關(guān)于熱力學統(tǒng)計物理試題

1、1 .寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的自由能判據(jù)。一個處在溫度和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變 動，所引起的自由能的改變均大于零。即 F 0。2 .寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的吉布斯函數(shù)判據(jù)。一個處在溫度和壓強不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變 動，所引起的吉布斯函數(shù)的改變均大于零。即G 0。3 .寫出系統(tǒng)處在平衡態(tài)的嫡判據(jù)。一個處在內(nèi)能和體積不變條件下的系統(tǒng)，處在穩(wěn)定平衡態(tài)的充要條件是，對于各種可能的有限虛變動，所引起的嫡變均小于零。即S 04 .嫡的統(tǒng)計解釋。由波耳茲曼關(guān)系 s kgln 可知，系統(tǒng)嫡的大小反映出系統(tǒng)在該宏觀狀態(tài)下所具

2、有的可能的微觀 狀態(tài)的多少。而可能的微觀狀態(tài)的多少，反映出在該宏觀平衡態(tài)下系統(tǒng)的混亂度的大小。故，嫡是系 統(tǒng)內(nèi)部混亂度的量度。5 .為什么在常溫或低溫下原子內(nèi)部的電子對熱容量沒有貢獻？不考慮能級的精細結(jié)構(gòu)時，原子內(nèi)的電子激發(fā)態(tài)與基態(tài)的能量差為110eV,相應(yīng)的特征溫度為“4-510 10 K。在常溫或低溫下，電子通過熱運動獲得如此大的能量而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率幾乎為零，平均 而言電子被凍結(jié)基態(tài)，因此對熱容量沒有貢獻。6 .為什么在常溫或低溫下雙原子分子的振動對熱容量貢獻可以忽略？_ 3因為雙原子分子的振動特征溫度比10 K ,在常溫或低溫下 kT << k ev,振子通過熱運動獲得能

3、量h k %從而躍遷到激發(fā)態(tài)的概率極小，因此對熱容量的貢獻可以忽略。7 .能量均分定理。對于處在平衡態(tài)的經(jīng)典系統(tǒng)，當系統(tǒng)的溫度為T時，粒子能量的表達式中的每一個獨立平方項的平均值為 kT。 8等概率原理。對于處在平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)的各種可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。9.概率密度 (q, p,t)的物理意義、代表點密度D(q, p,t)的物理意義及兩者的關(guān)系(q,p,t):在t時刻，系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)代表點出現(xiàn)在相點(q, p)鄰域，單位相空間體積內(nèi)的概率。D(q, p,t):在t時刻，在相點(q, p)鄰域單位相空間體積內(nèi)，系統(tǒng)的微觀運動狀態(tài)代表點數(shù)。它們的關(guān)系是:其中，N 是系綜中系

4、統(tǒng)總數(shù)填空題1.玻色分布表為al'al e 1: 費米分布表為 e 1 : 玻耳茲曼分布表為al l el當滿足條件_e1 時，玻色分布和費米分布均過渡到玻耳茲曼分布。2玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用N表示，系統(tǒng)平均粒子數(shù)為 lnU內(nèi)能表為InY1 Jn,廣義力表為嫡表為S k(lnIn3.均勻系的平衡條件是TTo且PP0;平衡穩(wěn)定性條件是CV 0且節(jié)T 04.均勻開系的克勞修斯方程組包含如下四個微分方程:dU TdS pdV dndH TdS Vdp dndG SdT Vdp dndF SdT pdV dn5.對于含N個分子的雙原子分子理想氣體，在一般溫度下，原子內(nèi)部電子的運動對熱

5、容量溫度大大于振動特征溫度時,CV - Nk2溫度大大于轉(zhuǎn)動特征溫度而小小于動特征溫度時,;溫度小小于轉(zhuǎn)動特征溫度時,_5CV 5 Nk2無貢獻 ；CV - Nk26準靜態(tài)過程是指 過程進行中的每一個中間態(tài)均可視為平衡態(tài) 的過程；無摩擦準靜態(tài)過程的特點是 外界對系綜的作用力，可用系統(tǒng)的狀態(tài)參量表示出來。7絕熱過程是指， 系統(tǒng)狀態(tài)的改變， 完全是機械或電磁作用的結(jié)果，而沒有受到其他任何影響的過程在絕熱過程中，外界對系統(tǒng)所做的功與具體的過程無關(guān),僅由初終兩態(tài)決定。8 .費米分布是指，處在 平衡態(tài)、孤立 的費米系統(tǒng)，粒子在 能級上 的 最概然 分布。9 .弱簡并理想玻色氣體分子間存在統(tǒng)計吸引作用；弱

6、簡并理想費米氣體分子間存在統(tǒng)計排斥作山。10玻色分布是指，處在 平衡態(tài)、孤立 的玻色系統(tǒng)，粒子在 能級上 的 最概然 分布。11 .對于一單元復相系，未達到熱平衡時，熱量從 高溫相 傳至 低溫相：未達到相變平衡時，物質(zhì) 從高化學勢相向低化學勢相作宏觀遷移。12 .微正則系綜是大量的結(jié)構(gòu)完全相同的且處于平衡態(tài)的故里系統(tǒng)的集合微正則分布是指在微正則系綜中，系統(tǒng)按可能的微觀態(tài)的分布微正則分布是 平衡態(tài)統(tǒng)計物理學的基本假設(shè),它與 等概率原理 等價。lnZ113.玻耳茲曼系統(tǒng)粒子配分函數(shù)用Z1表示,內(nèi)能統(tǒng)計表達式為Y N lnZ1廣義力統(tǒng)計表達式為 y ,嫡的統(tǒng)計表達式為S Nk(lnZ1叱）,自由能的

7、統(tǒng)計表達式為F NkT 1n乙14.與分布 al 相應(yīng)的，玻色系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為i ai 1 !B.E"oi?r1 a1. 1；費米系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)B. Ea! a !L_aL_1_a1 '；玻耳茲曼系統(tǒng)微觀狀態(tài)數(shù)為N!B-Ea1 !ai l lp_VT v S pBEF DME的關(guān)系為 . N! . o15.熱力學系統(tǒng)的四個狀態(tài)量 S、V、P、T所滿足的麥克斯韋關(guān)系為V _PT p S v16.設(shè)一多元復相系有個相，每相有個k組元,組元之間不起化學反應(yīng)。此系統(tǒng)平衡時必同時滿足條件:(i 1,2,L k)5.由熱力學基本方程dG SdT Vdp可得麥克斯韋關(guān)系SV T(B)二

8、衛(wèi)p S S p(C) vs6 .孤立系統(tǒng)指(A)與外界有能量交換但無物質(zhì)交換的系統(tǒng)(B)與外界既無物質(zhì)交換也無能量交換的系統(tǒng)(C)能量守恒的系統(tǒng)(D)溫度和體積均保持不變的任意系統(tǒng)7 .吉布斯函數(shù)作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨立態(tài)參量是(A)溫度和體積(B)溫度和壓強(C)嫡和體積(D)嫡和壓強8.自由能作為特性函數(shù)應(yīng)選取的獨立態(tài)參量是(A)溫度和體積(C)嫡和體積(B)溫度和壓強(D)嫡和壓強9.下列各式中不正確的是HF(A(B)n s,pn T,V,U,G(C)(D)n p,vn t ,p10 .當經(jīng)典極限條件成立時，玻色分布和費米分布均過渡到(A)麥克斯韋分布(B)微正則分布(C)正則分布(D

9、)玻爾茲曼分布11 .下列說法正確的是(A) 一切與熱現(xiàn)象有關(guān)的實際宏觀物理過程都是不可逆的(B)熱力學第二定律的表述只有克氏和開氏兩種說法。(C)第一類永動機違背熱力學第二定律。(D)第二類永動機不違背熱力學第二定律。12.由熱力學方程dFSdTpdV可得麥克斯韋關(guān)系/a、TpTV(A)(B)V SS Vp sSVSpS(C)(D)iT pP TT VVPT13 .已知粒子能量表達式為其中a、b為常量，則依據(jù)能量均分定理粒子的平均能量為(A) 3kT2(B) 2kTb2(C) 2kT 4a5(D) - kT21 (0)0 (0)14 .具有確定的粒子數(shù)、確定的體積、確定的能量的系統(tǒng)滿足(A)

10、微正則分布 (B)正則分布(C)巨正則分布(D)以上都不對15.玻耳茲曼統(tǒng)計中用粒子配分函數(shù)Zi表示的內(nèi)能是一、ln 乙lnZi(A) U 乙1(B) U N1(C) U1 ln Z1(D) UN ln Z116.不考慮粒子自旋，在長度L內(nèi)，動量處在 px px dpx范圍的一維自由粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為(A) Ldph(B)(C) 2Ldp(D)2LdPx17.均勻開系的熱力學基本方程是(A) dF(C) dUSdT pdVTdSpdVdn dn(B)(D)dG dHSdT VdpTdS Vdpdn dn推導與證明1.證明：CP(1)證：C PCV S(T,p)S(T,V(T,p)(2)(2

11、)代入(1)CPCVT -S V(3)將麥氏關(guān)系:代入(3)2.證明，0K時電子氣體中電子的平均速率為34mFF ( PF為費米動量)。證明： 0K時，f在單位體積內(nèi)，動量在pp dp范圍內(nèi)的電子的量子態(tài)數(shù)為8y p2dp h在此范圍內(nèi)的電子數(shù)為3.一容積為V的巨大容器dNp f hy p2dp器壁上開有一個極小的孔與外界大氣相通,其余部分與外界絕熱。開始時，內(nèi)部空氣的溫度、壓強與外界相同為 To ,Po。假定空氣可視為理想氣體 ，且定壓摩爾熱容量 cp為常量。給容器內(nèi)的空氣以極其緩慢的速率均勻加熱,使其溫度升至 T。證明，所需熱量為PoV CplnT。To證明：系統(tǒng)經(jīng)歷準靜態(tài)過程,每一中間態(tài)

12、均可視為平衡態(tài)對于容器內(nèi)的氣體，初態(tài):P0V n°RT,任一中間態(tài)：P0V n（T）RTn（T）TT n(T) cp dT T°n0cp當 T0n0cpl咤即：Q當nTRTo4.將空窖輻射視為平衡態(tài)光子氣體系統(tǒng)，光子是能量為h的玻色子，由玻色分布，每個量子態(tài)上平均光子數(shù) fh-/kTe 1試導出普朗克黑體輻射公式:解：在體積V內(nèi)，動量在pp+dp 范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為:8 V 2 .p dp h由圓頻率與波矢關(guān)系:=ck及德布羅意關(guān)系，可得：p =-c故，在體積V內(nèi)，能量在 在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為：故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為:+d范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為:5.證明始態(tài)方程:

13、 證：選T、p作為狀態(tài)參量時，有而,dH（2）代入（3)得:比較（1）、（4）得:dTdHdpT(1)dS dT T ppdp (2)TdHTdSVdp(3)SS1dT VTdp(4)T pp TSHS /、T -(5)V T -一 （6）T pV Tp T將麥氏關(guān)系- 代入（6）,即得p TTpU 6.證明能態(tài)方程：T _ppV TT v證：選T、V作為狀態(tài)參量時,有UUdUdTTVV T而，（2）代入(3)得：dU比較（1）、(4)得：-UT v_ Sp將麥氏關(guān)系 代入（6）,即得V TTV7.證明，對一維自由粒子，在長度L內(nèi),能量在SVdV(1)dSSTdTVSVdVT(2)dUTdS

14、pdV(3)T -dT TT vSVpTdV(4)T -ST 1 VUVTTSVpT(6)e £ d e的范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為L 1/21/2 ,D d (2m) dh證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應(yīng)關(guān)系，對于一維自由粒子，在相空間體積元dxdpx內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為dxdpxh因此，在長度 L內(nèi)，動量大小在p p dp范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為雨 12. m .而， p , dp Jd2m2故，在長度L內(nèi)，能量在 £ £ d e范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為L 1/21/2 ,D d (2 m) dh8.證明，對于二維自由粒子，在面積L2內(nèi)，能量在£

15、; £ de范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為2 mL2h2證：由量子態(tài)與相空間體積元之間的對應(yīng)關(guān)系，對于二維自由粒子，在相空間體積元dxdydpxdpy 內(nèi)的可能的量子態(tài)數(shù)為dxdydpxdpyh2因此，在面積L2內(nèi)，動量大小在 p - p dp范圍內(nèi)粒子的可能的量子態(tài)數(shù)為而,12mpdp md故，在面積L2內(nèi)，能量在£ £d e范圍內(nèi)，可能的量子態(tài)數(shù)為2 mL2D d 2-h29 .導出含有N個原子的愛因斯坦固體的內(nèi)能和熱容量表達式：U 3Nh23Nh eh 1Cv 3NkeE/Te/te解：按愛因斯坦假設(shè)，將個原子的運動視為 3N個線性諧振子的振動,且所有諧振子的振動

16、頻率相同。諧振子的能級為:(n1/2)h(n0,1,2L )則，振子的配分函數(shù)為:(n1/2)h /2 eh n(e )0h /2 ehh1 e lnZ1 Uln(1 e引入愛因斯坦特征溫度10.對于給定系統(tǒng),解:設(shè)物態(tài)方程為dp將v-bv v-be： h若已知dTv3NhP.T vp(T,v),則P.T vdvTv-b和（3）代入（1）h eh- e-Nh 23Nh-h- eRv-b(1)(2)2a3Nk Te/T ee/tep v-bv-b-代入(2)得 Rv3R T 2a v-b3v-b v-b Rv2a v-bRv32a3 v,求此系統(tǒng)的物態(tài)方程。-RT7 (3) v-b積分得： pR

17、Tv-bav-b RT v11.將空窖輻射視為平衡態(tài)光子氣體系統(tǒng),導出普朗克黑體輻射公式:解：在體積V內(nèi)，動量在P P+dP范圍的光子的量子態(tài)數(shù)為因為，光子氣體是玻色系統(tǒng)遵從玻色分布，由于系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒，每個量子態(tài)上平均光子數(shù)為n - - hp 一一 c 所以，在體積V內(nèi)，圓頻率在+d 范圍內(nèi)的光子的量子態(tài)數(shù)為2在此范圍內(nèi)的光子數(shù)為N df D( )d故，在此范圍內(nèi)的輻射能量為：12.單原子分子理想氣體孤立系統(tǒng)的可能的微觀運動狀態(tài)數(shù)為:3N E(E),其中V h33N/2(2 mE)N !(3N /2)!由此導出系統(tǒng)嫡的表達式:解:lnln3N2EENlnV3h3N ln(2 mE)3/2

18、 ln( N!)ln 3N!2ln( N !)N In NIn3N3N 3N! ln lnln3N E2EVN ln NmE3/25N3NEh,23 10kT10 ln NlnmE3/2由玻耳茲曼關(guān)系:- 23Nhkln13.試用麥克斯韋關(guān)系,導出方程體的絕熱過程方程TV3Nh2212,E 105NTdS CVdTC （常量）。ln3N2E13 八100dV，假定Cv可視為常量，由此導出理想氣S解： dSTdTVVTdV'. TdS T T vdTdV CVdTTdVT由麥氏關(guān)系V t T vTdS CvdT TdV T v絕熱過程dS 0 ,理想氣體p 2RT ,Vp nRT v V

19、-一 dT_ dV_一 ._CvnR0積分得CvlnTnRlnV C'（常量）T V Cp/Cv, nR Cp Cv Cv（1）1_1_故：InTV C',即：TV C （常量）14 .證明，理想氣體的摩爾自由能為: 證明：選T, V為獨立變量，則理想氣體的物態(tài)方程為：pv RT丸du SdT，dS ?dT 噂故：uCvdT Uo , SoCdT Rln v s015 .證明:T,np T,nVn T,p證明：選T, V為獨立變量，則而-GV，故p T n,16.導出愛因斯坦固體的嫡表達式:S 3Nk-ln 1 e h1解：設(shè)固體系統(tǒng)含有 N個原子，按愛因斯坦假設(shè)，將N個原子的運動視為 3N個線性諧振子的振動，且所有諧振子的振動頻率相同。諧振子的能級為:則，振子的配分函數(shù)為：-玻耳茲曼系統(tǒng)計公式17.已知處在平衡態(tài)的孤立的玻耳茲曼系統(tǒng)，其可能的微觀運動狀態(tài)數(shù)由麥克