第三章符號(hào)計(jì)算

1、1符號(hào)運(yùn)算是符號(hào)運(yùn)算是MATLAB的重要組成部分。應(yīng)用符號(hào)計(jì)算功能，可的重要組成部分。應(yīng)用符號(hào)計(jì)算功能，可以直接對(duì)抽象的符號(hào)對(duì)象進(jìn)行微積分或代數(shù)計(jì)算，并獲得問(wèn)題的以直接對(duì)抽象的符號(hào)對(duì)象進(jìn)行微積分或代數(shù)計(jì)算，并獲得問(wèn)題的解析結(jié)果。解析結(jié)果。第三章第三章 MATLAB的符號(hào)運(yùn)算的符號(hào)運(yùn)算什么是符號(hào)運(yùn)算呢？它和數(shù)值計(jì)算有什么區(qū)別？什么是符號(hào)運(yùn)算呢？它和數(shù)值計(jì)算有什么區(qū)別？u 符號(hào)運(yùn)算的操作對(duì)象是非數(shù)值的符號(hào)對(duì)象。符號(hào)運(yùn)算的操作對(duì)象是非數(shù)值的符號(hào)對(duì)象。u 與數(shù)值運(yùn)算的區(qū)別：數(shù)值運(yùn)算中必須先對(duì)變量賦值，然后才與數(shù)值運(yùn)算的區(qū)別：數(shù)值運(yùn)算中必須先對(duì)變量賦值，然后才能參與運(yùn)算。符號(hào)運(yùn)算無(wú)須事先對(duì)獨(dú)立變量賦值，

2、運(yùn)算結(jié)果能參與運(yùn)算。符號(hào)運(yùn)算無(wú)須事先對(duì)獨(dú)立變量賦值，運(yùn)算結(jié)果以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形式表達(dá)。以標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)形式表達(dá)。2符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象(symbolic object)是一種數(shù)據(jù)類型是一種數(shù)據(jù)類型(sym類型類型)，用來(lái)存儲(chǔ)，用來(lái)存儲(chǔ)代表非數(shù)值的字符符號(hào)。可以是符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)函代表非數(shù)值的字符符號(hào)?？梢允欠?hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)函數(shù)及各種符號(hào)表達(dá)式及符號(hào)矩陣等。符號(hào)變量要先定義再引用。數(shù)及各種符號(hào)表達(dá)式及符號(hào)矩陣等。符號(hào)變量要先定義再引用。3.1 3.1 符號(hào)運(yùn)算基符號(hào)運(yùn)算基礎(chǔ)礎(chǔ)1、創(chuàng)建符號(hào)變量、符號(hào)常量、創(chuàng)建符號(hào)變量、符號(hào)常量在在MATLAB中，用函數(shù)命令中，用函數(shù)命令sym和和syms來(lái)創(chuàng)建

3、符號(hào)對(duì)象。來(lái)創(chuàng)建符號(hào)對(duì)象。符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象u 符號(hào)變量是符號(hào)可變的符號(hào)對(duì)象。符號(hào)變量通常是指一個(gè)或符號(hào)變量是符號(hào)可變的符號(hào)對(duì)象。符號(hào)變量通常是指一個(gè)或幾個(gè)特定的字符，不是指符號(hào)表達(dá)式。但有時(shí)可以將符號(hào)表幾個(gè)特定的字符，不是指符號(hào)表達(dá)式。但有時(shí)可以將符號(hào)表達(dá)式賦值給一個(gè)符號(hào)變量，它的命名規(guī)則和達(dá)式賦值給一個(gè)符號(hào)變量，它的命名規(guī)則和MATLAB數(shù)值變數(shù)值變量的命名規(guī)則相同。量的命名規(guī)則相同。3u 用用sym( )函數(shù)輸入的數(shù)值常數(shù)叫符號(hào)常量。函數(shù)輸入的數(shù)值常數(shù)叫符號(hào)常量。(1) sym函數(shù)：用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)變量或符號(hào)常量。其調(diào)用格式函數(shù)：用來(lái)建立單個(gè)符號(hào)變量或符號(hào)常量。其調(diào)用格式為：為：x=sym

4、 (x)， x為創(chuàng)建的符號(hào)變量，為創(chuàng)建的符號(hào)變量，x為輸出的變量名。為輸出的變量名。符號(hào)變量和數(shù)值變量是不同的。數(shù)值變量參與運(yùn)算前必須先進(jìn)符號(hào)變量和數(shù)值變量是不同的。數(shù)值變量參與運(yùn)算前必須先進(jìn)行賦值，變量的運(yùn)算實(shí)際上是該變量所對(duì)應(yīng)的值進(jìn)行運(yùn)算，其行賦值，變量的運(yùn)算實(shí)際上是該變量所對(duì)應(yīng)的值進(jìn)行運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)和變量類型對(duì)應(yīng)的值。符號(hào)變量運(yùn)算前不需要運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)和變量類型對(duì)應(yīng)的值。符號(hào)變量運(yùn)算前不需要賦值，其結(jié)果是一個(gè)由參與運(yùn)算的變量名組成的表達(dá)式。賦值，其結(jié)果是一個(gè)由參與運(yùn)算的變量名組成的表達(dá)式。如如a=sym (a);b=sym (b);c=sym (c);d=sym (d); %定義

5、定義4個(gè)符號(hào)變量個(gè)符號(hào)變量w=1; x=2; y=3; z=4; %定義定義4個(gè)數(shù)值變量個(gè)數(shù)值變量A=a, b; c, d %建立符號(hào)矩陣建立符號(hào)矩陣A4A = a, b c, dB=w, x; y, z %建立數(shù)值矩陣建立數(shù)值矩陣BB= 1 2 3 4det (A) %計(jì)算符號(hào)矩陣計(jì)算符號(hào)矩陣A的行列式的行列式ans= a*d - b*cdet (B) %計(jì)算數(shù)值矩陣計(jì)算數(shù)值矩陣B的行列式的行列式ans= -25u 應(yīng)用應(yīng)用sym( )函數(shù)還可以定義符號(hào)常量。其運(yùn)算是數(shù)值常量是函數(shù)還可以定義符號(hào)常量。其運(yùn)算是數(shù)值常量是有差別的。符號(hào)常量進(jìn)行計(jì)算得到的是精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式；有差別的。符號(hào)常量進(jìn)行

6、計(jì)算得到的是精確的數(shù)學(xué)表達(dá)式；而數(shù)值計(jì)算得到的是一個(gè)近似值。而數(shù)值計(jì)算得到的是一個(gè)近似值。如如a=sym (8);b=8; %定義定義1個(gè)符號(hào)常量和個(gè)符號(hào)常量和1個(gè)數(shù)值常量個(gè)數(shù)值常量sqrt (a); %求符號(hào)常量求符號(hào)常量a的平方根的平方根ans= 2*2(1/2)sqrt (b); %求數(shù)值常量求數(shù)值常量b的平方根的平方根ans= 2.8284u 應(yīng)用應(yīng)用sym( )函數(shù)一次只能定義一個(gè)符號(hào)變量。函數(shù)一次只能定義一個(gè)符號(hào)變量。6(2) syms函數(shù)：可以在一個(gè)語(yǔ)句中同時(shí)定義多個(gè)符號(hào)變量，其一函數(shù)：可以在一個(gè)語(yǔ)句中同時(shí)定義多個(gè)符號(hào)變量，其一般格式為：般格式為：syms arg1 arg2 a

7、rgN，用于將，用于將rg1, arg2,argN等符號(hào)創(chuàng)建為符號(hào)型數(shù)據(jù)。等符號(hào)創(chuàng)建為符號(hào)型數(shù)據(jù)。各變量名間用空格間隔，不能加各變量名間用空格間隔，不能加其它分隔符。其它分隔符。u 符號(hào)表達(dá)式由符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)函數(shù)、算術(shù)運(yùn)算符符號(hào)表達(dá)式由符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)函數(shù)、算術(shù)運(yùn)算符等組成。創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式等組成。創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式/方程的方法有兩種：一種是直接用方程的方法有兩種：一種是直接用sym函數(shù)創(chuàng)建，二是用已經(jīng)定義的符號(hào)變量創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式。函數(shù)創(chuàng)建，二是用已經(jīng)定義的符號(hào)變量創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式。2、創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式、創(chuàng)建符號(hào)表達(dá)式/方程和符號(hào)矩陣方程和符號(hào)矩陣如如f=sym (a*x2+b*x+

8、c) f= a*x2+b*x+ csyms x a b cf= a*x2+b*x+ cf= a*x2+b*x+ c7符號(hào)表達(dá)式一定要用符號(hào)表達(dá)式一定要用 (雙單引號(hào)雙單引號(hào))括起來(lái)括起來(lái)MATLAB才能識(shí)別。才能識(shí)別。u 創(chuàng)建符號(hào)矩陣的方法也有兩種：一種是直接用創(chuàng)建符號(hào)矩陣的方法也有兩種：一種是直接用sym函數(shù)創(chuàng)建，函數(shù)創(chuàng)建，命令格式：命令格式：A=sym( ) ；二是用已經(jīng)定義的符號(hào)變量創(chuàng)建。；二是用已經(jīng)定義的符號(hào)變量創(chuàng)建。例如：例如：A = sym(a , 2*b ; 3*a , 0) A = a, 2*b 3*a, 0 這就完成了一個(gè)符號(hào)矩陣的創(chuàng)建。這就完成了一個(gè)符號(hào)矩陣的創(chuàng)建。syms

9、 a bA=a 2*b; 3*a 0A = a, 2*b 3*a, 0注意：符號(hào)矩陣的每一行的兩端都有方括號(hào)，這是與注意：符號(hào)矩陣的每一行的兩端都有方括號(hào)，這是與 matlab數(shù)值矩陣數(shù)值矩陣的一個(gè)重要區(qū)別。的一個(gè)重要區(qū)別。8符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算與關(guān)系運(yùn)算。符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算包括算術(shù)運(yùn)算與關(guān)系運(yùn)算。符號(hào)對(duì)象無(wú)邏符號(hào)對(duì)象無(wú)邏輯運(yùn)算輯運(yùn)算。3.2 3.2 符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算符號(hào)對(duì)象的基本運(yùn)算與數(shù)值計(jì)算相同，運(yùn)算符與數(shù)值計(jì)算相同，運(yùn)算符“+”、“-”、“*”、“”、“/”與與“”也能用于符號(hào)對(duì)象的加、減也能用于符號(hào)對(duì)象的加、減 、乘、左除、右除與求冪運(yùn)算。運(yùn)、乘、左除、右除與求冪運(yùn)算。運(yùn)算

10、符算符“.*”、“.”、“./”、“.”分別用來(lái)實(shí)現(xiàn)符號(hào)數(shù)組的乘、左分別用來(lái)實(shí)現(xiàn)符號(hào)數(shù)組的乘、左除、右除與求冪運(yùn)算。除、右除與求冪運(yùn)算。一、算術(shù)運(yùn)算一、算術(shù)運(yùn)算符號(hào)對(duì)象的關(guān)系運(yùn)算只有是否符號(hào)對(duì)象的關(guān)系運(yùn)算只有是否“等于等于”，沒有，沒有“大于、小于大于、小于”等。等。運(yùn)算符運(yùn)算符“=”和和“ =”分別對(duì)運(yùn)算符兩端的對(duì)象進(jìn)行分別對(duì)運(yùn)算符兩端的對(duì)象進(jìn)行“相等相等”與與“不等不等”的比較。當(dāng)結(jié)果為真，語(yǔ)句執(zhí)行后返回的比較。當(dāng)結(jié)果為真，語(yǔ)句執(zhí)行后返回“1”。否則返回。否則返回“0”。二、關(guān)系運(yùn)算二、關(guān)系運(yùn)算91. 符號(hào)變量替換函數(shù)符號(hào)變量替換函數(shù)subs ( )：其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為subs (

11、S, old, new)，其功能是將符號(hào)表達(dá)式其功能是將符號(hào)表達(dá)式S中的中的old替換為替換為new。old為符號(hào)表達(dá)為符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量，而式中的符號(hào)變量，而new可以是符號(hào)變量、符號(hào)常量等。可以是符號(hào)變量、符號(hào)常量等。三、基本運(yùn)算函數(shù)三、基本運(yùn)算函數(shù)例：已知例：已知 ，試對(duì)其進(jìn)行符號(hào)變量替換：，試對(duì)其進(jìn)行符號(hào)變量替換：kbyaxfn dtcekwbta ,ln,sin符號(hào)常量替換：符號(hào)常量替換：n=5, k=與數(shù)值數(shù)組替換：與數(shù)值數(shù)組替換：k=1:4syms a b c d k n x y w t;f=a*x n+ b* y+ k;f1=subs (f, a b k, sin (t)

12、log (w) c* exp (-d*t)f2=subs (f, n k, 5 pi)f3=subs (f, k, 1:4)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：f1 =sin(t)*xn+log(w)*y+c*exp(-d*t) 10f2 = a*x5+b*y+pi f3 = a*xn+b*y+1, a*xn+b*y+2, a*xn+b*y+3, a*xn+b*y+4即符號(hào)變量替換結(jié)果為：即符號(hào)變量替換結(jié)果為： dtnceywxtf lnsin1符號(hào)常量替換結(jié)果為：符號(hào)常量替換結(jié)果為： ybxaf52符號(hào)常量替換結(jié)果為：符號(hào)常量替換結(jié)果為： 4, 3, 2, 13 byaxbyaxbyaxbyax

13、fnnnn112. 符號(hào)表達(dá)式因式分解函數(shù)符號(hào)表達(dá)式因式分解函數(shù)factor ( )：其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為factor (f)。例：已知例：已知 ,試對(duì)其進(jìn)行因式分解。試對(duì)其進(jìn)行因式分解。 abcbacacbcbaf2222 syms a b c;f=a2*(b+ c)+ b2*(c+ a)+ c2*(a+ b)+2*a*b*c;factor (f)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans =(b+c)*(c+a)*(a+b) 即即 accbbaabcbacacbcbaf 22223. 符號(hào)表達(dá)式展開函數(shù)符號(hào)表達(dá)式展開函數(shù)expand ( )：其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為expand (f)

14、。例：已知例：已知 ，試對(duì)其進(jìn)行展開。，試對(duì)其進(jìn)行展開。 1*3*2 xyxfsyms x y; f=(2*x+3*y)*(x+1); expand (f)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans =2*x2+2*x+3*x*y+3*y函數(shù)函數(shù)expand ( )常用于多項(xiàng)式表達(dá)常用于多項(xiàng)式表達(dá)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的展開式中。函數(shù)的展開式中。124. 符號(hào)表達(dá)式合并同類項(xiàng)函數(shù)符號(hào)表達(dá)式合并同類項(xiàng)函數(shù)collect ( )：其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為collect (f, v)，是將符號(hào)表達(dá)式，是將符號(hào)表達(dá)式f中變量中變量v的同冪項(xiàng)系數(shù)合并。的同冪項(xiàng)系數(shù)合并

15、。例：已知例：已知 ,試對(duì)其同類項(xiàng)進(jìn)行合并。試對(duì)其同類項(xiàng)進(jìn)行合并。bxaxxyyxf 22syms a b x y; f=x2*y+ x* y-a* x2- b*x;collect (f, x) %對(duì)對(duì)f按按x進(jìn)行合并同類項(xiàng)進(jìn)行合并同類項(xiàng)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans =(y-a)*x2+ (y-b)*x 即即 xbyxaybxaxxyyxf 222注意：上述函數(shù)注意：上述函數(shù)factor ( )、expand ( )、collect ( )都可以用于符號(hào)矩陣，都可以用于符號(hào)矩陣，但需注意的是，這些函數(shù)用于符號(hào)矩陣時(shí)，是分別作用于矩陣的每一但需注意的是，這些函數(shù)用于符號(hào)矩陣時(shí)，是分別作

16、用于矩陣的每一個(gè)元素的。還有用于符號(hào)矩陣的函數(shù)：個(gè)元素的。還有用于符號(hào)矩陣的函數(shù)：transpose (A)是返回矩陣是返回矩陣A的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)置矩陣；置矩陣；p, q=eigensys (A)，其中，其中p返回矩陣返回矩陣A的特征向量，的特征向量，q返回特返回特征值。還有前面介紹的征值。還有前面介紹的diag、triu、tril、det等函數(shù)也可直接用于符號(hào)等函數(shù)也可直接用于符號(hào)矩陣。矩陣。135. 符號(hào)表達(dá)式通分函數(shù)符號(hào)表達(dá)式通分函數(shù)numden ( )：其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為numden (f), N, D=numden (f)，其中，其中N為通分后的分子，為通分后的分子，D為分母。計(jì)算為

17、分母。計(jì)算N/D則得符號(hào)表達(dá)式通分的結(jié)果。第一種調(diào)用格式則僅獲得通則得符號(hào)表達(dá)式通分的結(jié)果。第一種調(diào)用格式則僅獲得通分后的分子分后的分子N。例：已知例：已知 ，試對(duì)其進(jìn)行通分。，試對(duì)其進(jìn)行通分。pxykyxf syms k p x y; f=x/ (k*y)+ y/ (p*x); n, d=numden (f)f1=n /dnumden ( f )程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：n = x2*p+y2*k d = k*y*p*x 14f1 = (x2*p+y2*k)/k/y/p/x ans = x2*p+y2*k即即kpxykypxpxykyxf22 6. 符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)函數(shù)符號(hào)表達(dá)式化簡(jiǎn)函數(shù)

18、simplify ( )和和simple ( )：其功能是將符號(hào)：其功能是將符號(hào)表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)。表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)。 simplify (S)是應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對(duì)是應(yīng)用函數(shù)規(guī)則對(duì)S進(jìn)行化進(jìn)行化簡(jiǎn)。簡(jiǎn)。Simple (S)則是調(diào)用則是調(diào)用MATLAB的其他函數(shù)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行綜的其他函數(shù)對(duì)表達(dá)式進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)，并顯示化簡(jiǎn)過(guò)程，得到表達(dá)式長(zhǎng)度最短的簡(jiǎn)化形式。合化簡(jiǎn)，并顯示化簡(jiǎn)過(guò)程，得到表達(dá)式長(zhǎng)度最短的簡(jiǎn)化形式。例：試對(duì)例：試對(duì) 進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)。進(jìn)行綜合化簡(jiǎn)。 ln2221cossinceexxe與與syms x c alph beta; e1=sin (x)2+cos(x)2; e10=simplify

19、(e1)e2=exp (c* log (alph+ beta); e20=simplify (e2) 15u 符號(hào)運(yùn)算可以獲得任意精度值的解。符號(hào)運(yùn)算可以獲得任意精度值的解。程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：e10 = 1 e20 = (alph+beta)c 在在symbolic中有三種不同的算術(shù)運(yùn)算：中有三種不同的算術(shù)運(yùn)算：數(shù)值類型數(shù)值類型 matlab的浮點(diǎn)算術(shù)運(yùn)算的浮點(diǎn)算術(shù)運(yùn)算有理數(shù)類型有理數(shù)類型 maple的的精確符號(hào)運(yùn)算精確符號(hào)運(yùn)算 vpa類型類型 maple的任意精度算術(shù)運(yùn)算的任意精度算術(shù)運(yùn)算 浮點(diǎn)算術(shù)運(yùn)算浮點(diǎn)算術(shù)運(yùn)算如：如：1/2+1/3 (定義輸出格式定義輸出格式format

20、long) ans = 0.8333333333333316符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算如：如：sym(1/2)+(1/3) ans = 5/6 精確解精確解任意精度算術(shù)運(yùn)算任意精度算術(shù)運(yùn)算digits (n) 設(shè)置有效數(shù)字個(gè)數(shù)為設(shè)置有效數(shù)字個(gè)數(shù)為n的近似解精度，缺省的近似解精度，缺省16位位vpa (f, n) 求得符號(hào)表達(dá)式求得符號(hào)表達(dá)式f的的n位精度的數(shù)值解。位精度的數(shù)值解。如：如：digits(25) vpa(1/2+1/3) ans = .8333333333333333333333333 函數(shù)函數(shù)numeric ( )可將不含變量的符號(hào)對(duì)象轉(zhuǎn)換為數(shù)值形式?？蓪⒉缓兞康姆?hào)對(duì)象轉(zhuǎn)換為數(shù)值形式。

21、173.3 3.3 微積分運(yùn)算微積分運(yùn)算一、極限一、極限 limit (f, x, a)：求符號(hào)函數(shù)求符號(hào)函數(shù)f（x）的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量的極限值。即計(jì)算當(dāng)變量x趨近于常數(shù)趨近于常數(shù)a時(shí)，時(shí)，f（x）函數(shù)的極限值。函數(shù)的極限值。 limit(f,a)：求符號(hào)函數(shù)求符號(hào)函數(shù)f( )的極限值。由于沒有指定符號(hào)函的極限值。由于沒有指定符號(hào)函數(shù)數(shù)f（）的自變量，則使用該格式時(shí)，符號(hào)函數(shù)（）的自變量，則使用該格式時(shí)，符號(hào)函數(shù)f（）的變量（）的變量為函數(shù)為函數(shù)findsym (f)確定的默認(rèn)自變量。確定的默認(rèn)自變量。limit(f)：求符號(hào)函數(shù)求符號(hào)函數(shù)f（x）的極限值。符號(hào)函數(shù)的極限值。符號(hào)函數(shù)f（）

22、的變量（）的變量為函數(shù)為函數(shù)findsym (f)確定的默認(rèn)變量；沒有指定變量的目標(biāo)值確定的默認(rèn)變量；沒有指定變量的目標(biāo)值時(shí)，則相當(dāng)于時(shí)，則相當(dāng)于a=0，系統(tǒng)默認(rèn)變量，系統(tǒng)默認(rèn)變量a的情況。的情況。在在MATLAB軟件中，利用軟件中，利用limit函數(shù)計(jì)算函數(shù)極限。其調(diào)用格式函數(shù)計(jì)算函數(shù)極限。其調(diào)用格式有有5種：種：18 limit (f, x, a, right)：求符號(hào)函數(shù)求符號(hào)函數(shù)f的右極限值。的右極限值。right表示變表示變量量x從右邊趨近于從右邊趨近于a。limit (f, x, a, left)：求符號(hào)函數(shù)求符號(hào)函數(shù)f的左極限值。的左極限值。left表示變量表示變量x從左邊趨近于

23、從左邊趨近于a。syms x ; f1=(x2-4)/(x-2);a=limit (f1, x, 2)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：a =4例例1：試求：試求 的極限。的極限。24lim22 xxxsyms x; f2=(3*x3-4*x2+2)/(7*x3+5*x2-3);b=limit (f2, x, inf)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：b =3/7例例2：試求：試求 的極限。的極限。357243lim2323 xxxxx19c=limit(1/x, x ,0, left)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：c =-Inf例例3：試求：試求 的左極限。的左極限。xx1lim0 d=lim

24、it(1/x, x ,0, right)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：d =Inf例例4：試求：試求 的右極限。的右極限。xx1lim0 二、微分二、微分MATLAB中的微分運(yùn)算，實(shí)際上是計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。其系統(tǒng)提中的微分運(yùn)算，實(shí)際上是計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。其系統(tǒng)提供的函數(shù)命令供的函數(shù)命令diff ( )不僅能計(jì)算函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)，還能計(jì)算函數(shù)的不僅能計(jì)算函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)，還能計(jì)算函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。1. 一階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)：一階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)：diff (S, v)。v為自變量，對(duì)表達(dá)式為自變量，對(duì)表達(dá)式S求一求一階導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。如果是階導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)。如果是diff (S)則系統(tǒng)按則

25、系統(tǒng)按findsym函數(shù)指示函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式S求一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。求一階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。20例例1：求函數(shù)：求函數(shù) 對(duì)對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)：的一階導(dǎo)數(shù)： 122 xxxfDf=diff (x2+2*x-1, x)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：Df =2*x+2 例例2：求二元函數(shù)：求二元函數(shù) 對(duì)對(duì)x的一階偏導(dǎo)數(shù)：的一階偏導(dǎo)數(shù)： 22,yxyxyxf Dfx=diff (x2+x*y+y2, x)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：Df =2*x+y 2. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：利用diff函數(shù)和函數(shù)和compose函數(shù)進(jìn)行復(fù)合函數(shù)函數(shù)進(jìn)行復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)

26、算。它們的格式分別為導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算。它們的格式分別為:diff (S, v), compose (f, g)。21例例3：構(gòu)造復(fù)合函數(shù)：構(gòu)造復(fù)合函數(shù) 并求復(fù)合函數(shù)對(duì)并求復(fù)合函數(shù)對(duì)x的一階導(dǎo)數(shù)。的一階導(dǎo)數(shù)。 xguf1sin,cos2Df10=diff (x5*exp (x), 10)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：Df10 =30240*exp(x)+25200*x*exp(x)+7200*x2*exp(x)+900*x3*exp(x)+50*x4*exp(x)+x5*exp(x) syms u x; f=cos (u); g=sin(1/x)2;h=compose (f, g);diff (h,

27、 x)ans = 2*sin(sin(1/x)2)*sin(1/x)*cos(1/x)/x23. 高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)：二階及以上的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)：二階及以上的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。利用和偏導(dǎo)數(shù)。利用diff (S, v, n)來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。來(lái)求高階導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)。v為自變量，為自變量，n為導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。如果是為導(dǎo)數(shù)或者偏導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。如果是diff (S, n)則系統(tǒng)按則系統(tǒng)按findsym函函數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式數(shù)指示的默認(rèn)變量對(duì)符號(hào)表達(dá)式S求求n階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)。例例4：已知函數(shù)：已知函數(shù) ，求，求 。xexy5 1

28、0y22syms x y; f=x*y*(x4+4*x2*y2-y4)/(x2+y2);Dfxx=diff(f,x,2) Dfxx = 2*y*(4*x3+8*x*y2)/(x2+y2)-6*y*(x4+4*x2*y2-y4)/(x2+y2)2*x+x*y*(12*x2+8*y2)/(x2+y2)-4*x2*y*(4*x3+8*x*y2)/(x2+y2)2+8*x3*y*(x4+4*x2*y2-y4)/(x2+y2)3simple (Dfxx)ans = 2*x*y*(3*y2+x2)*(5*y4+3*x4)/(x2+y2)3其它的請(qǐng)自己操作解答。其它的請(qǐng)自己操作解答。例例5：已知二元函數(shù)：已

29、知二元函數(shù) ，分別求，分別求 2242244,yxyyxxxyyxf yxfyxfyxfyxfyyyxxyxx, 23三、積分三、積分 int (S, v)：求符號(hào)函數(shù)求符號(hào)函數(shù)S的不定積分，的不定積分，v為變量。默認(rèn)任意常為變量。默認(rèn)任意常數(shù)數(shù)C為為0；v可以省略，此時(shí)符號(hào)函數(shù)可以省略，此時(shí)符號(hào)函數(shù)S的變量為函數(shù)的變量為函數(shù)findsym 確定的默認(rèn)變量；確定的默認(rèn)變量； int (S, v, a, b)：求符號(hào)函數(shù)求符號(hào)函數(shù)S的定積分，的定積分，v為變量。為變量。 a、b分分別表示定積分的下限和上限。別表示定積分的下限和上限。在在MATLAB軟件中，利用軟件中，利用int函數(shù)進(jìn)行求不定積分

30、和定積分的運(yùn)函數(shù)進(jìn)行求不定積分和定積分的運(yùn)算。其調(diào)用格式有以下幾種：算。其調(diào)用格式有以下幾種：syms x;R=int(x+1)*(x-2)/x,x)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：R = 1/2*x2-x-2*log(x)例例1：求不定積分：求不定積分 dxxxx 2124在在MATLAB中，多次使用中，多次使用int ( )時(shí)，計(jì)算的就是重積分，當(dāng)有一時(shí)，計(jì)算的就是重積分，當(dāng)有一個(gè)或兩個(gè)積分限是無(wú)窮大時(shí)，計(jì)算的就是廣義積分。個(gè)或兩個(gè)積分限是無(wú)窮大時(shí)，計(jì)算的就是廣義積分。syms x; R=int(x/sqrt(1+x),x,0,3)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：R = 8/3例例2：求定

31、積分：求定積分dxxx 130syms x y; int(int(x2/y2,y,1/x,x),x,1,2)程序運(yùn)行結(jié)果為：程序運(yùn)行結(jié)果為：ans = 9/4例例3：求二重積分：求二重積分 ，其中，其中D是由直線是由直線x=2，y=x以及雙曲線以及雙曲線xy=1圍成圍成的區(qū)域。的區(qū)域。 dxdyyxD 22253.4 3.4 符號(hào)方程求解符號(hào)方程求解一、符號(hào)代數(shù)方程求解一、符號(hào)代數(shù)方程求解對(duì)方程組求解變量對(duì)方程組求解變量x0,x1,xn稱為解方程組。稱為解方程組。在在MATLAB軟件中，利用軟件中，利用solve函數(shù)進(jìn)行對(duì)方程組求解。其調(diào)用函數(shù)進(jìn)行對(duì)方程組求解。其調(diào)用格式有以下幾種：格式有以下

32、幾種：由數(shù)學(xué)定義，已知方程組由數(shù)學(xué)定義，已知方程組 0,.,.0,.,0,.,10102101 nnnnxxxfxxxfxxxf26 solve (eq)：計(jì)算單一方程，：計(jì)算單一方程，eq為輸入的方程。為輸入的方程。 solve (eq, var)：計(jì)算單一方程，：計(jì)算單一方程，eq為輸入的方程，為輸入的方程，var用用來(lái)指明待求變量。來(lái)指明待求變量。solve (eq1, eq2, , eqn)：計(jì)算方程組，：計(jì)算方程組，eq1,eqn為輸為輸入的方程組。變量為默認(rèn)變量。入的方程組。變量為默認(rèn)變量。solve (eq1, eq2, , eqn, var1, , varn)：計(jì)算方程：計(jì)算方

33、程組，組，eq1,eqn為輸入的方程組；為輸入的方程組；var1,varn用來(lái)指明每個(gè)用來(lái)指明每個(gè)方程待求的變量。方程待求的變量。27二、微分方程求解二、微分方程求解在在MATLAB軟件中，利用軟件中，利用dsolve函數(shù)進(jìn)行對(duì)微分方程求解。其函數(shù)進(jìn)行對(duì)微分方程求解。其調(diào)用格式為：調(diào)用格式為：dsolve (eq1, eq2, , cond1,cond2, v1, v2 , . )，該函數(shù)求解常微分方程，該函數(shù)求解常微分方程eq在初始條件在初始條件cond下的特解下的特解.參數(shù)參數(shù)v描述方程中的自變量描述方程中的自變量,省略時(shí)按默認(rèn)原則處理省略時(shí)按默認(rèn)原則處理,若沒有給出若沒有給出初值條件初值

34、條件cond，則求方程的通解。其中，則求方程的通解。其中eq1,為輸入的微分方為輸入的微分方程，程，cond1,為定解條件，為定解條件，v為自變量。為自變量。 0,., nyyyxF在數(shù)學(xué)中，表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系在數(shù)學(xué)中，表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間關(guān)系的方程稱為微分方程。未知函數(shù)最高階的導(dǎo)數(shù)稱為微分方程的的方程稱為微分方程。未知函數(shù)最高階的導(dǎo)數(shù)稱為微分方程的階。階。n階方程一般表示為：階方程一般表示為：28在在MATLAB中，用大寫字母中，用大寫字母D表示導(dǎo)數(shù)。當(dāng)表示導(dǎo)數(shù)。當(dāng)y為因變量時(shí)，為因變量時(shí)，Dny表示表示y的的n階導(dǎo)函數(shù)。初始條件的書寫格式規(guī)定：

35、初始條件階導(dǎo)函數(shù)。初始條件的書寫格式規(guī)定：初始條件注意：每一個(gè)微分方程兩端必須加英文輸入狀態(tài)下的單引號(hào)，注意：每一個(gè)微分方程兩端必須加英文輸入狀態(tài)下的單引號(hào)，同等成分間用英文輸入狀態(tài)下的逗號(hào)加以分隔。同等成分間用英文輸入狀態(tài)下的逗號(hào)加以分隔。byax |寫成：寫成： bay dycx |寫成：寫成： dcDy 293.5 3.5 排列組合與級(jí)數(shù)排列組合與級(jí)數(shù)1 1、階乘函數(shù)、階乘函數(shù) 在在MATLAB軟件中，用軟件中，用factorial (n)進(jìn)行求階乘函數(shù)的運(yùn)算。進(jìn)行求階乘函數(shù)的運(yùn)算。n為輸入自然數(shù)。為輸入自然數(shù)。階乘函數(shù)的表達(dá)形式為階乘函數(shù)的表達(dá)形式為 nkkn1!如：如：factori

36、al(10)ans =36288002 2、二項(xiàng)式系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù) 在在MATLAB軟件中，用軟件中，用nchoosek (n, k)進(jìn)行求二項(xiàng)式系數(shù)的運(yùn)進(jìn)行求二項(xiàng)式系數(shù)的運(yùn)算。算。n和和k為輸入自然數(shù)。為輸入自然數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)的表達(dá)形式為二項(xiàng)式系數(shù)的表達(dá)形式為 !kknnCkn 303 3、級(jí)數(shù)求和、級(jí)數(shù)求和其中其中f (k)表示級(jí)數(shù)函數(shù)，表示級(jí)數(shù)函數(shù)，k為整數(shù)，為整數(shù)，a和和b是級(jí)數(shù)的下界和上界。是級(jí)數(shù)的下界和上界。 在在MATLAB軟件中，用軟件中，用symsums函數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)求和的運(yùn)算。函數(shù)進(jìn)行級(jí)數(shù)求和的運(yùn)算。其調(diào)用格式為：其調(diào)用格式為：級(jí)數(shù)求和的表達(dá)形式為級(jí)數(shù)求和的表達(dá)形式為 bak

37、kf如：如：C=nchoosek(6,3)C = 20symsum (s)：s為級(jí)數(shù)函數(shù)。為級(jí)數(shù)函數(shù)。symsum (s, v)：s為級(jí)數(shù)函數(shù)，為級(jí)數(shù)函數(shù)，v表示上界表示上界b，下界為，下界為1。symsum (s, a, b)：s為級(jí)數(shù)函數(shù)，為級(jí)數(shù)函數(shù)，b表示上界，表示上界，a表示下界。表示下界。314 4、泰勒公式、泰勒公式稱為函數(shù)稱為函數(shù)f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處的處的n階泰勒公式。其右端為階泰勒公式。其右端為f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處處的的n階泰勒展開式。階泰勒展開式。 當(dāng)當(dāng)x0=0時(shí)稱為麥克勞林公式。在時(shí)稱為麥克勞林公式。在MATLAB軟件中，用軟件中，用taylor函數(shù)進(jìn)行泰勒公式的運(yùn)

38、算。其調(diào)用格式為：函數(shù)進(jìn)行泰勒公式的運(yùn)算。其調(diào)用格式為：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (x)在在x0的鄰域內(nèi)具有的鄰域內(nèi)具有n階導(dǎo)數(shù)，則階導(dǎo)數(shù)，則 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 00200 000!.! 2! 1syms n x; r=symsum(x(n/2)/(2*n),1,5)r =1/2/n+1/2*2(1/2*n)/n+1/2*3(1/2*n)/n+1/2*4(1/2*n)/n+1/2*5(1/2*n)/n例：求級(jí)數(shù)例：求級(jí)數(shù) 5122nnnx32syms x; taylor(1/x,10,-1)ans =-2-x-(x+1)2-(x+1)3-(x+1)4-(x+1)5-(x+1)6-(x+1)7-(x+1)8-(x+1)9taylor (f)：用來(lái)求麥克勞林公式，默認(rèn)階數(shù)為：用來(lái)求麥克勞林公式，默認(rèn)階數(shù)為6。taylor (f, n, v)：用來(lái)求麥克勞林公式，：用來(lái)求麥克勞林公式，n為階數(shù)，為階數(shù)，v為獨(dú)立變?yōu)楠?dú)立變量；量；taylor (f, n, v, a) ：用來(lái)求泰勒公式，：用來(lái)求泰勒公式， n為階數(shù)，為階數(shù)，v為獨(dú)立變?yōu)楠?dú)立變量，量，a為為