，平面PAB平面PCD.19在森林草原防滅火工作中，包括甲，乙在內(nèi)6名教師被分配到A，B，C，D，E五個(gè)不同的執(zhí)勤點(diǎn)參與執(zhí)勤，每個(gè)執(zhí)勤點(diǎn)至少要有一名教師求：(1)甲、乙兩名教師同時(shí)在A執(zhí)勤點(diǎn)執(zhí)勤的概率；(2)甲、乙兩名教師不在同一執(zhí)勤點(diǎn)執(zhí)勤的概率【答案】(1)(2)

16、【分析】先利用排列組合求出基本事件，再利用古典概型的概率公式分別求（1），（2）的概率.【詳解】(1)記“甲、乙兩名教師同時(shí)在A路口執(zhí)勤”為事件，“甲、乙兩名教師不在同一路口執(zhí)勤”為事件6名教師分配到5個(gè)不同路口執(zhí)勤共個(gè)基本事件.事件發(fā)生包含個(gè)基本事件，由古典概型；(2)事件發(fā)生包含個(gè)基本事件，由古典概型，.20如圖，在直三棱柱中，BAC90，點(diǎn)M，N，P，Q分別是AB，中點(diǎn)，點(diǎn)R是中點(diǎn)，證明：(1)PQ平面ABC；(2)求PR與平面所成角的余弦值【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由空間向量證明即可，（2）求出

17、平面的法向量，利用空間向量求解即可【詳解】(1)由題意可得兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)辄c(diǎn)N，P，Q分別是，中點(diǎn)，點(diǎn)R是中點(diǎn)，所以，.所以，平面ABC一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)槠矫鍭BC，所以PQ平面ABC；(2)設(shè)平面法向量為，PR與平面線面角為，則，令，則，所以，.所以PR與平面所成角的余弦值為21已知關(guān)于x的方程，記“該方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根”為事件A(1)設(shè)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為a、b，求事件A發(fā)生的概率；(2)對(duì)于隨機(jī)數(shù)x、y，且x、，若a2x1，求事件A發(fā)生的概率【答案】(1)(2)【分析】（1

18、）根據(jù)二次方程兩個(gè)正跟列式，找出所有的a、b組合即可；（2）將三個(gè)式子中的a、b全部轉(zhuǎn)化為 的取值范圍，并借助幾何概型，面積之比等于概率即可求解.【詳解】(1)關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，則有 ,拋擲兩枚質(zhì)地均勻的正方體骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為a、b，則總的基本事件個(gè)數(shù)為36個(gè)，事件A有：b4，a3，4，5，6;b5，a3，4，5，6;b6，a4，5，6;以上共計(jì)共11個(gè)基本事件，.(2)對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)數(shù)x、y，且x、，a2x1，所以事件A構(gòu)成的區(qū)域如圖中的陰影部分區(qū)域如圖所示：陰影部分區(qū)域的面積為，因此，.22如圖，在平行四邊形ABCD中，BC2，四邊形ACEF為矩形，平面ACEF平面ABCD，AF1求證：(1)平面ABF平面CDE；(2)點(diǎn)P為線段EF上動(dòng)點(diǎn)，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得平面PBC與平面CDE所成銳二面角余弦值為，若存在求出實(shí)數(shù)的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)證明AF平面ABCD，利用勾股定理證得ABAC，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系，利用向量法即可得證；（2）分別求出